课件11张PPT。课题：数学活动——三角点阵中前n行的点数计算教学目标：
1、掌握三角点阵中前n行的点数和的计算方法；
2、已知三角点阵中前n行的点数和，会利用一元二次方程知识
求n值；
教学重点：
1、掌握三角点阵中前n行的点数和的计算方法
2、会利用一元二次方程知识判断点数和能否是给定的某一个
正整数
教学难点：探究三角点阵中前n行的点数和的计算方法（几何图形推理法、代数计算推理法） 教学过程：
1、观察分析、引入新知
问题1 填空：
（1）1+2=
（2）1+2+3=
（3）1+2+3+4=
（4）1+2+3+4+5= 问题2 填空：
（1）2×3÷2=
（2）3×4÷2=
（3）4×5÷2=
（4）5×6÷2= 根据以上规律，解答问题3：
问题3 填空
（1）1+2+3+…+100= × ÷ .
（2）1+2+3+…+n= .3610153610151001012n×(n+1) ÷2如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第三行有3个点……第n行有n个点……
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……师：三角点阵中前2行的点数和怎样列出算式？生：1+2=3师：三角点阵中前3行的点数和怎样列出算式？生：1+2+3=6师：三角点阵中前4行的点数和怎样列出算式？生：1+2+3+4=10师：三角点阵中前7行的点数和怎样列出算式？生：1+2+3+4+5+6+7=7×8÷2=28师：三角点阵中前n行的点数和怎样列出算式?生：1+2+3+…+n=n×(n+1)÷2师：容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和，你能发现300是
前多少行的点数和吗？生：设300是前n行的点数和，得n×(n+1)÷2=300，解得n=24，
所以300是前24行的点数和.师：三角点阵中前n行的点数和能是600吗？生：设600是前n行的点数和，得n×(n+1)÷2=600，解得n不是
正整数，所以三角点阵中前n行的点数和不可能是600.师：等式1+2+3+…+n=n×(n+1)÷2
是我们通过问题1、2、3归纳总结出来的，它是正确的，你
能证明吗？学生之间展开讨论交流师：提示：观察三角点阵图，在图的右边添加一个三角点阵，
学生之间继续展开讨论交流 · · · · · · · ·
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……
因为前7行的点数和是7×8，前n行的点数和是n×（n+1）
所以三角点阵中前n行的点数和是n×(n+1)÷2
即等式1+2+3+…+n=n×(n+1)÷2成立学生之间继续展开讨论交流师：非常棒！此处可以有掌声. 还有不同的证明方法吗？生：如图
生：设S =1+2+3+…+n ①
得S=n+…+3+2+1 ②
①+②得:2S=（n+1）+（n+1）+（n+1）+…+（n+1）
2S=n（n+1）
S=n×(n+1)÷2
即等式1+2+3+…+n=n×(n+1)÷2成立师：提示：设S=1+2+3+…+n，类似三角点阵添加原理师：真聪明！师：如图，梯形的上底代表第一个数1，下底代表最后一个数n，
高代表加数的个数n，则梯形面积 n×(n+1)÷2 代表这些
加数的和，我们把这种方法称为梯形面积法请用梯形面积法计算下列各式：
（1）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
（2）15+16+17+18+19+20
（3）1+3+5+7+9
（4）2+4+6+8+10
（5）1+4+7+10+13+16
（6）1+2+4+5+8+9
再用计算器检验用梯形面积法计算的结果是否正确，然后观
察结果正确的式子的相邻两个加数的关系特征，特征是什么！生：任意相邻两个加数的差相等师：对. 所有满足这个特征的式子的和都可以用梯形面积法计算，
即和=（第一个数+最后一个数）×加数的个数÷2师：
观察下列各式：
（1）1+2+3+4+5+…
（2）2+4+6+8+10+…
（3）1+3+5+7+9+…
（4）1+4+7+10+13+…
（5）1+5+9+13+17+…
（6）1+6+11+16+21+…
上面6个式子第n个数任何表示？ 生：分别是n、2n、2n-1、 3n-2、4n-3、5n-4师：真行！能计算出前100个数的和吗？试一试. 学生之间展开讨论交流师：请同学们课后完成下面的问题 如果把课本第23页图1的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，… ，2n，…，你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理.1教学目标
1、掌握三角点阵中前n行的点数和的计算方法；
2、已知三角点阵中前n行的点数和，会利用一元二次方程知识求n值；
3、发展学生的数学思维能力和推理归纳意识，培养学生大胆的合作创新精神，增强学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.
2学情分析
在学生已有一定的观察、归纳、推理能力的基础上，通过师生的合作探究，三角点阵前n行的点数和的计算规律是可以探究出来的. 在合作探究过程中进一步发展学生的数学思维能力和推理归纳意识，培养学生大胆的合作创新精神，增强学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.
3重点难点
教学重点：
1、掌握三角点阵中前n行的点数和的计算方法
2、会利用一元二次方程知识判断点数和能否是给定的某一个正整数
教学难点：探究三角点阵中前n行的点数和的计算方法（几何图形推理法、代数计算推理法）
4教学过程
4.1
教学活动
活动1【活动】1、观察分析、引入新知
问题1 填空：
（1）1+2=
（2）1+2+3=
（3）1+2+3+4=
（4）1+2+3+4+5=
问题2 填空：
（1）2×3÷2=
（2）3×4÷2=
（3）4×5÷2=
（4）5×6÷2=
根据以上规律，解答问题3：
问题3 填空
（1）1+2+3+…+100= （ ）× （ ）÷（ ）.
（2）1+2+3+…+n=（ ）×（ ）÷ （ ）. .
活动2【活动】2、观察思考，回答问题
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第三行有3个点……第n行有n个点……
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……
师：三角点阵中前2行的点数和怎样列出算式？
生：1+2=3
师：三角点阵中前3行的点数和怎样列出算式？
生：1+2+3=6
师：三角点阵中前4行的点数和怎样列出算式？
生：1+2+3+4=10
师：三角点阵中前7行的点数和怎样列出算式？
生：1+2+3+4+5+6+7=7×8÷2=28
师：三角点阵中前n行的点数和怎样列出算式?
生：1+2+3+…+n=n×(n+1)÷2
师：容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和，你能发现300是前多少行的点数和吗？
生：设300是前n行的点数和，得n×(n+1)÷2=300，解得n=24，所以300是前24行的点数和.
师：三角点阵中前n行的点数和能是600吗？
生：设600是前n行的点数和，得n×(n+1)÷2=600，解得n不是正整数，所以三角点阵中前n行的点数和不可能是600.
活动3【活动】3、思考问题，合作交流
师：等式1+2+3+…+n=n×(n+1)÷2
是我们通过问题1、2、3归纳总结出来的，它是正确的，你能证明吗？
学生之间展开讨论交流
师：提示：观察三角点阵图，在图的右边添加一个三角点阵，
学生之间继续展开讨论交流
生：如图
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……
因为前7行的点数和是7×8，前n行的点数和是n×（n+1）
所以三角点阵中前n行的点数和是n×(n+1)÷2
即等式1+2+3+…+n=n×(n+1)÷2成立
师：非常棒！此处可以有掌声. 还有不同的证明方法吗？
学生之间继续展开讨论交流
师：提示：设S=1+2+3+…+n，类似三角点阵添加原理
生：设S=1+2+3+…+n ①
得S=n+…+3+2+1 ②
①+②得:2S=（n+1）+（n+1）+（n+1）+…+（n+1）
2S=n（n+1）
S=n×(n+1)÷2
即等式1+2+3+…+n=n×(n+1)÷2成立
师：真聪明！
活动4【活动】4、建模理解
师：如果我们用梯形的上底代表第一个数1，下底代表最后一个数n，高代表加数的个数n，则梯形面积n×(n+1)÷2代表这些加数的和，我们把这种方法称为梯形面积法
活动5【活动】5、实践检验真理
请用梯形面积法计算下列各式：
（1）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
（2）15+16+17+18+19+20
（3）1+3+5+7+9
（4）2+4+6+8+10
（5）1+4+7+10+13+16
（6）1+2+4+5+8+9
再用计算器检验用梯形面积法计算的结果是否正确，然后观察结果正确的式子的相邻两个加数的关系特征，特征是什么？
生：任意相邻两个加数的差相等
师：对. 所有满足这个特征的式子的和都可以用梯形面积法计算，即
和=（第一个数+最后一个数）×加数的个数÷2
活动6【导入】6、学以致用
师：
观察下列各式：
（1）1+2+3+4+5+…
（2）2+4+6+8+10+…
（3）1+3+5+7+9+…
（4）1+4+7+10+13+…
（5）1+5+9+13+17+…
（6）1+6+11+16+21+…
上面6个式子第n个数任何表示？
学生之间展开讨论交流
生：分别是n、2n、2n-1、3n-2、4n-3、5n-4
师：真行！能计算出这6个式子前100个数的和吗？试一试.
活动7【活动】课后思考
师：如果把课本第23页图1的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，… ，2n，…，你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理.
