高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展18解三角形中的结构不良问题(学案+练习)

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展18 解三角形中的结构不良问题（精讲+精练）
一、“结构不良问题”的解题策略
（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；
（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．
二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．
（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；
（2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；
（9）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
三、“边化角”或“角化边”的变换策略
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（9）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
【典例1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
(1)求角B；
(2)在①的外接圆的面积为，②的周长为12，③，这三个条件中任选一个，求的面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【分析】（1）由已知，根据给的，先使用正弦定理进行边角转化全部转化成角的关系，然后再利用,把换掉，展开和差公式合并同类项，然后根据角B的取值范围，即可完成求解；
（2）由已知，根据第（1）问计算出的角B，若选①，现根据给的外接圆的面积计算出外接圆半径R，然后根据角B利用正弦定理计算出边长b，然后使用余弦定理结合基本不等式求解ac的最值，即可完成面积最值得求解；若选②，利用，表示出三边关系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最值，然后再利用基本不等式找到ac与a+c的关系，从而求解出面积的最值；若选③，可根据边长b、角B借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面积最值得求解.
【详解】（1）∵
∴
∴
，∴
∵∴∴
∵，∴
（2）若选①，设的外接圆半径为R，
则，∴
∴
由余弦定理，得：
即，当且仅当时，等号成立.即的面积的最大值为
若选②∵，∴
由余弦定理，
，又
∴
∴（舍）或，当且仅当时等号成立
∴，当且仅当时等号成立
若选③，由余弦定理，得：
即，当且仅当时，等号成立.
∴即的面积的最大值为
【题型训练1-刷真题】
一、解答题
1．（2029·北京·统考高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（2021·北京·统考高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
【题型训练2-刷模拟】
一、解答题
1．（2029·四川·校联考模拟预测）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．在下列三个条件①，，且；②；③中任选一个，回答下列问题．
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值．
2．（2029·北京东城·统考模拟预测）已知函数.在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：
条件①：在图象上相邻的两个对称中心的距离为；
条件②：的一条对称轴为.
(1)求ω；
(2)将的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的值域.
9．（2029·全国·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．
(1)求角C；
(2)若外接圆的面积为，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
4．（2029·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）的内角的对边分别为，，且______．
(1)求的面积；
(2)若，求．
在①，②这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
5．（2029·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记△OBC，的面积分别为，，，已知，．
(1)若为锐角三角形，求AC的取值范围；
(2)在①；②；③中选一个作为条件，判断△ABC是否存在，若存在，求出的面积，若不存在，说明理由．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
6．（2029·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且__________，求的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答.①；②的面积为；③.
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.
7．（2029·河北·统考模拟预测）在中，内角A，B，C对应的边为a，b，c，的面积为S，若.
(1)当时，求A；
(2)若角B为的最大内角.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立，
①；②；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
8．（2029·云南曲靖·统考模拟预测）在①；②；③这三个条件中选择一个补充在下面问题中的横线上，然后求解.
问题：在中，内角的对边分别为，且，______.（说明：只需选择一个条件填入求解，如果三个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）
(1)求角的大小；
(2)求内切圆的半径.
9．（2029·宁夏中卫·统考二模）在①；②；
③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_______．
(1)求角C；
(2)若的内切圆半径为，求．
10．（2029·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知圆是的外接圆，圆的直径.设，，，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，
①；
②；
③的面积为.选择条件______.
(1)求的值；
(2)求的周长的取值范围.
11．（2029·湖南益阳·统考模拟预测）中，角 的对边分别为，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①；②；③的面积为.
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
12．（2029·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）在①，，；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在中，内角的对边分别是，且满足________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
19．（2029·山西吕梁·统考三模）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
已知的内角，，所对的边分别为，，，___________.
(1)求的值；
(2)若的面积为2，，求的周长.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
14．（2029·全国·模拟预测）从①，②（为的面积），③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答．
在中，内角、、的对边分别为、、，且______．
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
15．（2029·河北邯郸·统考二模）已知条件：①；②；③.
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，满足：___________.
(1)求角的大小；
(2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分
16．（2029·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数______．
(1)求函数的最小正周期及单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为的面积．若在处有最小值，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．（2029·江苏·校联考模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
在中，内角，，所对应的边分别为，，，且满足________．
(1)求；
(2)若，，为边上的一点，且，求．
18．（2029·海南·统考模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知△ABC中，点M在线段BC上，且， ，，．
(1)求的值；
(2)求AM的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展18 解三角形中的结构不良问题（精讲+精练）
一、“结构不良问题”的解题策略
（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；
（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．
二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．
（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；
（2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；
（9）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
三、“边化角”或“角化边”的变换策略
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（9）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
【典例1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
(1)求角B；
(2)在①的外接圆的面积为，②的周长为12，③，这三个条件中任选一个，求的面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【分析】（1）由已知，根据给的，先使用正弦定理进行边角转化全部转化成角的关系，然后再利用,把换掉，展开和差公式合并同类项，然后根据角B的取值范围，即可完成求解；
（2）由已知，根据第（1）问计算出的角B，若选①，现根据给的外接圆的面积计算出外接圆半径R，然后根据角B利用正弦定理计算出边长b，然后使用余弦定理结合基本不等式求解ac的最值，即可完成面积最值得求解；若选②，利用，表示出三边关系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最值，然后再利用基本不等式找到ac与a+c的关系，从而求解出面积的最值；若选③，可根据边长b、角B借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面积最值得求解.
【详解】（1）∵
∴
∴
，∴
∵∴∴
∵，∴
（2）若选①，设的外接圆半径为R，
则，∴
∴
由余弦定理，得：
即，当且仅当时，等号成立.即的面积的最大值为
若选②∵，∴
由余弦定理，
，又
∴
∴（舍）或，当且仅当时等号成立
∴，当且仅当时等号成立
若选③，由余弦定理，得：
即，当且仅当时，等号成立.
∴即的面积的最大值为
【题型训练1-刷真题】
一、解答题
1．（2029·北京·统考高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1).
(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【详解】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
2．（2021·北京·统考高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
【题型训练2-刷模拟】
一、解答题
1．（2029·四川·校联考模拟预测）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．在下列三个条件①，，且；②；③中任选一个，回答下列问题．
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）条件①：根据向量平行的坐标表示转化，求得；条件②：根据正弦定理转化为，求得；条件③：将条件中的余弦转化为正弦，再用正弦定理与余弦定理求得.
（2）根据余弦定理及基本不等式求得面积的最大值．
【详解】（1）选择条件①，因为，，且，
所以，
即，所以，
由为锐角三角形可知，则，
故，，
选择条件②，因为，由正弦定理可得，
由为锐角三角形可知，所以，
则，即，
由为锐角三角形可知，故．
选择条件③，因为，
所以，
即，
由正弦定理可得，
根据余弦定理可得，
由为锐角三角形可知，故，
（2）因为，由（1）可得，
所以根据余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，满足条件．
则，
故面积的最大值为．
2．（2029·北京东城·统考模拟预测）已知函数.在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：
条件①：在图象上相邻的两个对称中心的距离为；
条件②：的一条对称轴为.
(1)求ω；
(2)将的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数的恒等变换对进行化简，再分别由条件①②求的值．
（2）由三角函数的平移变换得的解析式，再由函数的定义域求值域即可．
【详解】（1）
选①：图象上相邻两个对称中心的距离为，
则，则，
选②：的一条对称轴为，
则，
，又，则，
于是
（2）将的图象向右移个单位长度（纵坐标不变），
得到函数的图象
，
，
，
的值域为．
9．（2029·全国·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．
(1)求角C；
(2)若外接圆的面积为，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理、两角和的正弦公式和辅助角公式化简计算，即可求出C；
（2）根据正弦定理可得，利用余弦定理和基本不等式计算可得，结合三角形的面积公式计算即可求解.
【详解】（1）选条件①．
，
由正弦定理得．
因为，所以，
故．
因为，所以，得，
又，所以．
选条件②．
由得．
由正弦定理得，
得，
得．
而，所以，即，
而，所以．
选条件③．
由及正弦定理得，
因为，所以，
即，即，
所以，而，所以．
（2）设外接圆的半径为R，则，故．
由正弦定理可得．
所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以，
故面积的最大值为．
4．（2029·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）的内角的对边分别为，，且______．
(1)求的面积；
(2)若，求．
在①，②这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①则根据余弦定理得，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根据面积公式即可得的面积；若选②根据向量数量积定义得 ，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根据面积公式即可得的面积；
（2）由正弦定理得即可求得的值.
【详解】（1）若选①，由余弦定理得，整理得，则，
又，则，，则；
若选②，则，又，则，
又 ，得，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，．
5．（2029·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记△OBC，的面积分别为，，，已知，．
(1)若为锐角三角形，求AC的取值范围；
(2)在①；②；③中选一个作为条件，判断△ABC是否存在，若存在，求出的面积，若不存在，说明理由．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意，根据的内切圆的性质可得，利用正、余弦定理可得，结合角C的取值范围即可求解；
（2）选择①，根据正弦定理可得，由（1）得，方程无解即△ABC不存在．选择②，根据三角恒等变换可得，由（1）得，解得，结合三角形的面积公式计算即可.选择③，由（1），根据余弦定理可得，方程无解即△ABC不存在．
【详解】（1）设的内切圆半径为r，因为，
所以，化简得：，
所以，因为，所以，所以，
因为，所以，
因为为锐角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以AC的取值范围为．
（2）选择①，因为，所以，
因为，所以，所以，
由（1）知，，所以，
整理得，方程无实数解，所以不存在．
选择②，由得：，
所以，即，所以，
由（1）知，，
所以，所以，解得，
所以存在且唯一，的面积．
选择③，因为，所以，
由（1）知，，所以，
整理得，
方程无实数解，所以不存在．
6．（2029·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且__________，求的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答.①；②的面积为；③.
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用和正弦的和角公式，化简即可得出结果；
（2）选①，利用正弦定理和条件得出，选②，利用条件和三角形面积公式得出，选③，利用条件和数量积的定义得出
，再利用余弦定即可得到结果.
【详解】（1）由正弦定理：，
因为，所以，
所以，因为，所以，得到，又，所以.
（2）若选①，根据正弦定理和（1）可知，，
所以，所以，得到，
若选②，由题知，得到，
若选③，即，由数量积定义得，得到，
故三个条件任选一个条件，都可以得到，
由余弦定理，得，整理得，
即，则或（舍去），
所以的周长为.
7．（2029·河北·统考模拟预测）在中，内角A，B，C对应的边为a，b，c，的面积为S，若.
(1)当时，求A；
(2)若角B为的最大内角.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立，
①；②；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)；
(2)答案见详解.
【分析】（1）由题意，根据正弦定理、特殊角的三角函数值和辅助角公式化简计算可得，即可求解；
（2）分别以①②③中选取2个作为条件，根据正、余弦定理和三角形的面积公式计算，可证得第9个条件成立.
【详解】（1），
由正弦定理得，
当时，，
得，即，
又，所以，得；
（2）若选①②为条件.
，
由余弦定理得，又，所以.
由（1），得，
有，又，解得.
又，得，
由正弦定理得，即，
解得，所以，即③成立；
若选①③为条件.
，
由余弦定理得，又，所以.
由，得.
由（1）得，由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，则，即②成立；
若选②③为条件.
，
由（1）得，由正弦定理得，所以.
由余弦定理得，
即，有，
即，等式两边同时平方，得，
解得或.
当时，，则，与B为的最大内角矛盾，
故，又由余弦定理得，
即，即①成立.
8．（2029·云南曲靖·统考模拟预测）在①；②；③这三个条件中选择一个补充在下面问题中的横线上，然后求解.
问题：在中，内角的对边分别为，且，______.（说明：只需选择一个条件填入求解，如果三个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）
(1)求角的大小；
(2)求内切圆的半径.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，再根据两角差的正弦公式化简即可得解；
选②，根据两角差的余弦公式结合三角形内角和定理化简即可；
选③，利用正弦定理化边为角，再结合商数关系化简即可；
（2）先利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式求出面积，再根据等面积法即可得解.
【详解】（1）选①，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
化简得，所以，
因为，所以；
选②，因为，
所以，
所以，
又因为，所以；
选③，因为，由正弦定理得，
而，
，
因为，所以，
又因为，所以；
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
设内切圆的半径为周长为，
因为，故，
所以，即内切圆的半径为.
9．（2029·宁夏中卫·统考二模）在①；②；
③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_______．
(1)求角C；
(2)若的内切圆半径为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择①根据两角和的正切公式化简可得角，选择②由正弦定理统一为边，再由余弦定理求解，选择③根据正弦定理统一为角，由辅助角公式求解；
（2）由余弦定理及三角形面积公式联立求解即可.
【详解】（1）选择①：由已知得，
所以，
在中，，所以．
选择②：由已知及正弦定理得，
所以，所以，
因为，所以．
选择③：由正弦定理可得，
又，所以，则，
则，故．
又因为，所以，
解得．
（2）由余弦定理得，①
由等面积公式得．
即．
整理得，②
联立①②，解得，
所以．
10．（2029·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知圆是的外接圆，圆的直径.设，，，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，
①；
②；
③的面积为.选择条件______.
(1)求的值；
(2)求的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①利用正弦定理将边化角，再结合两角和的余弦公式及诱导公式求出，在利用正弦定理计算可得；若选②，根据同角三角函数的基本关系、和差角公式及诱导公式求出，在利用正弦定理计算可得；若选③，利用面积公式及余弦定理求出，在利用正弦定理计算可得；
（2）由题知，设，，利用正弦定理得到，，再根据三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）若选①，因为，
由正弦定理可得，
显然，所以，
即，所以，所以，又，所以，
因为外接圆的半径，所以.
若选②，因为，
所以，
即，
所以，
所以，所以，又，所以，
因为外接圆的半径，所以.
若选③，的面积为，则，
由余弦定理可得，所以，所以，又，所以，
因为外接圆的半径，所以.
（2）由题知，设，，
由正弦定理，
所以，，
所以
，
因为，所以，所以，
所以.
11．（2029·湖南益阳·统考模拟预测）中，角 的对边分别为，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①；②；③的面积为.
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)选择条件见解析，
(2)
【分析】（1）选①②时，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求得答案；选③时，龙三角形面积公式结合余弦定理即可求得答案；
（2）方法一：利用三角恒等变换化简为只含有一个三角函数的形式，结合正弦函数性质，即可得答案；
方法二：利用余弦定理可得，再由正弦定理边化角，可得，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）选择①由正弦定理可得，，
因为，所以 ，即，
因为，所以，所以，
所以，即；
选择②，则，
由正弦定理得 ，
因为，所以 ，即，
因为，所以，所以，即；
选择③由，
可得 ，即，
所以，由于，故.
（2）方法一：
因为，所以，
所以，
所以，
即的取值范围为
方法二：由余弦定理，，
再由正弦定理，，
因为，
所以，
即，当且仅当时“=”成立.
又因为，，所以 ，
即的取值范围为.
12．（2029·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）在①，，；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在中，内角的对边分别是，且满足________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①：由，得到，利用正弦定理和三角形内角性质化简得到，求得，即可求解；
选②：由正弦定理和三角函数的性质得到，得到，即可求解；
选③：由余弦定理求得，即可求解；
（2）由余弦定理求得，结合基本不等式求得，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：选①：因为，
由，可得，
由正弦定理得:
，
因为，可得，所以，
又因为，可得，所以，
因为，所以.
选②：因为，
由正弦定理得，
又因为，可得，则，
即，可得，
因为，所以.
选③：因为，可得，
由余弦定理得，
又因为，所以.
（2）解：因为，且，
由余弦定理知，即，
可得，
又由，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以的面积，
即的面积的最大值为.
19．（2029·山西吕梁·统考三模）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
已知的内角，，所对的边分别为，，，___________.
(1)求的值；
(2)若的面积为2，，求的周长.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求的值；
（2）由面积公式求得，再利用余弦定理求得，可得的周长.
【详解】（1）若选①，由已知得，所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，又，
由，，解得.
若选②，由已知及正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
又，所以，所以，又，
由，，解得.
（2）由的面积为2，得，所以，
由（1）可得，
由余弦定理得，
所以，所以，
所以的周长为.
14．（2029·全国·模拟预测）从①，②（为的面积），③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答．
在中，内角、、的对边分别为、、，且______．
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选条件①：利用正弦定理结合余弦定理可得出，求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
选条件②：利用三角形的面积公式结合切化弦可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
选条件③：利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用余弦定理可得出，利用基本不等式结合三角形三边关系可求得的取值范围.
【详解】（1）解：选条件①：因为，所以由正弦定理得，
由余弦定理得，整理得，
由余弦定理得，因为，所以；
选条件②：因为，
由三角形的面积公式可得，
因为、，则，，所以，，
因为，所以；
选条件③：因为，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，．
因为、，则，所以，故.
（2）解：由及正弦定理得，所以．
又由（1）知，所以由余弦定理得，
由基本不等式可得，
即，当且仅当时取等号，
又，所以，
所以的取值范围为．
15．（2029·河北邯郸·统考二模）已知条件：①；②；③.
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，满足：___________.
(1)求角的大小；
(2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分
【答案】(1)条件选择见解析，；
(2).
【分析】（1）选①，利用余弦定理求解作答；选②，利用二倍角正弦、正弦定理边化角求解作答；选③，利用二倍角的余弦公式计算作答.
（2）根据给定条件，结合（1）的结论求出，再利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答.
【详解】（1）选择条件①，，
在中，由余弦定理得，
整理得，则，又，
所以.
选择条件②，，
于是，
在中，由正弦定理得，，
因为，则，即，
因为，因此，即，又，
所以.
选择条件③，，
在中，因为，即，
则，又，即有，则，
所以.
（2）由（1）知，，有，
而与的平分线交于点，即有，于是，
设，则，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，，
所以的周长为
，由，得，
则当，即时，的周长取得最大值，
所以周长的最大值为.
16．（2029·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数______．
(1)求函数的最小正周期及单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为的面积．若在处有最小值，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)最小正周期，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）三个条件中任选一个，利用三角恒等变换化简，根据三角函数的性质求解；
（2）根据的解析式及三角函数的性质求得，．由余弦定理结合基本不等式可得，从而可得面积的最大值．
【详解】（1）选择条件①：
．
所以函数的最小正周期．
令，解得，
所以函数的单调递减区间为．
选择条件②：
，
所以函数的最小正周期．
令，解得，
所以函数的单调递减区间为．
选择条件③：
，
所以函数的最小正周期．
令，解得，
所以函数的单调递减区间为．
（2）因为，
所以当，即时，．
因为在处有最小值，且，所以，．
由余弦定理可得，
所以，
当且仅当时取等号，故面积的最大值为．
17．（2029·江苏·校联考模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
在中，内角，，所对应的边分别为，，，且满足________．
(1)求；
(2)若，，为边上的一点，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①：由条件和正弦定理得，根据得出，根据二倍角公式得出，进而得出，再结合的范围即可求出；选②：由二倍角公式及同角三角函数的平方关系得出，解出，再结合的范围即可求出；
（2）首先在中，由余弦定理求出和，在中，由正弦定理得出，由得出代入，结合二倍角公式即可得出答案．
【详解】（1）选择①：
在中，由正弦定理，得．
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，
所以，
所以，所以．
选择②：
因为，
所以，
所以，
所以，即，
解得或（舍去），
因为，所以．
（2）在中，由余弦定理，
得，解得，
，
在中，由正弦定理得：，
得，
因为，
所以，
所．
18．（2029·海南·统考模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知△ABC中，点M在线段BC上，且， ，，．
(1)求的值；
(2)求AM的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择条件①，利用切化弦公式、正弦两角和公式、正弦定理进行求解；
选择条件②，利用余弦二倍角公式、正弦定理进行求解；
（2）由，得，接合余弦定理进行求解.
【详解】（1）若选择条件①：
依题意，，，
故，
即，
由正弦定理，得．
在△ABM中，有，①
在△ACM中，有，②
因为，所以，
又
所以得．
若选择条件②：
因为，
所以，
即，由正弦定理，得，
故．
在△ABM中，有，①
在△ACM中，有．②
因为，所以，又
所以得．
（2）由（1）可知，，
在△ABM中，，
在△ACM中，，
因为，所以，
所以，所以．
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