(共27张PPT)
教师：杨新竹
y=ax2+bx+c的图像和性质
开启 智慧
你说 我说
1、函数y=ax2+bx+c的图象如图所示。根据这个函数图象，你能得到关于该函数的哪些性质和结论？
x
y
X=1
o
- 4 ------
探究一：
求顶点坐标的方法
探究一：求顶点坐标的方法
顶点式 y=a(x-h) +k
一般式 y=ax +bx+c
去括号
配方法
顶点与对称轴
y=ax2+bx+c
y=a(x+ )2+
b
2a
4ac-b2
4a
对称轴： x= –
b
2a
顶点坐标：（– ， ）
b
2a
4ac-b2
4a
探究一：求顶点坐标的方法
求下列函数的顶点坐标
(1)
(2)
(3)
(2,0)
(4,-5)
(6,54)
(-1,2015)
(-1,9998)
(2,107)
(4)
(5)
(6)
探究二：
由y=ax +bx+c
我们可以解决的问题
探究二：y=ax +bx+c
我们可以解决的问题
已知二次函数
你能提出哪些数学问题？
已知二次函数y=x2+4x+3，回答下列问题:
（1）说出此抛物线的对称轴 和顶点坐标 ；
（2）抛物线与x轴的交点A、B
的坐标，与y轴的交点C的坐标；
（3）函数的最值和增减性；
（4）x取何值时① y＜0 ；②y＞0
x
y
A
B
O
C
X=-2
(-3,0)
(-1,0)
(-2,-1)
(0,3)
方程、不等式（数）
函数问题（形）
转化
数 形 结 合
以数助形
去掉 0 填 y
令y=0(y>0)以形解数
二次函数
（a≠0)
解析式
一般式
顶点式
图象
顶点坐标:
对称轴:
形状:开口向上或向下的抛物线
性质
开口
a>0 抛物线开口向上
a<0 抛物线开口向下
|a|越大 抛物线开口越小
二次函数y=ax +bx+c （a≠0)
与 轴的交点
随 的变化
Y
X
X
当二次函数y=ax +bx+c 的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量X的值,即一元二次方程ax +bx+c=0的根.
a>0时
a<0时
当Ｘ<-─ ，Ｙ随Ｘ的增大而减小
当Ｘ>-─ ，Ｙ随Ｘ的增大而增大
当Ｘ﹦ ─ ，Ｙ最小＝───
当Ｘ<-─ ，Ｙ随Ｘ的增大而减小
当Ｘ>-─ ，Ｙ随Ｘ的增大而增大
当Ｘ﹦ ─ ，Ｙ最大＝──
2a
b
2a
b
2a
b
4a
4ac-b
2a
b
2a
b
2a
b
4a
4ac-b
例1：
已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
1
2
3
2
例1：
已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
1
2
3
2
解:（1）∵a= —>0
∴抛物线的开口向上
∵y= — (x2+2x+1)-2=—(x+1)2-2
∴对称轴x=-1，顶点坐标M（-1，-2）
1
2
1
2
1
2
例1：
已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
1
2
3
2
解:
(2)由x=0，得y= - -—
抛物线与y轴的交点C（0，- -—）
由y=0，得—x2+x- —=0
x1=-3 x2=1
与x轴交点A（-3，0）B（1，0）
3
2
3
2
3
2
1
2
例1：
已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
1
2
3
2
解
0
x
y
(3)
④连线
①画对称轴
x=-1
②确定顶点
(-1,-2)
(0,-–)
③确定与坐标轴的交点
及对称点
(-3,0)
(1,0)
3
2
例1：
已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
1
2
3
2
解
解
0
x
x=-1
(0,-–)
(-3,0)
(1,0)
3
2
:(4)
(-1,-2)
当x=-1时，y有最小值为
y最小值=-2
当x≤-1时，y随x的增大
而减小;
例1：
已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
1
2
3
2
解:
0
(-1,-2)
(0,-–)
(-3,0)
(1,0)
3
2
y
x
由图象可知
(6)
当x< -3或x>1时，y > 0
当-3 < x < 1时，y < 0
返回
巩固练习
（1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。
（2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________
（3）已知函数y=—x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________
（4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m= ____。
1
2
（—，-—）
1
25
2
4
x=—
1
2
（0，0）（2，0）
x<1
2
返回
y
x
（1，- 4）
（1）说出 的开口方向、顶点坐标。
（2）分别求出与x轴、y轴的交点坐标
（3）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
说一说
尝试热身练习
1、若抛物线y=ax2+3x-4与抛物线y=-2x2形状相同，则a= .
2、二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是 .
3、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为A(1,0),B(-3,0)则它的对称轴是 .
4、二次函数y=x2-2x+2 当x= 时，y的最小值为 .
5、二次函数y=4x2+mx+1的图象顶点在x轴上，则m= ；若它的顶点在y轴上，则m= .
±2
(0,1)
直线x=-1
1
1
±4
0
X=
回顾与反思
名称 顶点式 一般式 交点式
二次函数解析式
对称轴
顶点坐标
增减性
a＞0
a＜0
最值 a＞0
a＜0
y=a(x+m)2+k
y=ax2+bx+c
y=a(x-x1)(x-x2)
直线x=-m
直线x=
直线x=
(-m,k)
( )
当x≤-m时，y随x的增大而减小;当x≥-m时,y随x的增大而增大
当x ≤ 时，y随x的增大而减小；当x ≥ 时y随x的增大而增大
当x≤-m时，y随的增大而增大；当x≥-m时,y随的增大而减小
当x≤ 时，y随x的增大而增大；当x≥ 时y随x的增大而减小
当 x=-m 时,y最小值=k
当x= 时,y最小值=
当x=-m时，y最大值=k
当x= 时,y最大值=
y
x
o
o
y
x
系数 性质
a
b
c
看方向 (上正、下负）
看交点 (上正、下负)
回顾与反思
看对称轴(左同、右异)
3、如图2，把此抛物线先绕它的顶点旋转180°，则该抛物线对应的解析式为________________；
若把新抛物线再向右平移2个单位，向下平移3个单位，
则此时抛物线对应的函数解析式为______________。
A
B
x
y
o
4
-1
图2
1
抛物线的平移本质上就是把握点的平移
读图识图
什么没变？
左“+”右“－”
巩固深化
x
y
1
数形结合
利用函数对称性：
观察点到对称轴的距离与函数值大小的关系
<
<
应用思考
例：按右图所示的流程，输入一个数据x,根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变成另一组数据，要使任意一组都在20~100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
(Ⅰ)新数据都在60~100（含60和100）之间；
(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。
若关系式y=a(x-h)2+k(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。
开始
输入x
Y与x的关系式
输出y
结束
变式一：若将关系式y=a(x-h)2+k中的a>0改为a<0，关系式又将怎样？
变式二：若将(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致改为相反，即原数据越大的对应的新数据越小呢？
