第1章 勾股定理检测卷-数学八年级上册北师大版（含解析）

第1章勾股定理检测卷-数学八年级上册北师大版
一、单选题
1．已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．25
2．中，，，，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（ ）
A． B． C．3 D．5
4．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
5．如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
6．如图由边长为正方形组成的的方格阵，点、、、都在格点上〔即行和列的交点处），、分别是、上的动点，则周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，是射线上的动点，，则当是直角三角形时，的长为（ ）
A． B． C． D．
8．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
6 8 10 12 14
8 15 24 35 48
10 17 26 37 50
则当时，的值为（ ）
A．242 B．200 C．128 D．162
二、填空题
9．如图，为的角平分线，，若，，则的长为 ．
10．如图，在中，，于点D，，则 ．
11．如图所示，一棱长为的正方体，把所有的面均分成个小正方形．其边长都为假设一只蚂蚁每秒爬行，则它从上底面点沿表面爬行至侧面的点，最少要用 秒（结果保留一位小数）．
12．如图，在一个由4×4个边长为1的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是 ．
13．我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ．
14．如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．

15．如图： 米长的滑梯 开始在 点距墙面水平距离 米，当向后移动 米， 点也随着向下滑一段距离，则下滑的距离 （大于、小于或等于） 米．
16．如图，以直角三角形三边长为边作正方形，100和36分别代表其中两个正方形的面积，则A的面积为 ．
三、解答题
17．如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
18．一艘轮船自西向东以每小时10海里的速度航行，上午．轮船在A处测得小岛C在北偏东方向上，到达B处，半径为15海里的范围内遍布暗礁，试问轮船继续向东航行是否有触礁的危险？请通过计算说明（参考数据：，）
19．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，且．
(1)求修建的公路的长；
(2)若公路建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少？
20．如图，在，，，．点P从点A出发沿方向以的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿方向以的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．
(1)求的长；
(2)当时，求P，Q两点之间的距离；
(3)当时，求t的值？
21．（1）【基础巩固】
如图1，在和中，点D在线段上，，．线段与的数量关系为 ，位置关系为 ；
（2）【变式训练】
如图2，当点D在线段的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）【拓展提高】
如图3，在和中，点D在线段上，如果，，，．求的值．

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试卷第1页，共3页
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B B C B C D
1．A
【分析】本题考查了勾股定理，运用直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵一直角三角形两直角边的长分别为9，12
∴斜边长为
故选：A
2．A
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求解即可．
【详解】中，，，，
，
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理得出，然后求出，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
根据折叠可知：，，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
故选：B．
4．B
【分析】设，则，根据长方形，，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可．
本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设，则，
∵长方形，，点与的中点重合，
∴，，
根据折叠的性质，得
∴，
解得，
故选B．
5．C
【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．本题考查勾股定理的证明，关键是根据正方形、直角三角形的性质及分析问题解答．
【详解】解：由条件可得，
即，，
则，
所以（负值已舍去），
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，分别作点关于、的对称点、，连接交于，交于，由轴对称的性质得出周长的最小值，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接交于，交于，
，
则，，
∵周长，
∴周长的最小值
∴周长的最小值为，
故选：B．
7．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
【详解】解：当时，
；
在中，，
当，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
；
情况二：
，
，
，
为等边三角形，
；
故选C．
8．D
【分析】本题考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定、、的数量关系．
根据表格中数据确定、、的关系，然后再代入求出、的值进而可得答案．
【详解】解：根据表格中数据可得：，并且，
则，
当时，，
解得，
则，
则．
故选：D．
9．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别过作，在上截取，证明，经过等面积法得，结合勾股定理，，运用 数值计算，即可作答．
【详解】解：如图：分别过作，在上截取
∵为的角平分线
∴
∵，
∴
则
∵
∴
∵，
∴
∴
过点H作
∴
∴
则
∵
∴
∴
则
∵
∴
∴
在
∴
∴
解得（负值已舍去）
故答案为：
10．6
【分析】本题主要考查了勾股定理，先求出，再利用勾股定理可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
故答案为：6．
11．
【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．把此正方体的点所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．
【详解】解：如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得；
如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得；
如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得，
∵
∴最短路径长为，
∴用时最少为秒．
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了勾股定理及正方形的面积的计算．结合网格图，利用勾股定理求正方形边长是解此题的关键．先利用勾股定理计算得长，再利用正方形面积公式即可求得答案．
【详解】∵为直角三角形，由勾股定理得：
，
故易知阴影为正方形，
故
故答案为：
13．
【分析】本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键．
根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案．
【详解】解：上述四组勾股数组的规律是：，
即，
∴
所以第5个勾股数组为，
故答案为：．
14．/13厘米
【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可．
【详解】解：把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示：

由题意，得：，
在中，由勾股定理，得：；
故答案为：．
15．等于
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方．
直接利用勾股定理得出的长，进而求出的长，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：，
故，
∵当向后移动 1 米，
，
，
则．
故下滑的距离为 1 米，
故答案为：等于．
16．64
【分析】本题考查了正方形各边相等，各内角为直角的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，根据两个正方形的面积计算正方形的边长，计算的边长即为直角三角形的直角边和斜边，根据勾股定理可以计算直角边，即正方形A的边长.
【详解】解：因为以两个边长的正方形面积为100和36，则边长为和，
所以直角边的平方，
∴A的面积为64，
故答案为：64．
17．(1)
(2)2
【分析】此题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理和含30度角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到．由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可；
（2）根据含30度角直角三角形的性质得到，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵边的垂直平分线交和于点D，E，
∴，
∴．
又∵平分，
∴，
而，
又∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
18．轮船继续向东航行没有触礁的危险
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形．
过点C作于点D，，海里，推出，则海里，再得出，则海里，根据勾股定理可得：（海里），即可得出结论．
【详解】解：过点C作于点D，
由题意可知，，海里，
∴，
∴，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里，
根据勾股定理可得：（海里），
∵，
∴轮船继续向东航行没有触礁的危险．
19．(1)修建的公路的长为
(2)一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程为
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
（1）先根据勾股定理得出，再根据列出方程计算即可；
（2）先根据勾股定理求出，即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴根据勾股定理可得：，
∵，
∴，即，
∴，
解得：，
∴修建的公路的长为．
（2）解：∵，
∴根据勾股定理可得：，
∴
答：一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程为．
20．(1)
(2)
(3)、两点运动秒，．
【分析】（1）在中，根据勾股定理来求的长度；
（2）在中，根据勾股定理来求的长度；
（3）由路程时间速度求出，，再根据等量关系：列出方程求解即可．
本题考查了勾股定理和一元一次方程的应用．解题时，需要熟悉路程时间速度，以及变形后的公式．
【详解】（1）解：在中，，，，
．
（2）解：如图，连接，，
，
，
在中，由勾股定理得到：；
（3）解：设秒后，，，
∵，
∴，
解得．
答：、两点运动秒，．
21．（1） （2）仍成立；理由见解析 （3）128
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据证明，得出，从而得到；
（2）根据证明，得出，从而得到；
（3）由勾股定理得，过点A作，交于点F，证明得，求出，由勾股定理求出，进而可求出的值．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
故答案为：；
（2）当点D在的延长线上时，（1）的结论仍成立．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）在中，，
∴
过点A作，交于点F，
∴
∴
∵在中，
∴
∴
又∵，
∴，
∴
∴
在中，
∴
∴
∴
∴
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