(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第1章第07讲拓展一：异面直线所成角(传统法与向量法)(学生版+解析)

第07讲 拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法）
1、（传统法）核心技巧：平移使相交
具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角
2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角
已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则
①
②.
题型01求异面直线所成角（定值）(传统法）
【典例1】（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）已知在长方体中，，直线与平面所成角的正弦值为为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一下·浙江·阶段练习）在正三棱柱中，面ABC，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·重庆·模拟预测）如图，已知四边形是平行四边形，分别是的中点，点P在平面内的射影为与平面所成角的正切值为2，则直线与所成角的余弦值为（ ）
题型02求异面直线所成角（定值）(向量法）
【典例1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三上·广西·开学考试）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ．

【典例3】（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知是圆柱下底面圆的圆心，为圆柱的一条母线，为圆柱下底面圆周上一点，，，为等腰直角三角形，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高三下·四川德阳·期末）正四面体中，、分别是和的中点，则和所成角的大小是 .
【变式3】（23-24高二上·广东茂名·期末）长方体中，，，点F是底面的中心，则直线与直线所成角的余弦值为 ．
题型03求异面直线所成角（最值或范围）
【典例1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 .
【典例2】（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，．
(1)求点B到平面的距离；
(2)若M为的中点，N为线段上的动点，设异面直线与所成角为，求的最大值及此时的值
【变式3】（23-24高二上·吉林通化·期末）如图，在正四棱锥中，二面角为60°，E为的中点.已知F为直线上一点，且F与A不重合，若异面直线与所成角为60°，则= .
题型05易错题型求异面直线所成角忽略角的取值范围
【典例1】（23-24高二上·辽宁·期末）直三棱柱中，，则直线与夹角的余弦是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1∶2，在上且为靠近的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
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第07讲 拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法）
1、（传统法）核心技巧：平移使相交
具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角
2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角
已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则
①
②.
题型01求异面直线所成角（定值）(传统法）
【典例1】（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）已知在长方体中，，直线与平面所成角的正弦值为为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合条件根据线面角的定义求得，连接，根据异面直线夹角的定义，利用余弦定理求解即可.
【详解】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角，
设，则，
所以，所以，
连接连接，由长方体的性质知，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，则或其补角即为直线与直线所成角，
在中，，
所以由余弦定理得，
即直线与直线所成角的余弦值为.
故选：A

【典例2】（23-24高一下·浙江·阶段练习）在正三棱柱中，面ABC，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别取的中点，可得是异面直线与所成角即为与所成角（或其补角），在中，由余弦定理求解即可.
【详解】分别取的中点，
连接，所以，
所以异面直线与所成角即为与所成角（或其补角），
即，设，所以，
，
所以在中，所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
【变式1】（2024·重庆·模拟预测）如图，已知四边形是平行四边形，分别是的中点，点P在平面内的射影为与平面所成角的正切值为2，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由条件可证，则直线与所成的角为，然后结合条件以及余弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】
如图，取的中点E，连接．因为分别是的中点，
所以．
因为四边形是平行四边形，所以．
因为N为的中点，所以，所以．
故四边形为平行四边形，所以，
所以直线与所成的角为．
连接，因为点P在平面内的射影为N，所以平面，
所以与平面所成的角为，所以．
不妨令，则，所以，
所以，
在中，
由余弦定理得．
故选：A．
【变式2】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）如图，在正方体中，M，N分别为C1D1和CC1的中点，则异面直线AM与BN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别为的中点，或其补角为AM与BN所成的角，设正方体的边长为，余弦定理求解即可.
【详解】取AB的中点，的中点，连接，
又M，N分别为和的中点，正方体中，，，
四边形为平行四边形，有，
同理有，则或其补角为AM与BN所成的角，
连接EF，设正方体的边长为，则，
，，
所以，
即异面直线AM与BN所成角的余弦值为.
故选：A．
【变式3】（23-24高三上·河南鹤壁·期中）如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，作出直线与直线所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解.
【详解】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF，
显然是的中点，则，是与所成的角或其补角，
在中，，，，
，，
所以直线与直线所成角的正切值为.
故答案为：
【变式4】（2024·全国·模拟预测）在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ．
【答案】
【分析】先根据异面直线所成角的定义确定为异面直线与所成的角或其补角；再根据勾股定理求出，余弦定理求出.，进而得出；最后在中，利用余弦定理即可求出.
【详解】取的中点，连接，如图所示：
因为为的中点，为的中点，
则根据三角形的中位线定理可得，且.
所以为异面直线与所成的角或其补角．
因为在中，，，，
所以，则.
又，所以．
又在中，，,
所以由余弦定理可得：.
又因为在中，，
所以由余弦定理可得：.
则在中，由余弦定理可得，，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：.
题型02求异面直线所成角（定值）(向量法）
【典例1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量法求线线角解决即可.
【详解】以为原点，在平面过作的垂线交于，
以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
因为直三棱柱中，，，，
所以，
所以，
设异面直线与所成角为，
所以.
故选：C.
【典例2】（23-24高三上·广西·开学考试）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ．

【答案】
【分析】依题意，求出棱长，建立空间直角坐标系，借助向量求出异面直线夹角的余弦值，再转换为正弦值即可.
【详解】

连接交于点，连接，
因为该几何体是一个高为4的正八面体，
所以，，，
设棱长为，则，，
所以在中，，即，解得，
以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设异面直线与夹角为，
则，
因为，
所以异面直线与所成角的正弦值，
故答案为：.
【典例3】（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知是圆柱下底面圆的圆心，为圆柱的一条母线，为圆柱下底面圆周上一点，，，为等腰直角三角形，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】可借助等角定理得到或其补角即异面直线与所成的角，结合余弦定理计算；或借助空间向量的线性运算得到，再利用夹角公式计算.
【详解】方法一 ：
如图，过点作交圆柱的上底面于点，连接，，
则由圆柱的性质易证四边形为矩形，所以，
所以或其补角即异面直线与所成的角，
在中，，所以，
因为为等腰直角三角形，且，所以，
所以，又，
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为.
方法二 ：
在中，，
所以，，
因为为等腰直角三角形，且，所以，
易知，所以，，，
所以，
所以，
则异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当三棱锥的体积最大时，平面平面，以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，根据向量夹角的坐标表示可解.
【详解】记的 中点分别为，因为，所以，
同理，，记，
因为，所以，
所以，，
易知，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时，
以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C
【变式2】（23-24高三下·四川德阳·期末）正四面体中，、分别是和的中点，则和所成角的大小是 .
【答案】/
【分析】构造辅助线，利用中位线定理得到是和所成角，然后结合向量数量积的变形即可求解.
【详解】取中点，连接，令棱长为，
因为、分别是和的中点，
所以，，，，
所以是和所成角，
又，
，
，
所以 ，
，，
所以，
所以，即和所成角的大小为.

故答案为：
【变式3】（23-24高二上·广东茂名·期末）长方体中，，，点F是底面的中心，则直线与直线所成角的余弦值为 ．
【答案】/
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标进行计算即可.
【详解】如图所示，建立如下空间直角坐标系，
依题可得，,
则,
所以,
故直线与直线所成角的余弦值为,
故答案为：.
题型03求异面直线所成角（最值或范围）
【典例1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法表示出到面的距离，进而求出点坐标，过作平面的平行平面，得到点的轨迹，再利用向量法求线线角，进而求其最值即可.
【详解】因为直线到平面的距离为，
所以必有面，即点到平面的距离为，
如图建立空间直角坐标系，设，又，
则，
设面的法向量为，
则，取得，
则，解得，即，
过作平面的平行平面，与正方体的截面为，
分别为线段和线段的中点，则
所以在直线上，
设，
又，则，
当时，，
当时，，
又，所以，
则的最小值为.
故答案为：
【典例2】（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，．
(1)求点B到平面的距离；
(2)若M为的中点，N为线段上的动点，设异面直线与所成角为，求的最大值及此时的值
【答案】(1)
(2)；
【分析】
（1）说明两两垂直，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案；
（2）设，表示出N点坐标，即可求得坐标，结合的坐标，根据空间角的向量求法，即可求得的最大值及此时的值.
【详解】（1）设的中点为O，连接，而，则，
是边长为的等边三角形，故，则，
平面平面，平面平面，平面，
故平面，平面，故，
又是边长为的等边三角形，的中点为O，故，
故以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，又，
故点B到平面的距离为；
（2）M为的中点，即为O点；
N为线段上的动点，设，
而，即，故点,
故，而，
设异面直线与所成角为，则
,
令，则，
故，
令，则，即为，
当时，取得最小值，
即，即时，取得最大值，
即的最大值为，此时的值为.
【典例3】（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）三棱锥中，平面，，.，点是面内的动点（不含边界），，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，由，可得，再利用线线角的向量求法求解即得.
【详解】由平面平面，得，
又平面，则平面，
平面，则，又，平面，
因此平面，而平面，则，
如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，设，
，由，得，
，设异面直线与所成角为，
则，
令，则，
显然函数在上单调递增，此时，，
所以异面直线与所成角的余弦值的取值范围为.
故选：A
【点睛】思路点睛：求空间角余弦的最值或范围问题，根据给定条件，选定变量，将该角的余弦建立起变量的函数，求出函数最值或范围即可.
【变式1】（23-24高二上·山东潍坊·期末）在直三棱柱中，，，平面经过点A，且直线与平面所成的角为30°，过点作平面的垂线，垂足为H，则点到平面的距离为 ，直线与BH所成角的范围为 .
【答案】 2
【分析】利用，得出在以为直径的球面上，其时可得出到平面的距离，由直线与平面所成的角为30°，得在以为轴，顶角为的圆锥面上，从而得出的轨迹是圆，然后建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求得与所成角的余弦值，角的范围．
【详解】如图，连接，因为，，所以，
所以在以为直径的球面上，又直线与平面所成角为，而即为直线与平面所成的角，因此，因此在以为轴，顶角为的圆锥面上，
过作于点，则，其中的长即为到平面的距离．
所以在圆锥的底面圆上，为圆心，半径为，
以为轴，为轴，过与垂直的直线的为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，
，取的一个方向向量为，
，
又，所以，
所以直线与所成角的范围是，即，
故答案为：；．
【变式2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的余弦值的最大值为 ．
【答案】/
【分析】建立空间直角坐标系，设，通过向量法算出点P到平面BFE的距离，结合三棱锥的体积等于1可得到，再通过向量法计算直线CP与所成角的余弦值的范围，继而算出答案
【详解】以D为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，则，，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
而，则点P到平面BFE的距离，
又，
在等腰中，到的高为，则
而，于是，
解得或，由，得，则，
设直线与所成的角为，则，，
，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，
故答案为：
【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可.
【变式3】（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，四边形和均为正方形，且，平面平面分别为的中点，为线段上的动点，则异面直线与所成角的余弦值最大时， .

【答案】
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出异面直线与所成角的余弦值最大时点位置，进而求出大小.
【详解】
由题可以为原点，建立空间直角坐标系如图所示：
则，设，
则，
设异面直线与所成角为，
则，
令，
则，
当时，，
当时，，
令，则，
因为，
当时，有最小值，
此时有最大值，
由得，，
则异面直线与所成角的余弦值最大时，
即，，
所以.
故答案为：
题型04已知线线角求参数
【典例1】（23-24高三上·河北唐山·期末）如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】连接交于点，推导出平面，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得的值，求出点的坐标为，求出的最小值，即可求得的最大值.
【详解】连接交于点，平面，平面，则，
因为四边形为菱形，则，
，、平面，平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、，
易知平面的一个法向量为，
因为平面，所以，，
设点，其中，则，
由已知可得，
因为，解得，即点，
设点，则，
因为，则，可得，且，可得，
所以，点，
因为平面，、平面，，，
且，
所以，.
故答案为：.
【典例2】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA和EF所成的角的大小为30°，则线段AF长的取值范围是 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，结合二次函数的性质求得长的取值范围.
【详解】设是的中点，则，
由于平面，平面，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以平面平面，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，
设；设，
则，
设与所成角为，则，
，
整理得，
函数的开口向下，对称轴为，
已知为直线上一点，且与不重合，若异面直线与所成角为余弦值为，则 .
【答案】
【分析】连接、交于点，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于实数的方程，结合可求得结果.
【详解】连接、交于点，则，
因为四棱锥为正四棱锥，故底面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，其中，
，则，
，由已知可得，
整理可得，因为，解得，即.
故答案为：
【变式3】（23-24高二上·吉林通化·期末）如图，在正四棱锥中，二面角为60°，E为的中点.已知F为直线上一点，且F与A不重合，若异面直线与所成角为60°，则= .
【答案】11
【分析】由题意建立空间直角坐标系，由二面角的定义得出，从而写出的坐标，由向量共线的性质设，利用向量的加法得出，由异面直线与所成角，利用向量法得出的值，从而得出的值.
【详解】取的中点G，与的交点为，以O为坐标原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设
因为二面角为60°，所以
则.
设，则
从而
整理得，解得(舍)，
故.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了已知面面角，线线角求参数，属于中档题.
题型05易错题型求异面直线所成角忽略角的取值范围
【典例1】（23-24高二上·辽宁·期末）直三棱柱中，，则直线
，，
又两条异面所成的角为，则，
故选：B.
【变式2】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求解.
【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
，
，
则异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
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