(共21张PPT)
22.1 .2二次函数 图象和性质
泸县海潮镇学校：杨霞
1、二次函数的一般形式是怎样的？
y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2、画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。
3、一次函数图象的形状是 。
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … …
9
4
1
1
0
4
9
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
描点,连线
y=x2
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
议一议
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
(3)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么 你是如何知道的？
观察图象,回答问题：
x
y
O
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么 请你找出几对对称点？
当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的
右侧)时, y随着x的增大而
增大.
当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点
是它的最低点,开口
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是0.
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
做一做
你能根据表格中的数据作出猜想吗？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x
y=-x2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2
x
… -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
在学中做—在做中学
做一做
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
-1
描点,连线
y=-x2
当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
增大.
当x>0 (在对称轴
的右侧)时, y随着
x的增大而减小.
y
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
当x=1时,y= -1
当x= 2时,y= -4
抛物线y= -x2在x轴的
下方(除顶点外),顶点
是它的最高点,开口
向下,并且向下无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最大,最大值是0.
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
二次函数y=ax2的性质
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
二次函数y = x 2 的图象是轴对称图形，
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）
的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
抛物线 与它的对称轴的交点
（0，0）叫做抛物线 的顶点
它是抛物线 的最低点．
实际上, 二次函数的图象都是抛物线，
对称轴是y轴
这条抛物线是轴对称
图形吗？如果是，
对称轴是什么？
抛物线与对称轴
有交点吗？
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y= x2
例1.在同一直角坐标系中画出函数y= x2和y=2x2的图象
解: (1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
1
2
x
y=2x2
8
…
…
…
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
函数y= x2,y=2x2的图象与函数y=x2(图中虚线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点
1
2
共同点:
不同点:
开口都向上;
顶点是原点而且是抛物线
的最低点，对称轴是 y 轴
开口大小不同;
|a|越大，
在对称轴的左侧，
y随着x的增大而减小。
在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。
抛物线的开口越小。
探究
画出函数 的图象．
x
1
y
解: (1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=－x2
y=－ x2
y=－2x2
1
2
…
…
…
…
…
…
-４
-2.25
-１
-0.25
０
０
０
-0.25
-１
-2.25
-４
-2
-2
-８
-８
-２
-２
-０.５
-０.５
-０.５
-０.５
-１.１２５
-１.１２５
-０.１２５
-０.１２５
-4. 5
-4. 5
-1
-2
-3
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
x
1
y
-1
-2
-3
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
函数y=－ x2,y=－2x2的图象与函数y=－x2
(图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点
1
2
共同点:
开口都向下;
不同点:
顶点是原点而且是抛物线
的最高点，对称轴是 y 轴
开口大小不同;
|a| 越大，
在对称轴的左侧，
y随着x的增大而增大。
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小。
抛物线的开口越小．
对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？
在同一坐标系内,抛物线 与
抛物线 是关于x轴对称的.
随堂练习
教材P32页练习，41页4题。
1、二次函数y=ax2的图象有何共点？
2、二次函数的 二次系数a对抛物线如的函数值y有何影响？对图象又有何影响？
3、你还有什么疑惑？
小结
www..cn
y=ax2 (a≠0) a>0 a<0
图
象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
x
y
O
y
x
O
向上
向下
(0 ,0)
(0 ,0)
y轴
y轴
当x<0时，
y随着x的增大而减小。
当x<0时,
y随着x的增大而增大。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,
当x>0时，
y随着x的增大而增大。
当x>0时，
y随着x的增大而减小。
抛物线的开口就越小.
|a|越小,
抛物线的开口就越大.
