【专项培优】人教版数学九年级上册第23章旋转培优（含答案）
文档属性
| 名称 | 【专项培优】人教版数学九年级上册第23章旋转培优（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 437.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-08 16:45:45 | ||
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文档简介
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【专项培优】人教版数学（2024）九年级上册第23章旋转培优
一、单选题
1．如图，绕点O顺时针旋转得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列图形：①圆；②菱形；③平行四边形；④矩形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB’C’D’，图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，对角线、交点为．将菱形绕点逆时针方向旋转，每次旋转，则旋转2023次后．点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+3 ；⑤S△AOC+S△AOB=6+ ．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①②⑤
二、解答题
7．如图，正方形ABCD边长为2cm，以各边中心为圆心，1cm为半径依次作 圆，将正方形分成四部分．
（1）这个图形 旋转对称图形（填“是”或“不是”）；若是，则旋转中心是点 ，最小旋转角是 度．
（2）求图形OBC的周长和面积．
三、阅读理解
8．阅读理解，并解答问题：
如图所示的8×8网格都是由边长为1的小正方形组成，图①中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．
问题：
请用“赵爽弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变化，在图②，图③的方格纸中设计另外两个不同的图案，每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠．画图要求：
（1）图②中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形但不是中心对称图形；
（2）图③中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形．
四、综合题
9．如图，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，∠BAC=30°，若△EAC绕某点逆时针旋转后能与△BAD重合，问：
（1）旋转中心是 ；
（2）逆时针旋转 度；
（3）若EC=10cm，则BD的长度是 cm．
10．如图所示，D是等边三角形ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD、BE.
（1）求证：∠AEB﹦∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC﹦135°，求∠BED的度数.
11．如图， 中， ． ．将 绕点 顺时针旋转60°到点 ，点 与点 关于直线 对称，连接 ， ， ．
（1）依题意补全图形：
（2）判断 的形状，并证明你的结论；
（3）请问在直线 上是否存在点 ．使得 恒成立若存在，请用文字描述出点 的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．
五、实践探究题
12．阅读材料：
对于线段的垂直平分线我们有如下结论：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，即如图1．若，则点P在线段的垂直平分线上．
请根据阅读材料，解决下列问题：
如图2，直线是等边的对称轴，点D在上，E是线段上的一动点（点E不与点C，D重合），连接，，经顺时针旋转后与重合．
（1）旋转中心是点 ，旋转角为 °；
（2）连接，求证垂直平分．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】旋转的性质
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
4．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质；旋转的性质
6．【答案】A
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
7．【答案】（1）是；O；90
（2）图形OBC的周长=BC+ 圆的周长=2+π；面积= S正方形ABCD= ×4=1cm2
【知识点】旋转对称图形
8．【答案】（1）解：图②是轴对称图形而不是中心对称图形；
（2）解：如图③既是轴对称图形，又是中心对称图形；
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
9．【答案】（1）A点
（2）90
（3）10
【知识点】旋转的性质
10．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE=60°，AE=AD，
∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC，
∴∠EAB=∠DAC，
在△EAB和△DAC中，
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC(SAS)，
∴∠AEB=∠ADC；
（2）解：如图，连接DE，
∵∠DAE=60°，AE=AD，
∴△EAD为等边三角形，
∴∠AED=60°，
又∵∠AEB=∠ADC=135°，
∴∠BED=135°-60°=75°.
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
11．【答案】（1）解：如图，
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
连接CD，CE，延长CB交DE于点F，
∵点 与点 关于直线 对称，
∴CF垂直平分DE，
∴ ．
由旋转可知， ，
是等边三角形，
，
．
，
， ，
，
，
．
在 和 中，
，
，
∴ 是等边三角形
（3）解：存在，点P是在将 绕点C顺时针旋转60°得到 ，直线 与直线 的交点，理由如下：
将 绕点C顺时针旋转60°得到 ，延长 交直线 于点P，连接 ，如图，
由（2）可知 是等边三角形，
，
，
．
由旋转可知， ，
∴ 是等边三角形， ，
，
．
在 和 中，
．
，
，
，
，
．
，
，
∴直线BE上存在一点P，使得 ，点P是在将 绕点C顺时针旋转60°得到 ，直线 与直线 的交点．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
12．【答案】（1）B；60
（2）证明：如图，设AF与CD交于点P，
∵直线CD是等边△ABC的对称轴，
∴AE=BE，∠DCB＝∠ACD＝∠ACB＝30°，
∵△ABE经顺时针旋转后与△BCF重合，
∴BE=BF，AE=CF，
∴BF=CF，
∴点F在线段BC的垂直平分线上，
∵AC=AB，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴AF垂直平分BC．
【知识点】旋转的性质；线段垂直平分线的判定
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【专项培优】人教版数学（2024）九年级上册第23章旋转培优
一、单选题
1．如图，绕点O顺时针旋转得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列图形：①圆；②菱形；③平行四边形；④矩形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB’C’D’，图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，对角线、交点为．将菱形绕点逆时针方向旋转，每次旋转，则旋转2023次后．点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+3 ；⑤S△AOC+S△AOB=6+ ．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①②⑤
二、解答题
7．如图，正方形ABCD边长为2cm，以各边中心为圆心，1cm为半径依次作 圆，将正方形分成四部分．
（1）这个图形 旋转对称图形（填“是”或“不是”）；若是，则旋转中心是点 ，最小旋转角是 度．
（2）求图形OBC的周长和面积．
三、阅读理解
8．阅读理解，并解答问题：
如图所示的8×8网格都是由边长为1的小正方形组成，图①中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．
问题：
请用“赵爽弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变化，在图②，图③的方格纸中设计另外两个不同的图案，每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠．画图要求：
（1）图②中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形但不是中心对称图形；
（2）图③中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形．
四、综合题
9．如图，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，∠BAC=30°，若△EAC绕某点逆时针旋转后能与△BAD重合，问：
（1）旋转中心是 ；
（2）逆时针旋转 度；
（3）若EC=10cm，则BD的长度是 cm．
10．如图所示，D是等边三角形ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD、BE.
（1）求证：∠AEB﹦∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC﹦135°，求∠BED的度数.
11．如图， 中， ． ．将 绕点 顺时针旋转60°到点 ，点 与点 关于直线 对称，连接 ， ， ．
（1）依题意补全图形：
（2）判断 的形状，并证明你的结论；
（3）请问在直线 上是否存在点 ．使得 恒成立若存在，请用文字描述出点 的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．
五、实践探究题
12．阅读材料：
对于线段的垂直平分线我们有如下结论：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，即如图1．若，则点P在线段的垂直平分线上．
请根据阅读材料，解决下列问题：
如图2，直线是等边的对称轴，点D在上，E是线段上的一动点（点E不与点C，D重合），连接，，经顺时针旋转后与重合．
（1）旋转中心是点 ，旋转角为 °；
（2）连接，求证垂直平分．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】旋转的性质
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
4．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质；旋转的性质
6．【答案】A
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
7．【答案】（1）是；O；90
（2）图形OBC的周长=BC+ 圆的周长=2+π；面积= S正方形ABCD= ×4=1cm2
【知识点】旋转对称图形
8．【答案】（1）解：图②是轴对称图形而不是中心对称图形；
（2）解：如图③既是轴对称图形，又是中心对称图形；
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
9．【答案】（1）A点
（2）90
（3）10
【知识点】旋转的性质
10．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE=60°，AE=AD，
∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC，
∴∠EAB=∠DAC，
在△EAB和△DAC中，
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC(SAS)，
∴∠AEB=∠ADC；
（2）解：如图，连接DE，
∵∠DAE=60°，AE=AD，
∴△EAD为等边三角形，
∴∠AED=60°，
又∵∠AEB=∠ADC=135°，
∴∠BED=135°-60°=75°.
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
11．【答案】（1）解：如图，
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
连接CD，CE，延长CB交DE于点F，
∵点 与点 关于直线 对称，
∴CF垂直平分DE，
∴ ．
由旋转可知， ，
是等边三角形，
，
．
，
， ，
，
，
．
在 和 中，
，
，
∴ 是等边三角形
（3）解：存在，点P是在将 绕点C顺时针旋转60°得到 ，直线 与直线 的交点，理由如下：
将 绕点C顺时针旋转60°得到 ，延长 交直线 于点P，连接 ，如图，
由（2）可知 是等边三角形，
，
，
．
由旋转可知， ，
∴ 是等边三角形， ，
，
．
在 和 中，
．
，
，
，
，
．
，
，
∴直线BE上存在一点P，使得 ，点P是在将 绕点C顺时针旋转60°得到 ，直线 与直线 的交点．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
12．【答案】（1）B；60
（2）证明：如图，设AF与CD交于点P，
∵直线CD是等边△ABC的对称轴，
∴AE=BE，∠DCB＝∠ACD＝∠ACB＝30°，
∵△ABE经顺时针旋转后与△BCF重合，
∴BE=BF，AE=CF，
∴BF=CF，
∴点F在线段BC的垂直平分线上，
∵AC=AB，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴AF垂直平分BC．
【知识点】旋转的性质；线段垂直平分线的判定
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