第一次月考复习专题 《二次函数》压轴题 解答题22题
一、解答题
1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A， 两点，与x轴交于点B．
(1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；
(3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点P的坐标为或或或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等；
（1）用待定系数法即可求解；
（2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，进而求解；
（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，
∴，
设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，解得，
∴抛物线的解析式为：；
把，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为；
（2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，
把代入直线得，故，
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为；
（3）设，
∵，，
∴，
若点B为直角顶点时，则，
即，
解得；
若点C为直角顶点时，则，
即
解得，
若P为直角顶点时，则，
∴，
解得，
综上，点P的坐标为或或或．
2．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线与轴交于、两点(在的左侧)，与轴交于点．
(1)求A、B两点的坐标．
(2)如图，直线与抛物线的图象交于、两点，其中点的横坐标为，当时，根据图象求出的取值范；
(3)在（2）的条件下，
①抛物线上是否存在一点，使得，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
②连接，为线段上一动点（不与、重合）将沿翻折至，使与重合，点落在轴的下方，其中交线段于点，求的最小值．
【答案】(1)，；
(2)当时，的取值范围为；
(3)①存在，；②的最小值为
【分析】（1）令，解方程即可求得答案；
（2）先求得，代入，即可得出，联立方程组可求得，观察图象即可得出答案；
（3）①过点作，使，过点作轴，过点作于，过点作于，可证得，得出，，即，运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组即可求得；
②过点作于，于，过点作于，利用面积法可得，即，当时，最小，此时，的值最小，即可求得答案．
【详解】（1）解：令，得，
即，
解得：，，
，；
（2）解：点的横坐标为，直线经过点，
，
把点代入，
得：，
解得：，
，
联立方程组，
解得：，，
，
由图象可得：当时，的取值范围为；
（3）解：①抛物线上存在一点，使得．
如图，过点作，使，过点作轴，过点作于，过点作于，
则，
，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
联立方程组，得，
解得：，，
；
②如图，过点作于，于，过点作于，
，，，
，，
，
由翻折得，
，，
，
，
，即，
当时，最小，此时，的值最小，
的最小值．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数图象与抛物线的交点，二次函数图象与不等式，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积，角平分线性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
3．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数与直线交于A、B两点，其中点B的坐标为，抛物线的顶点C在x轴上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点p为线段上的一个动点（点p不与A、B两点重合），过点p作轴交抛物线于点E，设线段的长为h，点p的横坐标为t，当t取何值时，h有最大值？最大值是多少？
(3)点D为直线与对称轴的交点，在线段上是否存在一点p，使得四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)二次函数的表达式为
(2)当为时，的最大值为
(3)存在一点，使得四边形是平行四边形，此时
【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，根据背景图形得出是解题关键．
（1）将点代入函数解析式，求出的值即可得出抛物线解析式；
（2）设点的横坐标为，可表达点和点的坐标，进而可得出线段的长，利用二次函数的性质可得出的最大值；
（3）令，可得点的坐标，根据题意可知，，若四边形是平行四边形，只需要即可，由题可知，抛物线的对称轴为直线，即点的横坐标为1，由此可得出的点和点的坐标，进而求出的长，由（2）得出的长，由此建立方程，即可得出的值，进而可求出点的坐标．
【详解】（1）将点代入函数解析式，
，解得，
二次函数的表达式为；
（2）令，解得或，
．
设的横坐标为，
，，
．
，
当为时，的最大值为．
（3）存在，理由如下：
抛物线的顶点为，
，
点为直线与对称轴的交点，
，
；轴，
，
若四边形是平行四边形，则只需，
由（2）知，，
，解得（舍或，
．
综上，存在一点，使得四边形是平行四边形，此时．
4．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
与直线交于点，其对称轴与直线交于点，点是此抛物线上的一个动点．
(1)求此抛物线的解析式并直接写出直线的解析式；
(2)如图1，若点是直线上方抛物线上的一点，连接、和，当与面积相等时，求点的横坐标；
(3)如图2，连接，在此抛物线对称轴右侧的抛物线上是否存在点使得线段最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)0或3
(3)存在点，坐标
【分析】（1）代入、坐标可求答案；
（2）用等面积法求出的解析式，再和抛物线联立即可；
（3）通过平移将点移到原点，让整个图象的解析式变得简单，再用代数法表示的长度，配方即可．
【详解】（1）解：把和代入，
得：，
解方程组：，
此抛物线的解析式为：；
设直线的解析式为：，
把两点坐标代入，得，
解得：，
直线的解析式为：；
（2）过点作交轴于点，
由，两点坐标得：，
，
，
与面积相等，
，
，
，
直线的解析式为：，与轴交点为，
点坐标为，
点坐标为，
直线，
直线的关系式为：，
联立方程组：，
解得：或，
点坐标为或，
点横坐标为0或3；
（3）存在点，坐标，理由如下：
，
对称轴为直线，
代入解析式求出
点坐标为，
将整个图象整体平移，向左平移1个单位，向下平移个单位，使为原点，
则平移后解析式为，
此时，，
，
时，最小，
或（舍去），
平移后的，
平移之前的，即，
故存在点，坐标．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法以及与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用平移将复杂的代数计算变得简单化，是解决本题的关键．
5．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将矩形置放在平面直角坐标系中，顶点与坐标原点重合，点和点的坐标分别为，．抛物线经过点和，且．
(1)求a，b，c的值．
(2)如果点P由点B开始沿边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时点Q由点C开始沿边以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，的面积为S．
①写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围：
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)①；②存在，
【分析】（1）根据矩形的对边相等求出点A、B的坐标，把两点的坐标代入抛物线解析式，再联立，解关于a，b，c的三元一次方程组，然后即可得到抛物线的关系式；
（2）①根据速度的不同，表示出，的长度，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得到S与t的关系式，根据速度分别求出点P与点Q的运动时间即可得到t取值范围；②先根据二次函数的最大值问题求出S取最大值时的t的值，从而求出点P与点Q的坐标，再根据平行四边形的对边平行且相等，分与是对边时，与是对边时，两种情况求出点Q的坐标，然后代入抛物线解析式进行验证，如果点Q在抛物线上，则存在，否则不存在，
本题属于二次函数综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，动点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，灵活运用方程思想和分类讨论思想解决问题．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵抛物线经过点A，B，且，
∴，
解得：，
故答案为：，，，
（2）解：∵，，，
∴，
①根据题意，，，，
∴，
点P运动的时间为秒，点Q运动的时间为秒，
所以，t的取值范围是；
∴；
②，
∴当秒时，S取最大值，
此时，，，，
∴，，，
所以，要使P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形，
（i）当与是对边时，点R的横坐标是或，纵坐标是4，
所以点R的坐标为或，
当时，，
∴不在抛物线上，
当时，，
∴不在抛物线上，
所以与是对边时，点R不在抛物线上，
（ii）当与是对边时，点R的横坐标是，纵坐标是，
所以点R的坐标是，
当时，，
所以与是对边时，点在抛物线上，
综上所述，抛物线上存在点，使P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形．
6．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)当时，求点P的坐标．
(3)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请写出点P的横坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或；
(3)P的横坐标为或
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为；
（2）分两种情况：①当在轴下方时，设交轴于，求出，直线解析式为，由，知，可得直线解析式为，联立，即可解得；②当在轴上方时，交轴于，可知与关于轴对称，从而可得，直线解析式为，联立，可解得；
（3）分两种情况：①当在对称轴左侧时，延长交轴于，求得抛物线对称轴为直线，证明，即轴，知直线，故当在直线上时，也在直线上，求得，；设，得，即可解得此时的横坐标为；②当在对称轴右侧时，同理可知，；设，有，可解得此时的横坐标为．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：①当在轴下方时，设交轴于，如图：
点是的中点，，
，
设直线解析式为
把，代入
∴
得直线解析式为，
，
，
设直线解析式为，
把代入得：，
解得，
直线解析式为，
联立，
解得或；
；
②当在轴上方时，交轴于，如图，
，
∴与关于轴对称，
由①知直线解析式为，
，
，
由，得直线解析式为，
联立，
解得或，
；
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：当在对称轴左侧时，延长交轴于，如图：
由可得抛物线对称轴为直线，
，，
，直线解析式为，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，即轴，
抛物线对称轴直线垂直轴，
直线，
当在直线上时，也在直线上，
如图：
由得，
，；
设，则，，
，
，
解得（舍去）或，
此时的横坐标为；
②当在对称轴右侧时，如图：
同理可知，；
设，则，，
，
，
解得或（舍去），
此时的横坐标为；
综上所述，的横坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一次函数的性质，涉及待定系数法，梯形的面积，正方形，公式法解一元二次方程等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
7．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求线段最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标．
【答案】(1)
(2)线段最大值为，点P的坐标为
(3)满足条件的点M的坐标有或或
【分析】（1）先求出A，B点坐标，根据B点和C点坐标设二次函数交点式，将A点坐标代入即可求解；
（2）延长交于点H，设，则，用含m的式子表示出的长，化为顶点式即可求出最值；
（3）分为边、为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求解．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴函数的表达式为：，
把代入得：，
解得：，
故该抛物线得表达式为；
（2）解：延长交于点H，如图，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
，
∴此时点P的坐标为；
（3）解：∵，
∴抛物线y的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为，
把代入得：，
解得：，，
∴，
∵N是原抛物线对称轴上一动点，
∴设，
∵点M在新抛物线上，
∴设，
①当为边时，
点向右平移4个单位得到点，
∴点向右平移4个单位得到，或点向右平移4个单位得到点，
∴或，
解得：或6，
当时，，
当时，，
∴点M的坐标为或；
②当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：，
当时，，
∴点M的坐标为；
综上，满足条件的点M的坐标有或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，平行四边形的存在性问题等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
8．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．
(1)当，时，求抛物线与轴的交点坐标；
(2)当时，设抛物线与轴交于点，顶点为，过点作轴的平行线交抛物线另一点，能否是直角三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由．
(3)若，点也在抛物线上，若，求的取值范围及的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)能，，；
(3)，．
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积问题；
（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）当能否是直角三角形时，由函数的对称性，则为等腰直角三角形，则，即可求解；
（3）由＜得到＜则＜，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线过点、、，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
令，
则，
即抛物线与轴的交点坐标为：，；
（2）能，理由：
当时，则抛物线的对称轴为直线，
当时，如下图，
当能否是直角三角形时，
由函数的对称性，则为等腰直角三角形，
则，
即，则，
即，
解得：；
当时，
同理可得：；
综上，；
（3），
即
则，
即，
当时，，
则，
同理可得：当时，，
即．
9．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线与轴分别交于、两点、分别在原点左右两侧），与轴交于点，点为抛物线上第一象限内一动点，过点、点的直线交轴于点，过点、点的直线交轴于点，连接、、，试探究、、、之间的数量关系．
”
(1)设，，
①若点P的横坐标为3，计算： = ____ ， =____；
猜想：比较大小 （填“＞”“＝”或“＜”）
②若点P的横坐标为m，上述之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(2)请利用上述结论解决问题：若， 直接写出k的取值范围．
【答案】(1)①，，；②仍成立，理由见详解
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求函数的解析式的方法，准确计算是解题的关键．
（1）①由已知确定函数的解析式，求出、、的坐标，再由待定系数法求出直线与直线的解析式，从而得到、点坐标，分别计算、即可；
②同理①，由待定系数法求出直线与直线的解析式，从而得到、点坐标，分别计算、即可；
（2）令，根据面积公式求出的表达式为，再求的范围即可．
【详解】（1）解：①当，，时，，
当时，，
解得或，
，，
，，
，
点的横坐标为3，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
同理可求直线的解析式为，
，
，，
，
，
故答案为：，，；
②仍成立，理由如下：
点的横坐标为，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
同理可求直线的解析式为，
，
，，
，
；
（2）
，
令，
，
，
，
．
10．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，直线交于第一象限内的点，且的面积为10．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点为轴上一点，过点作轴的平行线交线段于点，交抛物线于点，当时，求点的坐标；
(3)已知点是轴上的点，若点关于直线的对称点恰好落在二次函数的图象上，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)的值为5或
【分析】本题考查一次函数、二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，对称变换等知识，解题的关键是用含的代数式表示的坐标．
（1）在中，令得，，根据的面积为10，即得，，用待定系数法即得二次函数的表达式为；
（2）设，则，，由，可得，即可解得；
（3）连接交直线于，过作轴于，设，可得，，即得，①，又，②，可解得，，故，，代入得，解得或．
【详解】（1）解：如图：
在中，令得，
解得或，
，，
，
的面积为10，
，即，
，
，
把代入得：
，
，
二次函数的表达式为；
（2）如图：
设，则，，
，，
，
，
解得或（舍去），
；
（3）连接交直线于，过作轴于，如图：
关于直线对称点为，
，是中点，
设，
，，
在直线上，
，
整理得：①，
，
，
变形得：②，
把①代入②得：，
，
③，
由①③可得，，
，，
在抛物线上，
，
解得或，
答：的值为5或．
11．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）我们定义：点P在一次函数上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”．
(1)判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理；
(2)若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
(3)已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
①②“向光函数”经过点，③ ，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
【答案】(1)存在；“幸福点”坐标为，；
(2)“向光函数”的解析式为：或；
(3)
【分析】（1）假设存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为，则，分别代入一次函数和反比例函数，得到关于的一元二次方程，解方程可得，，根据向光函数的定义，即可得到“幸福点”坐标；
（2因为一次函数和反比例函数只有一个“幸福点”，则一次函数与反比例函数只有一个交点，联立一次函数与反比例函数得到关于的一元二次方程，得到关于的一元二次方程，令，求出的值，即可求出“向光函数”的解析式；
（3）一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在，上，根据“向光函数”满足的条件可以得出，，进而表示边形的面积为，即可求的取值范围．
【详解】（1）假设一次函数和反比例函数是存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为，则
∴，
解并检验得：，，
∴一次函数和反比例函数是存在“向光函数”， “幸福点”坐标为，；
（2）∵一次函数关于y轴对称的直线函数解析式为，而且一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，
所以与反比例函数只有一个交点，
∴，，
整理得：，
，
解得：，，
当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：，
当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：，
∴“向光函数”的解析式为：或．
（3）∵一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在上，
∴、关于轴对称的点、是与的交点坐标，
∴，
整理得：，
又∵“向光函数”为，
∴与“向光函数”为关于轴对称，
∴，
∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），若有以下条件：①②“向光函数”经过点，③，
∴，
∴，
∴，
即“向光函数”为
又∵，
∴，
∴，
又∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），与“向光函数”为关于轴对称，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
令“向光函数”中，得即，
解得，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围是：．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到一次函数、反比例函数，理解题意是解答新定义题型的关键．
12．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，，与y轴交于点C，的面积为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在直线上方的抛物线上有一动点，点是点关于轴的对称点，连接交直线于点，当最大时，求出的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿着射线的方向平移，使得新抛物线交y轴于点C，点M为新抛物线上任意一点，点N为原抛物线对称轴上位于x轴下方的一点，存在是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标____________．
【答案】(1)
(2)最大值为，此时点的坐标为
(3)或
【分析】
（）先得出，即，再根据三角形面积公式即可求得，，再利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（）过点作于点，过点作于点，设，则，由，可得，求得，再由，可得，进而可得，利用二次函数的性质可得答案；
（）当为直角时，则，可得；当为直角时，则，可得；
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
，
，
的面积为，
，即，
，
，
，
，，
把，代入，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点是点关于轴的对称点，
，
，，
直线的解析式为，，
在中，，
如图，过点作于点，过点作于点，
设，则，
，
，，
，
，即，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为；
（3）
解：存在是以为腰的等腰直角三角形，理由如下：
将抛物线沿着射线的方向平移，使得新抛物线交轴于点，
则抛物线向左平移了个单位向上均平移了个单位，则平移后的抛物线表达式为：，
即，
则设点，点，且，
当为直角时，则，如图，
过点作轴交轴于点，设原抛物线对称轴交轴于点，
则，
，
，
，
，
，，
，，
，
解得：，舍去；
，；
当为直角时，则，如图，
过点作轴交轴于点，设原抛物线对称轴交轴于点，
同理可得， ，
，，
，，
，
解得：，舍去，
，；
综上，，或， ，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，抛物线的平移，线段的最值等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质和分类讨论思想，避免遗漏．
13．（23-24九年级下·江苏常州·阶段练习）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点．
(1)写出抛物线的对称轴为直线_______，抛物线的函数关系式为______；
(2)如图2，连结AC，若P在AC上方，作轴交AC于Q，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线AC始终有交点，求h的最大值；
(3)若P在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)不变，这个四边形的面积为16
【分析】
（1）根据二次函数图象与x轴的交点坐标即可求得对称轴，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求直线的解析式，设平移后函数解析式为：，建立方程组可得，再根据抛物线与直线始终有交点，可得，再进行计算即可；
（3）分别求出直线、的解析式，再令，分别求得点F、E、G的坐标，从而求得、的值，即可求得四边形的面积．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于点和点，
∴抛物线对称轴为：，
把点和点代入得：，
解得，
∴二次函数解析式为：，
故答案为：，；
（2）∵抛物线，
∴，
设直线的解析式为；，
把点和点代入得：，解得：，
∴直线解析式为：，
设平移后函数解析式为：，
建立方程组
整理得：，
∵抛物线与直线始终有交点，
∴，
∴，
∴h的最大值为；
（3）如图，设，
设直线的解析式为：，
∵，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
∵，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴，
∵G是点E关于x轴的对称点，
∴，
∵，，
∴．
综上，这个四边形的面积不变，这个四边形的面积为16．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标与对称轴的关系、二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组、解二元一次方程，熟练掌握相关知识，利用参数构建方程是解题的关键．
14．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）【阅读理解】函数过定点的含义就是：不管参数(即待定系数）取什么值，函数都过的这个点就是定点；如函数经过定点，因为无论取什么值，函数一定经过点，因此函数经过的定点就是；
因此，我们可以把函数过定点的问题转化为与参数无关的问题进行解决．
【尝试运用】（1）二次函数的图象必经过定点坐标为_____；
（2）试说明抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；
【思维拓展】
（3）如图，若、是抛物线上的动点，，且它们的横坐标分别为、，连接、．
证明：直线过定点；
如图，轴，轴，若 ，．要使过原点的直线恰好平分四边形面积，请直接写出的最小值，及此时这条直线的解析式．
【答案】（）或；（2）；（3）见解析；，．
【分析】（）根据题意，当时即可求解；
（）由，当时即可求解；
（）过作轴于点，过作轴于点，证明，得，即，求出直线解析式即可；
先求出，，得到四边形面积为，根据题意列出关系式即可求解；
本题考查了二次函数的图象及性质和一次函数，读懂题意，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（）由，
当时，无论取什么值都有，
∴图象必经过定点或，
故答案为：或；
（）由，
，
，
当时，解得：，，无论取什么值都会经过定点，，
∵是非坐标轴上的点，
∴；
（）过作轴于点，过作轴于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∵
∴，
∴直线解析式为，
则经过定点；
由经过定点，直线解析式为，
∵，
∴直线解析式为，
联立，解得，，
∴，，
∵轴，轴，，
∴，，
∴四边形面积为，
设平分四边形面积的直线为，且交于点，
∴，，，
∴最小值可以为，此时四边形为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点横坐标为，
∴，代入得，
则解析式为，
∴的最小值为，此时这条直线的解析式．
15．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，点M的坐标为或或．
【分析】（1）由一次函数求出B，C两点的坐标，代入二次函数中可求出b，c，从而可求出二次函数的解析式；
（2）当以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，讨论画出所有的情况，再利用菱形的四边相等，求解对应m的值，从而得到点M的坐标．
【详解】（1）解：将代入一次函数得：，
∴点C坐标，
将代入一次函数得：，
∴点B坐标，
将点B、C代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线．
（2）存在，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，需满足以下三种情况：
由（1）可得，点，，，
，
当时，，解得（舍去），（舍去），
此时点M的坐标为；
②当时，，解得或0（0舍去），
此时点M的坐标为；
③当时，，
解得（舍去），（舍去），此时点M的坐标为；
综合上述，存在，点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，考查待定系数法，考查一次函数和二次函数图象上的点的特点，考查菱形的性质，解题的关键是结合图形分情况讨论，考查计算能力和分类讨论的思想，属于较难题．
16．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，对称轴是直线，与轴的交点为和．将抛物线绕点逆时针方向旋转，点为点旋转后的对应点，旋转后的抛物线与轴相交于两点．
(1)写出点的坐标及求抛物线的解析式；
(2)求证：三点在同一直线上；
(3)设点是旋转后抛物线上之间的一动点．是否存在一点，使四边形的面积最大？如果存在，请求出四边形的面积；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)见详解
(3)存在点使得四边形的面积最大，面积最大值为
【分析】（1）根据抛物线的对称性即可写出的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）首先求得点的坐标，根据旋转的性质求出、的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法解得直线的解析式，根据以此函数图象上点的坐标特征确定点在直线上，即可得到结论；
（3）连接，由于是定值，则要使四边形的面积最大，只要最大，将绕点顺时针旋转，则点与点重合，点与点重合，点与点重合，，利用旋转变换得出点的坐标，点的坐标为，设直线的解析式为，求得直线的解析式，再设直线上有一点，易得，故有当时，，可得，点的坐标为，结合，然后计算出四边形的面积即可．
【详解】（1）解：根据题意，点与点关于直线对称，
∴，
将点，代入抛物线，
可得，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）将代入抛物线，
可得，即，
根据旋转的性质可得，点的坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
将代入，可得，
即直线经过点，
∴三点在同一直线上；
（3）存在点使得四边形的面积最大，
连接，如下图，
∵是定值，
∴要使四边形的面积最大，只要最大即可，
将绕点顺时针旋转，则点与点重合，点与点重合，点与点重合，
∵点与点均在抛物线上，
∴，
设点的坐标为，
设直线的解析式为，
则有，解得，
∴直线的解析式为，
设直线上有一点，
则，
∴当时，，
若时，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴四边形的面积，
∴存在点使得四边形的面积最大，面积最大值为．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、二次函数的图像与性质、待定系数法求一次函数与二次函数解析式、一次函数与二次函数综合应用、旋转的性质等知识，综合运行相关知识是解题关键．
17．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点．
(1)点坐标是______；点坐标是______；
(2)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(3)探究1：在抛物线上直线下方是否存在一点，使面积最大？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)探究2：在（3）的条件下，平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
(4)点的坐标为或或
【分析】（1）由题意求出当时，，当时，，即可得出、的坐标；
（2）将、两点坐标分别代入二次函数解析式，即可求解；
（3）设点坐标为，过点作于点，交于点，则点坐标为，根据，即可求解；
（4）分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形对角线时，当为平行四边形对角线时，列出方程组可求出答案．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，当时，，解得：，
，，
故答案为：，；
（2）将、两点坐标分别代入二次函数解析式，
，解得：，
二次函数解析式为：，化为顶点式为，
抛物线的顶点为；
（3）存在，理由如下：
设点坐标为，
如图，过点作于点，交于点，
则点坐标为，
，
，
当时，有最大值，此时，，
；
（4）存在，理由如下：
设，
由（1），（3）可知，，，
如图，当为平行四边形的对角线时，
，
，
，
如图，当为平行四边形的对角线时，
，
，
，
如图，当为平行四边形的对角线时，
，
，
，
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，灵活应用平行四边形的性质是解题的关键．
18．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知在直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）与轴交于点，点在该抛物线上，点，点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（1），点在直线上方的抛物线上，求面积的最大值；
(3)如图（2），在轴的正半轴上有一动点，当的外接圆与过抛物线顶点的直线相切时，求点的坐标；
(4)如图（3），在直线上有一点，坐标平面内有一点，若四边形是正方形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或或或
【分析】（1）待定系数法进行求解即可；
（2）待定系数法求出直线的解析式为，作轴交于，设，则，，根据得到关系式，根据二次函数的性质即可得出答案；
（3）由二次函数可得，，将代入直线求出直线解析式为，作的外接圆，与直线相切于，取的中点，则为圆心，连接，延长交轴于，作轴于，令交轴于点，则，则，设，，则，，，，，由等腰直角三角形的判定及性质得到，待定系数法求得直线的解析式为，将代入得：，解得：，从而得到，，再由，即，建立方程，求出的值即可得解；
（4）分情况画出图形，结合正方形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的性质、一次函数的性质，建立方程求解即可得出答案．
【详解】（1）解：将，代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：设直线的解析式为：，
将代入解析式可得：，
解得：，
直线的解析式为，
如图，作轴交于，
，
设，
轴，
点的纵坐标为：，
在中，令，解得：，
，
，
，
，
当时，的值最大，为；
（3）解：，
，
将代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
如图，作的外接圆，与直线相切于，
，
取的中点，
，
为直径，
为圆心，
连接，延长交轴于，作轴于，令交轴于点，则，
在中，令，则，解得：，
，
在中，当时，，
，
设，，则，，
，，，
，
，
轴，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，
将代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，，
，即，
，
整理得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
，
；
（4）解：在中，当时，，
解得：，，
，
，
如图，当点与点重合，与点重合时，四边形是正方形，
，
由图可得：；
设直线的解析式为，
将代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为，
如图，四边形是正方形，作轴于，轴于，
，
则，，，
，
，
，
，
，，
设，则，，
，，
，
将代入得：，
解得：或（此时和点重合），
当时，，，
，即；
如图，四边形是正方形，作轴于，轴于，
，
同理可证得：，
，，
设，则，，
，，
，
将代入得：，
解得：或，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上所述，的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
19．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线的距离相等时，求直线的解析式；
(3)已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m ，点F的横坐标为．过点D作x轴的垂线交直线于点M，过点F作x轴的垂线交直线于点N．
①如图2，连接，求四边形面积的最大值及此时点D的坐标；
②如图3连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)①最大为2，点D坐标为；②是，2
【分析】（1）由题意知，，将，代入，计算求解的值，进而可得解析式；
（2）由题意知，当时，当过中点时，A、C两点到直线的距离相等，①当时，，待定系数法求直线的解析式为，则直线的解析式为，待定系数法求解即可；②当过中点时，由题意知，中点坐标为，设直线的解析式为，待定系数法求解即可；
（3）①由题意知，，，，，则，，则，根据二次函数的性质求最值，然后求点坐标即可；②由题意知 ，，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴，
将，代入得，，
解得，，
∴；
（2）解：由题意知，当时，当过中点时，A、C两点到直线的距离相等，
①当时，
当时，，
解得，或，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为；
②当过中点时，
由题意知，中点坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
综上所述，直线的解析式为或；
（3）①解：由题意知，，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，四边形的面积最大，最大值为2，
∴；
②解：由题意知 ，
，
∴与的面积之和是定值，且定值为2．
【点睛】本题考查了待定系数法解二次函数解析式，一次函数解析式，平行线的距离，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与面积综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，平行线的距离，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与面积综合是解题的关键．
20．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知抛物线过点，其顶点为D，过点A作x轴的平行线l，点是抛物线上位于点A右侧和l两侧的动点，直线l始终平分∠PAQ．
(1)若点，求抛物线的函数表达式；
(2)在（1）的条件下，若，求的值；
(3)在点的运动过程中，试判断的值是否变化，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)的值不变化，是定值4，理由见解析
【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式以及二次函数与几何综合：
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）过点作于点，过作于点，求出证明，根据相似三角形的性质列方程，求出的值，进行检验可得结论；
（3）把代入，求出，得到，以及，求出，，，设与抛物线交于点，求出点的坐标，得出的取值范围，再根据列式求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得：
，
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点作于点，过作于点，如图，
∴，轴，
∵轴，
∴，
∵，则，
∴，
又，则，
∴，
∴
∵射线平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
经检验，是原方程的解，
当时，点与点重合，不符合题意，故舍去，
∴；
（3）解：∵在抛物线上，
∴，即，
∴，
∴，
∴由（2）知，，，，
设与抛物线交于点，
当时，，
解得，（舍去），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，，，
∴，
∴，
即的值不变化，是定值4．
21．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点E的坐标和四边形面积的最大值；
(3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点的坐标是时，四边形的面积最大，最大面积为；
(3)存在，点的坐标是、、．
【分析】此题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，分类讨论思想，数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）首先根据直线与轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是点C的坐标是；然后根据抛物线经过B、C两点,求出a、c的值是多少，即可求出抛物线的解析式；
（2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点M，交x轴于点F，然后设点E的坐标是 则点M的坐标是求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出进而判断出当面积最大时，点E的坐标和面积的最大值以及四边形面积最大各是多少即可；
（3）在抛物线上存在点P, 使得以为顶点的四边形是平行四边形.然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是， 点C的坐标是，
∵抛物线 经过B、C两点，
∴，
解得，
．
（2）解：如图1，过点E作y轴的平行线交直线于点M，交x轴于点F，
∵点E是直线上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是
则点M的坐标是
，
∴当时，即点E的坐标是时，的面积最大，最大面积是3；
∴此时，四边形的面积最大，最大面积：．
（3）解：存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
设,
①当为平行四边形的对角线时，
②当为平行四边形的对角线时，
③当为平行四边形的对角线时，
综上，可得在抛物线上存在点P， 使得以为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是．
22．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．如果四个点、、、中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上．
(1)__________；
(2)如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图像上，且轴，则菱形的边长为__________；
(3)如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图像上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)1；
(2)；
(3)为定值1，理由见解析．
【分析】（1）当，，可知不在二次函数图象上，将代入，求解值即可；
（2）由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，，由菱形的性质得，则轴，，根据，即，计算求出满足要求的解即可；
（3）如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，由正方形的性质可知，为、的中点，，，则，证明，则，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，计算求解即可1；
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴不在二次函数图象上，
将代入，解得，
故答案为：1；
（2）解：由①知，二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为y轴，
设菱形的边长为，则，
∵轴，
∴，
由菱形的性质得，，
∴轴，
∴B、C关于y轴对称，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去），（舍去），，
∴菱形的边长为；
（3）解：如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，
由正方形的性质可知，为、的中点，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
由题意知，，，，则，，
设，则，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，
∴，
∴，
∴是定值，值为1；
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
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试卷第1页，共3页第一次月考复习专题 《二次函数》压轴题 解答题22题
一、解答题
1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A， 两点，与x轴交于点B．
(1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；
(3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标．
2．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线与轴交于、两点(在的左侧)，与轴交于点．
(1)求A、B两点的坐标．
(2)如图，直线与抛物线的图象交于、两点，其中点的横坐标为，当时，根据图象求出的取值范；
(3)在（2）的条件下，
①抛物线上是否存在一点，使得，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
②连接，为线段上一动点（不与、重合）将沿翻折至，使与重合，点落在轴的下方，其中交线段于点，求的最小值．
3．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数与直线交于A、B两点，其中点B的坐标为，抛物线的顶点C在x轴上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点p为线段上的一个动点（点p不与A、B两点重合），过点p作轴交抛物线于点E，设线段的长为h，点p的横坐标为t，当t取何值时，h有最大值？最大值是多少？
(3)点D为直线与对称轴的交点，在线段上是否存在一点p，使得四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
与直线交于点，其对称轴与直线交于点，点是此抛物线上的一个动点．
(1)求此抛物线的解析式并直接写出直线的解析式；
(2)如图1，若点是直线上方抛物线上的一点，连接、和，当与面积相等时，求点的横坐标；
(3)如图2，连接，在此抛物线对称轴右侧的抛物线上是否存在点使得线段最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将矩形置放在平面直角坐标系中，顶点与坐标原点重合，点和点的坐标分别为，．抛物线经过点和，且．
(1)求a，b，c的值．
(2)如果点P由点B开始沿边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时点Q由点C开始沿边以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，的面积为S．
①写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围：
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
6．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)当时，求点P的坐标．
(3)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请写出点P的横坐标．
7．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求线段最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标．
8．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．
(1)当，时，求抛物线与轴的交点坐标；
(2)当时，设抛物线与轴交于点，顶点为，过点作轴的平行线交抛物线另一点，能否是直角三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由．
(3)若，点也在抛物线上，若，求的取值范围及的取值范围．
9．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线与轴分别交于、两点、分别在原点左右两侧），与轴交于点，点为抛物线上第一象限内一动点，过点、点的直线交轴于点，过点、点的直线交轴于点，连接、、，试探究、、、之间的数量关系．
”
(1)设，，
①若点P的横坐标为3，计算： = ____ ， =____；
猜想：比较大小 （填“＞”“＝”或“＜”）
②若点P的横坐标为m，上述之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(2)请利用上述结论解决问题：若， 直接写出k的取值范围．
10．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，直线交于第一象限内的点，且的面积为10．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点为轴上一点，过点作轴的平行线交线段于点，交抛物线于点，当时，求点的坐标；
(3)已知点是轴上的点，若点关于直线的对称点恰好落在二次函数的图象上，求的值．
11．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）我们定义：点P在一次函数上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”．
(1)判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理；
(2)若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
(3)已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
①②“向光函数”经过点，③ ，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
12．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，，与y轴交于点C，的面积为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在直线上方的抛物线上有一动点，点是点关于轴的对称点，连接交直线于点，当最大时，求出的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿着射线的方向平移，使得新抛物线交y轴于点C，点M为新抛物线上任意一点，点N为原抛物线对称轴上位于x轴下方的一点，存在是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标____________．
13．（23-24九年级下·江苏常州·阶段练习）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点．
(1)写出抛物线的对称轴为直线_______，抛物线的函数关系式为______；
(2)如图2，连结AC，若P在AC上方，作轴交AC于Q，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线AC始终有交点，求h的最大值；
(3)若P在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．
14．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）【阅读理解】函数过定点的含义就是：不管参数(即待定系数）取什么值，函数都过的这个点就是定点；如函数经过定点，因为无论取什么值，函数一定经过点，因此函数经过的定点就是；
因此，我们可以把函数过定点的问题转化为与参数无关的问题进行解决．
【尝试运用】（1）二次函数的图象必经过定点坐标为_____；
（2）试说明抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；
【思维拓展】
（3）如图，若、是抛物线上的动点，，且它们的横坐标分别为、，连接、．
证明：直线过定点；
如图，轴，轴，若 ，．要使过原点的直线恰好平分四边形面积，请直接写出的最小值，及此时这条直线的解析式．
15．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，对称轴是直线，与轴的交点为和．将抛物线绕点逆时针方向旋转，点为点旋转后的对应点，旋转后的抛物线与轴相交于两点．
(1)写出点的坐标及求抛物线的解析式；
(2)求证：三点在同一直线上；
(3)设点是旋转后抛物线上之间的一动点．是否存在一点，使四边形的面积最大？如果存在，请求出四边形的面积；如果不存在，请说明理由．
17．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点．
(1)点坐标是______；点坐标是______；
(2)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(3)探究1：在抛物线上直线下方是否存在一点，使面积最大？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)探究2：在（3）的条件下，平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
18．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知在直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）与轴交于点，点在该抛物线上，点，点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（1），点在直线上方的抛物线上，求面积的最大值；
(3)如图（2），在轴的正半轴上有一动点，当的外接圆与过抛物线顶点的直线相切时，求点的坐标；
(4)如图（3），在直线上有一点，坐标平面内有一点，若四边形是正方形，请直接写出点的坐标．
19．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线的距离相等时，求直线的解析式；
(3)已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m ，点F的横坐标为．过点D作x轴的垂线交直线于点M，过点F作x轴的垂线交直线于点N．
①如图2，连接，求四边形面积的最大值及此时点D的坐标；
②如图3连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由．
20．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知抛物线过点，其顶点为D，过点A作x轴的平行线l，点是抛物线上位于点A右侧和l两侧的动点，直线l始终平分∠PAQ．
(1)若点，求抛物线的函数表达式；
(2)在（1）的条件下，若，求的值；
(3)在点的运动过程中，试判断的值是否变化，并说明理由．
21．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点E的坐标和四边形面积的最大值；
(3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
22．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．如果四个点、、、中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上．
(1)__________；
(2)如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图像上，且轴，则菱形的边长为__________；
(3)如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图像上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
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