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专题19 三角形及全等三角形
一．选择题（共18小题）
1．（2024 淮安）用一根小木棒与两根长度分别为、的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是
A． B． C． D．
2．（2024 长沙）如图，在中，，，，则的度数为
A． B． C． D．
3．（2024 广东）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为
A． B． C． D．
4．（2024 兰州）如图，小张想估测被池塘隔开的，两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为
A． B． C． D．
5．（2024 广安）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为
A． B． C． D．
6．（2024 包头）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为
A．14 B．11 C．10 D．9
7．（2024 台湾）如图，内部有一点，且、、的面积分别为5、4、3．若的重心为，则下列叙述何者正确？
A．与的面积相同，且与平行
B．与的面积相同，且与不平行
C．与的面积相同，且与平行
D．与的面积相同，且与不平行
8．（2024 烟台）如图，在正方形中，点，分别为对角线，的三等分点，连接并延长交于点，连接，．若，则用含的代数式表示为
A． B． C． D．
9．（2024 台湾）四边形中，、两点在上，点在上，各点位置如图所示．连接、后，根据图中标示的角与角度，判断下列关系何者正确？
A． B． C． D．
10．（2024 宁夏）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为 ．
下列结论：
①当时，四边形的周长是；
②当时，点到直线的距离等于；
③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大；
④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．
其中正确的是
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
11．（2024 济南）如图，已知，，，则的度数为
A． B． C． D．
12．（2024 广州）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为
A．18 B． C．9 D．
13．（2024 安徽）在凸五边形中，，，是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是
A． B． C． D．
14．（2024 遂宁）如图1，与△满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点，在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
15．（2024 浙江）如图，正方形由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形组成，连接．若，，则
A．5 B． C． D．4
16．（2024 宜宾）如图，在中，，，以为边作，，点与点在的两侧，则的最大值为
A． B． C．5 D．8
17．（2024 重庆）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为
A． B． C． D．
18．（2024 达州）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二．填空题（共15小题）
19．（2024 海南）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为 ．
20．（2024 达州）如图，在中，，点在线段上，且，若，，则的面积是 ．
21．（2024 凉山州）如图，中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ．
22．（2024 济南）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点，分别在，上，当时， ．
23．（2024 浙江）如图，，分别是△边，的中点，连接，．若，，则的长为 ．
24．（2024 无锡）在中，，，，，，分别是，，的中点，则的周长为 ．
25．（2024 长沙）如图，在中，点，分别是，的中点，连接．若，则的长为 ．
26．（2024 宿迁）如图，在中，，，是高，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，作射线，则 ．
27．（2024 达州）如图，在中，，分别是内角，外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线，且，，，以此规律作下去，若，则 度．
28．（2024 成都）如图，，若，，则的度数为 ．
29．（2024 牡丹江）如图，中，是上一点，，、、三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可）
30．（2024 临夏州）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ．
31．（2024 湖北）如图，由三个全等的三角形，，与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点．若．则（1）的度数是 ；（2）的长是 ．
32．（2024 浙江）如图，在菱形中，对角线，相交于点，．线段与关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，交于点，则△与四边形的面积比为 ．
33．（2024 遂宁）在等边三边上分别取点、、，使得，连结三点得到，易得，设，则．
如图①当时，；
如图②当时，；
如图③当时，；
直接写出，当时， ．
三．解答题（共12小题）
34．（2024 绥化）已知：．
（1）尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是 ．
35．（2024 淄博）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△△．
你添加的条件是： （只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
36．（2024 云南）如图，在和中，，，．求证：．
37．（2024 乐山）如图，是的平分线，，求证：．
38．（2024 吉林）如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：．
39．（2024 宜宾）如图，点、分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点．求证：．
40．（2024 内江）如图，点、、、在同一条直线上，，，．
（1）求证：△△；
（2）若，，求的度数．
41．（2024 南充）如图，在中，点为边的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，求证：．
42．（2024 常州）如图，、、、是直线上的四点，、相交于点，，，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接，则与的位置关系是 ．
43．（2024 镇江）如图，，．
（1）求证：；
（2）若，则 ．
44．（2024 长沙）如图，点在线段上，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
45．（2024 宁夏）综合与实践
如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点．
【发现结论】
结论 ；
结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是 ．
【应用结论】
（1）求证：；
（2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：．
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专题19 三角形及全等三角形
一．选择题（共18小题）
1．（2024 淮安）用一根小木棒与两根长度分别为、的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】三角形三边关系
【解析】设第三根木棒长为 ，由三角形三边关系定理得，
所以的取值范围是，
观察选项，只有选项符合题意．
故选．
2．（2024 长沙）如图，在中，，，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】，，
，
，
，
故选．
3．（2024 广东）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】三角形的外角性质
【解析】由题知，
，
又，
．
故选．
4．（2024 兰州）如图，小张想估测被池塘隔开的，两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】三角形中位线定理
【解析】、分别是、的中点，
是的中位线．
根据三角形的中位线定理，得：．
故选．
5．（2024 广安）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】三角形中位线定理
【解析】点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
故选．
6．（2024 包头）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】
【考点】三角形的面积；坐标与图形性质
【解析】过点作轴于，作轴于，如图，
四边形的面积
，
故选．
7．（2024 台湾）如图，内部有一点，且、、的面积分别为5、4、3．若的重心为，则下列叙述何者正确？
A．与的面积相同，且与平行
B．与的面积相同，且与不平行
C．与的面积相同，且与平行
D．与的面积相同，且与不平行
【答案】
【考点】勾股定理的逆定理；三角形的重心；三角形的面积
【解析】内部有一点，且、、的面积分别为5、4、3，
，
的重心为，
，
，
点、到的距离相等，且位于的同侧，
，故结论正确；结论、、错误；
故选．
8．（2024 烟台）如图，在正方形中，点，分别为对角线，的三等分点，连接并延长交于点，连接，．若，则用含的代数式表示为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的外角性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】设与的交点为，
正方形中，点，分别为对角线，的三等分点，
，，，
，
，，
，
，
点，分别为对角线，的三等分点，
，
正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选．
9．（2024 台湾）四边形中，、两点在上，点在上，各点位置如图所示．连接、后，根据图中标示的角与角度，判断下列关系何者正确？
A． B． C． D．
【答案】
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】，，
，
故、选项错误，
，
，
，
，
，
，
，
故选．
10．（2024 宁夏）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为 ．
下列结论：
①当时，四边形的周长是；
②当时，点到直线的距离等于；
③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大；
④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．
其中正确的是
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】
【考点】三角形中位线定理；三角形的面积
【解析】①当时，
，
则．
又因为，，
所以四边形是矩形，
所以，
所以四边形的周长为：．
故①正确．
因为“平行线间的距离处处相等”， ，，
所以直线与直线之间的距离是，
所以当时，点到直线的距离仍然是．
故②错误．
由上述过程可知，
点到的距离为定值，
即的边上的高为，
又因为，
所以的面积为定值．
故③错误．
因为点，分别是线段，的中点，
所以是的中位线，
所以，
即线段的长度不变．
故④正确．
故选．
11．（2024 济南）如图，已知，，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】三角形内角和定理；全等三角形的性质
【解析】，
，
，
．
故选．
12．（2024 广州）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为
A．18 B． C．9 D．
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】如图，连接，
，，为边的中点，
，，，
在和中，
，
，
，
四边形的面积，
故选．
13．（2024 安徽）在凸五边形中，，，是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】选项：连接、，
，，，
，
，
是的中点，
，所以选项不合题意；
选项：连接、，
，，，
，
，，
，
，
，即，
，所以选项不合题意；
选项：思路与选项大致相同，先证，再证，
，即，
，所以选项不合题意；
选项 的条件无法证出全等，故证不出，所以选项符合题意．
故答案选：．
14．（2024 遂宁）如图1，与△满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点，在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】
【考点】全等三角形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质
【解析】，
．
在和中，
，
，
．
，，，，
和是一对“伪全等三角形”．
同理可得，
和是一对“伪全等三角形”．
和是一对“伪全等三角形”．
和是一对“伪全等三角形”．
所以图中的“伪全等三角形”共有4对．
故选．
15．（2024 浙江）如图，正方形由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形组成，连接．若，，则
A．5 B． C． D．4
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】，
，，
，
四边形形是正方形，
，
，
故选．
16．（2024 宜宾）如图，在中，，，以为边作，，点与点在的两侧，则的最大值为
A． B． C．5 D．8
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系；等腰直角三角形
【解析】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，
，，
，
，
，
又，，
，
，
在中，，
当，，三点共线时，有最大值，
的最大值，
故选．
17．（2024 重庆）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】过点作交延长线于点，
四边形是正方形，
，，
绕点逆时针旋转，得到，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
设，正方形边长为，
则，，，
，
，
故选．
18．（2024 达州）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】
【考点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】①是等腰直角三角形，，，
，，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
又，
，
，
故结论①正确；
②，
，
，
，
故结论②正确；
③以为斜边在外侧构造等腰，作的外接圆，过点作于，的延长线交于，连接，，过点作交的延长线于，连接交于，如图所示：
，
，
，
点在上运动，
，
当点与点重合时，的面积为最大，最大值为的面积，
根据等腰直角三角形的性质得：，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
故结论③正确；
④点在上运动，
当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即的最小值是，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②③④．
故选．
二．填空题（共15小题）
19．（2024 海南）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为 80 ．
【答案】80．
【考点】三角形中位线定理
【解析】是的中点，垂直于地面，垂直于地面，
是△的中位线，
，
另一端离地面的高度为，
故答案为：80．
20．（2024 达州）如图，在中，，点在线段上，且，若，，则的面积是 ．
【答案】．
【考点】三角形的面积
【解析】过作，交延长线于点，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
是等腰直角三角形，即，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
21．（2024 凉山州）如图，中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ．
【答案】．
【考点】角平分线的定义；三角形内角和定理
【解析】是边上的高，
，
，，
，，
，
是的平分线，
，
，
故答案为：．
22．（2024 济南）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点，分别在，上，当时， 65 ．
【答案】65．
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质；等腰直角三角形
【解析】如图，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：65．
23．（2024 浙江）如图，，分别是△边，的中点，连接，．若，，则的长为 4 ．
【答案】4．
【考点】三角形中位线定理
【解析】，分别是△边，的中点，
，，
，
，
，
，
故答案为：4．
24．（2024 无锡）在中，，，，，，分别是，，的中点，则的周长为 9 ．
【答案】9．
【考点】三角形中位线定理
【解析】，，，，，分别是，，的中点，
，
的周长，
故答案为：9．
25．（2024 长沙）如图，在中，点，分别是，的中点，连接．若，则的长为 24 ．
【答案】24．
【考点】三角形中位线定理
【解析】点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
故答案为：24．
26．（2024 宿迁）如图，在中，，，是高，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，作射线，则 10 ．
【答案】10．
【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】在中，，，
，
由作图知，平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：10．
27．（2024 达州）如图，在中，，分别是内角，外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线，且，，，以此规律作下去，若，则 度．
【答案】．
【考点】规律型：图形的变化类；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】由题意，，
设，，则，，
由三角形的外角的性质得：，，，
同理可求：， ，，
即，
故答案为：．
28．（2024 成都）如图，，若，，则的度数为 ．
【答案】．
【考点】全等三角形的性质
【解析】，
，
，
，
故答案为：．
29．（2024 牡丹江）如图，中，是上一点，，、、三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可）
【答案】或（答案不唯一）．
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】，
，，
添加条件，可以使得，
添加条件，可以使得，
故答案为：或（答案不唯一）．
30．（2024 临夏州）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ．
【答案】．
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的性质
【解析】点在第一象限（不与点重合），且 与 全等，
，
，，如图所示：
由图可知：；
故答案为：．
31．（2024 湖北）如图，由三个全等的三角形，，与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点．若．则（1）的度数是 ；（2）的长是 ．
【答案】（1），
（2）．
【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的性质
【解析】（已知），
，，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，，
如图，过点作的延长线于点，
，
，
，
，，
，
，
．
32．（2024 浙江）如图，在菱形中，对角线，相交于点，．线段与关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，交于点，则△与四边形的面积比为 ．
【答案】．
【考点】轴对称的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】如图连接、，
关于过的直线对称，
在延长线上，
，
设，，
在菱形中，，，
与关于过的直线对称，
，，，
，
，
△，
，
，，
△，
，
，
．
故答案为：．
33．（2024 遂宁）在等边三边上分别取点、、，使得，连结三点得到，易得，设，则．
如图①当时，；
如图②当时，；
如图③当时，；
直接写出，当时， ．
【答案】．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【解析】如图①当时，；
如图②当时，；
如图③当时，；
当时，；
故当时，．
三．解答题（共12小题）
34．（2024 绥化）已知：．
（1）尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是 15 ．
【考点】作图—复杂作图；三角形的面积；三角形的重心
【解析】（1）分别作出边和边的垂直平分线，与和边分别交于点和点，
连接和，
如图所示，点即为所求作的点．
（2）点是的重心，
，
的面积等于，
的面积等于，
的面积等于．
又是的中线，
的面积等于．
故答案为：15．
35．（2024 淄博）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△△．
你添加的条件是： ①（答案不唯一） （只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
【考点】全等三角形的判定
【解析】当选择①时，△△，证明如下：
在△和△中，
，
△△，
，
；
当选择②时，△△，证明如下：
在△和△中，
，
△△；
，
；
当选择③时，不能判定△△，
故答案为：①（答案不唯一）．
36．（2024 云南）如图，在和中，，，．求证：．
【考点】全等三角形的判定
【解析】证明：，
，即，
在与中，
，
．
37．（2024 乐山）如图，是的平分线，，求证：．
【答案】见解答过程．
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】证明：是的平分线，
，
在和中，
，
，
．
38．（2024 吉林）如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【解析】证明：点是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
．
39．（2024 宜宾）如图，点、分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点．求证：．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【解析】证明：为等边三角形，
，，
在和中，
，
，
．
40．（2024 内江）如图，点、、、在同一条直线上，，，．
（1）求证：△△；
（2）若，，求的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】（1）证明：，
，
即，
在△和△中，
，
△△；
（2）解：，，
由（1）可知：△△，
，
．
41．（2024 南充）如图，在中，点为边的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，求证：．
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】（1）证明：点为的中点，
，
，
，，
在和中，
，
；
（2）证明：点为的中点，，
直线为线段的垂直平分线，
，
由（1）可知：，
，
．
42．（2024 常州）如图，、、、是直线上的四点，、相交于点，，，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接，则与的位置关系是 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】（1）证明：在和中，
，
，
，
即，
，
为等腰三角形；
（2）与的位置关系是：，理由如下：
连接，过作直线于，过作直线于，如图所示：
则，，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形为平行四边形，
．
43．（2024 镇江）如图，，．
（1）求证：；
（2）若，则 20 ．
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
44．（2024 长沙）如图，点在线段上，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】（1）证明：在和中，
，
．
（2）解：由（1）得，
，，
，
，
，
的度数是．
45．（2024 宁夏）综合与实践
如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点．
【发现结论】
结论 ；
结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是 ．
【应用结论】
（1）求证：；
（2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：．
【考点】三角形综合题
【解析】【发现结论】解：结论是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
结论2：由结论1知，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
故答案为：；
【应用结论】证明：（1）在中，，
在中，，
，
在和中，
，
；
；
（2）证明：补全图形如图所示，
在中，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
又，
．
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