检测02第一次月考（能力卷）（2019人教A版）
测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．
2．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·开学考试）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若，且，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知，且满足，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．20
7．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（22-23高一上·海南儋州·阶段练习）下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“若，则”的否定是“若，则”
C．设，则“”是“”必要不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
10．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 是的环
B．若，则存在的一个环，含有8个元素
C．若，则存在的一个环，含有4个元素且
D．若，则存在的一个环，含有7个元素且
11．（23-24高一上·江西·期中）若实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知命题“，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是 .
13．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 ．
14．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）对于集合，给出如下三个结论：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，，那么.
其中正确结论的序号是 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （22-23高一上·海南儋州·阶段练习）（1）已知，，求的取值范围.
（2）若a，b都是正数，求证.
16. (15分) （24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若，求实数a的取值范围
17. (15分) （22-23高一上·江苏镇江·期中）已知二次函数
(1)若的解集为，解关于的不等式；
(2)若且，求的最小值；
(3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值．
18. (17分) （24-25高一上·江苏南京·阶段练习）对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质.
(1)判断集合是否具有孪生性质，请说明理由；
(2)设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值；
(3)设集合，若，求证：.
19. (17分) （23-24高一上·吉林延边·阶段练习）若实数满足，则称比远离.
(1)若2比远离1，求x的取值范围；
(2)设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由.
(3)若，试问：与哪一个更远离？并说明理由.检测02第一次月考（能力卷）（2019人教A版）
测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．
2．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·开学考试）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若，且，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知，且满足，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．20
7．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（22-23高一上·海南儋州·阶段练习）下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“若，则”的否定是“若，则”
C．设，则“”是“”必要不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
10．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 是的环
B．若，则存在的一个环，含有8个元素
C．若，则存在的一个环，含有4个元素且
D．若，则存在的一个环，含有7个元素且
11．（23-24高一上·江西·期中）若实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知命题“，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是 .
13．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 ．
14．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）对于集合，给出如下三个结论：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，，那么.
其中正确结论的序号是 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （22-23高一上·海南儋州·阶段练习）（1）已知，，求的取值范围.
（2）若a，b都是正数，求证.
16. (15分) （24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若，求实数a的取值范围
17. (15分) （22-23高一上·江苏镇江·期中）已知二次函数
(1)若的解集为，解关于的不等式；
(2)若且，求的最小值；
(3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值．
18. (17分) （24-25高一上·江苏南京·阶段练习）对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质.
(1)判断集合是否具有孪生性质，请说明理由；
(2)设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值；
(3)设集合，若，求证：.
19. (17分) （23-24高一上·吉林延边·阶段练习）若实数满足，则称比远离.
(1)若2比远离1，求x的取值范围；
(2)设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由.
(3)若，试问：与哪一个更远离？并说明理由.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A B D B C C BCD ABC
题号 11
答案 AD
1．A
【分析】根据条件得到或，再利用集合的互异性即可求出结果.
【详解】因为，所以或，
当时，得到或，又时，，满足题意，
时，，不满足集合的互异性，
当，得到，此时，不满足集合的互异性，
故选：A.
2．B
【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确；
对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确；
对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为，
两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误；
对于④：因为集合的元素为，集合的元素为，
两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误；
综上所述：正确的个数为2.
故选：B.
3．A
【分析】根据题意，求得，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】因为且，可得，所以，
对于A中，由，所以，所以A正确；
对于B中，由，所以，所以B不正确；
对于C中，由，
因为，所以，可得，
所以，所以C不正确；
对于D中，由，所以，所以D不正确.
故选：A.
4．B
【分析】利用不等式的乘“1”法即可求解.
【详解】由可得，
故，
当且仅当，即时取到等号，
故选：B
5．D
【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若，，则，
令，，
因为，
所以在上单调递增，所以的最大值是，
故，则的一个必要不充分条件是，故D正确；
、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误.
故选：D．
6．B
【分析】由题意得若则且，若则且，若则，若则，而元素5没有限制，进而即可求出集合A的可能结果.
【详解】由题得，，
由题意可知若则且，若则且，
若则，若则，而元素5没有限制可或.
综上，集合A可为：，，，，，，，.
所以集合A的个数共8个.
故选：B.
7．C
【分析】根据判别式进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法、根与系数关系等知识确定正确答案.
【详解】对于函数．
①令，即，满足恒成立，
因此，只需，即，所以．
②令，即或．
设方程的两根分别为，则．
当时，方程有两个正根，
存在，使得，不符合题意，舍去；
当时，方程有两个负根，
因此，只需，即，所以，
综上所述，的取值范围为．
故选：C
8．C
【分析】先根据条件，，对，进行取值，再验证是否成立，满足条件的数对即为集合的元素，从而即可求解.
【详解】∵集合，，，，
∴可取1，2，3，可取0，1，2，4.
（1）当时，
，由，，成立，数对为的一个元素；
，由，，成立，数对为的一个元素；
，由，，成立，数对为的一个元素；
，由，，成立，数对为的一个元素；
（2）当时，
，由，，成立，数对为的一个元素；
，由，，成立，数对为的一个元素；
，由，，不成立，数对不是的元素；
，由，，不成立，数对不是的元素；
（3）当时，
，由，，成立，数对为的一个元素；
，由，，成立，数对为的一个元素；
，由，，不成立，数对不是的元素；
，由，，不成立，数对不是的元素.
综上，的元素有八个，分别为：，，，，，，，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解元素与集合的关系，并且分类讨论时要做到不重复，不遗漏.
9．BCD
【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法，即可得出A、C和D的正误，由命题的否定的定义，可判断出选项B的正误.
【详解】对于选项A，由，得到，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项A错误，
对于选项B，命题“若，则”的否定是“若，则”，所以选项B正确，
对于选项C，因为推不出，但可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选项C正确，
对于选项D，因为推不出，但可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选项D正确，
故选：BCD.
10．ABC
【分析】利用题设中的信息，集合集合的交集、并集的运算，以及集合间的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意知：①，②若，则且，
对于A中，全集且，
满足且当时，可得且，所以A正确；
对于B中，由的所有子集共8个，
若是的子集构成的集合，所以集合有8个元素，所以B正确；
对于C中，若，可得，
所以是个环，其中中含有4个元素，所以C正确；
对于D中，若，
可得，， ，
，，且，
所以集合中至少有8个元素，所以D错误.
故选：ABC.
11．AD
【分析】对于AB，，则，从而可求出的范围进行判断，对于C，利用，化简变形结合已知条件可判断，对于D，利用，化简变形结合已知条件可判断.
【详解】对于AB，因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，所以A正确，B错误，
对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，所以C错误，
对于D，因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，所以D正确，
故选：AD
【点睛】关键点点睛：此题考查不等式性质的应用，解题的关键是对已知的等式进行恰当的变形，利用完全平方的非负性可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题.
12．或
【分析】存在量词命题的否定为真命题，从而得到，得到的取值范围.
【详解】由题意得“，使得等式成立”是真命题，
故，
所以实数的取值范围是或.
故答案为：或
13．或
【分析】对方程的两个根进行分类讨论，求出不等式的解集，再让解集中含有两个整数，由不等式求的取值范围.
【详解】令，解得或.
当，即时，不等式解得，
则不等式中的两个整数解为2和3，有，解得；
当，即时，不等式无解，所以不符合题意；
当，即时，不等式解得，
则不等式中的两个整数解为0和-1，有，解得.
综上，的取值范围是或.
故答案为：或.
【点睛】关键点睛：本题考查了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，掌握一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式三个二次之间的关系是解题关键.
14．①②③
【分析】对于①，由集合M中元素性质结合即可判断；对于②，先得为偶数且不能被4整除，接着假设得，再根据和同奇或同偶分类讨论是否符合即可得解；对于③，依据，得存在使得，再计算得解·
【详解】对于①：因为，所以，故，故①正确；
对于②：因为，所以为偶数，且不能被4整除，
若，则存在使得，
因为和同奇或同偶，
若和同奇，则为奇数，矛盾，不符合，
若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合，
所以，故②正确；
对于③：因为，，
所以存在使得，
所以，
因为所以，故③正确.
故答案为：①②③.
【点睛】思路点睛：对于，，探究，要抓住集合M中元素的性质得存在使得，接着计算，并继续根据集合M中元素的性质对计算结果进行变形处理，从而发现满足集合M中元素的性质，进而得.
15．（1），（2）证明见解析
【分析】（1）根据不等式的性质即可求解，
（2）利用作差法即可求证.
【详解】（1）由，可得，，
故，
（2）证明：由于，
故
16．(1)或
(2)
【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可．
（2）先化简集合，，再由，能求得的值．
【详解】（1）集合，
，
①若，则
则；
②若或，则
解得：，将代入方程得：得：，即符合要求；
③若，则，即
即的两根分别为、0，
则有且，
则
综上所述，实数的取值范围是或．
（2），，
则，即
即0和是方程的两根
解得：或（舍去）
故．
17．(1)不等式的解集为.
(2)的最小值为；
(3)的最小值为.
【分析】（1）由条件可得是方程的解，由此可求，结合一元二次不等式解法求的解集；
（2）由已知可得，结合基本不等式求结论；
（3）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值.
【详解】（1）由已知的解集为，且，
所以是方程的解，
所以，，
所以，，
所以不等式可化为，
所以，
故不等式的解集为.
（2）因为，
所以
因为，所以，
由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，
即当且仅当， 时等号成立；
所以的最小值为；
（3）因为对任意，不等式恒成立，
所以，，
所以，，
，
令，则，，
所以，
当且仅当，时等号成立，
即当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为.
18．(1)不具有孪生性质，具有孪生性质；
(2)675
(3)证明见解析．
【分析】（1）根据新定义直接验证；
（2）求出和，由它们的交集为空集可得；
（3）求出中的可能元素，根据分析元素的性质可得．
【详解】（1）由题意，，，，
,,
所以不具有孪生性质，具有孪生性质；
（2）由题意，，
，则，，
又，所以的最小值是675；
（3），
则都属于集合，
又，则，
又，所以，所以，
【点睛】方法点睛：本题考查学生的创新能力，理解新定义并运用是解题关键，本题实质就是根据新定义求出两个集合和，然后由它们的交集是否为空集确定结论．
19．(1)；
(2)比更远离，理由见解析
(3)比更远离，理由见解析
【分析】（1）由题意得，解不等式可求得结果；
（2）若比更远离，则成立，利用分析证明即可；
（3），可得，然后分类判断与的大小关系即可.
【详解】（1）根据题意可得：，
所以，解得；
（2）比更远离,
理由如下：要证比更远离,只要证，
即证，
因为，所以，
所以只要证，即证，
因为，所以，
所以，
所以比更远离；
（3）因为，当且仅当时等号成立，
所以，从而，
①，
，
即；
②时，，
，
即，
综上：，即比更远离.
【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式和基本不等式的应用，解题的关键是对比远离的正确理解，考查转化思想和分类讨论的思想，属于较难题.
