2024-2025学年江苏省常州市奔牛高级中学高三（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省常州市奔牛高级中学高三（上）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知，，若，则实数的取值范围( )
A. B.
C. D.
3.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.若函数既有极大值也有极小值，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数在有且仅有个极值点，且在上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，对于有四个结论：为偶函数；的最小正周期是：在上单调递增；的最小值为则四个结论正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知，其中是自然对数的底数，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象向左平移个单位后得到的函数的图象关于轴对称
C. 函数在上有个零点
D. 函数在上单调递增
10.已知，，则( )
A. B. C. D.
11.已知正实数，满足是自然对数的底数，，则( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 方程无实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则关于的不等式的解集为______．
13.设，则的最小值为______．
14.已知函数的零点为，，，且，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面四边形中，，，．
求的值；
若，，求的长．
16.本小题分
已知函数．
求的最大值；
证明：．
17.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求在上的单调增区间；
在中角，，的对边分别是，，满足，求函数的取值范围．
18.本小题分
设为实数，函数
若，求的取值范围；
求的最小值．
19.本小题分
已知函数，，．
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围；
若对任意恒成立，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：在中，由余弦定理可得，
所以；
，
，
在中，由正弦定理可得：，
即．
16.解：，定义域为，
则，
令，，
因为，恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即当时，，
令，可得，得在上单调递增，
从而得在上单调递减，
所以．
证明：要证，
即证，
令，
令得，即在上单调递减，
从而得在上单调递增，
，即，
即欲证，
只需证．
也就是证明，
设，
则，令，得．
当时，；当时，，
当时，取到最小值．
故式成立，从而成立．
17.解：
，
，
，
故，
由，解得，
当时，，
又，
所以在上的单调增区间为；
由，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的取值范围为．
18.解：若，则：．
当时，，，如图所示：
当时，，．
综上所述：．
19.解：的定义域为，
，
令，解得或，
当时，时，；时，；
故的递减区间是，递增区间是；
当时，时，；时，；
故的递增区间是和，递减区间是；
当时，，故的单调递增区间为；
当时，时，；时，；
故的递增区间是和，递减区间是；
综上，时，的递减区间是，递增区间是；
时，的递增区间是，无递减区间；
时，的递增区间是和，递减区间是；
时，的递增区间是和，递减区间是．
令得，设，则，
当时，，递减；当时，，递增，
，因为时，时，
要使直线与函数的图象有两个交点，则，即，
故的取值范围是；
由得，
当时上式显然恒成立，
当时可转化为，
设，则，
设，，则，
因为所以，所以在上递增，所以，
所以，所以在上递增，所以
，
要使恒成立，则，
综上，的取值范围是．
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