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专题20 等腰三角形及直角三角形
一．选择题（共17小题）
1．（2024 青海）如图，平分，点在上，，，则点到的距离是
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2024 常州）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点在的平分线上，则
A．与一定相等 B．与一定不相等
C．与一定相等 D．与一定不相等
3．（2024 凉山州）如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则
A． B． C． D．
4．（2024 兰州）如图，在△中，，，，则
A． B． C． D．
5．（2024 云南）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为
A． B．2 C．3 D．
6．（2024 泰安）如图，直线，等边三角形的两个顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是
A． B． C． D．
7．（2024 自贡）如图，等边钢架的立柱于点，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢
A． B． C． D．
8．（2024 青海）如图，在中，是的中点，，，则的长是
A．3 B．6 C． D．
9．（2024 陕西）如图，在中，，是边上的高，是的中点，连接，则图中的直角三角形共有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2024 海南）设直角三角形中一个锐角为度，另一个锐角为度，则与的函数关系式为
A． B． C． D．
11．（2024 巴中）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是
A．的垂直平分线一定与相交于点
B．
C．当为中点时，是等边三角形
D．当为中点时，
12．（2024 淮安）如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是
A．14 B．13 C．12 D．11
13．（2024 南充）如图，在中，，，，平分交于点，点为边上一点，则线段长度的最小值为
A． B． C．2 D．3
14．（2024 南通）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为
A．12 B．13 C．14 D．15
15．（2024 眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为
A．24 B．36 C．40 D．44
16．（2024 巴中）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则
A．8 B．10 C．12 D．13
17．（2024 安徽）如图，在△中，，点在的延长线上，且，则的长是
A． B． C． D．
二．填空题（共15小题）
18．（2024 镇江）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ．
19．（2024 湖南）若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为 ．
20．（2024 镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
21．（2024 常州）若等腰三角形的周长是10，则底边长与腰长的函数表达式为 ．
22．（2024 绥化）如图，，，．则 ．
23．（2024 重庆）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ．
24．（2024 贵州）如图，在中，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，连接．若，则的长为 ．
25．（2024 内江）如图，在中，，，，则的度数为 ．
26．（2024 齐齐哈尔）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，．将沿轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后，点的对应点为，点的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
27．（2024 新疆）如图，在中，，，．若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ．
28．（2024 临夏州）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
29．（2024 陕西）如图，在中，，是边上一点，连接，在的右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
30．（2024 大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
31．（2024 武汉）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为若，则用含的式子表示的值是 ．
32．（2024 吉林）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点，尺，尺．设的长度为尺，可列方程为 ．
三．解答题（共8小题）
33．（2024 兰州）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”．如图1，他用木条能快速画出一个以点为顶点的直角，具体作法如下：
①木条的两端分别记为点，，先将木条的端点与点重合，任意摆放木条后，另一个端点的位置记为点，连接；
②木条的端点固定在点处，将木条绕点顺时针旋转一定的角度，端点的落点记为点（点，，不在同一条直线上）；
③连接并延长，将木条沿点到点的方向平移，使得端点与点重合，端点在延长线上的落点记为点；
④用另一根足够长的木条画线，连接，，则画出的是直角．
操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法．如图2，．请画出以点为顶点的直角，记作；
推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：
证明：，
与是等腰三角形．
，．（依据
．
，（依据
．
．
依据 ：依据 ；
拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点在直线上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以为顶点的直角，记作，使得直角边（或在直线上．（保留作图痕迹，不写作法）
34．（2024 福建）如图，已知直线．
（1）在，所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若与间的距离为2，点，，分别在，，上，且△为等腰直角三角形，求△的面积．
35．（2024 滨州）【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在中，若，，则有；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知．若把①中的替换为，还能推出吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法．
小军 小民
证明：分别延长，至，两点，使得 证明：， 与均为直角三角形 根据勾股定理，得
【问题解决】
（1）完成①的证明；
（2）把②中小军、小民的证明过程补充完整．
36．（2024 新疆）【探究】
（1）已知和都是等边三角形．
①如图1，当点在上时，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究，和之间的数量关系，并说明理由．【运用】
（2）如图3，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长．
37．（2024 吉林）如图，在△中，，，，是△的角平分线．动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．过点作，交于点，以为边作等边三角形，且点，在同侧．设点的运动时间为，△与△重合部分图形的面积为．
（1）当点在线段上运动时，判断△的形状（不必证明），并直接写出的长（用含的代数式表示）．
（2）当点与点重合时，求的值．
（3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
38．（2024 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在轴上，点在第一象限，的长度是一元二次方程的根，动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，、两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为秒，的面积为．
（1）求点的坐标；
（2）求与的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当时，点在轴上，坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
39．（2024 黑龙江）已知是等腰三角形，，，在的内部，点、在上，点在点的左侧，探究线段、、之间的数量关系．
（1）如图①，当时，探究如下：
由，可知，将绕点顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．
（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段、、之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
40．（2024 常州）将边长均为的等边三角形纸片、叠放在一起，使点、分别在边、上（端点除外），边、相交于点，边、相交于点．
（1）如图1，当是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是 ；
（2）如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
（3）如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．
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专题20 等腰三角形及直角三角形
一．选择题（共17小题）
1．（2024 青海）如图，平分，点在上，，，则点到的距离是
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】
【考点】角平分线的性质
【解析】过作于，
平分，点在上，，
，
点到的距离是2．
故选．
2．（2024 常州）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点在的平分线上，则
A．与一定相等 B．与一定不相等
C．与一定相等 D．与一定不相等
【答案】
【考点】角平分线的性质
【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知：当点在的平分线上时，与一定相等，
故选．
3．（2024 凉山州）如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质
【解析】垂直平分交于点，
，
的周长为，
即，
故选．
4．（2024 兰州）如图，在△中，，，，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【解析】在△中，，
，
，
，
，
，
，
，
故选．
5．（2024 云南）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为
A． B．2 C．3 D．
【答案】
【考点】等腰三角形的性质
【解析】是等腰底边上的高，
是顶角的平分线，
点到直线的距离为3，
点到直线的距离为3，
故选．
6．（2024 泰安）如图，直线，等边三角形的两个顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】等边三角形的性质；平行线的性质
【解析】如图，过点作，
直线，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选．
7．（2024 自贡）如图，等边钢架的立柱于点，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢
A． B． C． D．
【答案】
【考点】等边三角形的性质
【解析】是等边三角形，
，，，
，
，
，，
减少用钢为，
故选．
8．（2024 青海）如图，在中，是的中点，，，则的长是
A．3 B．6 C． D．
【答案】
【考点】等边三角形的性质
【解析】点是斜边的中点，，
，
，
为等边三角形，
．
故选．
9．（2024 陕西）如图，在中，，是边上的高，是的中点，连接，则图中的直角三角形共有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】
【考点】直角三角形的性质
【解析】因为，
所以是直角三角形．
因为是边上的高，
所以，
所以、、都是直角三角形，
所以图中的直角三角形共有4个．
故选．
10．（2024 海南）设直角三角形中一个锐角为度，另一个锐角为度，则与的函数关系式为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】函数关系式；直角三角形的性质
【解析】在△中，已知其中一个锐角为，另一个锐角为，
则，
，
由题意得：，
解得：，
，
故选．
11．（2024 巴中）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是
A．的垂直平分线一定与相交于点
B．
C．当为中点时，是等边三角形
D．当为中点时，
【答案】
【考点】等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定
【解析】对于选项，
连接，如图1所示：
，点是的中点，
为斜边上的中线，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上，
即线段的垂直平分线一定与相交于点，
故选项正确，不符合题意；
对于选项，
设，
，
，
，
，
，
，
即，
故选正确，不符合题意；
对于选项，
当为中点时，则，
，
是线段的垂直平分线，
，
，，，
，
，
是等边三角形，
故选正确，不符合题意；
对于选项，
连接，并延长交于，如图2所示：
当为中点时，
点为的中点，
根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点，
当为中点时，是等边三角形，
，，平分，平分，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
故选项不正确，符合题意．
故选．
12．（2024 淮安）如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】
【考点】分数除法的应用；直角三角形的性质；勾股定理
【解析】第一个三角形的斜边长，
第二个三角形的斜边长，
第九个三角形的斜边长，
则这海螺图形周长，
与最接近的整数是3，
与最接近的整数是13，
故选．
13．（2024 南充）如图，在中，，，，平分交于点，点为边上一点，则线段长度的最小值为
A． B． C．2 D．3
【答案】
【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形；垂线段最短
【解析】在中，
，
．
，，
，
平分，
．
在中，
，
．
平分，且，
点到边的距离等于线段的长，
即线段长度的最小值为2．
故选．
14．（2024 南通）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】
【考点】勾股定理的证明
【解析】由题意可知，中间小正方形的边长为，
，即①，
，
②，
①②得，
大正方形的面积为：，
故选．
15．（2024 眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为
A．24 B．36 C．40 D．44
【答案】
【考点】勾股定理的证明
【解析】如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为，
图1中大正方形的面积是24，
，
小正方形的面积是4，
，
，
图2中最大的正方形的面积为；
故选．
16．（2024 巴中）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】
【考点】勾股定理的应用
【解析】设，则，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
即，
故选．
17．（2024 安徽）如图，在△中，，点在的延长线上，且，则的长是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】如图，过点作于，
，，，
，，
，
，
，
故选．
二．填空题（共15小题）
18．（2024 镇江）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 3 ．
【答案】3．
【考点】线段垂直平分线的性质
【解析】，，
，
在的垂直平分线上，
．
故答案为：3．
19．（2024 湖南）若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为 100 ．
【答案】100．
【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】由题知，
等腰三角形的一个底角的度数为，
这个等腰三角形的另一个底角的度数为，
等腰三角形的顶角的度数为：．
故答案为：100．
20．（2024 镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 6 ．
【答案】6．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系
【解析】当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2，
，
能构成三角形，
第三边长为6；
当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，
，
不能构成三角形，舍去；
综上，第三边长为6，
故答案为：6．
21．（2024 常州）若等腰三角形的周长是10，则底边长与腰长的函数表达式为 ．
【答案】．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系；函数关系式
【解析】等腰三角形的周长是10，则底边长与腰长，
，，，，
由，得：，
由，得：，解得：，
由，得：，解得：，
的取值范围是：，
底边长与腰长的函数表达式为：．
故答案为：．
22．（2024 绥化）如图，，，．则 66 ．
【答案】66．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质
【解析】，，
，
，
，
，
故答案为：66．
23．（2024 重庆）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 2 ．
【答案】2．
【考点】等腰三角形的性质
【解析】，
，
，
又，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：2．
24．（2024 贵州）如图，在中，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，连接．若，则的长为 5 ．
【答案】5．
【考点】等腰三角形的性质
【解析】由作图可知：，
，
，
故答案为：5．
25．（2024 内江）如图，在中，，，，则的度数为 ．
【答案】．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【解析】，，
设，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
26．（2024 齐齐哈尔）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，．将沿轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后，点的对应点为，点的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ， ．
【答案】，．
【考点】规律型：点的坐标；等腰三角形的性质
【解析】由题知，
，，
，
点在的垂直平分线上．
点的坐标为，
，
在△中，
，
，
点的坐标为．
依次类推，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
点的坐标为为正整数）．
又每滚动三次，出现下一个花心，
于2，
则，
滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心对应的点为点．
当时，
点的坐标为，，
即滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心的坐标为，．
故答案为：，．
27．（2024 新疆）如图，在中，，，．若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 6或12 ．
【答案】6或12．
【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形
【解析】在中，
，
，
．
当点在点左上方时，如图所示，
，，
．
又，
，
，
．
当点在点的右下方时，如图所示，
，，
．
在中，
，
．
综上所述，的长为6或12．
故答案为：6或12．
28．（2024 临夏州）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
【答案】．
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质；平移的性质
【解析】，，
．
又是的中线，
．
在中，
，
，
．
，
．
令与的交点为，与的交点为，
由平移可知，
，
在△中，
，
．
，
，
．
故答案为：．
29．（2024 陕西）如图，在中，，是边上一点，连接，在的右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 60 ．
【答案】60．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】，
，
，
，
，
平分，
过点作，，
则：，
，，且，
，
四边形的面积，
，
，
设，则，
由勾股定理，得：，
，
解得：，
，
，
四边形的面积为60，
故答案为：60．
30．（2024 大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 48 ．
【答案】48．
【考点】勾股定理
【解析】把图2中各个小正方形标上字母，设正方形的边长为，正方形的边长为．
正方形的面积为，正方形的面积为．
由题意得：正方形的边长为2，并且是直角三角形的斜边．
正方形的面积为4．
根据勾股定理可得：．
正方形的面积正方形的面积；
图1中所有正方形的面积和．
同理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积．
图2中所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和．
即一次操作后所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和．
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积也是4．
次操作后所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和．
次操作后所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和．
31．（2024 武汉）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为若，则用含的式子表示的值是 ．
【答案】．
【考点】勾股定理的证明
【解析】方法一：如图，过作交延长线于点，
，
，，
，
，
设，则，
，
，，
，
，
，，
；
方法二：如图，过作交延长线于点，则是等腰直角三角形，
易证，
，
根据角平分线比例定理得：，
设，则，
，，
，
，，
；
故答案为：．
32．（2024 吉林）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点，尺，尺．设的长度为尺，可列方程为 ．
【答案】．
【考点】勾股定理的应用
【解析】在△中，由勾股定理得，
，
即，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
33．（2024 兰州）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”．如图1，他用木条能快速画出一个以点为顶点的直角，具体作法如下：
①木条的两端分别记为点，，先将木条的端点与点重合，任意摆放木条后，另一个端点的位置记为点，连接；
②木条的端点固定在点处，将木条绕点顺时针旋转一定的角度，端点的落点记为点（点，，不在同一条直线上）；
③连接并延长，将木条沿点到点的方向平移，使得端点与点重合，端点在延长线上的落点记为点；
④用另一根足够长的木条画线，连接，，则画出的是直角．
操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法．如图2，．请画出以点为顶点的直角，记作；
推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：
证明：，
与是等腰三角形．
，．（依据
．
，（依据
．
．
依据 等边对等角（等腰三角形的性质） ：依据 ；
拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点在直线上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以为顶点的直角，记作，使得直角边（或在直线上．（保留作图痕迹，不写作法）
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【解析】（1）；
（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理；
故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；
（3）．
34．（2024 福建）如图，已知直线．
（1）在，所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若与间的距离为2，点，，分别在，，上，且△为等腰直角三角形，求△的面积．
【考点】三角形综合题
【解析】（1）如图1，直线即为所求作的直线；
（2）①当，时，如图2，
，直线 与 间的距离为2，且与 间的距离等于与 间的距离，
根据图形的对称性可知：，
，
，
②当， 时，
如图3，分别过点，作直线 的垂线，垂足为，，
，
，直线 与 间的距离为2，且与 间的距离等于与 间的距离，
，，
，，
，
△△，
，
在△中，由勾股定理得，
，
，
③当，时，同理②可得，
，
综上所述，△的面积为1或．
35．（2024 滨州）【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在中，若，，则有；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知．若把①中的替换为，还能推出吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法．
小军 小民
证明：分别延长，至，两点，使得 证明：， 与均为直角三角形 根据勾股定理，得
【问题解决】
（1）完成①的证明；
（2）把②中小军、小民的证明过程补充完整．
【考点】三角形综合题
【解析】证明：（1），
，
在和中，
，
，
；
（2）小军的证明过程：
分别延长，至，两点，使得，，如图所示，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，，
；
小民的证明过程：
，
与均为直角三角形，
根据勾股定理，得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
．
36．（2024 新疆）【探究】
（1）已知和都是等边三角形．
①如图1，当点在上时，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究，和之间的数量关系，并说明理由．【运用】
（2）如图3，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长．
【考点】三角形综合题
【解析】（1）①．理由如下，
和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
②．理由如下，
和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）过作，则为等边三角形．
①当点在左侧时，如图1，
，，，
，
，
此时不可能为直角三角形．
②当点在右侧，且在线段上时，如图2，
同理可得，
，，
此时只有有可能为，
当时，，
，
，
，
又，
．
③当点在右侧，且延长线上时，如图3，
此时只有，
，
，
，
，
，
．
综上：的长为或．
37．（2024 吉林）如图，在△中，，，，是△的角平分线．动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．过点作，交于点，以为边作等边三角形，且点，在同侧．设点的运动时间为，△与△重合部分图形的面积为．
（1）当点在线段上运动时，判断△的形状（不必证明），并直接写出的长（用含的代数式表示）．
（2）当点与点重合时，求的值．
（3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【考点】三角形综合题
【解析】（1）如图，过作于点，
，
，
是角平分线，
，
，
，
△是等腰三角形．
，
，
，
，
故△是等腰三角形，．
（2）如图所示，、重合时图形．
△是等边三角形，
，
由（1）得，
，即，
．
（3）①当点在上，点在上时，重合部分是等边三角形，如图作于点，
，
，
△是等边三角形，
，
．
由（2）知当点重合时，，
．
②当点在上，点在延长线上时，重合部分时四边形．
在△中，，，
，
，
．
③当点在上，重合部分时直角三角形，
，．
综上所述，．
38．（2024 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在轴上，点在第一象限，的长度是一元二次方程的根，动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，、两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为秒，的面积为．
（1）求点的坐标；
（2）求与的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当时，点在轴上，坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】三角形综合题
【解析】（1），解得，，
的长度是的根，
，
是等边三角形，
，，
过点作轴，垂足为，
在中，，
，
，
，
点的坐标为，；
（2）当时，过作轴，垂足为点，
，，，
，
，
，
当时，过作，垂足为点，
，
，
又，
，，
又，
；
当时，过作，垂足为，
，
同理可得，，
，
；
综上所述；
（3）当时，
解得，
，
过点作轴于点，则，
，
点的坐标为，；
当为边时，将沿轴向下平移4个单位得，，此时，四边形是菱形；将沿轴向上平移4个单位得，，此时，四边形是菱形；如图，
作点关于轴的对称点，，当，时，四边形是蒌形；
当为对角线时，设的中点为，过点作轴，交轴于点，延长到，使，连接，过点作轴于点，
则，，
，
，
即，
解得，，
，，
；
当，
解得，不符合题意，此情况不存在；
当时，
解得，
不符合题意，此情况不存在；
综上，点的坐标为，，，，，．
39．（2024 黑龙江）已知是等腰三角形，，，在的内部，点、在上，点在点的左侧，探究线段、、之间的数量关系．
（1）如图①，当时，探究如下：
由，可知，将绕点顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．
（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段、、之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
【考点】三角形综合题
【解析】图②的结论是．
证明：，，
是等边三角形，
，
以点为顶点在外作，在上截取，连接、，过点作，垂足为，
，，，
，
，，
又，
，
即，
又，
，
；
，，
，
，
，，
，
在中，可得：，即，
整理得．
．
图③的结论是：．
证明：以点为顶点在外作，在上截取，连接、，过点作，垂足为，
，，，
，
，，
又，
，即，
又，
，
，
在中，，，
，，
，
在中，可得：，即，
整理得．
．
40．（2024 常州）将边长均为的等边三角形纸片、叠放在一起，使点、分别在边、上（端点除外），边、相交于点，边、相交于点．
（1）如图1，当是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是 菱形 ；
（2）如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
（3）如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．
【考点】三角形综合题
【解析】（1）如图所示，连接，，
，都是等边三角形，
，
、、、四点共圆，
点是的中点，
，
为过、、、的圆的直径，
又，
为过、、、的圆的直径，
点为圆心，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
两张纸片重叠部分的形状是菱形，
故答案为：菱形；
（2），都是等边三角形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是等边三角形，
过点作，
设 ，则，，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为；
（3），理由如下：
如图所示，过点作于，过点作于，连接，
，都是边长为的等边三角形，
，，，
由勾股定理可得，，
，
又，
，
，
，即．
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