江苏省扬州中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（图片版，含答案）

高三数学自主学习效果评估
2024.10
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求的.
1．已知角 的终边上一点P(3t,4t)(t 0)，则sin （ ）
4 4 4
A． B． C． D．不确定
5 5 5
2．已知集合 A x N | 0 x 4 ，B 1,0,1,2 ，则集合 A B 的真子集个数为（ ）
A．7 B．4 C．3 D．2
3．设 a，b 都是不等于 1 的正数，则“ loga 3 logb 3 1”是“3
a 3b ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
xcosx
4．函数 f x x 1 的图象大致为（ ）
e
A． B．
C． D．
5．已知函数 f (x) a(ex e x 2x) 1, g(x) x2 2ax，若 f (x)与 g(x)的图象在 x ( 1,1)上
有唯一交点，则实数a （ ）
1
A．2 B．4 C． D．1
2
a2 b2 sin(A B)
6．在△ ABC 中，角 A，B，C 分别为 a，b，c 三边所对的角， 2 ，则△ ABCa b2 sin(A B)
的形状是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形
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C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
7．已知不等式 ln(x 1)a 2x2 x3 （其中 x 0）的解集中恰有三个正整数，则实数a的
取值范围是（ ）
9 32 9 32
A． (3,8] B．[3,8) C． , D． ,
ln 4 ln 5 ln 4 ln 5


8．已知定义在(0,+∞)上且无零点的函数 f x 满足 xf x 1 x f x ，且 f 1 0，则
（ ）
1 1
A． f f 1 f 2 B． f 2 f 1 f
2 2
1 1
C． f f 2 f 1 D． f 2 f f 1
2 2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有错的得 0分.
9.下列命题正确的是（ ）
A．命题：“ x 1, ，都有 x2 1”的否定为“ x ,1 ，使得 x2 1”
log3 x 1 , x 4
B．设定义在R 上函数 f x ，则 f 1 1
f x 1 , x 4
C．函数 f x x2 2x 3 的单调递增区间是 1,
D．已知a log2 0.3，b 2
0.3，c sin 2，则a,b,c的大小关系为a c b
10．已知函数 f x 的定义域为R ，对任意实数 x ， y 满足： f x y f x f y 1，
且 f 1 0．当 x 0时， f x 1．则下列选项正确的是（ ）
A． f 0 1 B． f 2 2
C． f x 1为奇函数 D． f x 为R 上的减函数
π
11．已知函数 f (x) | sinx | cos(x )，则 （ ）
6
A．函数 f (x)的最小正周期为2π
B．函数 f (x)的图象为中心对称图形
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5π
C．函数 f (x)在 ( 2π, )上单调递增
3
D．关于 x 的方程 f (x) a在[ π,π]上至多有 3 个解
三、填空题:本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
2

27 3 log 5 log 2 102lg2 lg312.计算： 8 1 .
5
13．已知幂函数 f x 的图象过点 2,16 ，则 f x 1 f 3x 1 的解集为 .
14.已知△ ABC 的角 A，B，C 满足 tan Atan B tan C [tan A] [tan B] [tan C] ，其中符号[x]表
示不大于 x 的最大整数，若 A≤B≤C，则 tanB tanC ．
四、解答题：本小题共 5小题，计 77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤.

15．（本题 13 分）已知函数 f (x) Asin( x ) A 0, 0,| | 的部分图象如图所示.
2
(1)求函数 f (x)的解析式；

(2)将函数 f (x)的图象向右平移 个单位长度，再将得到的图象
3
1
上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 g(x)
2

的图象，当 x 0, 时，求函数 g(x)的值域.
3
16．（本题 15 分）为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两
关.现随机抽取 100 人，对第一关答题情况进行调查.
分数 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
人数 10 15 45 20 10
(1)求样本中学生分数的平均数 x （每组数据取区间的中点值）；
(2)假设分数 Z 近似服从正态分布 N( , 2 )，其中 μ近似为样本的平均数 x （每组数据取区
间的中点值）， 2 近似为样本方差 s2 212 ，若该校有 4000 名学生参与答题活动，试估计
分数在 (30,72)内的学生数(结果四舍五入)；
(3)学校规定：分数在[60,100]内的为闯关成功，并对第一关闯关成功的学生记德育学分 5
{#{QQABQQCAQ8xgwgAigQ0JIJZAAACAI5h6CRQ0wlskCICggiQKsQJkIRAJCaAgCOSBgROCwJBuAQEsLAyRANByIFBINA=A}B#A} A=}#}
分；只有第一关成功才能闯第二关，第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分；
对两关均闯关成功的学生记德育学分 10 分.在闯过第一关的同学中，每位同学第二关闯关
3
成功的概率均为 ，同学之间第二关闯关是相互独立的.从第一关闯关成功的学生中随机抽
4
取 2 人，记 2 人本次活动总分为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望.
2
（参考数据：若随机变量Z ~ N , ，则
P( Z ) 0.6826, P( 2 Z 2 ) 0.9544,P( 3 Z 3 ) 0.9974）
17．（本题共 15 分）如图，在四棱锥P ABCD中，△PAD为等边三角形，M 为PA的中
点，PD AB，平面PAD 平面 ABCD．
(1)证明：平面CDM 平面PAB；
(2)若 AD∥BC ， AD 2BC ， AB 2，直线 PB与平面MCD所
3 34
成角的正弦值为 ，求三棱锥P MCD的体积．
34
18．（本题共 17 分）在△ABC 中，设角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且满足
3bsinC bcosC a c．
(1)求角 B；
(2)若b 3 ，求△ABC 面积的最大值；
ac ab bc
(3)求 2 的取值范围． b
1 2 1
19．（本题共 17 分）已知函数 f x x lnx ax lnx 1 ，其中a 0．
2 2
(1)讨论函数 f x 的单调性；
(2)若a 0，证明：函数 f x 有唯一的零点；
(3)若 f x 0，求实数 a 的取值范围．
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高三数学自主学习效果评估
一、单选题
1．已知角 终边上一点 P(3t, 4t)(t 0)，则 sin （ ）
4 4
A． B．
4
C． D．不确定
5 5 5
【答案】C
2．已知集合 A x N | 0 x 4 ， B 1,0,1,2 ，则集合 A B的真子集个数为（ ）
A．7 B．4 C．3 D．2
【答案】C
3．设 a，b都是不等于 1的正数，则“ loga 3 logb 3 1”是“3a 3b ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
xcosx
4．函数 f x x 1 的图象大致为（ ）e
A． B．
C． D．
【答案】A
5．已知函数 f (x) a(ex e x 2x) 1, g(x) x2 2ax，若 f (x)与 g (x)的图象在 x ( 1,1)上
有唯一交点，则实数 a （ ）
1
A．2 B．4 C． D．1
2
【答案】C
试卷第 1页，共 13页
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【详解】令 h(x) f (x) g(x) a(ex e x ) x2 1， x ( 1,1)，
由 h( x) a(e x ex ) x2 1 h(x)，得 h(x)是 ( 1,1)上的偶函数，其图象关于 y对称，
由 f (x)与 g (x)的图象在 x ( 1,1)上有唯一交点，得函数 h(x)有唯一零点，因此
h(0) 2a 1 0 1 1 1，所以 a . x x 2又当 a 时， h(x) (e e ) x 1，
2 2 2
当0 x 1时， h (x)
1
(ex e x ) 2x 0，故 h(x)在 0,1 为增函数，
2
故 h(x) 0, x 0,1 ，故 h(x) 0, x 1,0 ，故 h( x)在 1,1 1上有唯一零点，故 a .
2
故选：C
a2 b2 sin(A B )
6．在△ABC中， 2 2 ，则△ABC的形状是（ ）a b sin(A B )
A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】C
a2 b2 sin(A B ) 2 2 2 2
【详解】解：由 2 2 得： a b sin(A B) a b sin(A B)，且 a b，a b sin(A B )
2 2 2 2
∴ a b sin AcosB cos Asin B a b sin AcosB cos Asin B ，且 a b，
∴ a2 b2 acosB bcos A a2 b2 acosB bcos A ，
a2 c2 b2 b2 c2 a2 a2 c2 a2 b2 b
2 b2 c2 a2
∴ a b 2ac 2bc a
2 b2 a b ，
2ac 2bc


2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
化简整理得： a b a b a b c ，即 a b c a b 0，
∴ a2 b2或 a2 b2 c2，又 a b，
∴△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.故选：C.
7．已知不等式 ln(x 1)a 2x2 x3（其中 x 0）的解集中恰有三个正整数，则实数 a的
取值范围是（ ）
A． (3,8] B．[3,8)
9 32 9 32
C． , D． , ln 4 ln 5 ln 4 ln 5
试卷第 2页，共 13页
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【答案】D
【详解】设函数 f x ln x 1 a a ln x 1 ， g(x) x 3 2x 2 ，
4
因为 g (x) 3x2 4x，令 g (x) 0，则 x 0或 x ，
3
则0
4
x 时， g (x) 0， x
4
或 x 0时， g (x) 0， g(0) g(2) 0，
3 3
g x 在上 , 0 , 4 , 0, 4 递增，在 上递减，
3 3
当 a 0时， f (x) g(x)至多一个正整数根；
当 a 0时， f (x) g(x)在 (0, )内的解集中仅有三个正整数，
f (3) g(3) a ln 4 33 2 32
根据图象，只需 f (4) g(4) ，
3 ， a ln5 4 2 4
2
9 32
所以 a .故选：D.
ln 4 ln 5
8．已知定义在 0, + ∞ 上且无零点的函数 f x 满足 xf x 1 x f x ，且 f 1 0，则
（ ）
1 1
A． f f 1 f 2 B． f 2 f 1 f
2 2
f 1 f 2 f 1 f 2 f 1 C． D． f 1
2 2
【答案】D
f x xf x f x xf x
【详解】由 xf x 1 x f x 变形得 x xf x ，从而有 2

f x f x ，

x x x x 1 x
，所以 k e ，因为 f 1 0，所以 k 0，则 f x ，
f x f x f x f 1 e
1 k ex
kex kx ex kex 1 x
则 f x ，故当0 x 1时， ′ > 0，当 x 1时， ′ < 0，所
k 2e2x k 2e2x
以 f x 1在 0,1 上单调递增，在 1, + ∞ 单调递减，所以 f f 1 ， f 2 f 1 ，又
2
3
1 1 2 e 2 4 3 3 1 f f 2 ，而e 2.7
3 19.7 16，所以 e2 4， f f 2 综
2 2k e ke2 2ke2 2
试卷第 3页，共 13页
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上， f 2 f 1 f 1 .故选：D.
2
二、多选题
9.下列命题正确的是（ ）
A．命题：“ x 1, ，都有 x2 1”的否定为“ x ,1 ，使得 x2 1”；
log x 1 , x 4
B．设定义在R 上函数 f x 3 f 1 1
f x 1 , x 4
，则 ；

C．函数 f x x 2 2x 3 的单调递增区间是 1, ；
D．已知 a log2 0.3，b 20.3， c sin 2，则 a,b,c的大小关系为 a c b .
【答案】BD
10．已知函数 f x 的定义域为R ，对任意实数 x， y满足： f x y f x f y 1，
且 f 1 0．当 x 0时， f x 1．则下列选项正确的是（ ）
A． f 0 1 B． f 2 2
C． f x 1为奇函数 D． f x 为R 上的减函数
【答案】ACD
【详解】对于 A，由题可知 f 0 f 0 f 0 1，故 f 0 1，故 A正确；
对于 B，由题可知 f 1 f 0 f 1 1 2， f 2 f 1 f 1 1 1，故 B错误；
对于 C， f 0 x f 0 f x 1 2 f x ，故 f x 1 f x 1 ， f x 1为奇函
数，故 C正确；
对于 D，当 x1 x2时， f x1 f x2 f x1 x2 1 0， x1 x2， x1 x2 0，
f x1 x2 1 0 f x 是R 上的减函数，故 D正确.故选：ACD
π
11．已知函数 f (x) | sinx | cos(x )，则 （ ）
6
A．函数 f (x)的最小正周期为2π
试卷第 4页，共 13页
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B．函数 f (x)的图象为中心对称图形
5π
C．函数 f (x)在 ( 2π, )上单调递增
3
D．关于 x的方程 f (x) a在[ π, π]上至多有 3个解
【答案】AC
【详解】当 π≤ x≤0时， f (x) sin x cos(x π ) 3 cos x 1 sin x cos(x π ) ，
6 2 2 6
函数 f (x)在[ π,
π π
] 3上递增，函数值从 增大到 1；在[ ,0]上递减，函数值从 1减6 2 6
3 0 x π f (x) sin x cos(x π) 3cos x 3小到 ；当 时， sin x 3 cos(x π ) ，
2 6 2 2 3
π 3 π
函数 f (x)在 (0, ]上递增，函数值从 增大到
3 3
；在[ , π]上递减，函数值从 3减小到
2 3
3
，函数 f (x)在[ π, π]的图象，如图：
2
对于 A， f (x 2π) | sin(x 2π) | cos(x 2π
π
) | sinx | cos(x π ) f (x)，
6 6
结合函数 f (x)在 [ π, π]的图象，得 2π是 f (x)的最小正周期，A正确；
对于 B，观察函数 f (x)在[ π, π]的图象，函数 f (x)在 [ π, π]没有对称中心，
又 f (x)的最小正周期是2π，则函数 f (x)的图象不是中心对称图形，B错误；
π 5π
对于 C，由函数 f (x)在 (0, )3 上递增，
f (x)的最小正周期是 2π，得函数 f (x)在 ( 2π, )
3
上递增，C正确；
对于 D，观察函数 f (x)在[ π, π] 3的图象，得当 a 1时， f (x) a有 4个解，D错误.
2
故选：AC
三、填空题
试卷第 5页，共 13页
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2

12. 27 3 log 5 log 2 10 2lg2 lg3计算： 8 1 .
5
10
【答案】
9
13．已知幂函数 f x 的图象过点 2,16 ，则 f x 1 f 3x 1 的解集为 .
【答案】 , 0 1,
14.已知△ABC的角 A，B，C满足 tan A tan B tanC [tan A] [tan B] [tanC]，其中符号 [x]表
示不大于 x的最大整数，若 A≤ B≤C，则 tan B tanC ．
tan A tan B
【详解】由 tanC tan(π (A B)) tan(A B) ，得
1 tan A tan B
tan A tanB tanC tan AtanB tanC .记 x tanC, y tanB, z tan A，由条件得
x y z [x] [y] [z]，因为[t] t，所以 x, y, z必为整数.
如果△ABC为钝角三角形，则 C 90 ，则 A、 B均为锐角，从而 y、z为正整数( z y )，
于是 x 0 1 z y 1
x y z y z
，这时有 yz 1 1，矛盾.
x x
于是△ABC只能是锐角三角形，则1 z y x .
yz x y z 3x又 3 .
x x
若 yz 1，则 y z 1，从而 x y z xyz不能成立;
若 yz 2，则 z 1, y 2，由 x y z xyz，得 x 3 ;
若 yz 3，则 z 1, y 3，由 x y z xyz，得 x 2，与 y x矛盾.
所以 x 3, y 2, z 1，即 tanC 3, tanB 2, tan A 1，
所以 tan B tanC 5.故答案为：5
四、解答题
15．已知函数 f (x) Asin( x )

A 0, 0,| |

的部分图象，如图所示.
2
(1)求函数 f (x)的解析式；
(2)将函数 f (x)

的图象向右平移 个单位长度，
3
1
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，
2
试卷第 6页，共 13页
{#{QQABQQACQ8xgwgAigQ0JIJZAAACAI5h6CRQ0wlskCICggiQKsQJkIRAJCaAgCOSBgROCwJBuAQEsLAyRANByIFBINA=A}B#A} A=}#}

纵坐标不变，得到函数 g (x)的图象，当 x 0, 时，求函数 g (x)的值域. 3

【详解】（1）解：根据函数 f (x) Asin( x ) A 0, 0,| | 的部分图象
2
1 2 5
可得 A 3， ，所以 2 .再根据五点法作图可得 2 ，2 6 3 2 3
f (x) 3 sin 2x 所以 ，

.3 3

（2）将函数 f (x)的图象向右平移 个单位后，可得
3
y 3 sin 2 x x 3 sin 2x

的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短
3 3 3
1
为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 g(x) 3sin 4x 的图象.2 3
由 x

0,

，可得 4x

,
3 3 3
5 5 又 函数 g (x)在 0, 上单调递增，在 , 单调递减 24 24 3
3 g 5 g(0) ， 3， g
0 g(x) 3 sin 4x 3 , 3

2 24 3 3 2
函数 g (x)
0, 3 在 的值域 , 3 . 3 2
16．为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关.现随机抽取
100人，对第一关答题情况进行调查.
分数 [0,20) [20, 40) [40,60) [60,80) [80,100]
人数 10 15 45 20 10
(1)求样本中学生分数的平均数 x（每组数据取区间的中点值）；
(2)假设分数 Z近似服从正态分布 N ( , 2 )，其中μ近似为样本的平均数 x（每组数据取区间
的中点值）， 2近似为样本方差 s2 212 ，若该校有 4000名学生参与答题活动，试估计分
数在 (30,72)内的学生数(结果四舍五入)；
(3)学校规定：分数在[60,100]内的为闯关成功，并对第一关闯关成功的学生记德育学分 5
分；只有第一关成功才能闯第二关，第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分；
试卷第 7页，共 13页
{#{QQABQQCAQ8xgwgAigQ0JIJZAAACAI5h6CRQ0wlskCICggiQKsQJkIRAJCaAgCOSBgROCwJBuAQEsLAyRANByIFBINA=A}B#A} A=}#}
对两关均闯关成功的学生记德育学分 10分.在闯过第一关的同学中，每位同学第二关闯关
3
成功的概率均为 ，同学之间第二关闯关是相互独立的.从第一关闯关成功的学生中随机抽
4
取 2人，记 2人本次活动总分为随机变量 X，求 X的分布列与数学期望.
（参考数据：若随机变量 Z ~ N , 2 ，则
P( Z ) 0.6826,P( 2 Z 2 ) 0.9544,P( 3 Z 3 ) 0.9974）
【详解】（1）样本的平均数 x 10 0.1 30 0.15 50 0.45 70 0.2 90 0.1 51.
（2）分数 Z近似服从正态分布 N 51,212 ，即 51, 21，可得 30, 72，
故 P( Z ) 0.6826，故分数在 (30,72)内的学生数约为 4000 0.6826 2730（人）.
（3）随机变量 X的所有可能取值为10,15,20,
1
2
1 P(X 15) C1 3 1 3
2
P(X 10) ， 2 ， P(X 20) C
2 3 9
2

,
4 16 4 4 8 4 16
所以 X的分布列为
X 10 15 20
1 3 9
P
16 8 16
E(X ) 10 1 15 3 20 9 17.5，因此 X的数学期望为 17.5分.
16 8 16
17．如图，在四棱锥 P ABCD中，△PAD为等边三角形，M 为 PA
的中点， PD AB，平面PAD 平面 ABCD．
(1)证明：平面CDM 平面 PAB；
(2)若 AD∥BC，AD 2BC，AB 2，直线 PB与平面MCD所成角的
3 34
正弦值为 ，求三棱锥P MCD的体积．
34
【详解】（1）
取 AD中点为N，连接PN，
因为△PAD为等边三角形，所以PN AD，
且平面 PAD 平面 ABCD，平面PAD 平面 ABCD AD，
试卷第 8页，共 13页
{#{QQABQQACQ8xgwgAigQ0JIJZAAACAI5h6CRQ0wlskCICggiQKsQJkIRAJCaAgCOSBgROCwJBuAQEsLAyRANByIFBINA=A}B#A} A=}#}
PN 面 PAD，所以 PN 平面 ABCD，
又 AB 平面 ABCD，所以PN AB，
又因为 PD AB， PN PD P， PN ,PD 平面 PAD，所以 AB 平面 PAD，
又因为DM 平面 PAD，所以 AB DM ，
因为M 为 AP中点，所以DM PA，且PA AB A，PA,PB 平面 PAD，所以DM 平
面 PAB，且DM 平面CDM ，所以平面CDM 平面 PAB .
（2）
由（1）可知， PN AB且 PD AB， PN PD P，所以 AB 平面 PAD，
且 AD 平面 PAD，所以 AB AD ，以A为坐标原点，分别以 AB, AD所在直线为 x, y轴，
建立如图所示空间直角坐标系，设 AD 2a，则可得

A 0,0,0 ,B 2,0,0 ,P 0,a, 3a ,M 0,
a , 3a ,C 2,a,0 ,D 0,2a,0 ，
2 2
即 PB 2, a, 3a ，DC 2, 3 3 a,0 ,DM 0, a, a ，
2 2

DC

n 2x ay 0 a
x y
设平面MCD的法向量为 n x, y, z ，则
DM 3 3
，则可得 2 ，
n ay az 0
2 2 z 3y

取 y 2，则 x a, z 2 3 ，所以平面MCD的一个法向量为 n a, 2, 2 3 ，
设直线 PB与平面MCD所成角为 ，

PB n
所以 sin cos PB ,n
6a 3
，
PB n 4 4a2 16 a2 34
解得 a 2 16，或 a2 1，即 a 4或1
当 a 4时，则 AD 2a 8 V 1S AB 1 1 4 4 3 2 16 3，所以 P MCD .3 PMD 3 2 3
试卷第 9页，共 13页
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当 a 1 1 1 1 3时， AD 2，所以VP MCD S3 PMD
AB 1 3 2 .
3 2 3
18．在△ABC中，设角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，且满足 3bsinC bcosC a c．
(1)求角 B；
(2)若b 3，求△ABC面积的最大值；
ac ab bc
(3)求 2 的取值范围．b
【详解】（1）因为 3bsinC bcosC a c，根据正弦定理得：
3sin BsinC sin BcosC sin A sinC，且 sin A sin B C sin BcosC cosBsinC，
可得 3sin BsinC sin BcosC sin BcosC cosBsinC sinC，
即 3 sinB sinC cosB sinC sinC，又因为C 0, π ，则 sinC 0，
π 1 π π 5π
可得 3 sin B cos B 1，整理可得 sin B ，且 ∈ 0,π ，则 B 6 2 6
,
6 6
，

π π π
可得 B ，解得 B .
6 6 3
1
（2 2 2）由余弦定理得：b2 a2 c2 2ac cosB，即3 a c 2ac ，可得
2
a2 c2 3 ac 2ac，解得ac 3，当且仅当 a c 3时，等号成立，
1 3 3 3
所以△ABC的面积为： S ABC acsin B ac ，故△ ABC面积的最大值为2 4 4
3 3 .
4
ac ab bc sin Asin C sin Asin B sin Bsin C
（3）根据正弦定理得： 2 b sin 2 B
4 3 3
sin Asin A B sin A sin A B 3 2 2
4 3
sin Acos A
1
sin2 A 3 cos A 3 3 sin A
3 2 2 4 4


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3
sin 2A 1 1 cos 2A cos A 3 sin A
3 3 3
2 sin 2A π

2sin
A π 1 ，
3 6 6 3
令 x A
π
，则 2A
π 2x π ，
6 6 2
sin 2A π π可得

sin

2x

cos 2x 2sin
2 x 1，
6 2
ac ab bc 2 2sin2 x 1 2sin x 1 4将原式化为： 2 sin2 x 2sin x 1 ，b 3 3 3 3
A 0, 2π x A π π , 5π 1 因为 ，则 ，可得 sin x ,1 ，
3 6 6 6 2
3
根据二次函数的图像性质得到，当 sin x 时，原式取得最小值，
4
ac ab bc 4 3
2
2 3 1 132 ；b 3 4 4 3 12
ac ab bc 4
当 sin x 1时，原式取得最大值， 2 1
2 1 2 1 1；
b 3 3
ac ab bc 13
故 2 的取值范围为 , 1 .b 12
1 2 1 19．已知函数 f x x lnx ax lnx 1 ，其中a 0．2 2
(1)讨论函数 f x 的单调性；
(2)若 a 0，证明：函数 f x 有唯一的零点；
(3)若 f x 0，求实数 a的取值范围．
【详解】（1）函数 f x 的定义域为 0, ，
f x 1 2x

lnx
1 x a lnx 1 1 xlnx alnx x a lnx2 ， 2
①当 a 0时，解不等式 f x 0．有 x 1，令 f x 0，得0 x 1，
故函数 f x 的减区间为 0,1 ，增区间为 1, ；
②当 a 1时． f x x 1 lnx ，若 x 1， x 1 0， lnx 0，可得 f x 0；
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若 x 1， x 1 0， lnx 0，可得 f x 0；若 x 1，可得 f x 0．
故有 f x 0，函数 f x 单调递增，增区间为 0, ，没有减区间；
③当 1 a 0时，解不等式 f x 0，有 x 1或0 x a，
令 f x 0，解得 a x 1，
故函数 f x 的增区间为 0, a ， 1, ，减区间为 a,1 ；
④当 a 1时，解不等式 f x 0，有 x a或0 x 1，令 f x 0得1 x a，
故函数 f x 的增区间为 0,1 ， a, ，减区间为 1, a ；
综上，当 a 0时， f x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增；
当 a 1时， f x 在 0, 上单调递增；
当 1 a 0时， f x 在 0, a ， 1, 上单调递增，在 a,1 上单调递减；
当 a 1时， f x 在 0,1 ， a, 上单调递增，在 1, a 上单调递减.
（2）若 a 0，函数 f x 1的减区间为 0,1 ，增区间为 1, ，且 f 1 a 0 ，
4
当0 x 1时，由 lnx 0，有 f x x 1 x 1 lnx a lnx 1

0
2 2
恒成立，

又 f e 1 e 2 0，由零点存在性定理 1, 上存在唯一零点，
4
由上知，函数 f x 有唯一的零点；
（3）由（2）知．若 f x 0，必有 a<0．又由 f 1 a 1 1 0 ，可得 a ．
4 4
又由 x 0，不等式 f x 1 0可化为 x 1 lnx a lnx 1 0 ，2 2
g x 1 x 1设 lnx

a lnx 1 ，2 2
有 g x 1 lnx 1 a 1 a 1 2 xlnx x 4a lnx ，2 2 x 2 x 4 4 x
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当0 x 1且0 x 4a时， lnx 0， x 4a 0，可得 g x 0，
当 x 1且 x 4a时， lnx 0， x 4a 0，可得 g x 0，
0 y 1 lnx a 1当 a< 时，函数 单调递增，
2 x 4
故存在正数 m使得 2mlnm m 4a 0 ．
若0 m 1，有 lnm 0， 4a 1，有 2mlnm m 4a m 1 0 ，
与 2mlnm m 4a 0 矛盾，可得m 1，
当 x m时， g x 0；当 x m时， g x 0，
可得函数 g x 的减区间为 0,m ，增区间为 m, ，
g x 0 1 1 若 ，必有 g m m lnm a lnm 1 0 ，2 2
有 2mlnm m 4alnm 4a 0 ，
又由 2mlnm m 4a 0，有 2mlnm m 4alnm 4a 2mlnm m 4a 0 ，
有mlnm alnm 0，有 m a lnm 0．
又由m 1，有m a，可得 a m，
3
有 2mlnm m 4a 0 2mlnm m 4m 2mlnm 3m，可得1 m e 2 ，
1 2 3 1
由 a 2mlnm m ，及 2
4 1 2mlnm m 4e 2
，可得 e a ，
4
3 1
若 f x 0．则实数 a的取值范围为 e 2 , ．
4


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