高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展12ω的值和取值范围问题(学案+练习)

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展12 ω的值和取值范围问题（精讲+精练）
一、与对称性有关
(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是；
(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是；
(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离；
二、与单调性有关
三、与零点和极值点有关
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值，极值点的处理方法也是类似的.
【典例1】若存在实数，使得函数(>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由于函数的图象的一个对称中心为，所以，所以，由于，则，
因为，所以可得：，故选：C
【典例2】已知函数在区间上单调递减，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意知，，
令，解得，
又函数在区间上单调递减，所以，解得，
当时，.故选：C.
【典例3】已知函数在上恰有2个不同的零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意可得，
由，得，
因为函数在上恰有2个不同的零点，
所以，即，故选：A
【题型训练1-刷真题】
1.（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
2.（2022·全国·统考高考真题）（单选）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型训练2-刷模拟】
1.与对称性有关
一、单选题
1．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，若关于点对称，则的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．（2023·浙江·统考二模）已知函数，若在区间是单调函数，且，则的值为（ ）．
A． B． C．或 D．或2
3．（2023·安徽马鞍山·统考三模）记函数的最小正周期为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
5．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
9．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）已知函数的最小正周期为T，若，且函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
10．（2023·辽宁锦州·统考二模）已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．
2.与单调性有关
一、单选题
1．（2023·四川成都·石室中学校考三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023·山东青岛·统考三模）将函数图象向左平移后，得到的图象，若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的最小正周期为，且当时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则a的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川绵阳·统考三模）已知函数是区间上的增函数，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广东·校联考模拟预测）若函数是区间上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数在区间上不单调，则的最小正整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，若存在唯一的实数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）函数恒有，且在上单调递增，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．
13．（2023春·安徽阜阳·高三校考阶段练习）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3.与零点、极值点有关
一、单选题
1．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数，是的一个极值点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
2．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数的最小正周期为T，若，且是的一个极值点，则（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数在上有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）若函数在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在内恰有4个极值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河南郑州·三模）设函数在区间内恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知函数在有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·陕西商洛·统考三模）记函数的最小正周期为，且，若在上恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数，若在区间上有且仅有个零点和条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）记函数的最小正周期为.若，为的零点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
12．（2023·新疆·校联考二模）若函数在区间上的三个零点为，，，且，且，则下列结论：（ ）
①的最小正周期为；
②在区间有3个极值点；
③在区间上单调递增；
④为函数离原点最近的对称中心．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展12 ω的值和取值范围问题（精讲+精练）
一、与对称性有关
(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是；
(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是；
(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离；
二、与单调性有关
三、与零点和极值点有关
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值，极值点的处理方法也是类似的.
【典例1】若存在实数，使得函数(>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由于函数的图象的一个对称中心为，所以，所以，由于，则，
因为，所以可得：，故选：C
【典例2】已知函数在区间上单调递减，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意知，，
令，解得，
又函数在区间上单调递减，所以，解得，
当时，.故选：C.
【典例3】已知函数在上恰有2个不同的零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意可得，
由，得，
因为函数在上恰有2个不同的零点，
所以，即，故选：A
【题型训练1-刷真题】
一、填空题
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
二、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．
【题型训练2-刷模拟】
1.与对称性有关
一、单选题
1．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，若关于点对称，则的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】利用三角函数图象变换结论求出变换后的函数图象额解析式，再由余弦函数的对称性的性质求的最小值.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度
得到的曲线的函数解析式为，
由已知函数的图象关于点对称，
所以，，
所以，又，
所以的最小值是，
故选：B.
2．（2023·浙江·统考二模）已知函数，若在区间是单调函数，且，则的值为（ ）．
A． B． C．或 D．或2
【答案】B
【分析】由在区间是有单调性，可得范围，从而得；由，可得函数关于对称，又，有对称中心为,讨论与是否在同一周期里面相邻的对称轴与对称中心即可.
【详解】在区间是有单调性，，
，；
，函数关于对称，
离最近对称轴的距离为；
又，有对称中心为；
由题意可知：若与为不是同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．
则，可得，,不符合舍去，
若与为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．
那么：，可得，．
综上可知
故选:B
3．（2023·安徽马鞍山·统考三模）记函数的最小正周期为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得.
【详解】函数的最小正周期，则，解得；
又，即是函数的一条对称轴，
所以，解得.
又，当时，.
故选：C.
4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得函数图象的对称中心，再利用正弦函数的性质列式求解作答.
【详解】因为对于任意实数x，都有，则有函数图象关于点对称，
因此，解得，而，
所以当时，取得最小值4.
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先利用辅助角公式化简，再求出函数的对称轴方程，由图像的一条对称轴在区间内，求出的取值范围，验证周期得答案
【详解】解：，
由，得，
取，得，取，得，
由，得，此时，
由，得，此时，不合题意，
依次当取其它整数时，不合题意，所以的取值范围为，
故选：C
6．（2023·全国·高三专题练习）若存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，，只有唯一的值落在中，从而列不等式组可求出答案.
【详解】由，，得，，
，
因为存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，
所以只有唯一的值落在（）中，
所以，解得，
故选：C．
7．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，，得到，数形结合得到，求出答案.
【详解】因为，，
所以，
画出的图象，
要想图象在区间内至多存在3条对称轴，则，
解得.
故选：A
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
【答案】C
【分析】求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有3个整数k符合，解不等式即得解.
【详解】解：，
令，，则，，
函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即有3个整数k符合，
，得，则，
即，∴.
故选：C.
9．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）已知函数的最小正周期为T，若，且函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据，求得，再根据余弦函数的对称性即可得出答案.
【详解】，
，
因为，所以，
则，
又因函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
又因为，
所以当时，.故选：C.
10．（2023·辽宁锦州·统考二模）已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】先利用辅助角公式化简函数，根据题意得函数在上存在对称轴，利用整体代换列不等式，解不等式即可求出最值.
【详解】，
因为使得的图象在点处的切线与轴平行，
所以函数在上存在最值，即函数在上存在对称轴，
令，得，
因为，所以，
即，则，
又，故时，取最小值为，
故选：A
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．
【答案】C
【分析】由、是偶函数得到，再由在上单调可得可得答案.
【详解】因为，所以，
则①.，因为是偶函数，
所以直线是图象的对称轴，所以②.
由①②可得，，又，所以，
则，
因为在上单调，的最小正周期为，
所以，解得，故的最大值为5，经检验，在上单调.
故选：C.
2.与单调性有关
一、单选题
1．（2023·四川成都·石室中学校考三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】求出的解析式，根据在上单调递增得可得答案.
【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到
的图象，
因为，所以，
因为在上单调递增，所以，即，
所以的最大值为.
故选：A.
2．（2023·山东青岛·统考三模）将函数图象向左平移后，得到的图象，若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的图像变换及单调性计算即可.
【详解】向左平移，
得，
时，，在上单调递减，
即，故.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的最小正周期为，且当时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则a的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最小正周期求出，根据当时，函数取最小值，求出，从而，由得到，由单调性列出不等式，求出，得到答案.
【详解】因为，所以，
故，所以，解得：，
因为，所以只有当时，满足要求，
故，因为，所以，
故，解得：，
故a的最小值为.
故选：A
4．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦函数图像性质可得单调区间长度小于等于半周期，即可得，再利用整体代换法即可求得， 取即可得出结果.
【详解】函数的最小正周期，
所以，即．
当时，，
依题意知，，
解得，又
∴当时成立，．
故选：A．
5．（2023·四川绵阳·统考三模）已知函数是区间上的增函数，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据求得，再利用余弦函数的单调区间建立即可求解.
【详解】，，
又因为函数是区间上的增函数，
解得
因为为正实数，所以，从而，
又，所以正实数的取值范围是为.
故选：C
6．（2023·广东·校联考模拟预测）若函数是区间上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数在区间上是减函数，对进行分类讨论，再分别解之即可.
【详解】函数是区间上的减函数，则
①当时，则，则由得，故，则无解.
②当时，则，则由得，故 ，则有.
综上①②知：.
故选：B
7．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.
【详解】由，得，
即函数的单调递减区间为，
令，则函数其中一个的单调递减区间为：
函数在区间内单调递减，
则满足，得，所以的取值范围是.
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式变形函数，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数的范围.
【详解】依题意，函数，，
因为在区间上单调递增，由，则，
于是且，解得且，即，
当时，，因为在区间上只取得一次最大值，
因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
9．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数在区间上不单调，则的最小正整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由二倍角公式以及辅助角公式化简，进而根据为正整数，由的范围，即可结合正弦函数的单调区间进行求解.
【详解】，
由于为正整数，
当时，，此时
故此时在上单调，时不符合，
当时，，此时且
故此时在先增后减，因此不单调，符合，
当时，，此时，
而的周期为，此时在上不单调，符合，但不是最小的正整数，同理要求符合，但不是最小的正整数，
故选：B
10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，若存在唯一的实数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】整理可得，结合题意结合正弦函数性质分析运算.
【详解】由题意可得：，且，
①因为，可得，
若存在唯一的实数，使得，
则，解得；
②又因为，且，
可得，
若函数在区间上单调递增，
注意到，则，解得；
综上所述：的取值范围是.故答案为：B.
11．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）函数恒有，且在上单调递增，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由题意可得时取得最大值，可得.根据单调性可得，即，根据可求的值.
【详解】因为恒有，所以当时取得最大值，
所以，得.
因为在上单调递增，所以,即，得.
因为，所以.
因为在上单调递增，
所以,得.
所以，且，，解得，.故.故选：B.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．
【答案】C
【分析】由、是偶函数得到，再由在上单调可得可得答案.
【详解】因为，所以，
则①.，因为是偶函数，
所以直线是图象的对称轴，所以②.
由①②可得，，又，所以，
则，
因为在上单调，的最小正周期为，
所以，解得，故的最大值为5，经检验，在上单调.
故选：C.
13．（2023春·安徽阜阳·高三校考阶段练习）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解.
【详解】由已知，函数在上单调递增，
所以，解得：，
由于，所以，解得：①
又因为函数在上恒成立，
所以，解得：，
由于，所以，解得：②
又因为，当时，由①②可知：，解得；
当时，由①②可知：，解得.
所以的取值范围为.
故选：B.
【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.
3.与零点、极值点有关
一、单选题
1．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数，是的一个极值点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据极值点的定义结合正弦函数图像的性质，是的一条对称轴，可求得表达式，即可求出答案.
【详解】由是的一个极值点，结合正弦函数图像的性质可知，是的一条对称轴，
即，，求得，
，
当时，的最小值为.
故选：A.
2．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数的最小正周期为T，若，且是的一个极值点，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的周期确定的范围，再由极值点求出的值作答.
【详解】函数的最小正周期为，于是，解得，
因为是的一个极值点，则，解得，
所以.
故选：D
3．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数在上有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意求出的范围，然后根据正弦函数的性质及题意建立不等关系，求得参数的取值范围即可.
【详解】因为，，
所以 ，
因为函数在上有3个极值点，
所以，
解得，
所以的取值范围为，
故选：C.
4．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函数的图象与性质可得及，
继而可得，计算可得结果.
【详解】化简，
在时，，该区间上有零点，故，
又时单调，则，即，
故
故选：C
5．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）若函数在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦函数的图象特征，根据整体法即可列出不等式满足的关系进行求解．
【详解】当，，
由于在区间上恰有唯一极值点，
故满足，解得，
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在内恰有4个极值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】辅助角化简，由已知上恰有4个极值点和3个零点，数形结合列不等式求参数的范围.
【详解】由且，
因为，所以，
又在内恰有4个极值点和3个零点，
由正弦函数的图象知：，解得：，
所以实数的取值范围是.
故选：C
7．（2023·河南郑州·三模）设函数在区间内恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦函数的性质列不等式求解.
【详解】时，，，因此由题意，解得．故选：A．
8．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知函数在有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简得到，结合和三角函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，
因为，可得，则，
又由函数在仅有两个零点，且，
则满足，解得.
故选：C．
9．（2023·陕西商洛·统考三模）记函数的最小正周期为，且，若在上恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由求得，使用整体换元法求得的范围， 根据在上恰有3个零点列出满足的不等式关系求解即可.
【详解】因为的最小正周期为T，所以．
又，所以，
当时，，
由在上恰有3个零点，得，
解得．
故选：A
10．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数，若在区间上有且仅有个零点和条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质的应用即可求出的取值范围．
【详解】函数 ，
令，由，则，
又函数在区间上有且仅有个零点和条对称轴，
即在区间上有且仅有个零点和条对称轴，
作出的图象如下，
所以，得．
故选：D．
11．（2023·全国·高三专题练习）记函数的最小正周期为.若，为的零点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】先求出函数的周期，再由可求出，然后由为的零点，可求得结果.
【详解】因为的最小正周期为，且，
所以，
因为，所以，
所以，
因为为的零点，
所以，
所以，解得，
因为，所以的最小值为4，
故选：C
12．（2023·新疆·校联考二模）若函数在区间上的三个零点为，，，且，且，则下列结论：（ ）
①的最小正周期为；
②在区间有3个极值点；
③在区间上单调递增；
④为函数离原点最近的对称中心．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】先利用条件求出，再利用三角函数的图像与性质，以及的零点、极值点，逐一对各个选项分析判断即可得到结果．
【详解】令，则由，得，
所以，由，得到
如图，由的图像与性质知，，，
即
化简得，
将代入得，所以，故①正确；
对于②，因为，
由的图像与性质知，函数的极值点，即函数的最值点，
所以由，得到，
又因为，所以或，
所以在区间上有且仅有2个极值点，故②错误；
对于③，由，，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
由，得到，由，得到，
所以在区间在上单调递增，在区间上单调递减，故③错误；
对于④，令，解得，当时，为最小，
所以函数离原点最近的对称中心为，故④错误．
故选：B．
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