课件15张PPT。人教版九年级上数学思明区观音山音乐学校朱美玲第21章数学活动：
三角点阵中前n行的点数计算 泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图）。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
1．创设情境三角点阵中，从上往下有无数多行1．创设情境n第1 行有 个点，第2 行有 个点，第 n 行有 个点.12第10行有 个点，10第3行有 个点，3前 3 行的点数和： ；前 4 行的点数和： ；前 2 行的点数和： ；前 1 行的点数和： ； 前 10行的点数和： ； 12．探究规律3=1+2610=1+2+3=1+2+3+4思考：？前 n 行的点数和： ； ？2．探究规律21前20行的点数之和如果是前21行的点数之和呢？转化成偶数2．探究规律n+1当n为偶数时当n为奇数时转化成偶数前n行的点数之和2．探究规律有没有避免讨论的方法？（n+1）乘以2，转化成偶数情况，倒序相加2．探究规律归纳：2.结论：首项与末项的和乘以项数除以21.条件：对应项的和相等3．解决问题例1：
（1）三角点阵中前 10 行的点数和为 ．（2）三角点阵中前 40 行的点数和为 ．558203．解决问题例2：若三角点阵中前 n 行的点数和为 300，求 n 的值．n 2 + n - 600 = 0 解得： n 1 = 24， n 2 = -25（舍去）．建立方程求解例3：三角点阵中前 n 行的点数和能是 100 吗？如果能，
求出 n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．∴方程无整数根，所以不存在点数和为 100 的情况．3．解决问题n 2 + n - 200 = 0∵建立方程求解如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为 2，4，6，…，2n，…，你能探究出前 n 行的点数和满足什 么规律吗？4．拓展延伸转化成两个
的问题3如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为 1，5，…，2n-1，…，你能探究出前 n 行的点数和满足
什么规律吗？4．拓展延伸法1：符合首尾相加，对应项
和相等，利用倒序相加法2：转化成两个的问题35．收获与体会1.知识小结：三角点阵中前n行的点数之和2.方法小结：（1）从特殊到一般考虑（2）转化，将复杂转化成简单；将未学转化成已学（3）方程思想，建立方程模型，解决一般性问题转化成偶数情况，利用倒序相加谢谢大家！录制时间：2015年4月9日1教学目标
知识与技能：1.探究发现三角点阵中前 n 行的点数规律；
2.建立一元二次方程解决三角点阵中前n行的点数计算问题。
过程与方法：通过探索发现三角点阵前n行点数的计算方法，并利用规律建立一元二次方程模型解决问题。体验从特殊到一般的研究方法，学会有条理的观察、分析问题，体会转化的数学思想和建立数学模型解决问题的意识。
情感、态度与价值观：培养学生敢于实践、勇于发现、大胆创新的合作创新精神和应用意识。
2重点难点
教学重点：三角点阵中前 n 行的点数和所满足的规律，并应用规律进行计算．
教学难点：三角点阵中前 n 行的点数和规律的探究方法，及建立数学模型解决问题.
3教学过程
3.1 第一学时
教学活动
活动1【导入】创设情境
泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见右图）。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
设计意图：提出问题，引发学生思考，激发学生学习兴趣。
活动2【活动】合作探究
1．认识三角点阵
三角点阵中，从上往下有无数多行，其中第一行有1个点，
第二行有2个点……第n行有个点
2．探究规律
前1行的点数和：
前2行的点数和：
前3行的点数和：
前4行的点数和：
......
前20行的点数和：
前n行的点数和：
处理方式：学生直接口答
设计意图：由简单到复杂，引发学生的认知冲突，体会探究前n行点数之和计算方法的必要性。
探究１：当n很大的时候，我们怎么快速地求出前n行的点数之和呢？
问题１：前20行的点数之和如何计算？（具体情况）
（1）明确问题：?1+2+3+...+20=?
（2）思考：为什么可以首尾相加？
处理方式：学生自主发现利用首尾相加
问题２：前21行的点数之和呢？（具体情况）
（1）明确问题：1+2+3+...+20+21=?
（2）与问题1的计算有什么不同？如何处理？
方法预设：
法1，直接利用问题1结果再加上21
法2，依旧首尾相加，由于21行是奇数，中间的会多出一个11
法3：由于21行是奇数，为了避免中间剩下一项，在最开始添加一个0，变成22个数相加，这样依次首尾相加，刚好组成11组
处理方式：学生小组讨论，分享各自想法，再进行总结归纳，本质就是将奇数转化成偶数的情况。
设计意图：从特殊情况入手，提炼探究求和方法，为前n行的点数之和计算作铺垫。
问题３：前n行的点数之和如何计算？（一般情况）
（1）明确问题：1+2+3+....+n=?
（2）思考：能不能从问题1，问题2的探究方法得到启发？
（3）这些方法的本质是什么？（转化成偶数的情况）
（4）有没有避免讨论的方法？有没有办法统一成偶数情况？
处理方式：学生小组讨论，类比问题1，问题2的探究方法展开思路，探究一般情况下的前n行点数之和的求法，再进行总结归纳，本质就是将奇数转化成偶数的情况。再进一步引导学生有没有更简便的方法避免分奇偶讨论。
设计意图：通过问题1,2,3的设置，体会从特殊到一般的探究方法，以及转化的数学思想，将问题2转化成问题1，将三角点阵中奇数问题转化成偶数。
3．得出结论：
（1）条件：首尾相加，对应项的和相等
（2）结论：首项与末项的和乘以项数除以2
活动3【活动】解决问题
例1：（1）三角点阵中前 10 行的点数和为
（2）三角点阵中前 40 行的点数和为
例2：若三角点阵中前 n 行的点数和为 300，求 n 的值．
例3：三角点阵中前 n 行的点数和能100吗？如果能，求出 n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
处理方式：学生练习，教师加以点评
设计意图：利用三角点阵前n行点数之和的计算规律建立一元二次方程的模型，进行简单应用，并进一步巩固一元二次方程的解法。
活动4【活动】拓展延伸
1.探究2：如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为 2，4，6，…，2n，…，你能探究出前 n 行的点数和满足什么规律吗？
处理方式：引导观察发现，提出公因数2，转化成问题3
2.探究3：如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为 1，5，…，2n-1，…，你能探究出前 n 行的点数和满足什么规律吗
处理方式：引导学生观察发现，自主交流
设计意图：对三角点阵前n行点数和的计算规律和探究方法进行迁移，加深学生对知识的理解，进一步开拓学生的思维。
活动5【活动】收获与体会
通过本节课的学习，你收获了什么？
