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概率的进一步认识
1.小明要给小林打电话，他只记住了小林手机号码的前位，后三位是三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（ ）
A． B． C． D．
2.小明要给小林打电话，他只记住了小林手机号码的前位，后三位是三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，三张完全相同的卡片正面分别标有数字符号、2、3．将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，分别作为分子和分母，则所得代数式为分式的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．近日，甘肃天水这座历史悠久的文化古城，因一碗麻辣烫而迅速走红网络，成为旅游新热点．自天水火爆“出圈”以来，各级团组织迅速行动起来，全面承担起志愿服务工作，同时带领一大批青年志愿者积极响应团组织号召投入志愿服务工作．根据实际需要，志愿者被陆续分配到四合院美味城网红麻辣烫店、机场、火车站等区域开展志愿服务工作．某段时间内经过抽样调查，发现志愿者服务的区域主要有A，B，C，D，E五个．抽样调查的统计结果如下表， 则下列说法不正确的是（ ）
区域 A B C D E
人数
A．去区域服务的人数最少
B．去区域服务的人数的频率是
C．若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务
D．这次抽样调查的样本容量是
5．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白点（1，3，5，7，9）为阳数，黑点（2，4，6，8，10）为阴数，现从阳数和阴数中各取1个数，则取出的2个数之和是5的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在红色区域的概率是 ．
知识点一：古典概型
（1）古典概型的定义
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
（2）古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=
知识点二：列表法求概率
（1）列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
知识点三：树状图法求概率
（1）树状图法
就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
知识点四：利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
知识点五：模拟实验
在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
1．2024年“甲骨文杯”安阳马拉松赛于4月21日开赛，共设全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑项目．现从这三个项目中随机选择两项进行推广，则选到欢乐跑项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（ ）
A． B． C． D．
3.在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上
B．从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球
C．抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上
D．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数
4.暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ．
5.某企业进行产品内部探伤，现有3件产品中，含有1件次品，2件良品，从中任取两件产品，求取出的两件产品中含有次品的概率 ．
6.九年级某班四个阅读小组准备研读四部四大名著著作，现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》，将这4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一名代表从中依次抽取一张卡片(不放回)（四部书分别用A，B，C，D代替）
(1)第一小组抽到《水浒传》的概率是 ；
(2)若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《红楼梦》和《三国演义》的概率．
7.某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示．
根据试验结果回答下列问题．
(1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）．
(2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？
8．一房屋内部结构如图所示，小李在房屋内自由走动，求他停留在卧室或客厅的概率是多少？
9.在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为、0、1，卡片除了数字不同外，其余都相同．
(1)从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是多少？
(2)先从盒子中随机抽取一张卡片，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求出两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率．
10.某区七年级有名学生参加“安全伴我行知识竞赛”活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了名学生的得分得分取正整数，满分为分进行统计．
请你根据不完整的频率分布表，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)若将得分转化为等级，规定得分低于分评为“”， 分评为“”， 分评为“”， 分评为“”．这次全区七年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“”如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩被评为“”、“”、“”、“”哪一个等级的可能性大？请说明理由．
11.甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写有数字，0，1，2的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，甲先从中随机选择一张卡片，记录卡片上的数字为x，乙再从剩余的卡片中随机选择一张，记录卡片上的数字为y．若，则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
12.一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据：
摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500
摸出白球的频率
(1)请将表补充完整；
(2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01）
(3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球．
13.某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢恵顾”两种卡片（两种卡片形状大小相同、质地均匀），下表是活动进行中的一组数据：
抽奖总次数次 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数次 33 48 240 299
中奖的频率 0.33 0.32 0.315 0.30
(1)填空：_________，________．
(2)根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率．（精确到0.1）
14．经过五华奥园十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为．
(1)假设平均每天通过该路口的汽车为1000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆；
(2)目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
15.某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能，为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了_______名学生；扇形统计图中，圆心角________，
②请将条形统计图补充完整；
(2)若该校有3600名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数；
(3)学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
16.如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下方法：
①在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆．
②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似的看成点），记录如表：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 300 150 300 500 …
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 61 123 206 …
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 30 89 177 294 …
0.667 0.685 0.695 0.701
(1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近 ___________（结果精确到0.1）；
(2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 ___________附近（结果精确到0.1）；
(3)请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留）
17．为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：）数据统计如下：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176；
(1)15名学生的身高数据如下表：
平均数 中位数 众数
167.4
根据信息填空：__________，__________；
(2)在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组学生获胜机率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜机率大的是__________（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 163 166 166 167 167
乙组学生的身高 162 163 165 166 176
(3)根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，求恰好抽到两名引导员身高相同的概率．
1．如图所示，正方形的顶点O在另一正方形的对角线交点上，两个正方形的边长相等，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．
2．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．
3.在一个不透明的布袋里装有3个标号为1、2、3的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为，小丽从剩下的2个小球中随机取出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标．
(1)请你运用画树状图或列表的方法，写出点所有可能的坐标．
(2)求点在函数图象上的概率．
4．某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）：
转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000
落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800
落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400
请根据表格完成以下问题：
(1)______；
(2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）；
(3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？
(4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______．
1．两千多年前我们的祖先使用“算筹”表示数．算筹有纵式和横式两种排列方式，各个数字及其算筹表示的对应关系如下表：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式 〇
横式
用“算筹”表示数时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式……纵式和横式依次交替出现．如“”表示87，“”表示502，从“”、“”、“”、“”、“”可以组成的所有两位数中，随机抽取一个数，是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动．小明和小王分别打算从以下四个特色课程中选择一个参加：．竞技乒乓；．围棋博弈：．名著阅读：．街舞少年．则小明和小王选择同一个课程的概率为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，某景区有A，B两个入口，C，D，E三个出口，星期天小丽和爸爸妈妈到该景区游玩，他们从B入口进，从D出口出的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．有四人坐在如图所示的圆桌周围，4个座位分别记为①、②、③、④．甲、乙两人等可能性地坐在4个座位中的2个座位上，甲、乙两人相对而坐的概率为（ ）
A． B． C． D．
5.某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是 ．①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上；②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍；③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”；④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃．
试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 …
频率 …
6.如图，地上画了两个半径分别为和的同心圆．假设用小石子投中圆形区域上的每一点是等可能的（若投中圆的边界或没有投中圆形区域，则重投1次），任意投掷小石子一次，则投中白色小圆的概率为 ．
7.如图，在边长为1的小正方形组成的的网格中有A，B两个格点，在网格的格点上任取一点C（点A，B除外），恰能使为等腰三角形的概率是 ．
8.如图，有四张大小、形状、质地完全相同的卡片A，B，C，D，其正面分别画有等边三角形、圆、矩形、菱形．将这四张卡片放在不透明的盒子中洗匀．
(1)从盒子中抽取一张卡片，取出的卡片正面所画的图形是轴对称图形是 事件；（填“不可能”“随机”或“必然”）
(2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，求取出的两张卡片正面所画的图形都是中心对称图形的概率．
9.某商人在游乐场制作了一个如图所示的转盘游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向数字“2、4、6”，则收费2元，若指针指向数字“3”．则奖3元；若指针指向数字“1”，则奖1元，若指针指向数字“5”，则获得再转一次转盘的机会．
(1)任意转动转盘一次，转盘停止后，参与者交费2元、获奖3元、获奖1元的概率分别为______、______、______．
(2)任意转动转盘一次，参与者获奖的概率为______．
(3)一天，一名游客转动转盘1次，转盘停止后，获得再转一次转盘的机会的概率是______．
10.某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示．
根据试验结果回答下列问题．
(1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）．
(2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？
11.在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到黑球的次数
摸到黑球的频率
(1)表中 ；
(2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）；
(3)估计袋子中有白球 个；
(4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个．
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概率的进一步认识
1.小明要给小林打电话，他只记住了小林手机号码的前位，后三位是三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查列举法求概率，列出所有排序的结果，再根据概率公式计算即可求解，正确列出所有排序的结果是解题的关键．
【详解】解：因为后位是三个数字的某一种排列顺序，所以顺序可以是：；；；；；；共种情况，而正确的只有种，所以第一次就拨通电话的概率是，
故选：．
2.小明要给小林打电话，他只记住了小林手机号码的前位，后三位是三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查列举法求概率，列出所有排序的结果，再根据概率公式计算即可求解，正确列出所有排序的结果是解题的关键．
【详解】解：因为后位是三个数字的某一种排列顺序，所以顺序可以是：；；；；；；共种情况，而正确的只有种，所以第一次就拨通电话的概率是，
故选：．
3．如图，三张完全相同的卡片正面分别标有数字符号、2、3．将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，分别作为分子和分母，则所得代数式为分式的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，分式的定义，根据题意正确画出树状图是解题关键．由树状图可知，共有种等可能额情况，其中所得代数式为分式的情况有2种，据此即可得到答案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能额情况，其中所得代数式为分式的情况有2种，
即所得代数式为分式的概率为，
故选：D
4．近日，甘肃天水这座历史悠久的文化古城，因一碗麻辣烫而迅速走红网络，成为旅游新热点．自天水火爆“出圈”以来，各级团组织迅速行动起来，全面承担起志愿服务工作，同时带领一大批青年志愿者积极响应团组织号召投入志愿服务工作．根据实际需要，志愿者被陆续分配到四合院美味城网红麻辣烫店、机场、火车站等区域开展志愿服务工作．某段时间内经过抽样调查，发现志愿者服务的区域主要有A，B，C，D，E五个．抽样调查的统计结果如下表， 则下列说法不正确的是（ ）
区域 A B C D E
人数
A．去区域服务的人数最少
B．去区域服务的人数的频率是
C．若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务
D．这次抽样调查的样本容量是
【答案】C
【分析】本题考查了样本容量，频率，用样本估计总体．熟练掌握样本容量，频率，用样本估计总体是解题的关键．
由表格可知，去区域服务的人数最少，可判断A的正误；样本容量为，可判断D的正误；去区域服务的人数的频率是，可判断B的正误；若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务，可判断C的正误．
【详解】解：由表格可知，去区域服务的人数最少，正确，故A不符合要求；
样本容量为，正确，故D不符合要求；
去区域服务的人数的频率是，正确，故B不符合要求；
若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务，错误，故C符合要求；
故选：C．
5．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白点（1，3，5，7，9）为阳数，黑点（2，4，6，8，10）为阴数，现从阳数和阴数中各取1个数，则取出的2个数之和是5的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.
列表可得出所有等可能的结果数以及取出的个数之和是的倍数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
2 4 6 8 10
1
3
5
7
9
共有种等可能的结果，其中取出的个数之和是的倍数的结果有: , 共种,
∴取出的个数之和是的倍数的概率是，
故选: A．
6．如图，一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在红色区域的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查几何概率，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．转盘停止后，指针落在红色区域的概率是红色区域的圆心角所占的比例，代入数据求解即可．
【详解】解：转盘停止后，指针落在红色区域的概率是，
故答案为：．
知识点一：古典概型
（1）古典概型的定义
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
（2）古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=
知识点二：列表法求概率
（1）列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
知识点三：树状图法求概率
（1）树状图法
就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
知识点四：利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
知识点五：模拟实验
在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
1．2024年“甲骨文杯”安阳马拉松赛于4月21日开赛，共设全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑项目．现从这三个项目中随机选择两项进行推广，则选到欢乐跑项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了用列举法求概率，通过列举找出共有的选择数量，然后再选出选到欢乐跑项目的数量，然后根据概率公式计算即可．
【详解】解：从这三个项目中随机选择两项进行推广，则有①全程马拉松、半程马拉松；②全程马拉松，欢乐跑项目；③半程马拉松，欢乐跑项目一共3种选择，
其中选到欢乐跑项目有2种选项，
故选到欢乐跑项目的概率是：
故选：B．
2．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆心角度数即可．
【详解】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于，
以频率估计概率，即，
优胜奖区域的圆心角，
故选：B．
3.在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上
B．从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球
C．抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上
D．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数
【答案】B
【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率公式求出各选项的概率，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，某一结果的概率约为，
掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的概率为，故选项A不符合题意；
从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球的概率为；故选项B符合题意；
抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上的概率为，故选项B不符合题意；
从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数的概率为，故选项D不符合题意；
故选B．
4.暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是解题的关键．
【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次，
∴“水”字出现的频率为，
故答案为：．
5.某企业进行产品内部探伤，现有3件产品中，含有1件次品，2件良品，从中任取两件产品，求取出的两件产品中含有次品的概率 ．
【答案】
【分析】本题考查的是利用例举法求解随机事件的概率，先例举所有的等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：3件产品，含有1件次品，2件良品，用表示良品，用表示次品；
从中任取两件产品，所有可能结果有，，，，，，
∴取出的两件产品中含有次品的概率为，
故答案为：
6.九年级某班四个阅读小组准备研读四部四大名著著作，现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》，将这4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一名代表从中依次抽取一张卡片(不放回)（四部书分别用A，B，C，D代替）
(1)第一小组抽到《水浒传》的概率是 ；
(2)若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《红楼梦》和《三国演义》的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵共有4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，
∴第一学习小组抽到《水浒传》的概率是，
故答案为：；
（2）由题意得，分别记《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》为A、B、C、D，画树状图得：
一共有12种等可能性结果，其中甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《红楼梦》和《三国演义》的情况有两种，
所以，，
故答案为：．
7.某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示．
根据试验结果回答下列问题．
(1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）．
(2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？
【答案】(1)0.9
(2)8100棵
【分析】本题考查了由频率估计概率，正确得出这种玉米种子发芽的概率是解此题的关键．
（1）由统计图即可得出答案；
（2）根据题意列式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由图可得：随实验次数增加，这种玉米种子发芽的频率逐渐稳定在为0.9附近，故估计这种玉米种子发芽的概率是0.9；
（2）解：由题意得：（棵），
∴种10000粒该种玉米种子大约可得到棵玉米秧苗．
8．一房屋内部结构如图所示，小李在房屋内自由走动，求他停留在卧室或客厅的概率是多少？
【答案】
【分析】本题考查了几何概率，整式的混合运算，解题关键是求得房屋的总面积．分别表示出房屋总面积以及卧室和客厅的面积和，相除即可求得概率．
【详解】解：由图形可知，房屋总面积为：，
卧室和客厅的面积和为：，
他停留在卧室或客厅的概率是．
9.在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为、0、1，卡片除了数字不同外，其余都相同．
(1)从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是多少？
(2)先从盒子中随机抽取一张卡片，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求出两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，有理数的概念，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）找出三种卡片中负数卡片的个数即可求出所求的概率；
（2）用列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出抽取的卡片上的数字之积为有理数的情况数，即可得到答案．
【详解】（1）解：总共有3种等可能事件，其中抽中负数有，1种情况，
故从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是；
（2）解：方法1：画树状图如下：
共有6种等可能的结果：
、、、、、
乘积分别为：0，，0，0，，0
所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4种，
则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为．
方法2：列表如下：
第1张第2张 0 1
—— 0， 1，
0 ，0 —— 1，0
1 ，1 0，1 ——
共有6种等可能的结果：
、、、、、
乘积分别为：0，，0，0，，0
所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4种，
则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为．
10.某区七年级有名学生参加“安全伴我行知识竞赛”活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了名学生的得分得分取正整数，满分为分进行统计．
请你根据不完整的频率分布表，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)若将得分转化为等级，规定得分低于分评为“”， 分评为“”， 分评为“”， 分评为“”．这次全区七年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“”如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩被评为“”、“”、“”、“”哪一个等级的可能性大？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)“”的可能性大，见解析
【分析】本题是统计图的基础应用题，难度一般，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能做出正确的判断和解决问题．
（１）根据频数、频率成正比例关系，可得：频数中应填入，频率一栏中，顺次填入，；据此可补全频数分布直方图．
（２）根据题意：依次求出个等级的概率，比较可得：“”的概率最高，故是“”的可能性大；
通过数学可以估计整体的数据的分布情况，让考生发现数学的“预测”功能．
【详解】（1）根据频数、频率成正比例关系，可得：频数中应填入，频率一栏中，顺次填入，；
．
（2）由表知：评为“”的频率是，
由此估计全区七年级参加竞赛的学生约有（人）被评为“”．
，，，，
，
随机抽查一名参赛学生的成绩等级，“”的可能性大．
11.甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写有数字，0，1，2的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，甲先从中随机选择一张卡片，记录卡片上的数字为x，乙再从剩余的卡片中随机选择一张，记录卡片上的数字为y．若，则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】公平，理由见解析
【分析】本题考查了用列举法求等可能事件的概率，掌握用列表法或画树状图法求等可能事件的概率是解题的关键．
用列表法（或画树状图法），分别求出甲、乙获胜的概率，即得答案．
【详解】这个游戏公平，
由题意可列表如下，
0 1 2
0
1
2
由表可知，可能出现的等可能结果共有12种；
的情况有6种，
甲获胜的概率
∵的情况有6种，
乙获胜的概率，
这个游戏对双方公平．
12.一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据：
摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500
摸出白球的频率
(1)请将表补充完整；
(2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01）
(3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
(3)66
【分析】本题考查了画折线统计图，频率估计概率，频数、频率与实验总次数的关系，掌握这些知识是关键．
（1）由频数、频率与摸球次数的关系可求得摸球40次，摸出白球14的概率；也可求得摸球1000次且频率为时摸出白球的频数，因而可补充完整表格；
（2）按折线统计图的画法画图即可；根据统计图即可估计出概率；
（3）根据（2）中概率的近似值，即可计算出袋中白球可能的个数．
【详解】（1）解：，；
补充完整表格如下：
摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的频数 14 26 128 198 267 332 399 500
摸出白球的频率
（2）解：折线统计图如下：
由图知，摸出白球的概率估计值是；
故答案为：．
（3）解：由（2）知，摸出白球的概率估计值是，
则袋中200个球，白球可能为：（个）
故答案为：66．
13.某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢恵顾”两种卡片（两种卡片形状大小相同、质地均匀），下表是活动进行中的一组数据：
抽奖总次数次 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数次 33 48 240 299
中奖的频率 0.33 0.32 0.315 0.30
(1)填空：_________，________．
(2)根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率．（精确到0.1）
【答案】(1)63；
(2)估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率是
【分析】本题考查了利用频率估计概率，频率的计算，利用频率估计概率求解即可．
（1）根据频率和总数求出a的值即可；根据频数和总数求出频率b即可；
（2）根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率约是．
14．经过五华奥园十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为．
(1)假设平均每天通过该路口的汽车为1000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆；
(2)目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
【答案】(1)汽车在此左转、右转、直行的车辆各是辆、辆、辆
(2)左转、右转、直行的绿灯亮的时间为秒，秒，秒
【分析】本题考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率之间的关系是解题的关键.
（1）用汽车总量乘以频率即可得出结果；
（2）由频率估计概率，即可得出结果.
【详解】（1）解：汽车在此左转的车辆数为：(辆)，
汽车在此右转的车辆数为：(辆)，
汽车在此直行的车辆数为：(辆)
答：汽车在此左转、右转、直行的车辆各是辆、辆、辆.
（2）根据频率估计概率的知识，得
∵汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为秒，
∴可调整绿灯亮的时间如下：
左转绿灯亮的时间为(秒)，
右转绿灯亮的时间为(秒)，
直行绿灯亮的时间为(秒).
15.某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能，为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了_______名学生；扇形统计图中，圆心角________，
②请将条形统计图补充完整；
(2)若该校有3600名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数；
(3)学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】(1)①400，；②见详解；
(2)1260；
(3)
【分析】本题考查扇形图，条形图，树状图求概率．
（1）①有B组人数即占比可求得总人数，先求出C组人数，再求其圆心角即可；②把A、C组人数求出即可补全条形统计图；
（2）先求样本中D组所占比例，再估计其人数即可；
（3）先画出树状图，再求其概率即可．
【详解】（1）解：①此次调查一共随机抽取的学生为（人）
A组人数为，
C组人数为
扇形统计图中，圆心角，
故答案为：400，；
②补全条形统计图如下：
（2）（人）
答：估计该校参加组（阅读）的学生人数为1260人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的结果有2种，故其概率为
．
16.如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下方法：
①在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆．
②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似的看成点），记录如表：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 300 150 300 500 …
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 61 123 206 …
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 30 89 177 294 …
0.667 0.685 0.695 0.701
(1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近 ___________（结果精确到0.1）；
(2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 ___________附近（结果精确到0.1）；
(3)请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留）
【答案】(1)0.7
(2)0.4
(3)
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据表格中的值即可求解；
（2）根据表格中的数据计算的值，进而求解即可；
（3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出整个封闭图形面积．
【详解】（1）根据表格可得，
当投掷的次数很大时，则的值越来越接近0.7；
故答案为：0.7；
（2）解：观察表格得：
，，，
∴随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，
故答案为：0.4；
（3）解：设封闭图形的面积为a，
根据题意得：，
解得：，
答：封闭图形的面积为平方米．
17．为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：）数据统计如下：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176；
(1)15名学生的身高数据如下表：
平均数 中位数 众数
167.4
根据信息填空：__________，__________；
(2)在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组学生获胜机率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜机率大的是__________（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 163 166 166 167 167
乙组学生的身高 162 163 165 166 176
(3)根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，求恰好抽到两名引导员身高相同的概率．
【答案】(1)167；166
(2)甲组
(3)
【分析】本题考查中位数、众数、方差等统计量，画树状图或列表法求概率．
（1）根据中位数、众数的概念即可求解；
（2）分别计算两组数据的方差，即可判断；
（3）把168记为A，169记为，169记为，171记为C，173记为D，画树状图求出概率即可．
【详解】（1）解：15名学生的身高排序后，处于中间位置（第8位）的是167，
∴中位数是167，即；
15名学生的身高中，166出现的次数最多，
∴众数是166，即．
故答案为：167，166
（2）解：甲组学生的身高的平均数，
方差；
乙组学生的身高的平均数，
方差
∵，
∴获胜机率大的是甲组．
故答案为：甲组
（3）解：由题意知丙组同学的身高分别为：168、169、169、171、173，把168记为A，169记为，169记为，171记为C，173记为D，画树状图如下：
由图可知，一共要有20种等可能结果，其中5名同学中身高相同的结果有2种，
（恰好抽到两名引导员身高相同）．
答：恰好抽到两名引导员身高相同的概率为．
1．如图所示，正方形的顶点O在另一正方形的对角线交点上，两个正方形的边长相等，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【分析】求出图形和阴影的面积，再根据概率公式计算即可．本题考查了概率公式，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键．
【详解】解：如图：
∵正方形的顶点O在另一正方形的对角线交点上，两个正方形的边长相等
∴，
∴
∴
即
，
，
设正方形的面积为，阴影的面积为，
则图形的面积为，
这个点取在阴影部分的概率是．
故答案为：．
2．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．根据几何概率的求法：小球落在4号地砖上的概率就是4号地砖的面积与总面积的比值．
【详解】解：如图，
由“七巧板”地砖的特点设，，，
∴4号地砖的面积为，整个正方形的面积为，
∴小球停在4号地砖上的概率是，
故选D
3.在一个不透明的布袋里装有3个标号为1、2、3的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为，小丽从剩下的2个小球中随机取出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标．
(1)请你运用画树状图或列表的方法，写出点所有可能的坐标．
(2)求点在函数图象上的概率．
【答案】(1)有6种可能
(2)
【分析】此题考查了用列举法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）画出树状图，即可求解；
（2）共有6种等可能的结果，求出点在函数图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：画树状图如下：
∴点的坐标有6种可能，分别是．
（2）把分别代入，可得出：
只有，两点在函数上，
∴点在函数图象上的概率为：
4．某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）：
转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000
落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800
落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400
请根据表格完成以下问题：
(1)______；
(2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）；
(3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？
(4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______．
【答案】(1)
(2)
(3)频率的变化稳定在附近
(4)
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）根据频率频数总数，计算即可得出答案；
（2）由频数乘以频率即可得到答案；
（3）利用频率估计概率求解即可．
（4）由稳定的频率可得概率
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：落在“减免20元券”区域的频率的变化稳定在附近；
（4）解：估计落在“减免20元券”区域的概率是
1．两千多年前我们的祖先使用“算筹”表示数．算筹有纵式和横式两种排列方式，各个数字及其算筹表示的对应关系如下表：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式 〇
横式
用“算筹”表示数时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式……纵式和横式依次交替出现．如“”表示87，“”表示502，从“”、“”、“”、“”、“”可以组成的所有两位数中，随机抽取一个数，是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了列举法求解概率，先根据题意得到五个符号表示的数是0，2，3，6，9，且数字6、9必须要在十位，0、2、3在个位，据此列举出所有符合题意的数，再根据概率计算公式求解即可．
【详解】
解：“”、“”、“”、“”、“”分别表示的数是0，2，3，6，9，且数字6、9必须要在十位，0、2、3在个位，则可以组成的两位数有60，62，63，90，92，93，共6个数，其中是奇数的有2个，
∴随机抽取一个数，是奇数的概率为，
故选：B．
2．随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动．小明和小王分别打算从以下四个特色课程中选择一个参加：．竞技乒乓；．围棋博弈：．名著阅读：．街舞少年．则小明和小王选择同一个课程的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查概率的计算公式，列树状图或表格求概率，数形结合是解题的关键．根据题意画出树状图，可得共有种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的情况有种，由概率计算公式可求解．
【详解】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的结果有种，
小明和小王选择同一个课程的概率为．
故选：C．
3.如图，某景区有A，B两个入口，C，D，E三个出口，星期天小丽和爸爸妈妈到该景区游玩，他们从B入口进，从D出口出的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到他们从B入口进，从D出口出的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中他们从B入口进，从D出口出的结果数有1种，
∴他们从B入口进，从D出口出的概率为，
故选：A．
4．有四人坐在如图所示的圆桌周围，4个座位分别记为①、②、③、④．甲、乙两人等可能性地坐在4个座位中的2个座位上，甲、乙两人相对而坐的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率．先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两人相对而坐的结果数，再根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设①、②、③、④这4个座位分别用、、、表示，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性是结果数，其中甲、乙两人相对而坐的结果数有4种：，，，，
甲、乙两人相对而坐的概率为，
故选：B．
5.某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是 ．①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上；②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍；③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”；④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃．
试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 …
频率 …
【答案】②③/③②
【分析】本题考查了概率的知识，熟练应用根据频率估计概率是解题的关键．根据图中信息得出，实验结果在附近波动，即其概率，判断各项中的概率即可．
【详解】解：根据图中信息得出，实验结果在附近波动，利用频率估计概率得到实验的概率为，
①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率为，不符合题意；
②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍的概率为，符合题意；
③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”的概率为，符合题意；
④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率为，不符合题意．
∴符合表格数据的试验可能是②③．
故答案为：②③．
6.如图，地上画了两个半径分别为和的同心圆．假设用小石子投中圆形区域上的每一点是等可能的（若投中圆的边界或没有投中圆形区域，则重投1次），任意投掷小石子一次，则投中白色小圆的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查几何概率，先求得整个图形的总面积和白色小圆的面积，再由白色小圆面积除以总面积求解即可．
【详解】解：根据题意，总面积为，白色小圆面积为，
∴任意投掷小石子一次，则投中白色小圆的概率为，
故答案为：．
7.如图，在边长为1的小正方形组成的的网格中有A，B两个格点，在网格的格点上任取一点C（点A，B除外），恰能使为等腰三角形的概率是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了几何图形中的概率计算，解决此题的关键是：正确找出恰好能使为等腰三角形的点．
按照题意分别找出点C所在的位置：当时，符合条件的点C有3个；当时，符合条件的点C有1个；当时，符合条件的点C有1个；当根据概率公式求出概率．
【详解】解：如图，
可以找到5个恰能使为等腰三角形的点，
概率为：，
故答案为：．
8.如图，有四张大小、形状、质地完全相同的卡片A，B，C，D，其正面分别画有等边三角形、圆、矩形、菱形．将这四张卡片放在不透明的盒子中洗匀．
(1)从盒子中抽取一张卡片，取出的卡片正面所画的图形是轴对称图形是 事件；（填“不可能”“随机”或“必然”）
(2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，求取出的两张卡片正面所画的图形都是中心对称图形的概率．
【答案】(1)必然
(2)
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，概率，
（1）根据轴对称的定义判断出所给图片是否为轴对称图形，即可得；
（2）根据题意可得A，B，C，D这四张卡片上的图形B，C，D为中心对称图形，画树状图即可得；
掌握轴对称图形，中心对称图形的定义以及概率公式是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意可得A，B，C，D这四张卡片上的图形均为轴对称图形，
∴从盒子中抽取一张卡片，取出的卡片正面所画的图形是轴对称图形是必然事件，
故答案为：必然．
（2）解：根据题意可得A，B，C，D这四张卡片上的图形B，C，D为中心对称图形，
画树状图为：
共有种等可能的结果数，取出的两张卡片图形都是中心对称图形的结果为6种，分别为 B，C； B，D；C，B；C，D；D，B；D，C；
∴取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是：．
9.某商人在游乐场制作了一个如图所示的转盘游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向数字“2、4、6”，则收费2元，若指针指向数字“3”．则奖3元；若指针指向数字“1”，则奖1元，若指针指向数字“5”，则获得再转一次转盘的机会．
(1)任意转动转盘一次，转盘停止后，参与者交费2元、获奖3元、获奖1元的概率分别为______、______、______．
(2)任意转动转盘一次，参与者获奖的概率为______．
(3)一天，一名游客转动转盘1次，转盘停止后，获得再转一次转盘的机会的概率是______．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据几何概率的定义，面积比即概率，可求参与者交费2元、获奖3元、获奖1元的概率各为多少．
（2）根据几何概率的定义，面积比即概率，可求参与者获奖的概率．
（3）根据几何概率的定义，面积比即概率，可求参与者获得再转一次转盘的机会的概率.
本题主要考查了简单的几何概型，掌握“面积比即概率” 是解题的关键．
【详解】（1）指针指向数字“1”的圆心角为： ，
∴参与者交费2元的概率为：；
参与者获奖3元的概率为：；
参与者获奖1元的概率为：；
故答案为：，，．
（2）任意转动转盘一次，参与者获奖的概率为：，
故答案为：．
（3）游客获得再转一次转盘的机会的概率为：，
故答案为：．
10.某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示．
根据试验结果回答下列问题．
(1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）．
(2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？
【答案】(1)0.9
(2)8100棵
【分析】本题考查了由频率估计概率，正确得出这种玉米种子发芽的概率是解此题的关键．
（1）由统计图即可得出答案；
（2）根据题意列式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由图可得：随实验次数增加，这种玉米种子发芽的频率逐渐稳定在为0.9附近，故估计这种玉米种子发芽的概率是0.9；
（2）解：由题意得：（棵），
∴种10000粒该种玉米种子大约可得到棵玉米秧苗．
11.在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到黑球的次数
摸到黑球的频率
(1)表中 ；
(2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）；
(3)估计袋子中有白球 个；
(4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）摸到黑球的频率为，故为．
（2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近．
（3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）．
（4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个），
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近，
故答案为：．
（3）摸到黑球的频率约为，
故摸到白球的频率约为，
则估计袋子中有白球（个），
故答案为：．
（4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，
即黑球个数等于白球个数，
故可在袋子中增加相同的白球数：（个），
此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为．
故答案为：．
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