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第7讲 带电粒子在复合场中的运动
题型1带电粒子在复合场运动的应用实例
1．质谱仪(如图)
原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2.
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m.
由以上两式可得r＝，m＝，＝.
2．回旋加速器(如图)
原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见同种粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关．
3．速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计和霍尔元件一般以单个带电粒子为研究对象，在洛伦兹力和电场力平衡时做匀速直线运动达到稳定状态，从而求出相应的物理量，区别见下表．
装置 原理图 规律
速度选择器 若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动
磁流体发电机 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极板电压为U时稳定，q＝qv0B，U＝v0Bd
电磁流量计 q＝qvB，所以v＝，所以Q＝vS＝
霍尔元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差
[例题1] （2024 镇海区校级模拟）如图甲所示，将霍尔传感器固定在前叉上，磁铁安装在前轮辐条上，车轮每转一圈，磁铁就靠近霍尔传感器一次，传感器就会输出一个霍尔电压U2。霍尔元件的原理示意图如图乙所示。某次匀速率行驶时，霍尔传感器测得的电压U2随时间t变化如图丙所示，霍尔传感器离轮轴距离为r，下列说法正确的是（ ）
A．自行车的速度大小为
B．车轮的转速为
C．磁铁的磁性减弱，霍尔电压的峰值不变
D．U1变小，测得的自行车车速不变
【解答】解：AB、根据图丙可知周期T＝t3﹣t1
车轮角速度为
车轮转速为
自行车的半径为R，即自行车的速度
因为R＞r
故AB错误；
CD、当稳定时满足，粒子所受的电场力大小等于洛伦兹力的大小
霍尔电压
可知如果磁铁的磁性减弱，则B减小，霍尔电压的峰值变小；如果U1变小，但U2不变，所以测得的自行车车速不变，故C错误，D正确。
故选：D。
[例题2] （2023 台州二模）笔记本电脑机身和显示屏分别装有霍尔元件和磁体，实现开屏变亮，合屏熄灭。图乙为一块利用自由电子导电，长、宽、高分别为a、b、c的霍尔元件，电流方向向右。当合上显示屏时，水平放置的元件处于竖直向下的匀强磁场中，元件前、后表面间产生电压，当电压达到某一临界值时，屏幕自动熄灭。则元件的（ ）
A．合屏过程中，前表面的电势比后表面的低
B．开屏过程中，元件前、后表面间的电压变大
C．若磁场变强，可能出现闭合屏幕时无法熄屏
D．开、合屏过程中，前、后表面间的电压U与b无关
【解答】解：A．电流方向向右，由此可分析出电子向左定向移动，根据左手定则，自由电子向后表面偏转，后表面积累了电子，前表面的电势高于后表面的电势，故A错误；
BCD．稳定后电子受到的电场力和洛伦兹力平衡，则根据平衡条件可得：
根据电流的微观表达式可知：
I＝neSv＝nebcv
解得：
因此开屏过程中，磁感应强度减小，元件前、后表面间的电压变小。若磁场变强，元件前、后表面间的电压变大，不可能出现闭合屏幕时无法熄屏。开、合屏过程中，前、后表面间的电压U与b无关，故D正确，BC错误；
故选：D。
[例题3] （2024 西湖区校级模拟）武汉病毒研究所是我国防护等级最高的P4实验室，在该实验室中有一种污水流量计，其原理可以简化为如下图所示模型：废液内含有大量正、负离子，从直径为d的圆柱形容器右侧流入，左侧流出，流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子所受洛伦兹力方向是水平向左
B．正、负粒子所受洛伦兹力方向是相反的
C．废液的流量与M、N两点间电压成反比
D．污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
【解答】解：AB、根据左手定则可知，正粒子受到的洛伦兹力方向向下，负粒子受到的洛伦兹力方向向上，故A错误，B正确；
C、粒子受到的洛伦兹力等于电场力，则
同时，根据流量的计算公式可得：
Q＝vS
联立解得：，即废液的流量与M、N两点间的电压成正比，故C错误；
D、不带电的液体在磁场中不受力，M、N两点没有电势差，无法计算流速，故D错误；
故选：B。
[例题4] （2023 台州模拟）回旋加速器是高能物理中的重要仪器，其结构示意图如图甲所示：置于真空中的两个D形金属盒半径均为R，磁感应强度为B0的匀强磁场与盒面垂直，两盒间距很小，它们之间有一定的电势差，A处粒子源产生质量为m、电荷量为+q的粒子在加速器交流电源产生的周期性变化的电场中由静止开始被加速，并垂直于磁场方向进入磁场。加速电压u随时间的变化关系图像如图乙所示，其中T忽略带电粒子在电场中运动的时间，不考虑相对论效应和变化电场对磁场分布的影响。
（1）判断粒子在图甲磁场中回旋的方向（“顺时针”或“逆时针”）；
（2）求粒子离开加速器时获得的最大动能Ek；
（3）调节交流电的电压，先、后两次的电压大小比为1：2，则粒子在加速器中的运动时间之比为多少？
（4）实际使用中，磁感应强度B会出现波动，若在tT时粒子第一次被加速，要实现连续n次加速，求B可波动的最大范围。
【解答】解：（1）该粒子带正电，根据左手定则可以判断，在磁场中回旋的方向为逆时针方向。
（2）粒子做圆周运动的最大半径为D形金属盒半径，即R，根据牛顿第二定律：，可得：，则：；
（3）设粒子被加速n次，由动能定理得：nqU0＝Ek﹣0，将上问的最大动能代入可得：，，粒子在磁场中做圆周运动的周期，可得：，粒子在电场中每被加速一次后磁场中运动半周后再次被加速，即每加速一次在磁场中运动半个周期，则粒子在加速器中的运动时间为：。可得：。
（4）设磁感应强度偏小时为B1，圆周运动的周期T1，则有：，，可得：；
设磁感应强度偏大时B2，圆周运动的周期T2，则有：，其中，可得：；综上可得B可波动的最大范围：，（n＝2，3，4……）。
题型2带电粒子在组合场中的运动
1．两大偏转对比
匀强电场中的“电偏转” 匀强磁场中的“磁偏转”
力学特征 F电为恒力 v⊥B时，F＝qvB
运动规律 类平抛运动(合成与分解) 匀速圆周运动(v⊥B) r＝ T＝
偏转情况 tan θ＝ θ＝·2π
动能是否变化 动能发生变化 动能不变
2.思维流程
[例题5] （2023 嘉兴一模）如图所示是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置中的“偏转系统”原理图。由正离子和中性粒子组成的多样性粒子束通过两极板间电场后进入偏转磁场。其中的中性粒子沿原方向运动，被接收板接收；一部分离子打到左极板，其余的进入磁场发生偏转被吞噬板吞噬并发出荧光。多样性粒子束宽度为L，各组成粒子均横向均匀分布。偏转磁场为垂直纸面向外的矩形匀强磁场，磁感应强度为B1。已知离子的比荷为k，两极板间电压为U、间距为L，极板长度为2L，吞噬板长度为2L并紧靠负极板。若离子和中性粒子的重力、相互作用力、极板厚度可忽略不计，则
（1）要使的离子能沿直线通过两极板间电场，可在极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场B0，求B0的大小；
（2）调整极板间磁场B0，使的离子沿直线通过极板后进入偏转磁场。若且上述离子全部能被吞噬板吞噬，求偏转磁场的最小面积和吞噬板的发光长度L0；
（3）若撤去极板间磁场B0且偏转磁场边界足够大，离子速度为、且各有n个，能进入磁场的离子全部能被吞噬板吞噬，求B1的取值范围及吞噬板上收集的离子个数。
【解答】解：（1）离子沿直线通过两极板间电场，洛伦兹力与电场力平衡，由平衡条件得：，其中
解得：B0
（2）粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
其中：；；
联立解得：rL若离子全部能被吞噬板吞噬，要求从极板左边的粒子做匀速圆周运动也能到达吞噬板上，故磁场的总长度应为2r+LL
矩形磁场B1的最小面积SminL LL2
发光长度L0＝L
（3）粒子在电场中做类平抛运动，竖直方向方向：2L＝v0t
水平方向偏转距离：
又qE＝ma，，
联立解得：偏转距离
代入数据解得：
能进入磁场区域收集的离子个数为
进入磁场离子圆周运动半径
在磁场中偏转距离
v2离子射出偏转电场时，对于进入磁场的左右两边界离子而言，与吞噬板左右两端相距分别为2L、，设离子恰好打到吞噬板两端，由几何关系得
则
同理v3离子射出偏转电场时，对于进入磁场的左右两边界离子而言，与吞噬板左右两端相距分别为2L、，设离子恰好打到吞噬板两端，由几何关系得
则
故
[例题6] （2023 浙江模拟）如图1所示，在无限长的竖直边界NS和MT间上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B1＝B和B2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，P、Q点距KL高为d，NS和MT间距为5d。质量为m、带电量为+q的粒子从粒子源飘出（初速度视为0），经电场加速后从P点垂直于S边界射入磁场区域，粒子源单位时间内发出的粒子数恒定，加速电压u如图2所示周期性变化，重力忽略不计，粒子在电场中加速时间极短可忽略不计，不考虑粒子间相互作用力与碰撞，粒子运动到与边界相切时仍能返回磁场。（题中可认为sin37°＝0.6，sin53°＝0.8）
（1）在t进入电场的粒子恰好能垂直KL经过磁场边界，求加速电压的最大值U0；
（2）当加速电压为U1时，粒子恰好不从NS边界飞出，求U1的值；
（3）求在时间0～T内发射的粒子中，从NS边界飞出的粒子数占总粒子数的比例η；
（4）若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子在磁场区域可能的运动时间。
【解答】解：（1）粒子恰好能垂直KL经过磁场边界，则由几何可得r＝d
由牛顿第二定律
所以
当时，u＝U0，由动能定理
解得
（2）粒子恰好不从NS边界飞出，则其运动轨迹如图
由
可得，，d﹣r1＝r1cosφ
所以
由牛顿第二定律，
解得
（3）易得，当u＜U1时，粒子都会从NS边界飞出，所以在时间0～T内发射的粒子中，从NS边界飞出的粒子数占总粒子数的比例
（4）若粒子能经过Q点从MT边界飞出，则其运动轨迹如图
一个循环过程，粒子水平运动的距离为，5d＝nΔx
所以
又因为
所以解得1≤n≤3
当n＝1时r1＝d
此时粒子在磁场中的运动时间为
当n＝2时
则
所以φ＝53°
此时粒子在磁场中的运动时间为
当n＝3时，φ＝37°
此时粒子在磁场中的运动时间为
[例题7] （2023 丽水二模）如图所示是一种质谱仪的分析装置，此质谱仪由以下几部分构成：粒子源、环形加速器、磁分析器、收集板。环形加速器的圆心角为90°，沿半径为R的中心圆弧线有大小恒定、方向如图中箭头所示的电场，可对从入口S进入加速器的带电粒子进行加速，带电粒子进入加速器的初速度可忽略不计。在环形加速器内设计能使加速粒子沿中心弧线做圆周运动的垂直纸面向外的磁场。加速粒子从．P点垂直边界射出后从Q点垂直边界进入磁分析器，经磁分析器后垂直分析器的右侧边界射出，已知磁分析器中偏转磁场的圆心角为60°，磁感应强度为B0，方向垂直纸面向外，Q点到偏转磁场圆心O2的距离为L。已知粒子的带电量为q，质量为m，不考虑带电粒子间的相互作用及重力。
（1）求加速器的中心圆弧线上电场强度E的大小；
（2）设环形加速器中圆弧线上某点到圆心O1连线与SO1的夹角为θ，求圆弧线上各点磁场磁感应强度B的大小与对应θ的关系；
（3）若粒子出P点时存在垂直加速电场且平行纸面的微小速度，且沿电场方向的速度分量保持不变，所有粒子可近似看成从出射口P点以小发散角出射，则要使所有粒子经过磁分析器后会聚于同一点，求磁分析器左边界到粒子出口P点的距离LPQ；
（4）在第三问的会聚点处平行于磁分析器右侧边界安放收集板，粒子打到收集板后被收集板吸收，若已知单位时间有n个带电粒子打到收集板上，求粒子在垂直板方向对收集板冲击力F的大小。
【解答】解：（1）粒子在磁分析器中做匀速圆周运动的轨迹半径为L，根据洛伦兹力提供向心力得：
解得：
粒子在环形加速器内的运动，根据动能定理有：
解得：
（2）粒子在环形加速器内的运动，根据洛伦兹力提供向心力，则有：
解得：
根据动能定理有：
解得：
联立解得：
（3）设磁分析器左边界到粒子出口P点的距离LPQ＝x。如图所示，
设某一粒子以小角度∠APQ＝β射出P点，粒子射出P的速度为：vp
根据几何关系有：LAQ＝xtanβ
则在三角形AO2O3中，由正玄定理可得：
可得：
整理得：sinβcos30°L＝x tanβcosβsin150°
解得：
（4）从磁分析器射出的粒子在垂直收集板方向的分速度均等于v0，根据动量定理可得：
FΔt＝nΔtmv0
解得：F＝nqB0L
[例题8] （2023 浙江模拟）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的无限长多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度d均为2m，电场强度E均为2×103N/C，方向水平向右；磁感应强度B均为0.1T，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直，一个质量m＝1.6×10﹣24kg、电荷量q＝1.6×10﹣19C的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。
（1）求粒子在第1层磁场中运动时速度v1的大小与轨迹半径r1；
（2）求该粒子向右运动的最大水平距离；（说明：忽略虚线位置场对带电粒子的影响）
（3）若将另一个电量q仍为1.6×10﹣19C，质量为m'＝1.6×10﹣23kg的带正电粒子从同一点静止释放，该粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，求n的值。
【解答】解：（1）粒子经过第1层电场加速后进入第1层磁场，粒子经过第1层电场加速过程，由动能定理得：
可得：
代入数据解得：v1
粒子在磁场中受到的洛伦兹力等于其做匀速圆周运动所需的向心力，则有：
可得：
代入数据解得：r1。
（2）粒子在磁场中所示洛伦兹力不做功，运动到第n层磁场时，则有：
设粒子在进入第n层磁场时，速度方向与水平方向的夹角为αn，从第n层磁场射出时，速度方向与水平方向的夹角为θn，局部轨迹图如下图所示：
由于粒子穿过电场的过程，垂直于电场方向分速度不变，因此有：vn﹣1sinθn﹣1＝vnsinαn
同时由几何关系得：rnsinθn﹣rnsinαn＝d
联立可得：rnsinθn﹣rn﹣1sinθn﹣1＝d
由等差数列的知识，可得到关系式：
rnsinθn＝r1sinθ1+（n﹣1）d
由几何关系可得粒子在第一层磁场偏转时有：r1sinθ1＝d
可得：rnsinθn＝nd
联立解得：
令θn＝90°，则有：sinθn＝1，即：
解得：
代入数据可得：n＝2，说明粒子穿过第二层磁场时速度方向恰好沿边界竖直向上，因忽略虚线位置场对带电粒子的影响，故最大水平距离为：
xm＝n×2d＝2×2×2m＝8m。
（3）若将另一个电量q仍为1.6×10﹣19C，质量为m'＝1.6×10﹣23kg，带正电粒子从同一点静止释放，代入上题中的结论公式：
解得n的值为：n＝20。
题型3带电粒子在叠加场中的运动
1．解题规范
(1)叠加场的组成特点：电场、磁场、重力场两两叠加，或者三者叠加．
(2)受力分析：正确分析带电粒子的受力情况，包括场力、弹力和摩擦力．
(3)运动分析：匀速直线运动、匀速圆周运动、匀变速直线运动、类平抛运动、非匀变速曲线运动．
(4)选规律，列方程：应用运动学公式、牛顿运动定律和功能关系．
2．灵活选择运动规律
(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场中满足qE＝qvB；重力场与磁场中满足mg＝qvB；重力场与电场中满足mg＝qE.
(2)三场共存时，若合力为零，则粒子做匀速直线运动；若粒子做匀速圆周运动，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m.
(3)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．
[模型演练1] （2024 泉州二模）如图所示，速度选择器MN两极板间的距离为d，板间匀强磁场的磁感应强度大小为B，O为速度选择器中轴线上的粒子源，可沿OO′方向发射速度大小不同、带电荷量均为q（q＞0）、质量均为m的带电粒子，经速度选择器后，粒子先后经过真空中两平行边界的匀强磁场区域到达足够大荧光屏；匀强磁场的磁感应强度分别为B1、B2，对应边界的宽度分别为d1、d2。调节滑片P可改变速度选择器M、N两极板间的电压，使粒子沿OO′方向垂直磁场B1边界进入B1，经磁场B1偏转后进入B2，最后荧光屏恰好未发光，粒子重力不计，则MN两极板间的电压大小是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设粒子速度为v0，MN两极板间电压为U，在速度选择器中有：
可得：
由题意荧光屏恰好未发光，则临界轨迹恰好与荧光屏相切，粒子运动的轨迹如图：
由三角形相似可得：
又根据半径公式：，
联立以上几式求解得：，故ABD错误，C正确。
故选：C。
[模型演练2] （2024春 鼓楼区校级期末）如图所示，在竖直面内的直角坐标系xOy中，在第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场；在第一象限内存在方向竖直向上的匀强电场和磁感应强度大小也为B、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场。一带正电的小球P从x轴上的A点以某一速度沿AK方向做直线运动，AK与x轴正方向的夹角θ＝60°，从K点进入第一象限后小球P恰好做匀速圆周运动，经过x轴时竖直向下击中紧贴x轴上方静止的带电小球Q，碰后两球结合为一个结合体M，之后M从y轴上的F点离开第四象限，第四象限存在匀强磁场，方向如图所示。已知重力加速度大小为g，小球P、Q带电荷量均为q、质量均为m，不计空气阻力。
（1）求第二象限与第一象限内电场的电场强度大小之比；
（2）求小球Q静止的位置距O点的距离；
（3）若结合体M进入第四象限时的速度为v，M在第四象限运动时的最大速度为2v，则当其速度为2v时，结合体M距x轴的距离是多少？
【解答】解：（1）小球P沿AK方向做直线运动，由于洛伦兹力与速度有关，可知其一定做匀速直线运动，受力如图所示
根据几何关系可得
小球Q静止在第一象限，则qE1＝mg
联立可得
（2）小球竖直向下击中Q，轨迹如图所示
根据洛伦兹力提供向心力有
rsinθ+r＝d
粒子在第二象限中有qvBcosθ＝mg
联立解得
（3）结合体在第四象限中只有重力做功，根据动能定理可得
整理解得。
专题强化练
1. （2023 镇海区模拟）如图所示装置均可以将非电学量转化成电学量，方便地用于测量、传输、处理和控制。关于这些装置，以下说法正确的是（ ）
A．甲图装置霍尔元件左右移动时，能产生霍尔电压的原理是电磁感应
B．乙图中物体向左移，则电容器的电容变小
C．丙图装置中通过物体位置变化引起线圈的自感系数改变从而将位置量换转成电学量
D．丁图装置只要有声音，即使不接入电源，R两端也有电压输出
【解答】解：A．带电粒子在洛伦兹力作用向下移动，霍尔元件上下表面出现电势差，不是电磁感应原理，故A错误；
B．乙图中物体向左移，两极板间电介质增大，可知电容器的电容变大，故B错误；
C．丙图装置中通过物体位置变化引起线圈的自感系数改变从而将位置量换转成电学量，故C正确；
D．丁图装置只要有声音，不接入电源，R两端不会有电压输出，故D错误。
故选：C。
2. （2023 杭州二模）利用霍尔元件可以进行微小位移的测量。如图甲所示，将霍尔元件置于两块磁性强弱相同同极相对放置的磁体缝隙中，建立如图乙所示的空间坐标系。两磁极连线方向沿x轴，通过霍尔元件的电流I不变，方向沿z轴正方向。当霍尔元件处于中间位置时，磁感应强度B为0，霍尔电压UH为0，将该点作为位移的零点。当霍尔元件沿着±x方向移动时，则有霍尔电压输出，从而能够实现微小位移的测量。已知该霍尔元件的载流子是负电荷，则下列说法正确的是（ ）
A．霍尔元件向左偏离位移零点时，其左侧电势比右侧高
B．霍尔元件向右偏离位移零点时，其下侧电势比上侧高
C．增加霍尔元件沿y方向的厚度，可以增加测量灵敏度
D．增加霍尔元件沿x方向的厚度，可以增加测量灵敏度
【解答】解：AB．霍尔元件向左偏离位移零点时，磁场方向向右，根据左手定则，带负电的载流子向下偏转，则上侧电势比下侧高；同理霍尔元件向右偏离位移零点时，其下侧电势比上侧高，故A错误，B正确；
CD．当稳定时，根据平衡条件列式
其中根据微观电流表达式有I＝nqdydxv
解得
则只有减小x方向的厚度才能增加灵敏度；增加霍尔元件沿y方向或者沿x方向的厚度，都不可以增加测量灵敏度，故CD错误。
故选：B。
3. （2023 浙江模拟）霍尔效应这一现象是美国物理学家霍尔于1879年发现的。当电流垂直于外磁场通过导体时，载流子发生偏转，垂直于电流和磁场的方向会产生一附加电场，从而在导体的两端产生电势差，这一现象就是霍尔效应，这个电势差被称为霍尔电势差。现有一金属导体霍尔元件连在如图所示电路中，电源内阻不计，电动势恒定，霍尔电势差稳定后，下列说法正确的是（ ）
A．a端电势低于b端电势
B．若元件的厚度增加，a、b两端电势差减小
C．霍尔电势差的大小只由单位体积内电子数目和电子的热运动速率决定
D．若要测量南极附近的地磁场，工作面应保持水平
【解答】解：A．由题图知电流方向从右向左，则霍尔元件中电子从左向右定向移动，根据左手定则判断可知在洛伦兹力的作用下电子向b端偏转，故b端电势较低，故A错误；
BC．稳定后，定向移动的电子受到的电场力与洛伦兹力大小相等，即（d为前后面之间的距离）
由电流微观表达式I＝neSv
联立可得
则a、b两端电势差U与磁感应强度B、元件的前后距离d、单位体积内电子数目n等因素有关，与题中元件的厚度无关，故BC错误；
D．若要测量南极附近地磁场，由于南极附近的地磁场垂直于地面，工作面应该处于水平状态，故D正确。
故选：D。
4. （2024 宁波模拟）如图甲所示，曲线OP上方有沿﹣y方向的匀强电场，其场强大小为E1，曲线左侧有一粒子源AB，B端位于x轴上，能够持续不断地沿+x方向发射速度为v0、质量为m、电荷量为q的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过O点，已知从A点入射粒子恰好从P点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。
（1）写出匀强电场边界OP段的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系式）；
（2）若第四象限内存在边界平行于坐标轴的矩形匀强磁场B1（未画出），磁场方向垂直纸面向外。自O点射入的粒子束，经磁场偏转后均能够返回y轴，若粒子在第四象限运动时始终未离开磁场，求磁场的最小面积；
（3）若第一象限与第四象限间存在多组紧密相邻的匀强磁场B2和匀强电场E2（如图乙），电磁场边界与y轴平行，宽度均为d，长度足够长。匀强磁场，方向垂直纸面向里，匀强电场，方向沿x轴正方向。现仅考虑自A端射入的粒子，经匀强电场E1偏转后，恰好与y轴负方向成θ＝45°从O点射入，试确定该粒子将在第几个磁场区域拐弯（即速度恰好与y轴平行）。
【解答】解：（1）对从P（x，y）点射入电场的粒子，在电场中做类平抛运动，则有：
yat2
x＝v0t
a
联立解得边界方程为：y
（2）设粒子从O点射入磁场时，速度v与x轴正方向的夹角为β，则有：
v0＝vcosβ
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律有
，解得：r
根据几何关系可得，粒子在磁场中的运动轨迹对应的弦长为：d＝2rcosβ
解得：d
可见d为定值，即所有粒子从y轴上的同一点射出磁场。
可得沿+x方向入射的粒子的运动轨迹离y轴最远，只要此方向入射的粒子在第四象限运动时未离开磁场，其它粒子均可满足要求。
此方向入射的粒子的运动半径为：r1
磁场的最小面积为；Smin＝dr1
（3）自A端射入的粒子恰好与y轴负方向成θ＝45°从O点射入，易知入射速度大小等于v0，已知匀强磁场，根据r，可得在第一列磁场中的运动半径为R1d，粒子轨迹如下图所示，粒子逆时针偏转45°角沿+x方向进入第一列电场，做匀加速直线运动直到进入第二列磁场，从此处开始计数，令n＝1（即第二列磁场被计数为n＝1）。
经电场n次加速后粒子速度大小为vn，由动能定理得：
nqE2dm（v0）2，已知：
解得：vn
则在第n列磁场（实际是第n+1列）中的运动半径为Rn①
假设粒子在第n列磁场区域拐弯时轨迹恰好与边界相切，根据图中的几何关系可得：
Rn﹣Rnsinαn＝d……②
粒子在第n次被加速过程沿+y方向的分速度不变，可得：
vn﹣1sinγ＝vnsinαn
代入得：sinγsinαn
可得：sinγ
在第n﹣1列磁场中圆周运动过程，由几何关系得：
Rn﹣1sinγ﹣Rn﹣1sinαn﹣1＝d
又有：Rn﹣1
联立整理可得：sinαn﹣1
因粒子沿+x方向进入和射出第一列电场，故sinα1＝0。可得：
n＝2时，sinα2
n＝3时，sinα3
n＝3时，sinα4
……
归纳可得：sinαn③
联立①②③式得：[1]＝1
整理得：n＝0
解得：n（另一解为负值，舍去），因1＜n＜2，故n取2，对应实际的第3个磁场。
即该粒子将在第3个磁场区域拐弯。
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第7讲 带电粒子在复合场中的运动
题型1带电粒子在复合场运动的应用实例
1．质谱仪(如图)
原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2.
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m.
由以上两式可得r＝，m＝，＝.
2．回旋加速器(如图)
原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见同种粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关．
3．速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计和霍尔元件一般以单个带电粒子为研究对象，在洛伦兹力和电场力平衡时做匀速直线运动达到稳定状态，从而求出相应的物理量，区别见下表．
装置 原理图 规律
速度选择器 若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动
磁流体发电机 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极板电压为U时稳定，q＝qv0B，U＝v0Bd
电磁流量计 q＝qvB，所以v＝，所以Q＝vS＝
霍尔元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差
[例题1] （2024 镇海区校级模拟）如图甲所示，将霍尔传感器固定在前叉上，磁铁安装在前轮辐条上，车轮每转一圈，磁铁就靠近霍尔传感器一次，传感器就会输出一个霍尔电压U2。霍尔元件的原理示意图如图乙所示。某次匀速率行驶时，霍尔传感器测得的电压U2随时间t变化如图丙所示，霍尔传感器离轮轴距离为r，下列说法正确的是（ ）
A．自行车的速度大小为
B．车轮的转速为
C．磁铁的磁性减弱，霍尔电压的峰值不变
D．U1变小，测得的自行车车速不变
[例题2] （2023 台州二模）笔记本电脑机身和显示屏分别装有霍尔元件和磁体，实现开屏变亮，合屏熄灭。图乙为一块利用自由电子导电，长、宽、高分别为a、b、c的霍尔元件，电流方向向右。当合上显示屏时，水平放置的元件处于竖直向下的匀强磁场中，元件前、后表面间产生电压，当电压达到某一临界值时，屏幕自动熄灭。则元件的（ ）
A．合屏过程中，前表面的电势比后表面的低
B．开屏过程中，元件前、后表面间的电压变大
C．若磁场变强，可能出现闭合屏幕时无法熄屏
D．开、合屏过程中，前、后表面间的电压U与b无关
[例题3] （2024 西湖区校级模拟）武汉病毒研究所是我国防护等级最高的P4实验室，在该实验室中有一种污水流量计，其原理可以简化为如下图所示模型：废液内含有大量正、负离子，从直径为d的圆柱形容器右侧流入，左侧流出，流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子所受洛伦兹力方向是水平向左
B．正、负粒子所受洛伦兹力方向是相反的
C．废液的流量与M、N两点间电压成反比
D．污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
[例题4] （2023 台州模拟）回旋加速器是高能物理中的重要仪器，其结构示意图如图甲所示：置于真空中的两个D形金属盒半径均为R，磁感应强度为B0的匀强磁场与盒面垂直，两盒间距很小，它们之间有一定的电势差，A处粒子源产生质量为m、电荷量为+q的粒子在加速器交流电源产生的周期性变化的电场中由静止开始被加速，并垂直于磁场方向进入磁场。加速电压u随时间的变化关系图像如图乙所示，其中T忽略带电粒子在电场中运动的时间，不考虑相对论效应和变化电场对磁场分布的影响。
（1）判断粒子在图甲磁场中回旋的方向（“顺时针”或“逆时针”）；
（2）求粒子离开加速器时获得的最大动能Ek；
（3）调节交流电的电压，先、后两次的电压大小比为1：2，则粒子在加速器中的运动时间之比为多少？
（4）实际使用中，磁感应强度B会出现波动，若在tT时粒子第一次被加速，要实现连续n次加速，求B可波动的最大范围。
题型2带电粒子在组合场中的运动
1．两大偏转对比
匀强电场中的“电偏转” 匀强磁场中的“磁偏转”
力学特征 F电为恒力 v⊥B时，F＝qvB
运动规律 类平抛运动(合成与分解) 匀速圆周运动(v⊥B) r＝ T＝
偏转情况 tan θ＝ θ＝·2π
动能是否变化 动能发生变化 动能不变
2.思维流程
[例题5] （2023 嘉兴一模）如图所示是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置中的“偏转系统”原理图。由正离子和中性粒子组成的多样性粒子束通过两极板间电场后进入偏转磁场。其中的中性粒子沿原方向运动，被接收板接收；一部分离子打到左极板，其余的进入磁场发生偏转被吞噬板吞噬并发出荧光。多样性粒子束宽度为L，各组成粒子均横向均匀分布。偏转磁场为垂直纸面向外的矩形匀强磁场，磁感应强度为B1。已知离子的比荷为k，两极板间电压为U、间距为L，极板长度为2L，吞噬板长度为2L并紧靠负极板。若离子和中性粒子的重力、相互作用力、极板厚度可忽略不计，则
（1）要使的离子能沿直线通过两极板间电场，可在极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场B0，求B0的大小；
（2）调整极板间磁场B0，使的离子沿直线通过极板后进入偏转磁场。若且上述离子全部能被吞噬板吞噬，求偏转磁场的最小面积和吞噬板的发光长度L0；
（3）若撤去极板间磁场B0且偏转磁场边界足够大，离子速度为、且各有n个，能进入磁场的离子全部能被吞噬板吞噬，求B1的取值范围及吞噬板上收集的离子个数。
[例题6] （2023 浙江模拟）如图1所示，在无限长的竖直边界NS和MT间上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B1＝B和B2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，P、Q点距KL高为d，NS和MT间距为5d。质量为m、带电量为+q的粒子从粒子源飘出（初速度视为0），经电场加速后从P点垂直于S边界射入磁场区域，粒子源单位时间内发出的粒子数恒定，加速电压u如图2所示周期性变化，重力忽略不计，粒子在电场中加速时间极短可忽略不计，不考虑粒子间相互作用力与碰撞，粒子运动到与边界相切时仍能返回磁场。（题中可认为sin37°＝0.6，sin53°＝0.8）
（1）在t进入电场的粒子恰好能垂直KL经过磁场边界，求加速电压的最大值U0；
（2）当加速电压为U1时，粒子恰好不从NS边界飞出，求U1的值；
（3）求在时间0～T内发射的粒子中，从NS边界飞出的粒子数占总粒子数的比例η；
（4）若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子在磁场区域可能的运动时间。
[例题7]
[例题8] （2023 丽水二模）如图所示是一种质谱仪的分析装置，此质谱仪由以下几部分构成：粒子源、环形加速器、磁分析器、收集板。环形加速器的圆心角为90°，沿半径为R的中心圆弧线有大小恒定、方向如图中箭头所示的电场，可对从入口S进入加速器的带电粒子进行加速，带电粒子进入加速器的初速度可忽略不计。在环形加速器内设计能使加速粒子沿中心弧线做圆周运动的垂直纸面向外的磁场。加速粒子从．P点垂直边界射出后从Q点垂直边界进入磁分析器，经磁分析器后垂直分析器的右侧边界射出，已知磁分析器中偏转磁场的圆心角为60°，磁感应强度为B0，方向垂直纸面向外，Q点到偏转磁场圆心O2的距离为L。已知粒子的带电量为q，质量为m，不考虑带电粒子间的相互作用及重力。
（1）求加速器的中心圆弧线上电场强度E的大小；
（2）设环形加速器中圆弧线上某点到圆心O1连线与SO1的夹角为θ，求圆弧线上各点磁场磁感应强度B的大小与对应θ的关系；
（3）若粒子出P点时存在垂直加速电场且平行纸面的微小速度，且沿电场方向的速度分量保持不变，所有粒子可近似看成从出射口P点以小发散角出射，则要使所有粒子经过磁分析器后会聚于同一点，求磁分析器左边界到粒子出口P点的距离LPQ；
（4）在第三问的会聚点处平行于磁分析器右侧边界安放收集板，粒子打到收集板后被收集板吸收，若已知单位时间有n个带电粒子打到收集板上，求粒子在垂直板方向对收集板冲击力F的大小。
[例题9] （2023 浙江模拟）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的无限长多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度d均为2m，电场强度E均为2×103N/C，方向水平向右；磁感应强度B均为0.1T，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直，一个质量m＝1.6×10﹣24kg、电荷量q＝1.6×10﹣19C的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。
（1）求粒子在第1层磁场中运动时速度v1的大小与轨迹半径r1；
（2）求该粒子向右运动的最大水平距离；（说明：忽略虚线位置场对带电粒子的影响）
（3）若将另一个电量q仍为1.6×10﹣19C，质量为m'＝1.6×10﹣23kg的带正电粒子从同一点静止释放，该粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，求n的值。
题型3带电粒子在叠加场中的运动
1．解题规范
(1)叠加场的组成特点：电场、磁场、重力场两两叠加，或者三者叠加．
(2)受力分析：正确分析带电粒子的受力情况，包括场力、弹力和摩擦力．
(3)运动分析：匀速直线运动、匀速圆周运动、匀变速直线运动、类平抛运动、非匀变速曲线运动．
(4)选规律，列方程：应用运动学公式、牛顿运动定律和功能关系．
2．灵活选择运动规律
(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场中满足qE＝qvB；重力场与磁场中满足mg＝qvB；重力场与电场中满足mg＝qE.
(2)三场共存时，若合力为零，则粒子做匀速直线运动；若粒子做匀速圆周运动，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m.
(3)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．
[模型演练1] （2024 泉州二模）如图所示，速度选择器MN两极板间的距离为d，板间匀强磁场的磁感应强度大小为B，O为速度选择器中轴线上的粒子源，可沿OO′方向发射速度大小不同、带电荷量均为q（q＞0）、质量均为m的带电粒子，经速度选择器后，粒子先后经过真空中两平行边界的匀强磁场区域到达足够大荧光屏；匀强磁场的磁感应强度分别为B1、B2，对应边界的宽度分别为d1、d2。调节滑片P可改变速度选择器M、N两极板间的电压，使粒子沿OO′方向垂直磁场B1边界进入B1，经磁场B1偏转后进入B2，最后荧光屏恰好未发光，粒子重力不计，则MN两极板间的电压大小是（ ）
A． B．
C． D．
[模型演练2] （2024春 鼓楼区校级期末）如图所示，在竖直面内的直角坐标系xOy中，在第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场；在第一象限内存在方向竖直向上的匀强电场和磁感应强度大小也为B、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场。一带正电的小球P从x轴上的A点以某一速度沿AK方向做直线运动，AK与x轴正方向的夹角θ＝60°，从K点进入第一象限后小球P恰好做匀速圆周运动，经过x轴时竖直向下击中紧贴x轴上方静止的带电小球Q，碰后两球结合为一个结合体M，之后M从y轴上的F点离开第四象限，第四象限存在匀强磁场，方向如图所示。已知重力加速度大小为g，小球P、Q带电荷量均为q、质量均为m，不计空气阻力。
（1）求第二象限与第一象限内电场的电场强度大小之比；
（2）求小球Q静止的位置距O点的距离；
（3）若结合体M进入第四象限时的速度为v，M在第四象限运动时的最大速度为2v，则当其速度为2v时，结合体M距x轴的距离是多少？
专题强化练
1. （2023 镇海区模拟）如图所示装置均可以将非电学量转化成电学量，方便地用于测量、传输、处理和控制。关于这些装置，以下说法正确的是（ ）
A．甲图装置霍尔元件左右移动时，能产生霍尔电压的原理是电磁感应
B．乙图中物体向左移，则电容器的电容变小
C．丙图装置中通过物体位置变化引起线圈的自感系数改变从而将位置量换转成电学量
D．丁图装置只要有声音，即使不接入电源，R两端也有电压输出
2. （2023 杭州二模）利用霍尔元件可以进行微小位移的测量。如图甲所示，将霍尔元件置于两块磁性强弱相同同极相对放置的磁体缝隙中，建立如图乙所示的空间坐标系。两磁极连线方向沿x轴，通过霍尔元件的电流I不变，方向沿z轴正方向。当霍尔元件处于中间位置时，磁感应强度B为0，霍尔电压UH为0，将该点作为位移的零点。当霍尔元件沿着±x方向移动时，则有霍尔电压输出，从而能够实现微小位移的测量。已知该霍尔元件的载流子是负电荷，则下列说法正确的是（ ）
A．霍尔元件向左偏离位移零点时，其左侧电势比右侧高
B．霍尔元件向右偏离位移零点时，其下侧电势比上侧高
C．增加霍尔元件沿y方向的厚度，可以增加测量灵敏度
D．增加霍尔元件沿x方向的厚度，可以增加测量灵敏度
3. （2023 浙江模拟）霍尔效应这一现象是美国物理学家霍尔于1879年发现的。当电流垂直于外磁场通过导体时，载流子发生偏转，垂直于电流和磁场的方向会产生一附加电场，从而在导体的两端产生电势差，这一现象就是霍尔效应，这个电势差被称为霍尔电势差。现有一金属导体霍尔元件连在如图所示电路中，电源内阻不计，电动势恒定，霍尔电势差稳定后，下列说法正确的是（ ）
A．a端电势低于b端电势
B．若元件的厚度增加，a、b两端电势差减小
C．霍尔电势差的大小只由单位体积内电子数目和电子的热运动速率决定
D．若要测量南极附近的地磁场，工作面应保持水平
4. （2024 宁波模拟）如图甲所示，曲线OP上方有沿﹣y方向的匀强电场，其场强大小为E1，曲线左侧有一粒子源AB，B端位于x轴上，能够持续不断地沿+x方向发射速度为v0、质量为m、电荷量为q的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过O点，已知从A点入射粒子恰好从P点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。
（1）写出匀强电场边界OP段的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系式）；
（2）若第四象限内存在边界平行于坐标轴的矩形匀强磁场B1（未画出），磁场方向垂直纸面向外。自O点射入的粒子束，经磁场偏转后均能够返回y轴，若粒子在第四象限运动时始终未离开磁场，求磁场的最小面积；
（3）若第一象限与第四象限间存在多组紧密相邻的匀强磁场B2和匀强电场E2（如图乙），电磁场边界与y轴平行，宽度均为d，长度足够长。匀强磁场，方向垂直纸面向里，匀强电场，方向沿x轴正方向。现仅考虑自A端射入的粒子，经匀强电场E1偏转后，恰好与y轴负方向成θ＝45°从O点射入，试确定该粒子将在第几个磁场区域拐弯（即速度恰好与y轴平行）。
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