北京市对外经济贸易大学附属中学2024-2025学年高三（上）开学考数学（PDF版，无答案）

北京市区对外经济贸易大学附属中学2024-2025学年
高三上学期开学检测数学试卷
一、 选择题共10题， 每题4分， 共40分 .
1.已知集合A={x∈R|3x+2>0}, B= {x∈R|(x+ 1)(x-3)>0}, 则 A∩B= ( )
A. (-o,-1) c. D. (3,+0)
2. 下列函数中， 既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( )
A. y= lgx B. c.y=2H D. y=tan x
3. 已知角α的终边经过点 ,则sin2a= ( )
a. c. D.
4. 已知 ; 则 ( )
。
A. a> b> c B. b> c> a C.a> c> b D. c> a> b
5.在△ABC中， sinB= sin2A,c= 2a , 则 ( )
A. B为直角 B. B为钝角 c. C为直角 D. C为钝角
6. 已知f(x)为定义在R上的函数，f(2) =2 ,且 g(x)=f(2x)+x 为奇函数，则f(-2)=
A.-4 B. -2 C.0 D. 2
7.设 和c 的夹角为0, 是0为锐角的 ( ) 条件
A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件.
8. 我国油纸伞的制作工艺巧妙，如图 (1) ,伞不管是张开还是收拢，
伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角LBAC,且 AB= AC,
从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动，如图 (2), 伞完全收拢时，伞圈D已
滑到De的位置， 且A , B,De三点共线，AD,=40cm , B为AD,的
中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距
离为 24cm, 则 当伞完全张开时，LBAC的余弦值是( )
第1页 (1) (2)
A. 17 B. 4 21 C．- 3 D. 8
25 25 5 25
9．已知OO 的半径为 1，直线 PA与OO相切于点A，直线 PB与OO交于 B，C两点，D为 BC
的中点，若 PO = · 2，则 PA.PD的最大值为( )
A． B． C．1+ D．2+
10. 已知函数f (x) = sin①x+ (①> 0)在[0,2]上恰有 4个不同的零点，则实数①的取值
范围为( )
A． , B． , C． p , Dú ．
p ,
2 2 ÷ 2 ú 2
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11．函数f + ln x 的定义域为 .
12. 如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量a,b , c，则
(a+b).c= ，a.b = .
13．能使命题“若 sin 2A = sin 2B ，则 △ABC 为等腰三角形”为假命题的一组 A,B 的值是
.
14．已知函数
① 函数f(x) 的零点个数为 .
② 若存在实数b，使得关于x的方程f (x) = b有三个不同的根，则实数m的取值范围是 .
15. 已知 ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a,b, c,则下列条件能推导出 ABC一定为
锐角三角形的是 .
① a2 +b2 > c2 ②
③ cos2 A+ cos2 B cos2 C = 1 ④ tanA+ tan B + tan C > 0
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三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题 13分）
在 ABC中，内角A,B, C 的对边分别为a, b, c ，c = 2b, sin A = 3sinB .
(Ⅰ) 求sinC； (Ⅱ) 若 ABC 的面积为 ，求AB边上的中线CD 的长.
17.（本小题 13分）设函数f (x) = sin (①x+φ) ( ① > 0 ，φ < ）.若f (x)在区间
上具有单调性 再从条件①, 条件②, 条件③这三个条件中选择一
个作为已知条件，使函数f (x) 存在.
( Ⅰ)求 f (x) 的解析式；
(Ⅱ)求函数f (x)在[ π,0]上的最大值和最小值.
条件 为奇函数；条件②： f ；条件③：f
18. （本小题 14 分）
防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用
又有蓄洪作用.北京地区 2010 年至 2019 年每年汛末（10 月 1 日）水库的蓄水量数据如下：
年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
蓄水量（亿立方米） 11.25 13.25 13.58 17.4 12.4 12.1 18.3 26.5 34.3 34.1
( Ⅰ) 从 2010 年至 2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差
的绝对值小于 1 亿立方米的概率；
( Ⅱ) 从 2014 年至 2019 年的样本数据中随机选取两年的数据，设X 为蓄水量超过 33 亿立方
米的年份个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；
(Ⅲ) 由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明）
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19．（本小题 15分）已知函数 = x alnx,g ,(a∈R) .
（1）若a = 1，求函数f (x) 的最小值；
（2）设函数h (x) = f (x) g (x)，求函数h (x) 的单调区间；
（3）若在区间[1,e] 上存在一点x0 ，使得 f (x0 ) < g (x0)成立，求a 的取值范围.
20.（本小题 15分）已知函数 = eax + x2 + x + b，且曲线y= f (x) 在x = 0 处与x轴
相切.
( Ⅰ)求 a,b的值；
( Ⅱ) 令g(x) = f '(x)，证明：函数g(x)在(0,+∞)上单调递增；
(Ⅲ) 求f (x) 的极值点个数..
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21.（本小题 15分）
对于数列 ，定义a 设 的前n项和为S*n .
设an = ，写出a
(Ⅱ)证明：“对任意n∈ N*，有S*n = a
*
n+1 a1 ”的充要条件是“对任意n∈ N ，有|an+1 an |=1”；
(Ⅲ) 已知首项为 0，项数为m +1(m ≥ 2) 的数列{an}满足：
①对任意1≤ n ≤ m且n∈ N* ，有an+1 an ∈ = am .
求所有满足条件的数列{an }的个数.
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