人教版八年级数学上名师点拨精练 12.3角平分线的判定 （含解析）

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人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.3 角平分线的判定
学习目标
1.掌握角平分线的判定定理的内容；
2.会用角平分线的性质和判定证明；
3.会作一点到三角形三边距离相等.
【学习重难点】
角的平分线的判定的证明及运用.
老师告诉你
在有关角的平分线的问题中，由角的平分线的性质可得线段相等，而欲证明某个点在一个角的平分线上，只需先过这一点向角的两边作垂线，再证明该点到角的两边距离相等即可。
知识点拨
知识点1 角的平分线的判定
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
几何描述：PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，
点P在∠AOB的平分线上。
【新知导学】
例1-1 .如图，已知 ABC和 CDE中，B，C，E在同一条直线上，AC=CB，∠ACB=60°，DC=EC，∠DCE=60°，BD与AE交于点F，连接CF．
(1)求∠AFB的度数；
(2)求证：CF平分∠BFE．
【对应导练】
1．如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
2.如图所示，在△ABC中P为BC上一点，PR⊥BC，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QPAR；③△BRP≌△CSP其中正确的是 （ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
知识点2 三角形的角平分线
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点，这一点到三角形的三边的距离相等.
【新知导学】
例2-1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( )
A.三条中线的交点 B.三条高的交点
C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点
例2-2．如图，直线l、、表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A.一处 B.二处 C.三处 D.四处
【对应导练】
1．到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的( )
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三条边的垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
2．如图所示，的外角的平分线CF与的平分线BG相交于点O.求证：点O到三边AB，BC，AC的距离相等.
知识点3 角的平分线的性质与判定的综合应用
1.角平分线的判定与性质的综合应用主要用在证线段相等和角相等，同时考查了三角形的内角和定理，三角形的面积等相关知识，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键，有时往往要向角的一边或两边作垂线段．
2.与角的平分线有关的探究题主要是灵活应用角平分线的性质和判定，由特殊到一般的探究，有时图形的改变不会导致结论的改变，所用的方法基本上是一样的.
【新知导学】
例3-1.如图，在四边形中，，，的平分线与的平分线相交于点，且点在线段上，．

(1)求的度数；
(2)试说明．
【对应导练】
1.如图，已知，，是的角平分线，且交于点P．

(1)______．
(2)求证：点P在的平分线上．
(3)求证：．
如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
题型训练
1.作垂线，通过全等证相等
1．如图，是的平分线，于点E，，，，则_____cm.
2．如图，点P是的平分线上一点，于点E.若，则点P到的距离是__________.
2.作垂线，通过等面积证相等
3．如图，AD是中的平分线，于点E，，，，则AC的长是_________.
4．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，的面积是，，，则的长为( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
3.作垂线，通过等线段证相等
5．如图，直线，且这两条直线间的距离为8，与的平分线交于点P，则点P到EF的距离为( )
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
6．如图所示，的外角的平分线CF与的平分线BG相交于点O.求证：点O到三边AB，BC，AC的距离相等.
4.角平分线的判定、性质证明线段的数量关系
7．如图，，M是BC的中点，DM平分，求证：AM平分.
8．如图,已知的平分线交于点且点E是的中点.
(1)点E在的平分线上吗
(2)求与的大小关系,并证明.
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
2.如图，已知AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF交于点D，则下列结论中不正确的是（　　）
A． B．
C．点D在的平分线上 D．点D是CF的中点
3．如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，下列结论中不正确的是（　　）

A． B． C． D．
4.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
5 .如图，已知AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF交于点D，则下列结论中不正确的是（　　）
A． B．
C．点D在的平分线上 D．点D是CF的中点
6．如图，在中，平分于，下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤，

其中正确的个数为（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7 .如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（　　）
A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC
8 .如图，∠AOB的内部作射线OM，过点M分别作MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB，连接AB，若∠MAB＝20°，则∠AOM的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
填空题（每小题4分，共20分）
9.如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．
10 .如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,连接EF,则EF与AD的关系是______.
11.如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC，
.已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，△DFC的周长________________
．
12如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，若BC＝16，DE＝6，则△BCE的面积等于___________
13 .如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 　 　．（填序号）
①平分；②；③；④．
三、解答题（共6小题，共48分）
14 .（8分）如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
15 .（8分）如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．
（1）求证：OP平分∠AOB；
（2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和．
16 .（8分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长．
17 .（8分）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．求证：OC是∠AOB的平分线．
18．（8分）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E．
（1）求证：AC平分∠EAF；
（2）求证：∠FAD=∠E；
（3）若，AE=5，AF=3，求CF的长．
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第12章 全等三角形
12.3 角平分线的判定
学习目标
1.掌握角平分线的判定定理的内容；
2.会用角平分线的性质和判定证明；
3.会作一点到三角形三边距离相等.
【学习重难点】
角的平分线的判定的证明及运用.
老师告诉你
在有关角的平分线的问题中，由角的平分线的性质可得线段相等，而欲证明某个点在一个角的平分线上，只需先过这一点向角的两边作垂线，再证明该点到角的两边距离相等即可。
知识点拨
知识点1 角的平分线的判定
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
几何描述：PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，
点P在∠AOB的平分线上。
【新知导学】
例1-1 .如图，已知 ABC和 CDE中，B，C，E在同一条直线上，AC=CB，∠ACB=60°，DC=EC，∠DCE=60°，BD与AE交于点F，连接CF．
【答案】(1)；
(2)见解析．
【分析】（1）求出，利用证明，可得，然后根据对顶角相等和三角形内角和定理即可得出；
（2）过点C作，，根据全等三角形对应边上的高相等可得，然后利用角平分线的判定得出结论．
【详解】（1）解：设与交于点G，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：过点C作，，
∵
∴，
又∵，，
∴平分．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定等知识，求出，证明是解题的关键．
【对应导练】
1.如图，在和中，，（），，直线，交于点，连接．

(1)求证：；
(2)用表示的大小；
(3)求证：平分．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)见解析．
【分析】（1）用证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）根据三角形外角的性质得，再由可得，即可得到结论；
（3）作于，于，则，利用证明，由全等三角形的性质可得，再根据角平分线的判定定理即可得证．
【详解】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
，
，
（2）解：由三角形的外角性质得：，
由（1）得，
，
，
（3）证明：作于，于，如图所示，

则，
在和中，
，
，
，
于，于，
平分，
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
2．如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上．
知识点2 三角形的角平分线
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点，这一点到三角形的三边的距离相等.
【新知导学】
例2-1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( )
A.三条中线的交点 B.三条高的交点
C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点
答案：D
解析：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，
故选：D.
例2-2．如图，直线l、、表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A.一处 B.二处 C.三处 D.四处
答案：D
解析：如图所示，加油站的地址有四处.
故选：D.
【对应导练】
1．到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的( )
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三条边的垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
答案：D
解析：因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形三边的距离都相等的点是三条角平分线的交点.故选D.
2．如图所示，的外角的平分线CF与的平分线BG相交于点O.求证：点O到三边AB，BC，AC的距离相等.
答案：证明：如图，过点O作交BA的延长线于点M，过点O作于点N，过点O作于点H，
的平分线CF与的平分线BG相交于点O，
，，，
即点O到三边AB，BC，AC的距离相等.
知识点3 角的平分线的性质与判定的综合应用
1.角平分线的判定与性质的综合应用主要用在证线段相等和角相等，同时考查了三角形的内角和定理，三角形的面积等相关知识，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键，有时往往要向角的一边或两边作垂线段．
2.与角的平分线有关的探究题主要是灵活应用角平分线的性质和判定，由特殊到一般的探究，有时图形的改变不会导致结论的改变，所用的方法基本上是一样的.
【新知导学】
例3-1.如图，在四边形中，，，的平分线与的平分线相交于点，且点在线段上，．

(1)求的度数；
(2)试说明．
【答案】(1)
(2)详见解析
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的定义，即可作答；
（2）过点作于点，再根据角平分线的性质定理即可证明．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
（2）如图．过点作于点．

∵平分，，，
∴．
∵平分，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质定理的等知识，掌握角平分线的性质定理，是解答本题的关键．
【对应导练】
1.如图，已知，，是的角平分线，且交于点P．

(1)______．
(2)求证：点P在的平分线上．
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由，是的角平分线，得到，，根据三角形内角和即可得到结论；
（2）过作，，，由，分别平分，，得到，，等量代换得到，于是得到结论；
（3）在上取点使，连接通过，得到，求得，，得到，由是的角平分线，得到，证得，即可得到结论．
【详解】（1）解：证明：，，是的角平分线，
，，
，
；
（2）如图，过作，，，
，分别平分，，
，，
，
点在的平分线上；

（3）如图，在上取点使，连接，

是的平分线，
，
在与中，
，
，
，
，，
，
是的角平分线，
，
在与中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
【分析】（1）由平角的定义可求解∠ACD的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠ECH＝40°，进而可求解；
（2）过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质可证得EM＝EN，进而可证明结论；
（3）利用三角形的面积公式可求得EM的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝100°，
∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°，
∵∠CEH＝50°，
∴∠ECH＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACE＝80°﹣40°＝40°；
（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；
（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CEDAC ENCD EH（AC+CD） EM＝21，
即，
解得EM＝3，
∵AB＝8.5，
∴S△ABEAB EM．
【点评】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．
题型训练
作垂线，通过全等证相等
1．如图，是的平分线，于点E，，，，则_____cm.
答案：1.5
解析：过点D作于点F，
是的平分线，，
，
，，
，
.
故答案为：1.5.
2．如图，点P是的平分线上一点，于点E.若，则点P到的距离是__________.
答案：5
解析：作于F，
是的平分线，，，
，
故答案为：5.
作垂线，通过等面积证相等
3．如图，AD是中的平分线，于点E，，，，则AC的长是_________.
答案：3
解析：如图，过点D作于F，
是中的角平分线，，
，
由图可知，，
，
解得.
故答案为3.
4．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，的面积是，，，则的长为( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
答案：A
解析：因为，的面积是，
所以，
因为为的平分线，于点E，于点F，
所以，
所以，
因为，，
所以，
解得.
故选A.
作垂线，通过等线段证相等
5．如图，直线，且这两条直线间的距离为8，与的平分线交于点P，则点P到EF的距离为( )
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
答案：C
解析：如图，过P作于G，GP的延长线交AB于H，作于M，，.与的平分线交于点P，.直线AB与CD间的距离为8，，，即点P到EF的距离为4.
6．如图所示，的外角的平分线CF与的平分线BG相交于点O.求证：点O到三边AB，BC，AC的距离相等.
答案：证明：如图，过点O作交BA的延长线于点M，过点O作于点N，过点O作于点H，
的平分线CF与的平分线BG相交于点O，
，，，
即点O到三边AB，BC，AC的距离相等.
角平分线的判定、性质证明线段的数量关系
7．如图，，M是BC的中点，DM平分，求证：AM平分.
答案：见解析
解析：如图，过点M作于F，
，DM平分，
，
M是BC的中点，
，
，
又，
点M在的平分线上，
AM平分.
8．如图,已知的平分线交于点且点E是的中点.
(1)点E在的平分线上吗
(2)求与的大小关系,并证明.
答案：(1)点E在的平分线上.理由如下:
连接，作于如图.
平分，
.
点E是的中点，
.
又，
，
平分，即点E在的平分线上.
(2).证明:
在和中，
，
，
.
同理，可证明.
,
.
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上．
2 .小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点评】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
3．如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，下列结论中不正确的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出为的外角平分线，然后列式计算求出，即可判断D选项．
【详解】解：，，
，
故A选项正确，不符合题意；
平分，
，
在中，，
，
故B选项错误，符合题意；
平分，
，
在中，，
故C选项正确，不符合题意；
、分别是和的平分线，
到、、的距离相等，
是的外角平分线，
，
故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．
4.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【分析】根据题意，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以要选角平分线的交点．
【详解】∵要使凉亭到草坪三边的距离相等，
∴凉亭应在三条角平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，需要注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别．
5 .如图，已知AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF交于点D，则下列结论中不正确的是（　　）
A． B．
C．点D在的平分线上 D．点D是CF的中点
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【详解】解：A、∵AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A=∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；
B∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE（ASA），正确；
C、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；
D、无法判定，错误；
故选D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．如图，在中，平分于，下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤，

其中正确的个数为（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质，可得，证得，可得；由等角的余角相等，可证得；然后由的度数不确定，可得不一定等于；又由，和的高相等，所以：：．
【详解】解：①正确，在中，，平分，于，
；
②正确，在与中，
，所以，即；
③正确，因为和都与互余，根据同角的余角相等，所以；
④错误，因为的度数不确定，故不一定等于；
⑤错误，因为，和的高相等，所以：：．
故正确的个数为个
故选：C．
【点睛】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
7 .如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（　　）
A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC
【答案】B
【分析】过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，再根据角平分线的性质定理和判定定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，
∵△ABC的两个外角的平分线相交于点P，
∴PD=PF，PE=PF，
∴PD=PE，
∴点P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC．
故选：B
【点评】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
8 .如图，∠AOB的内部作射线OM，过点M分别作MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB，连接AB，若∠MAB＝20°，则∠AOM的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】由MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB，根据角平分线的判定可得OM平分∠AOB，即∠AOM=∠BOM，则∠AMO=∠BMO，即OM平分∠AMB，根据等腰三角形三线合一得到OM⊥AB，然后利用等角的余角相等即可解答．
【详解】解：∵由MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB
∴OM平分∠AOB，即∠AOM=∠BOM，
在△OBM和△OAM中
∴△OBM≌△OAM（AAS）
∴∠AMO=∠BMO，即OM平分∠AMB，
∵AM=BM，
∴OM⊥AB，
∵∠MAB+∠OAB=90°，∠AOM+∠OAB=90°，
∴∠AOM=∠MAB
∵∠MAB=20°，
∴∠AOM=∠MAB=20°．
故答案为B．
【点评】本题主要考查了角平分线的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上．
填空题（每小题4分，共20分）
9.如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．
【答案】
【分析】利用三角形的内角和定理先求解，再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：平分 从而可得答案．
【详解】解：
平分 故答案为：
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．
10 .如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,连接EF,则EF与AD的关系是______.
答案： ∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°,AD=AD,
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AE=AF,
∵AD是△ABC的角平分线,
AO=AO,
∴△AEO≌△AFO,
∴OE=OF,AE=AF,
∴AD⊥EF(三线合一)
∴AD垂直平分EF.
故答案为:AD垂直平分EF.
11.如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到，可判断（1）（2）正确；由，，得到，可判断（3）错误；即可得到答案．
解：过点P作PG⊥AB，如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，，，PG⊥AB，
∴；故（1）正确；∴点在的平分线上；故（2）正确；
∵，
又，∴；故（3）错误；
∴正确的选项有2个；故选：C．
12.如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：
①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
【解题思路】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上对各小题分析判断即可得解．
【解答过程】解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；点P在∠CBE的平分线上，故②正确；
点P在∠BCD的平分线上，故③正确；点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，
综上所述，正确的是①②③④．故选：A．
13 .如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 　 　．（填序号）
①平分；②；③；④．
【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【解析】①过点作于，
平分，平分，，，，
，，，点在的角平分线上，故①正确；
②，，，，
在和中，，，，
同理：，，，
，②正确；③平分，平分，
，，，③正确；
④由②可知，
，，，故④正确，故答案为：①②③④．
三、解答题（共6小题，共48分）
14 .（8分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM＝90°，根据垂直的定义得到答案；
（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换得到答案．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，
∴∠MAD+∠ADM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B＝90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM，
∴BM＝CM，
即M为BC的中点．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15 .（8分）如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．
（1）求证：OP平分∠AOB；
（2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和．
【分析】（1）过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得PC＝PD＝PE，再利用角平分线性质定理的逆定理，即可解答；
（2）根据△PMN的面积是16，可求出PD＝4，从而可得PD＝PC＝PE＝4，然后再利用四边形MONP的面积＝△PMN的面积+△OMN的面积＝△POM的面积+△PON的面积，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E，
∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN，
∴PC＝PD，
∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
∴PC＝PE，
∴OP平分∠AOB；
（2）∵△PMN的面积是16，MN＝8，
∴MN PD＝16，
∴×8 PD＝16，
∴PD＝4，
∴PD＝PC＝PE＝4，
∵△OMN的面积是24，
∴四边形MONP的面积＝△PMN的面积+△OMN的面积＝16+24＝40，
∴△POM的面积+△PON的面积＝40，
∴OM PC+ON PE＝40，
∴OM 4+ON 4＝40，
∴OM+ON＝20，
∴线段OM与ON的长度之和为20．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16 .（8分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）可先根据已知条件证明，得到，再结合,，根据角平分线判定定理，即可证明；（2）先证明，得到，所以，结合条件，代入即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵, ∴,
又∵ ∴∴
又∵,∴点在的角平分线上∴平分
（2）解：∵∴
又∵，，∴
∴∴
又∵∴∴
【点评】本题考查角平分线的判定定理，直角三角形的全等判定，正确理解题意是解题关键。
17 .（8分）如图，在 ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF．求证：AD平分∠BAC．
【答案】证明见解析.
【分析】求出∠DEB＝∠DFC＝90°，BD＝CD，根据全等三角形的判定得出△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质得出DE＝DF，再推出答案即可．
【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC的中点，∴BD＝CD，
在△BED和△CFD中，，
∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，
∴点D在∠BAC的角平分线上，∴AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的判定等知识点，能求出DE＝DF是解此题的关键．
18．（8分）如图，于点E，于点F，若．
（1）求证：平分；
（2）请猜想与之间的数量关系，并给予证明．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
【解析】（1）根据证明，得到，再根据角平分线的判定定理，求证即可；
（2）通过证明，得到，利用线段之间的关系，求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴平分．
【小问2详解】
解：，证明如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E．
（1）求证：AC平分∠EAF；
（2）求证：∠FAD=∠E；
（3）若，AE=5，AF=3，求CF的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA=BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF=∠BCA，等量代换证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可；
（3）过点C作CG⊥AE于点G，先证得AF⊥ED，利用角平分线的性质证得CG= CF，在Rt△EGC中，利用勾股定理列方程即可求解．
【小问1详解】
证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF=∠BCA，
∴∠CAF=∠BAC，即AC平分∠EAF；
【小问2详解】
证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA=∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC=∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF=∠EAC，
∴∠FAD=∠E；
【小问3详解】
解：过点C作CG⊥AE于点G，
则∠CGE=∠CGA=90°，
∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA=DC，BA=BC，
又∵BD=BD，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠BAD=∠BCD，
∵∠EAD=90°，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
又∵AF∥BC，
∴∠AFD=∠BCD=90°，即AF⊥ED，
∴∠AFE=90°，
∵AE=5，AF=3，
∴EF==4，
由（1）知AC平分∠EAF，
又CG⊥AE，CF⊥AF，
∴CG= CF，
在Rt△AGC和Rt△AFC中，，
∴Rt△AGC≌Rt△AFC(HL)，
∴AG=AF=3，
∴EG=AE-AG=5-3=2，
设CG=CF=x，则EC=4-x，
在Rt△EGC中，EC2=EG2+GC2，
∴(4-x)2=22+x2，
解得：x=，
∴CF=．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的判定和性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
A
A
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