人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形本章小结与复习

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人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
本章小结与复习
一、本章知识结构图
一、知识点梳理
知识点1. 全等三角形性质
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边常是对应边．
(4)有公共角的，公共角常是对应角．
(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．
典例剖析1
例1．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则与的和为　　
A． B． C． D．
针对训练1
1.如图，已知，点B，E，C，F在同一条直线上.
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求BF的长.
2．如图，，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F.
(1)求证：；
(2)若，求的度数.
3．沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形.

4．如图，A，C，E三点在同一直线上，且.
（1）求证：.
（2）若，求证：.
5．如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且，求证：.
知识点2 全等三角形
1．判定和性质
一般三角形 直角三角形
判定 边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质 对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；
② 全等三角形面积相等．
2．证题的思路：
典例剖析2
例2.如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD。
针对训练2
1．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知，现添加以下的哪个条件仍不能判定( )
A. B. C. D.
2．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图,其中等于( ).
A.150° B.180° C.210° D.225°
3．如图，在中，，E，F分别是AB、AC上的点，且，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有( )
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
4．如图所示，中，，.直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F.若，，则______.
5．如图，和中，，，，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分；②MB平分，其中正确的一个是_______请写序号），并给出证明过程.
知识点3 全等三角形的应用：
运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
证明两线段相等
　 1.两全等三角形中对应边相等。
　 2.同一三角形中等角对等边。
　 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。　
4.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
　 5.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
　 6.等于同一线段的两条线段相等。
证明两角相等
　　1.两全等三角形的对应角相等。
　　2.同一三角形中等边对等角。
　　3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
　　4.两条平行线的同位角、内错角。
　　5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
典例剖析3
例3 .如图，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线，且使，在上截取，过D点作，使在一条直线上，测得米，则A，B之间的距离为 米．
针对训练3
1．如图，海岸上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方.如果从观测点A看海岛C，D的视角与从观测点B看海岛C，D的视角相等，那么海岛C，D到观测点A，B所在海岸的距离CA，DB相等.请你说明理由.
2．已知，在中，D，A，E三点都在同一直线上，.
（1）如图1，若，.
求证：①；
②
（2）如图2，，，，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们的运动时间为t（s），是否存在x，使得与全等 若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由.
3．如图是一把雨伞的框架图，伞骨，支撑杆，，，当点O沿滑动时，雨伞开闭，在雨伞开闭过程中，与大小关系如何？请说明理由.
4．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(，)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______cm.
知识点4 两个基本尺规作图：
1 .用直尺和圆规作一个角等于已知角（依据：三边分别相等的两个三角形全等）
已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B'
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。
2.作已知角的平分线（依据：三边分别相等的两个三角形全等）。
已知：∠AOB；求作：∠AOB的平分线。1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。3、画射线OC，射线OC即为所求。
注：“画射线OC ”不能说成“连接OC ”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线。
典例剖析4
例4 .已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母）
针对训练4
1．已知：.
求作：,使
(1)如图1,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C、D；
(2)如图2,画一条射线,以点为圆心,OC长为半径间弧,交于点；
(3)以点为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所而的弧交于点；
(4)过点画射线,则.
根据以上作图步骤,请你证明.
2．如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到的依据是( )
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
3．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是( )
A. B. C. D.
4．如图,在中,,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点D,E,再分别以D,E为圆心,大于的长分别为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交BC于点C,若,,则的面积为( )
A.30 B.15 C.20 D.50
知识点5 角的平分线的性质和判定
1 .角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
2 .角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上。
3 .重要拓展
（1）、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
（2）、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。
∵AD是∠BAC的角平分线；∴DF=DE；∵；；∴ = ；
4 .证明几何命题的一般步骤
（1）明确命题中的已知和求证。
（2）根据题意，画出图形（在画图时，要考是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明），并用符号表示已知和求证。
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
典例剖析5
例5 .如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
针对训练5
1．如图，AD是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点G.AD与EF垂直吗？证明你的结论.
2．如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，.
（1）如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）；
（2）如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由.
（3）如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由.
3．在中，.如图1，当，AD为的平分线时，在AB上截取，连接DE，易证.
（1）如图2，当，AD为的平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.
（2）如图3，当AD为的外角平分线时线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.
4．在中，平分交于点M，点P是直线上一点，过点P作于点H.
（1）如图1，当，且点P与点C重合时， 度.
（2）如图2，当点P在的延长线上时，求证:；
（3）如图3，当点P在线段上（不含端点）时，
①补全图形；
②直接写出之间的数量关系:
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第12章 全等三角形
本章小结与复习（解析版）
一、本章知识结构图
一、知识点梳理
知识点1. 全等三角形性质
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边常是对应边．
(4)有公共角的，公共角常是对应角．
(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．
典例剖析1
例1．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则与的和为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先证明，根据全等三角形的性质可得，再根据余角的定义可得，再根据等量代换可得与的和为．
【解析】解：由图可知，，
，
，
，
故选：．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
针对训练1
1.如图，已知，点B，E，C，F在同一条直线上.
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求BF的长.
答案：(1)
(2)
解析：(1)，，
.
，.
(2)，，
.
，，
.
2．如图，，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F.
(1)求证：；
(2)若，求的度数.
答案：(1)见解析
(2)35°
解析：(1)证明：，
，
即，
；
(2)，，
，
，
，
，，
.
3．沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形.

答案：见解析
解析：如图所示（任意两种方法，正确即可）：
4．如图，A，C，E三点在同一直线上，且.
（1）求证：.
（2）若，求证：.
答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1），
，，
，
；
（2），
，，
，
.
5．如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且，求证：.
答案：证明：，
，，
，
即.
知识点2 全等三角形
1．判定和性质
一般三角形 直角三角形
判定 边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质 对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；
② 全等三角形面积相等．
2．证题的思路：
典例剖析2
例2.如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD。
【答案】证明：如下图，延长AD至点F，使AD=DF，连BF
∵AD是△ABC的中线
∴BD=DC
在△BDF与△CDA中
∴△BDF≌△CDA
∴BF=AC，∠BFA=∠DAC
∴∠BAF+∠BFA=∠BAF+∠DAC=∠BAC
∵∠BAC=∠BCA
∴∠BAF+∠BFA=∠BCA
∵∠ABF+∠BFA+∠BAF=180°=∠ACE+∠ACB
∴∠ABF=∠ACE
在△ABF与△ECA中
∴△ABF≌△ECA
∴AE=AF=2AD
针对训练2
1．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知，现添加以下的哪个条件仍不能判定( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：，为公共角，
A、如添加，利用ASA即可证明；
B、如添，利用SAS即可证明；
C、如添，等量关系可得，利用SAS即可证明；
D、如添，因为SSA，不能证明，所以此选项不能作为添加的条件.
故选：D.
2．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图,其中等于( ).
A.150° B.180° C.210° D.225°
答案：B
解析：由题意得：,,,
,
,
.
故选B.
3．如图，在中，，E，F分别是AB、AC上的点，且，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有( )
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
答案：D
解析：，，
，，
是公共边，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，，
，
，，OD是公共边，
，
，，，
，
一共7对
故选D.
4．如图所示，中，，.直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F.若，，则______.
答案：10
解析：于点E，于点F.
，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：10.
5．如图，和中，，，，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分；②MB平分，其中正确的一个是_______请写序号），并给出证明过程.
答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）②，证明过程见解析
解析：（1），
，
即，
，
，
（2）
，BE＝BD，
（3）结论：②，理由如下：
如图，作于K，于J，
，，
，
，
MB平分
结论②成立
若①成立，同理可得，
则，根据已知条件不能判断，
则①不成立，
故答案为：②.
知识点3 全等三角形的应用：
运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
证明两线段相等
　 1.两全等三角形中对应边相等。
　 2.同一三角形中等角对等边。
　 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。　
4.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
　 5.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
　 6.等于同一线段的两条线段相等。
证明两角相等
　　1.两全等三角形的对应角相等。
　　2.同一三角形中等边对等角。
　　3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
　　4.两条平行线的同位角、内错角。
　　5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
典例剖析3
例3 .如图，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线，且使，在上截取，过D点作，使在一条直线上，测得米，则A，B之间的距离为 米．
【答案】16
【分析】根据已知条件可得，从而得到，从而得解．
【详解】∵，
∴°，
∵，
∴，
∴．
又∵米，
∴，
即之间的距离为16米．
【点评】此题主要考查全等三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法．
针对训练3
1．如图，海岸上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方.如果从观测点A看海岛C，D的视角与从观测点B看海岛C，D的视角相等，那么海岛C，D到观测点A，B所在海岸的距离CA，DB相等.请你说明理由.
答案：理由见解析
解析：理由如下：
海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，
.
，
，
即.
在和中，
，
.
2．已知，在中，D，A，E三点都在同一直线上，.
（1）如图1，若，.
求证：①；
②
（2）如图2，，，，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们的运动时间为t（s），是否存在x，使得与全等 若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）见解析
（2），或，
解析：（1）①，
，
，
又，，
，
②，
，，
；
（2）存在，当时，
，，
，此时；
当时，
，，
，，
综上：，或，.
3．如图是一把雨伞的框架图，伞骨，支撑杆，，，当点O沿滑动时，雨伞开闭，在雨伞开闭过程中，与大小关系如何？请说明理由.
答案：
解析：因为，又，，所以，
又因为，.
所以.
所以.
4．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(，)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______cm.
答案：20
解析：由题意得：，，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
由题意得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为20cm.
故答案是：20.
知识点4 两个基本尺规作图：
1 .用直尺和圆规作一个角等于已知角（依据：三边分别相等的两个三角形全等）
已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B'
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。
2.作已知角的平分线（依据：三边分别相等的两个三角形全等）。
已知：∠AOB；求作：∠AOB的平分线。1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。3、画射线OC，射线OC即为所求。
注：“画射线OC ”不能说成“连接OC ”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线。
典例剖析4
例4 .已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母）
【答案】见解析
【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可．
【解析】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N；
作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求．
【点评】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键．
针对训练4
1．已知：.
求作：,使
(1)如图1,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C、D；
(2)如图2,画一条射线,以点为圆心,OC长为半径间弧,交于点；
(3)以点为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所而的弧交于点；
(4)过点画射线,则.
根据以上作图步骤,请你证明.
答案：证明见解析
解析：由作法得,,
在和中
,
∴,
∴,
即.
2．如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到的依据是( )
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
答案：B
解析：由作法得，，
所以可根据“SSS”证明.
故选：B.
3．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：根据作图可得，，故A，C正确；
A，F在的垂直平分线上，
，故D选项正确，
而不一定成立，故B选项错误，
故选：B.
4．如图,在中,,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点D,E,再分别以D,E为圆心,大于的长分别为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交BC于点C,若,,则的面积为( )
A.30 B.15 C.20 D.50
答案：B
解析:由作法得AG平分,
点到AC的距离等于BG的长,即G点到AC的距离为3,
所以的面积.
故选:B.
知识点5 角的平分线的性质和判定
1 .角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
2 .角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上。
3 .重要拓展
（1）、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
（2）、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。
∵AD是∠BAC的角平分线；∴DF=DE；∵；；∴ = ；
4 .证明几何命题的一般步骤
（1）明确命题中的已知和求证。
（2）根据题意，画出图形（在画图时，要考是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明），并用符号表示已知和求证。
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
典例剖析5
例5 .如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）略 （2）AF+BE＝AE
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
针对训练5
1．如图，AD是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点G.AD与EF垂直吗？证明你的结论.
答案：AD与EF垂直，证明见解析
解析：AD与EF垂直.
证明：是的角平分线，，，
.
在和中，
.
在和中，
，
.
又，
.
.
2．如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，.
（1）如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）；
（2）如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由.
（3）如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由.
答案：（1），
（2）成立，理由见详解
（3），
解析：（1），，
证明：过P点作于点E，作于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
OM平分AOB，
，
，，
，，
，，
，
四边形OCPD的内角和为360°，
同理，可证明四边形OFPE的内角和为360°，
，
，
即，
，即，
，
，，
，
结合，，可得：，
，
，
，
，
，，
，
，
结论得证；
（2）成立，理由如下：
过P点作于点E，作于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
OM平分AOB，
，
，，
，，
四边形OFPE的内角和为360°，
，
，
即，
，，即，
，
，，
，
结合，，可得：，
，
，
，
，
，，
，
，
结论得证；
（3）成立，，，
证明：过P点作于点E，作于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
OM平分AOB，
，
，，
，，
四边形OFPE的内角和为360°，
，
，
即，
，
，
，，
，
结合，，可得：，
，
，
，
，
，，
，
，
结论得证.
3．在中，.如图1，当，AD为的平分线时，在AB上截取，连接DE，易证.
（1）如图2，当，AD为的平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.
（2）如图3，当AD为的外角平分线时线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.
答案：（1）猜想：.证明如下：
如图1，在AB上截取，连接DE.
AD为的平分线，
，
又，，
,.
，，
又，
，
，.
.
（2）猜想：.证明如下：
如图2，在BA的延长线上截取，连接ED.
AD平分，.
在与中，，
,，
，
，，
，
又，，
又，
,，
，
.
4．在中，平分交于点M，点P是直线上一点，过点P作于点H.
（1）如图1，当，且点P与点C重合时， 度.
（2）如图2，当点P在的延长线上时，求证:；
（3）如图3，当点P在线段上（不含端点）时，
①补全图形；
②直接写出之间的数量关系:
答案：1.， .
.
平分，.
， .
2.证明:如图1，作射线，
则，
.
，,
.
即.
平分，.
，
，
.
，
即
3.①补全图形，如图2.
②平分，
.
，
.
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