课件17张PPT。21.3 实际问题与一元二次方程（2）知识回顾列方程解应用题的一般步骤？第一步：设未知数(单位名称);第二步：列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：查(1)值是否符合实际意义,
(2)值是否使所列方程左右相等;第五步：答题完整（单位名称）。问题探究1 要设计一本书的封面，封面长27cm ,宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
问题
（1）本题中有哪些数量关系？
（2）如何理解“正中央是一个与整个封面
长宽比例相同的矩形”？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知
数并列出方程？
（4）解方程并得出结论，对比几种方法
各有什么特点？ 解法探究 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm
依题意得解得 故上下边衬的宽度为:
左右边衬的宽度为:分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7
解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm
依题意得解方程得(以下同学们自己完成)方程的哪个根合乎实际意义?
为什么?解法探究 问题探究2 如图，某中学为方便师生活动，准备
在长30m，宽20m的矩形草坪上修筑两横
两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2 ，
若使余下的草坪面积是原来草坪面积的
四分之三，则路宽应为多少？
问题
（1）本题中有哪些数量关系？
（2）由这些数量关系还能得到什么新
的结论？你想如何利用这些数量关系？为
什么？如何列方程？
（3）对比下列两个图形，它们有什么
联系与区别？ （4）有什么方法使本题易于解决？ 利用图形的变换－－平移某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.练习解:(1)如图，设道路的宽为x米，则化简得，其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.∴图(1)中道路的宽为1米.则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。解法一、 如图，设道路的宽为x米，32x 米2纵向的路面面积为 。20x 米2注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2所列的方程是不是？所以正确的方程是：化简得，其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.
取x=2时，道路总面积为： =100 (米2)答：所求道路的宽为2米。解法二：
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）横向路面 ，如图，设路宽为x米，32x米2纵向路面面积为 。20x米2草坪矩形的长（横向) ，草坪矩形的宽（纵向） 。相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2(20-x)米（32-x)米即化简得：再往下的计算、格式书写与解法1相同。 在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求． 列一元二次方程解应用题的步骤与
列一元一次方程解应用题的步骤类似，
即审、设、列、解、检、答．作 业这节课就到这里，下课！1教学目标
知识与技能：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
过程与方法：通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
2学情分析
注意关注学生： （1）对几何图形的分析能力； （2）在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理； （3）在讨论中能否互相合作； （4）解答一元二次方程的能力； （5）回答问题时的语言表达是否准确．
3重点难点
教学重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题． 教学难点：发现问题中的等量关系
4教学过程
4.1 第一学时
教学活动
活动1【导入】复习引入
1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
3.平行四边形的面积公式是什么？
活动2【导入】探索新知
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
问题：（1）本题中有哪些数量关系？
（2）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
（4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？
解：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
【探究4】 如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？ 问题： （1）本题中有哪些数量关系？ （2）剩余草坪的面积，是否就是原草坪的面积减去四条路的面积？ （3）由这些数量关系如何列方程？
活动3【导入】巩固练习
有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）
说明：通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路
活动4【导入】小结作业
本节课应掌握：
小结：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
