第1章 一元二次方程检测卷-数学九年级上册苏科版（含解析）

第1章一元二次方程检测卷-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的根是（ ）
A． B． C． D．或
3．方程二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，，1 B．，，1 C．1，3， D．1，3，1
4．如果是方程的一个根，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．已知实数a，b满足，则的值为（　　）
A．3 B．5 C．或5 D．3或
6．在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（ ）
A．无解 B．两个不相等的实数根
C．两个相等的实数根 D．无法确定
7．如图是由一些等边三角形“△”堆成的“金字塔”图形，它的下一排依次比上一排多一个“△”；若第个图形的“△”的个数为45个，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知，，，求 ．
10．小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是 ．
11．若a为方程的解，则的值为 ．
12．美术兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出56个月饼，美术兴趣小组人数是 ．
13．若实数p、q，满足，，且，则的值为 ．
14．已知，是方程的两个根，则代数式的值为 ．
15．某产品原来成本是25元，按照固定的百分率降低成本，连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，设这个百分率为x，可得方程 ．
16．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则当建成的饲养室总占地面积为时，垂直于墙的一边长为 ．
三、解答题
17．解方程∶
(1)
(2)
18．已知关于的一元二次方程．求证：无论取任何实数，此方程总有实数根．
19．已知关于x的方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个不小于 3的根，求实数k的取值范围．
20．物美商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件．设二、三这两个月销售量的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月销售量的月平均增长率．
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？
21．在一块长，宽的矩形荒地上建一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．图①是小明的设计方案，花园四周小路的宽度相等，通过解方程，小明得到小路的宽为或．图②是小丽的设计方案，其中花园四个角上的扇形都相同．
(1)你认为小明的计算结果对吗？ 请说明理由．
(2)请你帮小丽求出图中的(精确到)．
(3)你还有其他的设计方案吗？ 请在图③中画出你设计的草图，并简要说明．
中小学教育资源及组卷应用平台
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A C B B C B
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义，必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：．是一元二次方程，该选项正确，符合题意；
． 是二元二次方程，该选项错误，不符合题意；
． 不是一元二次方程，该选项错误，不符合题意；
． 不是一元二次方程，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解是解题的关键，根据题意，移项，再提取公因式即可求解．
【详解】解：
移项得，
提取公因式得，，整理得，，
解得，，，
故选：D ．
3．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，对于一元二次方程，其中a、b、c是常数且，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，据此可得答案．
【详解】解：把原方程化为一般式为，
∴原方程的二次项系数为1，一次项系数为，常数项为1，
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将代入方程，求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
，
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，设，则原方程变为，解这个方程即可求得的值．
【详解】解：设，
原方程变为：，
，
解得：，
因为平方和是非负数，
所以的值为5；
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．由直线解析式求得，然后确定的符号即可．
【详解】解：直线不经过第四象限，
，
关于的方程，
，
关于的方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
7．C
【分析】此题考查了图形变化类规律问题的解决能力，解一元二次方程，关键是能根据观察图形变化，能够猜想、验证、归纳出此题规律，并能运用此规律解决相关问题．找出规律，第个图形有个“△”，再解一元二次方程即可．
【详解】解：第1个图形有1个，
第2个图形有个，
第3个图形有个，
第4个图形有个，
，
则第个图形有个，
∴，
解得：或（舍），
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年绿化面积的年平均增长率为，根据“某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米”列出方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．
【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为，
故选：B．
9．2
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，a，b可以看作是一元二次方程的两根，根据根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵，，
∴a，b可以看作是一元二次方程的两根，
∴
故答案为：2．
10．
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，直接利用因式分解的方法解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得：，，
∴被他漏掉的一个根是；
故答案为：
11．7
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．
由题意得，将其变形与进行关联，即可求解．
【详解】解：∵a为方程的解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：7．
12．8
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键．
根据题意找到“小组的人数（小组人数）”，然后列式计算即可．
【详解】解：设美术兴趣小组有x人，
，
解得：，（负值舍去），
∴美术兴趣小组有8人．
故答案为：8．
13．
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，根与系数的关系，完全平方公式及其变式，由已知和是一元二次方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式的变式即可解决问题，灵活运用一元二次方程根的定义和根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵若实数p、q，满足，，
∴和是一元二次方程，即的两根，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了根与系数的关系，整式的混合运算，解题的关键是牢记两根之和等于、两根之积等于．
根据先将整式化简，，是方程的两个根，求得，，代入即可求解；
【详解】解： ，是方程的两个根，
，，
将，代入
可得：
故答案为：
15．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设降低的百分率为x，再表示出连续两次降低后的成本，一次降低后的成本，根据连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，列出方程即可．
【详解】解：设降低的百分率为x，根据题意得：
．
故答案为：．
16．5
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
设垂直于墙的材料长为米，则平行于墙的材料长为，表示出总面积：，由此列出方程并求得的值即可．
【详解】解：设垂直于墙的材料长为，则平行于墙的材料长为，
根据题意，得．
解得：，
故答案为：5．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用配方法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
18．见解析
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式．利用根的判别式证明即可．
【详解】证明：，
，
，
无论取任何实数，此方程总有实数根．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键．
（1）证出根的判别式即可完成；
（2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围．
【详解】（1）证明：，
，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴
∴，
∵方程有一个不小于 3的根，
∴，
解得：．
20．(1)；
(2)元．
【分析】（）设二、三这两个月销售量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可求解；
（）设商品降价元时，商场获利元，根据题意列出方程即可求解；
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设二、三这两个月销售量的月平均增长率为，
由题意得，，
解得，（不合题意，舍去），
答：二、三这两个月销售量的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价元时，商场获利元，
由题意得，，
解得，（不合题意，舍去），
答：当商品降价元时，商场获利元．
21．(1)小明的计算结果不对．理由见解析
(2)
(3)方案及作图见解析
【分析】本题考查一元二次方程的解法的运用，矩形的面积公式的运用，扇形的面积公式的运用，
（1）根据条件路的宽度小于，故得出小强的结果不对，应该是；
（2）根据四个扇形的面积=矩形的面积的一半建立方程求出的值即可；
（3）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；
解题的关键是抓住等量关系：花园的面积等于荒地面积的一半．
【详解】（1）解：小明的计算结果不对．理由如下：
设小路宽，
依题意，得：，
解得： ，，
∵荒地的宽为，
∴当时，不符合题意，舍去，
∴，
∴小路的宽为；
（2）依题意得：，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），．
∴；
（3）答案不唯一．
如图，取上边长的中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，则三角形的面积为：，矩形面积为：．
∴此时三角形的面积等于矩形面积的一半．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页