2024-2025学年湖南省长沙市岳麓实验中学高三（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市岳麓实验中学高三（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.计算的结果是( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，则的子集的个数( )
A. B. C. D.
4.若函数是偶函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.李明开发的小程序经过天后，用户人数，其中为常数已知小程序发布经过天后有名用户，则用户超过名至少经过的天数为取
A. B. C. D.
6.椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，已知，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作若在区域内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于，的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作已知，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列选项正确的是( )
A. 的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第一象限
10.设，为两个互斥的事件，且，，则下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数在处取得极值，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从原点向圆作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为______．
13.已知函数，则 ______．
14.在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：，都有，则称这个函数是点的“界函数”已知点在函数的图象上，若函数是点的“界函数”，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
；
．
16.本小题分
如图，在边长为的菱形中，，将面沿折叠成二面角，其二面角的平面角大小为．
求证：；
若，且，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
石墨烯有超级好的保温功能，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．
材料 材料 合计
实验成功
实验失败
合计
单位：次
由等高堆积条形图提供的信息，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；
以实验结果成功的频率为概率，用材料制作保温产品件，仅从石墨烯结晶成功与否的角度考虑，求产品制作成功件数的分布列与期望．
附：，其中．
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求，的值；
对任意的，都有恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知圆：，直线：．
若直线被圆截得的弦长为，求实数的值；
当时，由直线上的动点引圆的两条切线，若切点分别为，，则在直线上是否存在一个定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：
；
．
16.证明：取中点，连接，，
由已知有 ，，又
所以 面，又面，
又所以，
解：由题意，为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为
因为，
设直线与平面所成角为
则．
17.解：由题意可得如下表格：
材料 材料 合计
实验成功
实验失败
合计
提出假设：实验的结果与材料无关，
，
所以没有的把握认为，试验的结果与材料有关；
设产品制作成功件数为，由题意可知服从二项分布，
成功的概率为，即，
则的可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：
．
18.解：由题意知：是定义在上的奇函数，
，，
即，
，
，；
由知，
因此在上是增函数，
对任意的，恒成立，
可转化，
根据在上是奇函数可知恒成立，
恒成立，
恒成立，
，
故的取值范围为．
19.解：圆的方程可化为，
故圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
又弦长为，则，即，解得．
当时，圆的方程为，
则圆心为，半径，圆与直线相离，
假设在直线上存在一个定点满足条件，
设动点，由已知得，，
则，在以为直径的圆上，
即上，
得，直线的方程为，
又点在直线上，则，即，代入式
得，
即直线的方程为．
因为上式对任意都成立，故，得，
故在直线上存在一个定点，定点坐标为．
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