(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第1章第10讲拓展四：空间中距离问题(等体积法与向量法)(学生版+解析)

第10讲 拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法）
知识点01：用向量法求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：
2、点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.
题型01利用向量法求点到直线的距离
【典例1】（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高二下·北京·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（23-24高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点．
(1)点到直线的距离；
(2)求点到平面的距离．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高二上·贵州毕节·期末）在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为 .
【变式3】（23-24高二上·广东韶关·阶段练习）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.
(1)求二面角的正弦值；
(2)求点到直线的距离；
题型02点到平面的距离等体积法
【典例1】（23-24高一下·天津武清·阶段练习）如图，若正三棱柱的底面边长为，对角线的长为，点为的中点，则点到平面的距离为 ．
【典例2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，
【典例1】（广西贵百河2023-2024学年高一下学期5月新高考月考测试数学试卷）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【典例2】（23-24高二下·甘肃武威·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【典例3】（2024·吉林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）.
(1)证明：平面平面；
(2)若点为的中点，求直线到平面的距离.
【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，三棱柱中，是边长为2的等边三角形，.

(1)证明：；
(2)若三棱柱的体积为3，且直线与平面ABC所成角为60°，求点到平面的距离.
【变式2】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为，的中点，点G在棱上，，直线与平面相交于点H.
分别为和的中点，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 .
【典例2】（23-24高三上·北京昌平·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点.

(1)证明：∥平面；
(2)若，，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【变式1】（23-24高二上·湖北宜昌·期中）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，，P为棱AD的中点，且，，若点M到平面SBC的距离为，则实数的值为 ．
【变式2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）正方体中，，点在线段上.
(1)当时，求异面直线与所成角的取值范围；
(2)已知线段的中点是，当时，求三棱锥的体积的最小值.
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第10讲 拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法）
知识点01：用向量法求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：
2、点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.
题型01利用向量法求点到直线的距离
【典例1】（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用向量法求点到直线的距离.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得，，，
，，设向量与的夹角为，
，
所以点到直线的距离为.
故选：A.
【典例2】（23-24高二下·北京·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值即可.
【详解】以题意，以点为原点，所在直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
因为正方体棱长为1，，
所以,,
设,
则,
而,
所以点到直线的投影数量的绝对值为
,
所以点到直线的距离为
，
当时，等号成立，即点到直线的距离最小值为，
故选：C.
【典例3】（23-24高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点．
(1)点到直线的距离；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由面面垂直性质定理证明线面垂直，再得线线垂直，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法求点到直线的距离；
（2）利用法向量求解点面距.
【详解】（1）由三棱柱中，所有棱长都为2，
则四边形为平行四边形，且棱长都相等，即为菱形，
又都为等边三角形，连接，
所以为等边三角形，
取中点，连接，则，
又平面面，平面平面，面，
所以平面，则，
又因为，所以两两垂直.
则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图示，
，
由
则，
所以，
则，
所以点到直线的距离为.
（2）由（1）知，
设是平面的一个法向量，
则，取，则，
又，
所以点到平面的距离.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意先求出直线的方向向量，然后依次求得，则到直线的距离为，求解即可.
【详解】由题意可知直线的方向向量为：，
又，则，
，
点到直线的距离为：.
故选：C.
【变式2】（23-24高二上·贵州毕节·期末）在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为 .
【答案】
【分析】根据条件，求出，进而得出，再利用点到直线的距离的向量法即可求出结果.
【详解】因为，所以，
所以，得到，
所以点到直线的距离为，
故答案为：.
【变式3】（23-24高二上·广东韶关·阶段练习）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.
(1)求二面角的正弦值；
(2)求点到直线的距离；
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量法求出二面角的余弦值，再求正弦值.
（2）用向量法求点到直线的距离.
【详解】（1）因为平面平面，且平面平面，
平面，而，则平面，为正方形的中心，
有，平面，则平面，显然直线两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
由平面，得平面的一个法向量为，
于是，所以二面角的正弦值为.
（2）由（1）知，，，
所以点到直线的距离.
题型02点到平面的距离等体积法
【典例1】（23-24高一下·天津武清·阶段练习）如图，若正三棱柱的底面边长为，对角线的长为，点为的中点，则点到平面的距离为 ．
【答案】/
【分析】设与交于点O，连接，可证得平面，求点到平面的距离可以转化为求点到平面的距离，然后利用进行计算求解；
【详解】设与交于点，连接，
在正三棱柱中，显然点为的中点，又点为的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，
所以求点到平面的距离可以转化为求点到平面的距离，
因为，，
，
所以有，所以，
所以，
易得，所以，
设点到平面的距离为，
由，即，
所以有，解得，
即点到平面的距离为.
故答案为：
【典例2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，D是的中点，与交于点，且平面.若，则三棱柱的高为 .
【答案】/
【分析】连接，设三棱柱的高为，分别求出相关的边和三角形面积，利用即可求得.
【详解】
如图，连接,设点到平面的距离为，
则即三棱柱的高.
因, D是的中点，
则,
由侧面为矩形易得,可得，,
则又，
因平面，因平面，则,
故, ,
则的面积为,
的面积为,
由可得，
解得，即三棱柱的高为.
故答案为：.
【典例3】（2024·广东·二模）将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为，其中，记桌面为平面.若，且与平面所成的角为，则点到平面的距离的最大值为 .
【答案】
【分析】作出辅助线，判断出当四点共面时，点A到的距离最大，进而算出，最后得到答案．
【详解】如图，过作⊥，交于，过A作⊥，交于，
因为在中，,，
则，当四点共面时，点A到的距离最大．
因为⊥，所以是BC与平面所成的角，则，则，
于是，，即A到的最大距离为．
故答案为：．
【变式1】（2024高一下·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，点O在线段上且，则点O到平面的距离是 .
【答案】/
【分析】证明出平面，故的长即为点到平面的距离，求出，根据比例关系得到答案.
【详解】如图，设，又正方体棱长为1，
所以，平面，又平面，所以，
因为，平面，所以平面，
的长即为点到平面的距离，所以，
因为点O在线段上，且，
所以点O到平面的距离．
故答案为：
【变式2】（23-24高二上·福建福州·期末）在正三棱柱中，，动点P在棱上，则点P到平面的距离为 .
【答案】
【分析】利用三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】在正三棱柱中，若，
平面，平面，
所以平面，动点P在棱上，
所以P到平面的距离等于到平面的距离，
由勾股定理可得，
在等腰三角形中，底边上的高长为，
所以等腰三角形的面积为，
由正三棱锥性质可得，，
且平面平面，平面平面，
所以到平面的距离为到的距离，
设点B1到平面的距离为，
，
故答案为：
【变式3】（23-24高二上·上海松江·阶段练习）在直三棱柱中，，则点B到平面的距离为 .
【答案】/
【分析】利用等体积法求点面距离即可.
【详解】由题设为等边三角形，各侧面均为正方形，故，
所以中上的高为，则，若点B到平面的距离为，
又，由直棱柱的结构特征知：到面的距离是中边上的高为，
所以，则，即点B到平面的距离为.
故答案为：
题型03点到平面的距离的向量法
【典例1】（广西贵百河2023-2024学年高一下学期5月新高考月考测试数学试卷）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等边三角形三线合一可得，再由侧棱垂直于底面可得面即可得出结论；
（2）可由等体积法计算即可得出.
【详解】（1）法一:是等边三角形，且是中点
面，面
面，面，且 面
面
法二：取的中点，则面，可知两两垂直，
如图以为轴，为轴，为轴，则，，，；
所以，，则，即；
（2）法一：由题可知：；
在中，，；
取中点，在中，，
边上的高为；
；
设点到平面的距离为，则，
解得，即点到平面的距离为．
法二：，，，，
设面的法向量为，；
设点到面的距离为，
故点到平面的距离为.
【典例2】（23-24高二下·甘肃武威·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，即可得且，从而得到，再根据线面平行的判定定理得到平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，利用点到平面的距离的向量计算公式即可求得点到平面的距离.
【详解】（1）
取的中点，连接，则，
且，所以且，
则四边形为平行四边形，．
又平面平面，
平面．
（2）直三棱柱中，，
以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，则，
即令，则，得到平面的一个法向量，
又，，
所以点到平面的距离．
【典例3】（2024·吉林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）.
(1)证明：平面平面；
(2)若点为的中点，求直线到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直的性质与勾股定理，结合三线合一证得，，再线面垂直与面面垂直的判定定理即得证.
（2）由线面平行判定定理可证得平面，则点到平面的距离即为到平面的距离.方法一：以为原点建立空间直角坐标系，运用点到面的距离公式计算即可.方法二：运用等体积法计算即可.
【详解】（1）证明：连接，如图所示，
平面，
，
，即，
又为中点，则，且，
四边形为正方形，，
平面平面，
又，、平面，平面，
又平面平面平面.
（2）在中，分别为中点，，
又平面平面，平面，
点到平面的距离即为到平面的距离，
（方法一）
，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，
则，
，
设是平面的法向量，
，
取，则是平面的一个法向量，
点到平面的距离为，
即直线到平面的距离为.
（方法二）
连接、，如图所示，
为等腰直角三角形，，
又平面是三棱锥的高，
，
，
，
，
设到平面距离为，则，
，
即到平面的距离为.
【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，三棱柱中，是边长为2的等边三角形，.

(1)证明：；
(2)若三棱柱的体积为3，且直线与平面ABC所成角为60°，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，借助等边三角形的性质结合线面垂直的判定定理可得平面，结合线面垂直的性质定理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系，再利用体积公式与空间向量夹角公式，结合点到平面的距离公式计算即可得解.
【详解】（1）如图，取中点，连接，，因为是等边三角形，所以，
又，所以，且，平面，
平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，所以；

（2）在平面中，作，垂足为D，
由（1）知平面，平面，所以，
而，平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，由为中点，所以，
所以可过点O作Oz轴平行于，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为三棱柱的体积为3，
所以，故，
则，，，设，，
所以
平面ABC的一个法向量为，
所以，解得，
此时，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，解得，，所以，
又，
故点到平面的距离为.
【变式2】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为，的中点，点G在棱上，，直线与平面相交于点H.
(1)从下面两个结论中选一个证明：
①；②直线，，相交于一点；
注：若两个问题均作答，则按第一个计分.
(2)求点A到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）选①，易知，从而得平面，再由线面平行的性质定理，即可得；选②，易知与不平行，设，根据点、线、面的位置关系，可证，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量法求解点面距离即可．
【详解】（1）证明：选①，因为，分别为，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，所以．
选②，因为，是的中点，所以与不平行，
设，则，，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
又平面平面，所以，
所以直线，，相交于一点．
（2）连接，，
因为与均为正三角形，且是的中点，
所以，，
又平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,0,，,,,，
所以,，故,,，
所以 ,,,,,,，
设平面的法向量为,,，则，
令，则，，所以,1,，
所以点到平面的距离为，
故点与平面的距离为．
【变式3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，二面角的大小为，点到底面的距离为．
(1)若是的中点，求证：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证；
（2）取的中点，的中点，证明平面，建立空间直角坐标系，由条件求平面的法向量和，利用空间向量法求点到平面的距离．
【详解】（1）取的中点，连接、，因为是的中点，
所以且，
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）取线段的中点为，线段的中点为，
连接，
因为为直角梯形，，
所以，又，
所以，
因为，所以，
又，平面，
所以平面，
过点在平面内作直线，
则直线两两垂直，
以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，
过点作，交直线于点，
因为，平面，，
所以平面，故平面，
又点P到底面的距离为，所以，
因为，，
所以为二面角的平面角，
由已知可得，所以，
所以，
所以，
所以，，
因为，所以，
所以
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则，
所以为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
题型04点到平面的距离的探索性问题
【典例1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知四棱锥的底面为边长为2的正方形，分别为和的中点，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 .
【答案】
【分析】由面到点的距离的最小值转化为点到面的距离的最小值，建立合适的空间直角坐标系，由点到面的距离即可求得平面上任意一点到底面中心距离的最小值.
【详解】四棱锥的底面为边长为2的正方形，连接且相交于点，则点是底面中心，，
取的中点，连接，则，
又，
又，
面
又面，
面面
又，为面与面的交线，平面
面
又面，面，
以点为原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，设平面的法向量为，设到平面的距离为，
则
令，则，
代入距离公式得，

（2），，又，，
，则，
又平面平面，平面平面，
平面，
，又，
所以，，两两互相垂直，
如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
（i）设平面的一个法向量为，则
，即，令，可得，，
，
又平面的一个法向量为，
，
所以二面角的余弦值为.
（ii）假设线段上存在点，使得点到平面的距离为，
设，，，
，
由（i）知平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为，
则，解得或，
又，所以，
即存在点到平面的距离为，且.
【变式1】（23-24高二上·湖北宜昌·期中）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，，P为棱AD的中点，且，，若点M到平面SBC的距离为，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，得到，，利用求出，再利用点到平面距离公式，
代入相关向量坐标，解出即可.
【详解】过点作，交于点，，为中点，
，又，且，平面，
平面，平面，则，
则易得两两垂直，所以以为原点，所在直线分别建立轴，如图所示：
(1)当时，求异面直线与所成角的取值范围；
(2)已知线段的中点是，当时，求三棱锥的体积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意引入参数，建立适当的空间直角坐标系，将问题转换为两直线方向向量夹角的余弦的范围，然后结合异面直线角的范围即可得解.
（2）引入参数，利用等体积法转换为求的体积，只需求到平面的距离以及即可得表达式，从而进一步得解.
【详解】（1）由题意正方体的三条棱长两两互相垂直，故以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
，由题意不妨设，
所以，
所以，
设异面直线与所成角为，
所以异面直线与所成角的余弦值为，
令，
当时，，
当时，，
综上，，
所以异面直线与所成角的取值范围为.
（2）如图所示：
由题意线段的中点是，，不妨设，
所以，
取平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为，
而
，
所以三棱锥的体积为，
所以当且仅当时，三棱锥的体积取最小值.
【点睛】关键点睛：第一问关键是引入适当参数将问题先转换为求方向向量夹角的余弦，第二问的关键是等体积转换法，这样大大减少了计算量.
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