2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 6.3.2平面向量的正交分 解及坐标表示（含解析）

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2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 6.3.2平面向量的正交分 解及坐标表示
一、选择题
1．已知向量，则与向量方向相反的单位向量是( )
A. B. C. D.或
2．已知点，，则向量( )
A. B. C. D.
3．在矩形中，，，E为线段的中点，F为线段上靠近C的四等分点，则的值为( )
A.4 B.8 C. D.5
4．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则( )
A.4 B.1 C. D.
5．已知点，，O为坐标原点，则下列结论正确的个数为( )
①的坐标为；
②，其中，；
③线段AB的中点坐标为.
A.0 B.1 C.2 D.3
6．下列说法中正确的个数是( )
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多项选择题
7．数轴上点A，B，C的坐标分别为，1，5，则下列结论正确的是( )
A.的坐标是2 B. C.的坐标是4 D.
8．下列说法正确的是( )
A.两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同
B.若（其中O为坐标原点），则点A的坐标为
C.若点A的坐标为，则以A为终点的向量的坐标为
D.平面内的一个向量a，其坐标是唯一的
三、填空题
9．已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P，已知平面内点，点，把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P，则点P的坐标________.
10．已知，，，且，则__________.
11．已知，，，若，则________.
四、解答题
12．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，
（1）用，表示；
（2）建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.
13．如图：在斜坐标系中，x轴、y轴相交成60°角，、分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为向量的坐标，记作．在此斜坐标系中，已知满足：、.
（1）求的值；
（2）若坐标原点O为的重心（注：在斜坐标系下，若G为的重心，依然有成立）.
①求的面积；
②求满足方程的实数m的值.
参考答案
1．答案：B
解析：与向量方向相反的单位向量为：
故选：B.
2．答案：B
解析：向量，
故选：B.
3．答案：B
解析：依题意，以点A为原点，直线，分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，，，，
所以.
故选：B.
4．答案：A
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
可知，，，则，
所以.
故选：A.
5．答案：C
解析：由向量的坐标表示可得，①正确；
，，所以，②正确；
AB的中点坐标为，故③错误.故选C.
6．答案：C
解析：由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误，易知①②④正确，故选C.
7．答案：ABD
解析：的坐标为，故C不正确.A，B，D均正确.
8．答案：BD
解析：对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样，A错误，D正确；对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同，B正确；以点A为终点的向量有无数个，它们不一定全相等，C错误.故选BD.
9．答案：
解析：由题意可得，
因为点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P，
所以，
设P点坐标为，则，
解得，，
即点P的坐标为，
故答案为：
10．答案：
解析：，，
因为，所以，解得.
11．答案：
解析：由，，，得，，
由，得，解得，则，
所以.
故答案为：.
12．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O
所以，
因M为BO中点，
（2）如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为，
所以，，，
根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为
13．答案：（1）0；
（2）①；②
解析：（1）由题知，，，
则
（2）①由题知，O为的重心，则的面积为面积的，
由（1）知，又，，
则面积为
②由①知，
则，，，
则，，
设，，，
则由，结合正弦、余弦定理化简得：
故
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