(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第1章第08讲拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(含探索性问题)(学生版+解析)
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| 名称 | (人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第1章第08讲拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(含探索性问题)(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-08 17:03:14 | ||
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文档简介
第08讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(含探索性问题）
知识点一：直线与平面所成角
1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.
注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.
2、直线和平面所成角：（有三种情况）
（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；
（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；
（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
结论：直线与平面所成角的范围为.
3、传统法之定义法（如右图）：具体操作方法：
①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；
②连接斜足与垂足；
③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.
4、传统法之等体积法求垂线段法(如右图）
①利用等体积法求垂线段的长；
②
5、利用向量法求线面角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
题型01求直线与平面所成角（定值）（传统法）
【典例1】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，已知，在平面内，OA是平面的斜线，且，，则直线与平面所成的角的大小为 ．
【典例2】（23-24高一下·吉林·期中）已知在正方体中，P为中点，，若平面绕旋转，则与在平面所成角的余弦值最小值为 .
【典例3】（23-24高一下·山西运城·阶段练习）如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P，M，N分别为CD，，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【变式1】（2024·浙江温州·二模）如图，在等腰梯形中，，点是的中点．现将沿翻折到，将沿翻折到，使得二面角等于，等于，则直线与平面所成角的余弦值等于 ．
【变式2】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为 .
【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成线面角的正弦值.
题型02求直线与平面所成角（定值）（向量法）
【典例1】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）在四棱锥中，平面平面，∥，，，．
(1)证明：；
(2)若为等边三角形，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
【典例2】（2024·安徽合肥·三模）如图一：等腰直角中且，分别沿三角形三边向外作等腰梯形使得，沿三边折叠，使得，重合于，如图二
(1)求证：．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【典例3】（2024·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且．
(1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【变式1】（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在长方体中，，，.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【变式2】（23-24高二下·广东广州·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，两两垂直，是线段AD的中点，是线段BM的中点，点在线段AC上，且.
(1)求证:平面BCD;
(2)若点G在平面ABC内，且平面BMC，求直线MG与平面ABC所成角的正弦值.
分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是 ．
【变式1】（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）三棱锥的所有棱长均为2，点M在棱BC上，满足，点N在棱BD上运动，设直线MN与平面ABC所成角为，则的最小值为 .
【变式2】（23-24高二下·江苏扬州·期末）正四棱柱中，，，点为侧面上一动点（不含边界），且满足.记直线与平面所成的角为，则的取值范围为 .
【变式3】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱锥中，，，E，F，O分别为棱，，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是 .
题型04已知直线与平面所成角求参数
【典例1】（2024·山东济南·三模）如图，在三棱台中，平面平面，，，．
(1)求三棱台的高；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求．
【典例2】（2024·山东潍坊·二模）如图1，在平行四边形中，，，E为的中点，将沿折起，连结，，且，如图2．
(1)求证：图2中的平面平面；
(2)在图2中，若点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离．
【变式1】（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知正方体的棱长为1，，，分别在棱，
分别为，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
【变式1】（2024·浙江宁波·模拟预测）在空间四边形ABCD中，.
(1)求证:平面平面ABC;
(2)对角线BD上是否存在一点，使得直线AD与平面ACE所成角为.若存在求出的值，若不存在说明理由.
【变式2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．
(1)求证：平面平面；
(2)线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
题型06易错题型利用向量法求直线与平面所成角的余弦值
（忽视最后正弦转余弦）
【典例1】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·四川雅安·一模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（ ）21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第08讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(含探索性问题）
知识点一：直线与平面所成角
1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.
注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.
2、直线和平面所成角：（有三种情况）
（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；
（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；
（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
结论：直线与平面所成角的范围为.
3、传统法之定义法（如右图）：具体操作方法：
①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；
②连接斜足与垂足；
③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.
4、传统法之等体积法求垂线段法(如右图）
①利用等体积法求垂线段的长；
②
5、利用向量法求线面角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
题型01求直线与平面所成角（定值）（传统法）
【典例1】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，已知，在平面内，OA是平面的斜线，且，，则直线与平面所成的角的大小为 ．
【答案】
【分析】取线段的中点，连接，并延长，作，证明平面，找到线面角，利用余弦定理求解即可.
【详解】取线段的中点，连接，并延长，作，如图，
因，，，
则由余弦定理得，即，
同理可得，
∵，D是的中点，，，
而，即，因此，，
∵，，平面，
平面，又平面，
∴，又∵，平面，
∴平面，是直线OA与平面所成的角，，
∵线面角的范围为，∴，
所以直线OA与平面所成的角的大小为．
故答案为：
【典例2】（23-24高一下·吉林·期中）已知在正方体中，P为中点，，若平面绕旋转，则与在平面所成角的余弦值最小值为 .
【答案】
【分析】根据面面平行，结合线线垂直可证明平面,即可根据线面角的定义求解为与平面所成的角，由三角形的边角关系即可求解.
【详解】设过的一个平面,（不与平面重合）与正方体相交于,
取的中点，过作,过作，连接,
故平面平面，
过作于，由于平面，平面，故,
平面，故平面,
所以为与平面所成的角，故也为为与平面所成的角，
设正方体的棱长为2，则，
,
要使最小，则需要最大即可，
由于,
故当时，此时取最大值，
此时的最小值为，
故答案为：
【典例3】（23-24高一下·山西运城·阶段练习）如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P，M，N分别为CD，，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面平行的定理，转化为证明两组线面平行，即证明两组线线平行；
（2）利用等体积转化求点到平面的距离，再根据公式，求线面角的正弦值.
【详解】（1）因为，分别为线段，的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
因为，分别为线段，的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
因为，平面，平面，
所以平面平面.
（2）由题知平面，平面，故，故，
因为四边形是菱形，且，
则，所以.
而，故.
设为点到平面的距离，与平面所成的角为，
故.
又，
而，故，故.
故，即与平面所成角的正弦值为.
【变式1】（2024·浙江温州·二模）如图，在等腰梯形中，，点是的中点．现将沿翻折到，将沿翻折到，使得二面角等于，等于，则直线与平面所成角的余弦值等于 ．
【答案】/
【分析】根据图象可得直线与平面所成角的余弦值等于的正弦值，设，利用余弦定理求得相关线段的长度再进行计算即可.
【详解】设，取的中点,连接,
由题知平面平面,
平面平面,
又平面,
所以平面，
则直线与平面所成角的余弦值等于的正弦值，
易求得，
,
又,
解得，
,
则,
所以直线与平面所成角的余弦值等于，
故答案为：.
【变式2】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为 .
【答案】/
【分析】构建正四面体模型，从而可求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
如图，在射线上截取，在射线截取，得到如下图所示的几何体.
因为，，故为等比三角形，
故，同理，
而，故为等比三角形，故，
故几何体为正四面体.
过作平面的垂线，垂足为，则为的中心，
连接，则为与平面（即平面）所成的角，
设，则，
故，故.
所以线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成线面角的正弦值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据，再根据棱锥的体积计算公式，求解即可；
（2）根据（1）中所求棱锥的体积，求得点到平面的距离，结合的长度，利用公式，直接求解即可.
【详解】（1）面面，故，故，
又在直角梯形中，，；
又为中点，故
.
（2）因为//，故，又面面，故，
又面，
故面面，则，则△为直角三角形；
易知，
故，
设点到面的距离为，
由（1）可得，解得；
因为分别为的中点，故//，
则面，又面，则，
故△为直角三角形，则，
设直线与平面所成角为，则.
题型02求直线与平面所成角（定值）（向量法）
【典例1】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）在四棱锥中，平面平面，∥，，，．
(1)证明：；
(2)若为等边三角形，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据几何知识分析可知，结合面面垂直的性质可知平面PAD，即可得结果；
（2）建系标点，求平面PBD的法向量，利用空间向量求线面夹角.
【详解】（1）因为，，可知，，
则，即．
因为平面平面，平面平面，且，
可知平面PAD，
且平面PAD，所以．
（2）以为坐标原点，分别，的方向为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为平面平面，可知z轴在平面内，
则，，，，
可得，，．
设平面PBD的法向量为，则，
令，则，可得．
设直线PC与平面PBD所成的角为，
则，
所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为．
【典例2】（2024·安徽合肥·三模）如图一：等腰直角中且，分别沿三角形三边向外作等腰梯形使得，沿三边折叠，使得，重合于，如图二
(1)求证：．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）补全图形得到三棱锥，由线面垂直证得；
（2）思路一：建立空间直角坐标系，运用向量求解线面角；
思路二：等体积法求得到平面的距离，再用几何法求得线面角.
【详解】（1）延长交于点过作于，过作于，
又四边形为等腰梯形，则，则，
又，所以，为的中点，
延长交于点，则，为的中点，则，
与重合于点，为三棱锥，
设为中点，等腰直角中，
又为的中点，为的中点，，∴，
，又平面平面，
又平面，.
（2）方法一：
为中点，，
又，
以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，
， ，，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
方法二：
为中点，，，
又，
又，平面，∴平面，
，为等边三角形，设到平面的距离为，
∴，
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【典例3】（2024·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且．
(1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)点为的中点，证明见解析
(2)
【分析】（1）当点为中点时，平面平面，依题意可得，从而得到，再由，即可证明平面，从而得证；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用线面角的空间向量求法即可.
【详解】（1）当点为中点时，平面平面，
证明如下：因为四棱锥是正四棱锥，所以，所以.
在正方形中，，所以，
在正方形中，，因为，所以，
因为面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为四棱锥是正四棱锥且所有棱长均为，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，则，
设，则，因为，，
所以，则，解得，所以，
所以，
设平面的法向量为，则有，
取，则，故，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【变式1】（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在长方体中，，，.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）利用（1）中坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）在长方体中，以D为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系，
有，，，，，，，
则，，，，，
因此，，又，，平面，
所以平面.
（2）设平面的法向量为，由，，
有，取，得，
设直线与平面所成的角为，而
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【变式2】（23-24高二下·广东广州·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，两两垂直，是线段AD的中点，是线段BM的中点，点在线段AC上，且.
(1)求证:平面BCD;
(2)若点G在平面ABC内，且平面BMC，求直线MG与平面ABC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作，交于点，作，交于点，证明四边形为平行四边形，然后证明平面；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，根据平面，可设，，即可表示出点坐标，再由平面，由求出，从而确定点坐标，再由空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）作，交于点，作，交于点，
因为是线段的中点，是线段的中点，，
所以且，
，，所以且，
且，所以四边形为平行四边形，
，又平面，平面，平面；
（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，
设，则，，，
平面，可设，，
即，
则，即，则，
平面，又，，
，即，解得，
所以点坐标为，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，得，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
【变式3】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）如图，四棱锥中，底面是矩形，PD垂直底面，E，F分别是棱PC，PA上的点，满足已知
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）由线线垂直得到线面垂直，进而证得面面垂直；
（2）思路一：用线面垂直的性质判定及面面垂直的性质证得平面，从而得解；
思路二：建立空间直角坐标系，根据条件求得、坐标，算得平面的法向量，进而求解线面角即可.
【详解】（1）平面平面，
底面是矩形，，
平面，平面，
平面平面平面
（2）方法一：由（1）得平面平面平面
平面平面平面，
平面
平面平面，
底面是矩形，，
平面，平面，
∵平面，,
又， 平面，平面，
∵平面，∴
，平面，平面
直线与平面所成角为其正弦值为1．
方法二：如图以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴
建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，，，
设，，
则，，
∴，∴，
，
设平面的法向量为
则，，可取，
设直线与平面所成角为
【点睛】
题型03求直线与平面所成角（最值或范围）
【典例1】（2024·辽宁锦州）在中，，若空间点满足，则的最小值为 ；直线与平面所成角的正切的最大值是 .
【答案】
【分析】以所在平面为，建立空间直角坐标，求平面的法向量，
利用线面角结合换元法可得，又，则的最大值为，由此即可求出答案.
【详解】
过点作与点，过点作与点，
设，则，
又，则，
则点在以为旋转轴，底面圆半径为的圆柱上，
当点与点三点共线时，最小；且最小值为；
如图所示：以所在平面为，建立空间直角坐标，则平面的法向量为：，
，
设，
则，
当，且时，最小，
即当点与点三点共线时，最小，且最小值为；
记直线与平面所成角为,
则，
因为，
所以，
令，则，
则，，
又，在上单调递减。在上单调递增，
则，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
又，
所以直线与平面所成角的最大值为，
此时，
故答案为：；
【典例2】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，是侧面（包括边界）上的动点，且，记与平面所成的角为，则与的重合时 ；的最大值为 .
【答案】 1
【分析】建立空间直角坐标系，由正四棱柱的结构特征及线面角的定义找到就是与平面所成的角，当与的重合时，，一般情况时，，利用已知得到，进而得出的最大值.
【详解】以，，所在直线分别为，，轴，如图建立坐标系，
由已知，，则，，，
设，则，，
∵，，，，
∴，
连接，在正四棱柱中，面，
所以就是与平面所成的角，即，
，
当与的重合时，，，
一般情况下：，∴，
∴的最大值为.
故答案为：1；
【典例3】（23-24高二上·福建三明·开学考试）如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是 ．
【答案】
【分析】以为原点，为轴、轴、为轴建立空间直角坐标系，设，且，其中，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，求得的范围，即可求解.
【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
易得不重合，设，其中，且，
所以，所以，，
因为平面，所以，可得，所以，，
因为平面，所以的一个法向量为，
设与平面所成的角为，
则，
当，可得，因为，所以
当，可得，因为，所以，
所以与平面所成的角的范围是为.
故答案为：
【变式1】（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）三棱锥的所有棱长均为2，点M在棱BC上，满足，点N在棱BD上运动，设直线MN与平面ABC所成角为，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，可得，利用线面角的向量求法，结合二次函数的性质即得.
【详解】取中点，连接，
三棱锥各棱长均为，
在底面内的投影为的中心，，
以为坐标原点，正方向为轴，作的平行线作为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，
因为平面的一个法向量，
设，，
，，
即，
，
；
当时，，；
当时，，
设，则，
当时，，
，
；
综上所述：的最小值为.
故答案为：.
【变式2】（23-24高二下·江苏扬州·期末）正四棱柱中，，，点为侧面上一动点（不含边界），且满足.记直线与平面所成的角为，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，设，由，得到，根据，得到或，然后利用线面角的向量求法求解.
【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：
则，设，
所以，
因为，
所以，
则，因为，则，
解得或，
易知平面的一个法向量为，
所以，
则，
所以，
故答案为：.
【变式3】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱锥中，，，E，F，O分别为棱，，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】易证得，引入辅助角变量，设，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求得线面角的正弦值，从而可判断所求角的范围.
【详解】解：因为，，
所以，
所以，
又因为为的中点，
所以，
又，所以平面，
设，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则平面与平面重合，
不妨设，
则，
则，
，
则，
因为平面，
所以即为平面的一条法向量，
因为直线与平面所成角为，，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
题型04已知直线与平面所成角求参数
【典例1】（2024·山东济南·三模）如图，在三棱台中，平面平面，，，．
(1)求三棱台的高；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作于点O，利用面面垂直的性质得即为三棱台的高，再利用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案；
（2）以O为原点，在面内，作，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用线面角的空间向量求法可得答案．
【详解】（1）作于点O，因为平面平面，
平面平面，平面，，
所以平面，即为三棱台的高，
又因为平面，所以，连接，
因为，，所以，
，平面，所以平面，
又平面，所以，，，
所以，，所以三棱台的高为；
（2）以O为原点，在面内，作，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，则，可取，
设，则，
设直线与平面所成角为，，
化简得，解得，或（舍去，因为，则，所以），
所以．
【典例2】（2024·山东潍坊·二模）如图1，在平行四边形中，，，E为的中点，将沿折起，连结，，且，如图2．
(1)求证：图2中的平面平面；
(2)在图2中，若点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定理证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）连接，
由题意，
则为等边三角形，
由余弦定理得，所以，
则，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，
设，
故，
，
因为轴垂直平面，故可取平面的一条法向量为，
所以，
化简得，解得或（舍去），
所以，
设平面的法向量为，
则有，可取，
所以点到平面的距离为．
【变式1】（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知正方体的棱长为1，，，分别在棱，，上，且满足，是的重心，若直线与平面所成角为，则的值为 ．
【答案】/
【分析】如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为是的重心，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，
所以，令，则，
因为直线与平面所成角为，
所以（），
所以，化简得，
解得或（舍去）
故答案为：
【变式2】（23-24高三下·上海·期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，是等边三角形，为线段的中点，．
(1)求证：平面平面；
(2)若为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线线垂直可得平面，进而可证平面平面；
（2）过作，垂足为，
【详解】（1）因为为等边三角形，为线段的中点，所以，又，
因为四边形为直角梯形，，所以是平面上的两条相交直线，
所以平面，平面，所以平面平面；
（2）因为四边形为直角梯形，，，
所以，过作，垂足为，
由，得，所以，，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
又，设直线与平面所成角为，
则，解得，即.
题型05直线与平面所成角中的探索性问题
【典例1】（2024·四川南充·模拟预测）如图，四棱锥中，底面为矩形，点在线段上，平面.
(1)求证：；
(2)若是等边三角形，，平面平面，四棱锥的体积为，试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）连接，设，连接，即可得到为的中点，再由线面平行的性质得到，即可得证；
（2）作于，即可得到平面，根据锥体的体积求出，再建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接，设，连接.
因为为矩形，所以为的中点，
因为平面，平面，平面平面，
所以.
因为为的中点，所以为的中点，所以.
（2）设，因为是等边三角形，所以.
如图，作于，则，
因为平面平面，，平面，平面平面，
所以平面，所以是四棱锥的高，
因为为矩形，，，所以，
所以，解得.
因为为矩形，所以，平面平面，平面，
平面平面，所以平面，
建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，取，
假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
设，，
则，
所以，
化简得，解得（舍去）或，
因为，此时，
所以线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时的长为.
【典例2】（2024·河北沧州·三模）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，1.
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）由（1）中坐标系，假定存在，利用线面角的向量求法列式计算即得.
【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，则，令，得 ，
设平面的法向量为，则，令，得 ，
显然，点平面，所以平面平面.
（2）假设线段上存在点满足条件，，，
设直线与平面所成的角为，
设，则.
则.
设平面的法向量为，
则，
令，则，即.
又,所以，
即，即，解得或（舍去），
因为，所以,所以，
所以.
故.
【变式2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．
(1)求证：平面平面；
(2)线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）先证明，得平面，即得平面平面；
（2）先由题意取中点，证明平面，建系，求出相关点和向量的坐标，依题设，计算出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式列出方程，求解即得.
【详解】（1）因是正方形，则,因,故.
由,则.因,则平面，
又平面,故平面平面.
（2）
如图，取的中点，连接,易得,因，
故即二面角的平面角，即，
易得,取中点，连接,过点作,交于，
因,故得正三角形，则,
由（1）得平面平面，且平面平面，平面，
故得平面.
因此可分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.
则,
依题意，设,，
则，
因，设平面的法向量为，
则，故可取.
设直线与平面所成的角为，
则，解得或，
因，故，即,
当时，，
当时，，
当，即时，，
综上所述，的最小值是.
故选：A.
【变式1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用空间向量求出直线与平面夹角的正弦即可.
【详解】设直线和平面的夹角为，则，
所以直线和平面的夹角的余弦值是.
故选：B
【变式2】（23-24高二上·全国·期中）PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将放在正方体中进行分析，结合空间向量法求解即可.
【详解】如图所示，把放在正方体中，的夹角均为．
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，
所以，
设平面的法向量，则，
令，则，所以，
所以．
设直线与平面所成角为，所以，
所以．
故选：C．
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知识点一：直线与平面所成角
1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.
注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.
2、直线和平面所成角：（有三种情况）
（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；
（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；
（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
结论：直线与平面所成角的范围为.
3、传统法之定义法（如右图）：具体操作方法：
①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；
②连接斜足与垂足；
③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.
4、传统法之等体积法求垂线段法(如右图）
①利用等体积法求垂线段的长；
②
5、利用向量法求线面角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
题型01求直线与平面所成角（定值）（传统法）
【典例1】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，已知，在平面内，OA是平面的斜线，且，，则直线与平面所成的角的大小为 ．
【典例2】（23-24高一下·吉林·期中）已知在正方体中，P为中点，，若平面绕旋转，则与在平面所成角的余弦值最小值为 .
【典例3】（23-24高一下·山西运城·阶段练习）如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P，M，N分别为CD，，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【变式1】（2024·浙江温州·二模）如图，在等腰梯形中，，点是的中点．现将沿翻折到，将沿翻折到，使得二面角等于，等于，则直线与平面所成角的余弦值等于 ．
【变式2】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为 .
【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成线面角的正弦值.
题型02求直线与平面所成角（定值）（向量法）
【典例1】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）在四棱锥中，平面平面，∥，，，．
(1)证明：；
(2)若为等边三角形，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
【典例2】（2024·安徽合肥·三模）如图一：等腰直角中且，分别沿三角形三边向外作等腰梯形使得，沿三边折叠，使得，重合于，如图二
(1)求证：．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【典例3】（2024·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且．
(1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【变式1】（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在长方体中，，，.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【变式2】（23-24高二下·广东广州·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，两两垂直，是线段AD的中点，是线段BM的中点，点在线段AC上，且.
(1)求证:平面BCD;
(2)若点G在平面ABC内，且平面BMC，求直线MG与平面ABC所成角的正弦值.
分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是 ．
【变式1】（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）三棱锥的所有棱长均为2，点M在棱BC上，满足，点N在棱BD上运动，设直线MN与平面ABC所成角为，则的最小值为 .
【变式2】（23-24高二下·江苏扬州·期末）正四棱柱中，，，点为侧面上一动点（不含边界），且满足.记直线与平面所成的角为，则的取值范围为 .
【变式3】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱锥中，，，E，F，O分别为棱，，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是 .
题型04已知直线与平面所成角求参数
【典例1】（2024·山东济南·三模）如图，在三棱台中，平面平面，，，．
(1)求三棱台的高；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求．
【典例2】（2024·山东潍坊·二模）如图1，在平行四边形中，，，E为的中点，将沿折起，连结，，且，如图2．
(1)求证：图2中的平面平面；
(2)在图2中，若点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离．
【变式1】（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知正方体的棱长为1，，，分别在棱，
分别为，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
【变式1】（2024·浙江宁波·模拟预测）在空间四边形ABCD中，.
(1)求证:平面平面ABC;
(2)对角线BD上是否存在一点，使得直线AD与平面ACE所成角为.若存在求出的值，若不存在说明理由.
【变式2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．
(1)求证：平面平面；
(2)线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
题型06易错题型利用向量法求直线与平面所成角的余弦值
（忽视最后正弦转余弦）
【典例1】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·四川雅安·一模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（ ）21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第08讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(含探索性问题）
知识点一：直线与平面所成角
1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.
注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.
2、直线和平面所成角：（有三种情况）
（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；
（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；
（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
结论：直线与平面所成角的范围为.
3、传统法之定义法（如右图）：具体操作方法：
①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；
②连接斜足与垂足；
③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.
4、传统法之等体积法求垂线段法(如右图）
①利用等体积法求垂线段的长；
②
5、利用向量法求线面角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
题型01求直线与平面所成角（定值）（传统法）
【典例1】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，已知，在平面内，OA是平面的斜线，且，，则直线与平面所成的角的大小为 ．
【答案】
【分析】取线段的中点，连接，并延长，作，证明平面，找到线面角，利用余弦定理求解即可.
【详解】取线段的中点，连接，并延长，作，如图，
因，，，
则由余弦定理得，即，
同理可得，
∵，D是的中点，，，
而，即，因此，，
∵，，平面，
平面，又平面，
∴，又∵，平面，
∴平面，是直线OA与平面所成的角，，
∵线面角的范围为，∴，
所以直线OA与平面所成的角的大小为．
故答案为：
【典例2】（23-24高一下·吉林·期中）已知在正方体中，P为中点，，若平面绕旋转，则与在平面所成角的余弦值最小值为 .
【答案】
【分析】根据面面平行，结合线线垂直可证明平面,即可根据线面角的定义求解为与平面所成的角，由三角形的边角关系即可求解.
【详解】设过的一个平面,（不与平面重合）与正方体相交于,
取的中点，过作,过作，连接,
故平面平面，
过作于，由于平面，平面，故,
平面，故平面,
所以为与平面所成的角，故也为为与平面所成的角，
设正方体的棱长为2，则，
,
要使最小，则需要最大即可，
由于,
故当时，此时取最大值，
此时的最小值为，
故答案为：
【典例3】（23-24高一下·山西运城·阶段练习）如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P，M，N分别为CD，，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面平行的定理，转化为证明两组线面平行，即证明两组线线平行；
（2）利用等体积转化求点到平面的距离，再根据公式，求线面角的正弦值.
【详解】（1）因为，分别为线段，的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
因为，分别为线段，的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
因为，平面，平面，
所以平面平面.
（2）由题知平面，平面，故，故，
因为四边形是菱形，且，
则，所以.
而，故.
设为点到平面的距离，与平面所成的角为，
故.
又，
而，故，故.
故，即与平面所成角的正弦值为.
【变式1】（2024·浙江温州·二模）如图，在等腰梯形中，，点是的中点．现将沿翻折到，将沿翻折到，使得二面角等于，等于，则直线与平面所成角的余弦值等于 ．
【答案】/
【分析】根据图象可得直线与平面所成角的余弦值等于的正弦值，设，利用余弦定理求得相关线段的长度再进行计算即可.
【详解】设，取的中点,连接,
由题知平面平面,
平面平面,
又平面,
所以平面，
则直线与平面所成角的余弦值等于的正弦值，
易求得，
,
又,
解得，
,
则,
所以直线与平面所成角的余弦值等于，
故答案为：.
【变式2】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为 .
【答案】/
【分析】构建正四面体模型，从而可求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
如图，在射线上截取，在射线截取，得到如下图所示的几何体.
因为，，故为等比三角形，
故，同理，
而，故为等比三角形，故，
故几何体为正四面体.
过作平面的垂线，垂足为，则为的中心，
连接，则为与平面（即平面）所成的角，
设，则，
故，故.
所以线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成线面角的正弦值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据，再根据棱锥的体积计算公式，求解即可；
（2）根据（1）中所求棱锥的体积，求得点到平面的距离，结合的长度，利用公式，直接求解即可.
【详解】（1）面面，故，故，
又在直角梯形中，，；
又为中点，故
.
（2）因为//，故，又面面，故，
又面，
故面面，则，则△为直角三角形；
易知，
故，
设点到面的距离为，
由（1）可得，解得；
因为分别为的中点，故//，
则面，又面，则，
故△为直角三角形，则，
设直线与平面所成角为，则.
题型02求直线与平面所成角（定值）（向量法）
【典例1】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）在四棱锥中，平面平面，∥，，，．
(1)证明：；
(2)若为等边三角形，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据几何知识分析可知，结合面面垂直的性质可知平面PAD，即可得结果；
（2）建系标点，求平面PBD的法向量，利用空间向量求线面夹角.
【详解】（1）因为，，可知，，
则，即．
因为平面平面，平面平面，且，
可知平面PAD，
且平面PAD，所以．
（2）以为坐标原点，分别，的方向为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为平面平面，可知z轴在平面内，
则，，，，
可得，，．
设平面PBD的法向量为，则，
令，则，可得．
设直线PC与平面PBD所成的角为，
则，
所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为．
【典例2】（2024·安徽合肥·三模）如图一：等腰直角中且，分别沿三角形三边向外作等腰梯形使得，沿三边折叠，使得，重合于，如图二
(1)求证：．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）补全图形得到三棱锥，由线面垂直证得；
（2）思路一：建立空间直角坐标系，运用向量求解线面角；
思路二：等体积法求得到平面的距离，再用几何法求得线面角.
【详解】（1）延长交于点过作于，过作于，
又四边形为等腰梯形，则，则，
又，所以，为的中点，
延长交于点，则，为的中点，则，
与重合于点，为三棱锥，
设为中点，等腰直角中，
又为的中点，为的中点，，∴，
，又平面平面，
又平面，.
（2）方法一：
为中点，，
又，
以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，
， ，，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
方法二：
为中点，，，
又，
又，平面，∴平面，
，为等边三角形，设到平面的距离为，
∴，
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【典例3】（2024·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且．
(1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)点为的中点，证明见解析
(2)
【分析】（1）当点为中点时，平面平面，依题意可得，从而得到，再由，即可证明平面，从而得证；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用线面角的空间向量求法即可.
【详解】（1）当点为中点时，平面平面，
证明如下：因为四棱锥是正四棱锥，所以，所以.
在正方形中，，所以，
在正方形中，，因为，所以，
因为面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为四棱锥是正四棱锥且所有棱长均为，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，则，
设，则，因为，，
所以，则，解得，所以，
所以，
设平面的法向量为，则有，
取，则，故，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【变式1】（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在长方体中，，，.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）利用（1）中坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）在长方体中，以D为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系，
有，，，，，，，
则，，，，，
因此，，又，，平面，
所以平面.
（2）设平面的法向量为，由，，
有，取，得，
设直线与平面所成的角为，而
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【变式2】（23-24高二下·广东广州·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，两两垂直，是线段AD的中点，是线段BM的中点，点在线段AC上，且.
(1)求证:平面BCD;
(2)若点G在平面ABC内，且平面BMC，求直线MG与平面ABC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作，交于点，作，交于点，证明四边形为平行四边形，然后证明平面；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，根据平面，可设，，即可表示出点坐标，再由平面，由求出，从而确定点坐标，再由空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）作，交于点，作，交于点，
因为是线段的中点，是线段的中点，，
所以且，
，，所以且，
且，所以四边形为平行四边形，
，又平面，平面，平面；
（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，
设，则，，，
平面，可设，，
即，
则，即，则，
平面，又，，
，即，解得，
所以点坐标为，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，得，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
【变式3】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）如图，四棱锥中，底面是矩形，PD垂直底面，E，F分别是棱PC，PA上的点，满足已知
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）由线线垂直得到线面垂直，进而证得面面垂直；
（2）思路一：用线面垂直的性质判定及面面垂直的性质证得平面，从而得解；
思路二：建立空间直角坐标系，根据条件求得、坐标，算得平面的法向量，进而求解线面角即可.
【详解】（1）平面平面，
底面是矩形，，
平面，平面，
平面平面平面
（2）方法一：由（1）得平面平面平面
平面平面平面，
平面
平面平面，
底面是矩形，，
平面，平面，
∵平面，,
又， 平面，平面，
∵平面，∴
，平面，平面
直线与平面所成角为其正弦值为1．
方法二：如图以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴
建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，，，
设，，
则，，
∴，∴，
，
设平面的法向量为
则，，可取，
设直线与平面所成角为
【点睛】
题型03求直线与平面所成角（最值或范围）
【典例1】（2024·辽宁锦州）在中，，若空间点满足，则的最小值为 ；直线与平面所成角的正切的最大值是 .
【答案】
【分析】以所在平面为，建立空间直角坐标，求平面的法向量，
利用线面角结合换元法可得，又，则的最大值为，由此即可求出答案.
【详解】
过点作与点，过点作与点，
设，则，
又，则，
则点在以为旋转轴，底面圆半径为的圆柱上，
当点与点三点共线时，最小；且最小值为；
如图所示：以所在平面为，建立空间直角坐标，则平面的法向量为：，
，
设，
则，
当，且时，最小，
即当点与点三点共线时，最小，且最小值为；
记直线与平面所成角为,
则，
因为，
所以，
令，则，
则，，
又，在上单调递减。在上单调递增，
则，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
又，
所以直线与平面所成角的最大值为，
此时，
故答案为：；
【典例2】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，是侧面（包括边界）上的动点，且，记与平面所成的角为，则与的重合时 ；的最大值为 .
【答案】 1
【分析】建立空间直角坐标系，由正四棱柱的结构特征及线面角的定义找到就是与平面所成的角，当与的重合时，，一般情况时，，利用已知得到，进而得出的最大值.
【详解】以，，所在直线分别为，，轴，如图建立坐标系，
由已知，，则，，，
设，则，，
∵，，，，
∴，
连接，在正四棱柱中，面，
所以就是与平面所成的角，即，
，
当与的重合时，，，
一般情况下：，∴，
∴的最大值为.
故答案为：1；
【典例3】（23-24高二上·福建三明·开学考试）如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是 ．
【答案】
【分析】以为原点，为轴、轴、为轴建立空间直角坐标系，设，且，其中，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，求得的范围，即可求解.
【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
易得不重合，设，其中，且，
所以，所以，，
因为平面，所以，可得，所以，，
因为平面，所以的一个法向量为，
设与平面所成的角为，
则，
当，可得，因为，所以
当，可得，因为，所以，
所以与平面所成的角的范围是为.
故答案为：
【变式1】（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）三棱锥的所有棱长均为2，点M在棱BC上，满足，点N在棱BD上运动，设直线MN与平面ABC所成角为，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，可得，利用线面角的向量求法，结合二次函数的性质即得.
【详解】取中点，连接，
三棱锥各棱长均为，
在底面内的投影为的中心，，
以为坐标原点，正方向为轴，作的平行线作为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，
因为平面的一个法向量，
设，，
，，
即，
，
；
当时，，；
当时，，
设，则，
当时，，
，
；
综上所述：的最小值为.
故答案为：.
【变式2】（23-24高二下·江苏扬州·期末）正四棱柱中，，，点为侧面上一动点（不含边界），且满足.记直线与平面所成的角为，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，设，由，得到，根据，得到或，然后利用线面角的向量求法求解.
【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：
则，设，
所以，
因为，
所以，
则，因为，则，
解得或，
易知平面的一个法向量为，
所以，
则，
所以，
故答案为：.
【变式3】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱锥中，，，E，F，O分别为棱，，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】易证得，引入辅助角变量，设，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求得线面角的正弦值，从而可判断所求角的范围.
【详解】解：因为，，
所以，
所以，
又因为为的中点，
所以，
又，所以平面，
设，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则平面与平面重合，
不妨设，
则，
则，
，
则，
因为平面，
所以即为平面的一条法向量，
因为直线与平面所成角为，，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
题型04已知直线与平面所成角求参数
【典例1】（2024·山东济南·三模）如图，在三棱台中，平面平面，，，．
(1)求三棱台的高；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作于点O，利用面面垂直的性质得即为三棱台的高，再利用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案；
（2）以O为原点，在面内，作，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用线面角的空间向量求法可得答案．
【详解】（1）作于点O，因为平面平面，
平面平面，平面，，
所以平面，即为三棱台的高，
又因为平面，所以，连接，
因为，，所以，
，平面，所以平面，
又平面，所以，，，
所以，，所以三棱台的高为；
（2）以O为原点，在面内，作，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，则，可取，
设，则，
设直线与平面所成角为，，
化简得，解得，或（舍去，因为，则，所以），
所以．
【典例2】（2024·山东潍坊·二模）如图1，在平行四边形中，，，E为的中点，将沿折起，连结，，且，如图2．
(1)求证：图2中的平面平面；
(2)在图2中，若点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定理证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）连接，
由题意，
则为等边三角形，
由余弦定理得，所以，
则，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，
设，
故，
，
因为轴垂直平面，故可取平面的一条法向量为，
所以，
化简得，解得或（舍去），
所以，
设平面的法向量为，
则有，可取，
所以点到平面的距离为．
【变式1】（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知正方体的棱长为1，，，分别在棱，，上，且满足，是的重心，若直线与平面所成角为，则的值为 ．
【答案】/
【分析】如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为是的重心，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，
所以，令，则，
因为直线与平面所成角为，
所以（），
所以，化简得，
解得或（舍去）
故答案为：
【变式2】（23-24高三下·上海·期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，是等边三角形，为线段的中点，．
(1)求证：平面平面；
(2)若为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线线垂直可得平面，进而可证平面平面；
（2）过作，垂足为，
【详解】（1）因为为等边三角形，为线段的中点，所以，又，
因为四边形为直角梯形，，所以是平面上的两条相交直线，
所以平面，平面，所以平面平面；
（2）因为四边形为直角梯形，，，
所以，过作，垂足为，
由，得，所以，，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
又，设直线与平面所成角为，
则，解得，即.
题型05直线与平面所成角中的探索性问题
【典例1】（2024·四川南充·模拟预测）如图，四棱锥中，底面为矩形，点在线段上，平面.
(1)求证：；
(2)若是等边三角形，，平面平面，四棱锥的体积为，试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）连接，设，连接，即可得到为的中点，再由线面平行的性质得到，即可得证；
（2）作于，即可得到平面，根据锥体的体积求出，再建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接，设，连接.
因为为矩形，所以为的中点，
因为平面，平面，平面平面，
所以.
因为为的中点，所以为的中点，所以.
（2）设，因为是等边三角形，所以.
如图，作于，则，
因为平面平面，，平面，平面平面，
所以平面，所以是四棱锥的高，
因为为矩形，，，所以，
所以，解得.
因为为矩形，所以，平面平面，平面，
平面平面，所以平面，
建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，取，
假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
设，，
则，
所以，
化简得，解得（舍去）或，
因为，此时，
所以线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时的长为.
【典例2】（2024·河北沧州·三模）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，1.
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）由（1）中坐标系，假定存在，利用线面角的向量求法列式计算即得.
【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，则，令，得 ，
设平面的法向量为，则，令，得 ，
显然，点平面，所以平面平面.
（2）假设线段上存在点满足条件，，，
设直线与平面所成的角为，
设，则.
则.
设平面的法向量为，
则，
令，则，即.
又,所以，
即，即，解得或（舍去），
因为，所以,所以，
所以.
故.
【变式2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．
(1)求证：平面平面；
(2)线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）先证明，得平面，即得平面平面；
（2）先由题意取中点，证明平面，建系，求出相关点和向量的坐标，依题设，计算出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式列出方程，求解即得.
【详解】（1）因是正方形，则,因,故.
由,则.因,则平面，
又平面,故平面平面.
（2）
如图，取的中点，连接,易得,因，
故即二面角的平面角，即，
易得,取中点，连接,过点作,交于，
因,故得正三角形，则,
由（1）得平面平面，且平面平面，平面，
故得平面.
因此可分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.
则,
依题意，设,，
则，
因，设平面的法向量为，
则，故可取.
设直线与平面所成的角为，
则，解得或，
因，故，即,
当时，，
当时，，
当，即时，，
综上所述，的最小值是.
故选：A.
【变式1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用空间向量求出直线与平面夹角的正弦即可.
【详解】设直线和平面的夹角为，则，
所以直线和平面的夹角的余弦值是.
故选：B
【变式2】（23-24高二上·全国·期中）PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将放在正方体中进行分析，结合空间向量法求解即可.
【详解】如图所示，把放在正方体中，的夹角均为．
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，
所以，
设平面的法向量，则，
令，则，所以，
所以．
设直线与平面所成角为，所以，
所以．
故选：C．
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