海州高级中学高三年级9月阶段调研考试
数学试题
一、单选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知集合A＝{ x | ≤3x＜9 }，集合B＝{ x | log3x＜1}，则A∩B等于（ ）
A.（0，2） B.[－2，3） C.[0，2） D.[－2，0）
2. 函数f（x）＝lg x－ 的零点所在区间为（ ）
A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）
3. 已知定义域为[a－4，2a－2] 的奇函数f（x）＝x3－sin x＋b＋2，则f（a）＋f（b）的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
4. 已知函数f（x）＝则f（log212）等于（ ）
A.－3 B.－6 C. D.
5. 若a＞0，b＞0，且a＋b＝ab，则2a＋b的最小值为（ ）
A.3＋2 B.2＋2 C.6 D.3－2
6. 曲线f（x）＝x3＋1在点（－1，f（－1））处的切线方程为（ ）
A.y＝－3x－1 B.y＝3x＋1 C.y＝3x＋3 D.y＝－3x－3
7. 已知函数f（x）＝log0.5（x2－ax＋3a）在（2，＋∞）上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A.（－∞，4] B.[4，＋∞） C.[－4，4] D.（－4，4]
8. 若3x－3y＞5－x－5－y，则（ ）
A.＞ B.x3＞y3 C.＞ D.ln（x2＋1）＞ln（y2＋1）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列函数中，为奇函数的是（ ）
A.y＝2x－2－x B.y＝ln（x＋1）＋ln（x－1）
C.y＝ D.y＝ln
10. 已知函数f（x）＝，则下列说法正确的有（ ）
A.f（x）的图象关于原点对称 B.f（x）的图象关于y轴对称
C.f（x）的值域为（－1，1） D. x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0
11. 已知a＞b＞0，且a＋b＝1，则下列结论正确的是（ ）
A.ln（a－b）＜0 B.＋＞2 C.ba＞ab D.＋＞4
12. 符号[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，定义函数f（x）＝x－[x]，则下列结论正确的是（ ）
A.f（－）＜f（） B.函数f（x）是增函数
C.方程f（x）－＝0有无数个实数根 D.f（x）的最大值为1，最小值为0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数y＝的定义域是 ______.
14. 函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝4，且f（1）＝3，则f（2 023）＝________.
15. 已知函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为 .
16. 已知函数f（x）＝g（x）＝f（x）－mx＋1，若g（x）存在两个不同的零点，则实数m的取值范围是____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）已知非空集合P＝{ x | a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{ x | x2－3x≤10} .
（1）若a＝3，求（ R P）∩Q ；
（2）若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18. （本小题满分12分）已知函数f（x）＝（k为常数），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行.
（1）求实数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间.
19. （本小题满分12分）已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝－2x .
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t 2－2t）＋f（2t 2－k）＜0恒成立，求实数k的取值范围.
20. （本小题满分12分）已知函数f（x）＝log4（4x＋1）＋2kx（k∈R）是偶函数.
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）＝m有解，求实数m的取值范围.
21. （本小题满分12分）已知函数f（x）＝ 22 x－·2 x＋1－6 .
（1）当 x∈[0，4] 时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若 x∈[0，4] ，使f（x）＋12－a·2x ≥0成立，求实数a的取值范围 .
22. （本小题满分12分）已知函数f（x）＝ln x－x2＋x.
（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：当a≥2时，关于x的不等式f（x）＜（－1）x2＋ax－1 恒成立 .海州高级中学高三年级9月阶段调研考试
数学试题
一、单选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知集合A＝{ x | ≤3x＜9 }，集合B＝{ x | log3x＜1}，则A∩B等于（ ）
A.（0，2） B.[－2，3） C.[0，2） D.[－2，0）
答案 A
2. 函数f（x）＝lg x－ 的零点所在区间为（ ）
A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）
答案 B
3. 已知定义域为[a－4，2a－2] 的奇函数f（x）＝x3－sin x＋b＋2，则f（a）＋f（b）的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
答案 A
4. 已知函数f（x）＝则f（log212）等于（ ）
A.－3 B.－6 C. D.
答案 D
5. 若a＞0，b＞0，且a＋b＝ab，则2a＋b的最小值为（ ）
A.3＋2 B.2＋2 C.6 D.3－2
答案 A
6. 曲线f（x）＝x3＋1在点（－1，f（－1））处的切线方程为（ ）
A.y＝－3x－1 B.y＝3x＋1 C.y＝3x＋3 D.y＝－3x－3
答案 C
7. 已知函数f（x）＝log0.5（x2－ax＋3a）在（2，＋∞）上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A.（－∞，4] B.[4，＋∞） C.[－4，4] D.（－4，4]
答案 C
8. 若3x－3y＞5－x－5－y，则（ ）
A.＞ B.x3＞y3 C.＞ D.ln（x2＋1）＞ln（y2＋1）
答案 B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列函数中，为奇函数的是（ ）
A.y＝2x－2－x B.y＝ln（x＋1）＋ln（x－1）
C.y＝ D.y＝ln
答案 ACD
10. 已知函数f（x）＝，则下列说法正确的有（ ）
A.f（x）的图象关于原点对称 B.f（x）的图象关于y轴对称
C.f（x）的值域为（－1，1） D. x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0
答案 AC
11. 已知a＞b＞0，且a＋b＝1，则下列结论正确的是（ ）
A.ln（a－b）＜0 B.＋＞2 C.ba＞ab D.＋＞4
答案 AD
12. 符号[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，定义函数f（x）＝x－[x]，则下列结论正确的是（ ）
A.f（－）＜f（） B.函数f（x）是增函数
C.方程f（x）－＝0有无数个实数根 D.f（x）的最大值为1，最小值为0
答案 AC
解析 作出f（x）＝x－[x]＝的图象如图，
对于A，由题意可知f （－）＝f ＜f（），所以A正确；
对于B，由图可知f（x）不是增函数，所以B错误；
对于C，函数f（x）每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，所以方程f（x）－＝0有无数个实数根，所以C正确；
对于D，由图可知f（x）＝x－[x]∈[0，1），函数f（x）无最大值，最小值为0，所以D错误.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数y＝的定义域是______.
答案
14. 函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝4，且f（1）＝3，则f（2 023）＝________.
答案
15. 已知函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为
答案 [－5，－2]
16. 已知函数f（x）＝g（x）＝f（x）－mx＋1，若g（x）存在两个不同的零点，则实数m的取值范围是____________.
答案 （－∞，0）∪（0，1）
解析 令g（x）＝f（x）－mx＋1＝0，∴f（x）＝mx－1.
∴g（x）存在两个不同的零点即函数f（x）的图象和直线y＝mx－1有两个不同的交点.
在同一直角坐标系中作出函数f（x）的图象和直线y＝mx－1，如图.
当m＝0时，f（x）与y＝mx－1只有一个交点，不符合题意；
当m＜0时，f（x）与y＝mx－1恒有两个交点；
当m＞0时，令y＝mx－1与f（x）相切，设切点为（a，ln a），则切线斜率k＝f ′（a）＝，
切线方程为y－ln a＝（x－a）＝x－1，即y＝x＋ln a－1，
又切线方程为y＝mx－1，∴m＝，ln a－1＝－1，即ln a＝0，得a＝1，此时m＝1，
∴当0＜m＜1时，f（x）与y＝mx－1有两个交点，
综上，当m∈（－∞，0）∪（0，1）时，g（x）存在两个不同的零点.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）已知非空集合P＝{ x | a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{ x | x2－3x≤10} .
（1）若a＝3，求（ R P）∩Q ；
（2）若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
解：当时，或，
解不等式得：，即，所以；
若“”是“”的充分不必要条件，即，即，解得：，
即实数a的取值范围为.
18. （本小题满分12分）已知函数f（x）＝（k为常数），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行.
（1）求实数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间.
解 （1）f ′（x）＝（x＞0）.又由题意知f ′（1）＝＝0，所以k＝1.
（2）由（1）知，f ′（x）＝（x＞0）.
设h（x）＝－ln x－1（x＞0），则h′（x）＝－－＜0，所以h（x）在（0，＋∞）上单调递减.
由h（1）＝0知，当0＜x＜1时，h（x）＞0，所以f ′（x）＞0；当x＞1时，h（x）＜0，所以f ′（x）＜0.
综上f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）.
19. （本小题满分12分）已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝－2x .
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t 2－2t）＋f（2t 2－k）＜0恒成立，求实数k的取值范围.
解析：（1）当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）＝－2－x，
又函数f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴f（x）＝＋2－x.又f（0）＝0，
∴综上所述，f（x）＝
（2）∵f（x）为R上的单调函数，且f（－1）＝＞f（0）＝0，∴函数f（x）在R上单调递减.
∵f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0，∴f（t2－2t）＜－f（2t2－k）.∵函数f（x）是奇函数，
∴f（t2－2t）＜f（k－2t2）.又f（x）在R上单调递减，∴t2－2t＞k－2t2对任意的t∈R恒成立，
∴3t2－2t－k＞0对任意的t∈R恒成立，∴Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－，
20. （本小题满分12分）已知函数f（x）＝log4（4x＋1）＋2kx（k∈R）是偶函数.
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）＝m有解，求实数m的取值范围.
解析：（1）由函数f（x）是偶函数，可知f（x）＝f（－x），所以log4（4x＋1）＋2kx＝log4（4－x＋1）－2kx，即log4＝－4kx，所以log44x＝－4kx，所以x＝－4kx，即（1＋4k）x＝0对一切x∈R恒成立，
所以k＝－.验证f（x）为偶函数成立.
（2）由m＝f（x）＝log4（4x＋1）－x＝log4＝log4（2x＋），因为2x＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，所以m≥log42＝.故要使方程f（x）＝m有解，实数m的取值范围为[，＋∞）.
21. （本小题满分12分）已知函数f（x）＝ 22 x－·2 x＋1－6 .
（1）当 x∈[0，4] 时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若 x∈[0，4] ，使f（x）＋12－a·2x ≥0成立，求实数a的取值范围.
解：令，则，对称轴，当时，即，取得最小值；当时，，当时，. 则时，取得最大值170.
若，使成立，
令，即为，即有的最大值.
由于在递减，在递增，当时，；
当时，.即有取得最大值.则.
22. （本小题满分12分）已知函数f（x）＝ln x－x2＋x.
（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：当a≥2时，关于x的不等式f（x）＜（－1）x2＋ax－1 恒成立.
（1）解 f ′（x）＝－2x＋1＝（x＞0），
由f ′（x）＜0，得x＞1；由f ′（x）＞0，得0＜x＜1，
所以函数f（x）的单调递减区间为（1，＋∞），单调递增区间为（0，1）.
所以函数f（x）存在极大值为f（1）＝0－1＋1＝0，无极小值.
（2）证明 令g（x）＝f（x）－＝ln x－ax2＋（1－a）x＋1（x＞0），
所以g′（x）＝－ax＋（1－a）＝，因为a≥2，所以g′（x）＝－，
令g′（x）＝0，得x＝，所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈时，g′（x）＜0，
因此函数g（x）在上单调递增，在上单调递减，
故函数g（x）的最大值为g＝ln－a×2＋（1－a）×＋1＝－ln a，
令h（a）＝－ln a（a≥2），因为h（2）＝－ln 2＜0，又h（a）在（0，＋∞）上单调递减，
所以当a≥2时，h（a）＜0，即对于任意正数x，总有g（x）＜0，
所以关于x的不等式f（x）＜x2＋ax－1恒成立.
