2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 6.4.1 平面几何中的向量方法（含解析）

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2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 6.4.1 平面几何中的向量方法
一、选择题
1．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的( )
A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心
2．在中，，O是的外心，M为的中点，，N是直线上异于M、O的任意一点，则( )
A.3 B.6 C.7 D.9
3．在中,M是的中点,,点P在上且满足,则等于( )
A. B. C. D.
4．在中,已知,,D为BC的中点,则线段AD长度的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
5．已知圆C的半径为2，点A满足，E，F分别是C上两个动点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形中，，，中点为E，则的值为( )
A. B. C.4 D.2
二、多项选择题
7．在梯形ABCD中，，，，，，则( )
A. B.
C. D.
8．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段AD上的一点，点M，N分别为线段PB，PC上的动点，且，（，），点O，G分别为线段BC，MN的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B.的最小值为
C.若，则的最小值为
D.若，，则的最大值为
三、填空题
9．已知向量,满足,且,则在方向上的投影向量为______________.
10．设,是椭圆的左,右焦点,O为坐标原点,M为C上一个动点,且的取值范围为,则椭C的长轴长为______.
11．已知，为单位向量，且，则在上的投影向量为__________（用或表示）
四、解答题
12．如图,圆C的半径为3,其中A、B为圆C上的两点.
(1)若,当k为何值时,与垂直
(2)若G为的重心,直线l过点G交边AB于点P,交边AC于点Q,且,.证明:为定值;
(3)若的最小值为1,求的值.
13．如图所示，在中，，，点D在线段BC上，且.
（1）求AD的长；
（2）求的大小.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，
，
，因此，点P的轨迹经过的垂心，
故选：D.
2．答案：B
解析：因为O是的外心，M为的中点，设的中点为D，连接，
所以，，设，
则
，
又O是的外心，所以
，
所以.
故选：B.
3．答案：A
解析：因为M是的中点,所以,
又因为点P在上且满足,,所以,,
所以.
故选：A.
4．答案：C
解析：由余弦定理得,
即,即,
所以,
,当且仅当时等号成立.
因为,
所以,
,
故选:C.
5．答案：C
解析：取EF的中点M，连接CM，则，
，
又，所以，
所以，
当且仅当向量与共线同向时，取得最大值22；向量与共线反向时，取得最小值6，
故选：C.
6．答案：D
解析：因为在黄金矩形中，，，
所以，故，
而，，
所以.
故选：D.
7．答案：ABD
解析：中，，，
则，，由正弦定理知，
即，故A正确；
，
，，
，故B正确；
，故C错误；
，
故，，故D正确.
8．答案：ABD
解析：对于A，因为，，所以
，故A正确；
对于B，以B为坐标原点，BC，BA所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
所以，，，，设，，所以，
所以，所以的最小值为，此时，故B正确；
因为，（，），
所以，，
所以，当时，，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故C错误；
因为，若，，则，所以，
所以，即，当且仅当即时，等号成立，
所以，即的最大值是，故D正确.
故选：ABD.
9．答案：
解析： ,且,,
则,解得,
故在方向上的投影向量为.
故答案为：.
10．答案：
解析：椭圆的半焦距为c,O为的中点,
,显然,于是,
因此,即,解得,,,即,
所以椭圆C的长轴长为.
故答案为:
11．答案：
解析：由，可得
即
可得，则，则在上的投影向量为，故答案为
12．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)因为,,
所以由余弦定理得,即,所以若与垂直,则,
所以,所以,
解得,即时,与垂直;
(2)因为G为的重心,所以,
又因为,,所以,
由于P,G,Q点共线,所以存在实数t使得,所以
化简为,所以,所以为定值.
(3)设,与的夹角为,在中,,
所以,
又
所以当时,有最小值,所以,解得,
即取最小值1时,.
13．答案：（1）
（2）
解析：（1）设，，则.
，.
（2）设，则向量与的夹角为.
，，即.
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