(共15张PPT)
22.1.3 二次函数
y=ax2+k
图像和性质
新人教版九年级上册第22章
安阳县水冶镇二中 杨国喜
教学目标
1、会用描点法画函数y=ax2+k的图像
2、掌握函数y=ax2+k的图像和性质
3、用类比法学习函数y=ax2+k的性质
y＝ax2 a＞0 a＜0
图像
开口
对称轴
顶点
增减性
二次函数y=ax2的性质
开口向上
开口向下
|a|越大，开口越小
关于y轴(或直线x=0）对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧，y随x的增大而减小
在对称轴右侧，y随x的增大而增大
O
O
在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
来抢答
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,
在对称轴 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 侧,
y随着x的增大而减小,当x= ____ 时,函数y的值最小,最小
值是 .
(2)抛物线 在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 .
(0,0)
y轴
右
左
0
0
增大而增大
增大而减小
0
例. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图像
解: 先列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2+1
y=x2-1
… 10 5 2 1 2 5 10 …
… 8 3 0 -1 0 3 8 …
然后描点画图,得到
y=x2＋1,y=x2－1的图像.
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
(1) 抛物线y=x2+1,y=x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么
(2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2有什么关系
抛物线y=x2+1:
开口向上,
顶点为(0,1).
对称轴是y轴,
抛物线y=x2－1:
开口向上,
顶点为(0, －1).
对称轴是y轴,
y=x2+1
y=x2－1
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2+1
抛物线y=x2
抛物线 y=x2－1
向上平移
1个单位
把抛物线y=2x2+1向上平移5个单位,会得到哪条抛物线 向下平移3.4个单位呢
抛物线y=x2
向下平移
1个单位
(1)得到抛物线y=2x2+6
(2)得到抛物线y=2x2－2.4
y=x2－1
y=x2
抛物线 y=x2+1
一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点是(0,k).
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
（6）抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.（只要ax2项的系数a相同，抛物线的形状就相同。）
(k>0,向上平移;k<0向下平移.)
(4)增减性：与y=ax2
的增减性相同 。
(5)最大（小）值：当a>0时，
——；当a<0时,——。
y＝ax2+k a>0 a<0
图像
开口
对称轴
顶点
增减性
小结二次函数y=ax2+k的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴 （x=o）对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧，y随x的增大而减小
在对称轴右侧，y随x的增大而增大
k>0
k<0
k<0
k>0
(0,k)
在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
1、（1）抛物线y= 2x2+3的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小，当x= 时，函数y的值最大，最大值是 ,它是由抛物线y= 2x2 得到的（怎么平移）.
（ 2）抛物线 y= x -5 的顶点坐标是____，对称轴是____,在对称轴的左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的 ，当x=____时，函数y的值最___值是 .
（0，3）
y轴
对称轴的左
对称轴的右
0
3
向上平移3个单位
（0，-5）
y轴
增大而减小
增大而增大
0
小
-5
例：点A（1，7）是否在抛物线 上？如果不在，那么怎样向上（或向下）平移抛物线可使平移后的抛物线经过A点？
分析：首先看点A（1，7）在不在这个函数图像上，方法代入看等式两边是否相等进行验证。
那么怎么通过平移使它经过这个点呢？
方法是：设 +k,然后在代入求k
2、按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）已知抛物线y=3x2+2的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（小）值、增减性
（2）形状与y=-2x2+3的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（小）值、增减性
。
（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，2）的点的解析式，
做一做：
3、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和
二次函数y=ax2+c的图像大致是如图中的（ ）
谈收获，提自信
已知抛物线 与直线 y=-x+k相交于A、B两点，点A的坐标为（1，1）
（1）求c、k的值；
（2）若抛物线顶点为M，求△ABM的面积。
课下作业
