高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展24立体几何中球与几何体的切接问题(学案+练习)

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展24 立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精练）
一、外接球
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．
二、内切球
球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．
【常用结论】
①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：
②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．
③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．
　　　　
④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．
　　　　　
⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)
⑥外接球模型六：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R＝(其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)
　　　　　　
⑦内切球思路：以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．
方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；
第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；
第三步：解出r＝＝．
【典例1】（2023·浙江·高三校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是 ．
【答案】
【解析】如图所示：
因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为，
则正四面体为，
设球的半径为R，则，
解得，
所以则正方体的棱长为，
所以正四面体的棱长为，
故答案为：
【典例2】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设四面体的外接球的半径为,
则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，
则故，
故四面体ABCD外接球的体积为，
故选：C
【典例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，因为，所以.
于是（是外接圆的半径），.
又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，
所以球的半径为.
所以球的表面积为，解得.
因此.
于是直三棱柱的表面积是
.
故选：D.
【典例4】（2023·安徽宣城·高三统考期末）在三棱锥中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且，则三棱锥的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】根据已知，底面是边长为3的等边三角形，平面，
可得此三棱锥外接球，即以为底面以为高的正三棱柱的外接球．
设正三棱柱的上下底面的中心分别为，则外接球的球心为的中点，
的外接圆半径为，，
所以球的半径为，
所以四面体外接球的表面积为，
故答案为：．
【典例5】（2023·四川乐山·高三期末）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】如图，
取BC中点G，连接AG,DG，则，，
分别取与的外心E,F分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心，
由，
所以正方形OEGF的边长为，则，
所以四面体的外接球的半径，
球O的表面积为．
故答案为：．
【典例6】（2023·山东滨州·高三校考期中）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，是正四棱锥的高，而，则，
，显然正四棱锥的外接球的球心O在直线上，
令，则，
在中，，解得，
所以该四棱锥的外接球体积为.
故答案为：
【典例7】（2023·高三课时练习）边长为的正四面体内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将棱长为的正四面体补成正方体，则该正方体的棱长为，
，
设正四面体的内切球半径为，正四面体每个面的面积均为，
由等体积法可得，解得，
因此，该正四面体的内切球的体积为.
故选：D.
【题型训练1-刷真题】
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·统考高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2023·全国·统考高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
【题型训练2-刷模拟】
一、单选题
1．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱中， ， ，则该直三棱柱的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·四川眉山·高三校考阶段练习）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河南郑州·校联考二模）如图，在三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
6．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知是边长为4的等边三角形，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·山西吕梁·统考二模）在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川成都·校联考二模）在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为（ ）
A． B．3 C． D．4
9．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，侧棱平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥的底面是矩形，高为，，，，，则四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知在三棱锥中，，，平面，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球O内接三棱锥，平面，.若，球O表面积为.则三棱锥体积最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
14．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知四面体ABCD满足，，，且该四面体ABCD的外接球的球半径为，四面体的内切球的球半径为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·河南·统考三模）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为V1，它的内切球的体积为V2，则（ ）

A． B． C． D．
17．（2023·福建宁德·校考模拟预测）将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（ ）
A． B．
C． D．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）

A． B．
C． D．
19．（2023·全国·高三专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·湖北·统考二模）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
21．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知正三棱锥P—ABC的底面边长为3，高为，则三棱锥P—ABC的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，其内切球的半径为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知正三棱锥中，，其内切球半径为r，外接球半径为，则（ ）
A． B． C． D．
24．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
25．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，平面，，四棱锥的外接球的表面积为 ．
26．（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）已知正三棱柱的底面边长为6，三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的表面积为 .
27．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）正三棱锥底面边长为为的中点，且，则正三棱锥外接球的体积为 .
28．（2023·河南·统考模拟预测）在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且，，将沿MN折叠到，使，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
29．（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）三棱锥中，在底面的射影为的内心，若，，则四面体的外接球表面积为 .
30．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）在中，，，将绕着边BC逆时针旋转后得到，则三棱锥的外接球的表面积为 .
31．（2023春·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）四棱锥中，底面为菱形，底面，，若，，则三棱锥的外接球表面积为 .
32．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在边长为2的正方形中，分别为线段，的中点，连接，将分别沿折起，使三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球的表面积为 .

33．（2023秋·河南周口·高三校联考阶段练习）已知一个圆台内切球的半径为，圆台的表面积为，则这个圆台的体积为 .
34．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为 .
35．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的体积为
36．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，四边形为平行四边形，，，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球表面积为 ．

37．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为 .
38．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体积为，则该四棱锥体积的最大值是 ．
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展24 立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精练）
一、外接球
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．
二、内切球
球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．
【常用结论】
①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：
②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．
③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．
　　　　
④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．
　　　　　
⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)
⑥外接球模型六：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R＝(其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)
　　　　　　
⑦内切球思路：以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．
方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；
第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；
第三步：解出r＝＝．
【典例1】（2023·浙江·高三校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是 ．
【答案】
【解析】如图所示：
因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为，
则正四面体为，
设球的半径为R，则，
解得，
所以则正方体的棱长为，
所以正四面体的棱长为，
故答案为：
【典例2】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设四面体的外接球的半径为,
则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，
则故，
故四面体ABCD外接球的体积为，
故选：C
【典例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，因为，所以.
于是（是外接圆的半径），.
又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，
所以球的半径为.
所以球的表面积为，解得.
因此.
于是直三棱柱的表面积是
.
故选：D.
【典例4】（2023·安徽宣城·高三统考期末）在三棱锥中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且，则三棱锥的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】根据已知，底面是边长为3的等边三角形，平面，
可得此三棱锥外接球，即以为底面以为高的正三棱柱的外接球．
设正三棱柱的上下底面的中心分别为，则外接球的球心为的中点，
的外接圆半径为，，
所以球的半径为，
所以四面体外接球的表面积为，
故答案为：．
【典例5】（2023·四川乐山·高三期末）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】如图，
取BC中点G，连接AG,DG，则，，
分别取与的外心E,F分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心，
由，
所以正方形OEGF的边长为，则，
所以四面体的外接球的半径，
球O的表面积为．
故答案为：．
【典例6】（2023·山东滨州·高三校考期中）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，是正四棱锥的高，而，则，
，显然正四棱锥的外接球的球心O在直线上，
令，则，
在中，，解得，
所以该四棱锥的外接球体积为.
故答案为：
【典例7】（2023·高三课时练习）边长为的正四面体内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将棱长为的正四面体补成正方体，则该正方体的棱长为，
，
设正四面体的内切球半径为，正四面体每个面的面积均为，
由等体积法可得，解得，
因此，该正四面体的内切球的体积为.
故选：D.
【题型训练1-刷真题】
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．

2．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为，则，
当且仅当即时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，
(当且仅当，即时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高.
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，
，，单调递增， ，，单调递减，
所以当时，最大，此时．
故选：C.
【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
4．（2021·全国·统考高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.
【详解】，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.
二、填空题
5．（2023·全国·统考高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
【答案】2
【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.
【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱，
设的外接圆圆心为，半径为，
则，可得，
设三棱锥的外接球球心为，连接，则，
因为，即，解得.
故答案为：2.
【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法
（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；
（2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；
（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；
（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；
（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
【题型训练2-刷模拟】
一、单选题
1．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】正方体的对角线就是其外接球的直径，代入对角线公式，即可求解.
【详解】其外接球直径，所以.
故选：B．
2．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将将四面体放入长方体中，求出长方体的体对角线，进而得到外接球半径，得到表面积.
【详解】将四面体放入长方体中，如图，
则四面体的外接球，即为长方体的外接球，
设长方体中，则，
三式相加得，故，
所以四面体的外接球半径为，
故四面体的外接球表面积为.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱中， ， ，则该直三棱柱的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将直三棱柱放入长方体中，借助长方体的外接球求解.
【详解】如图所示，将直三棱柱补成长方体，则长方体的外接球即直三棱柱的外接球.
长方体的体对角线长为
设长方体的外接球的半径为，则，得，
所以该直三棱柱的外接球的体积.
故选:C.

4．（2023秋·四川眉山·高三校考阶段练习）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设圆柱的底面半径为，利用勾股定理求出，再根据圆柱的体积公式计算可得.
【详解】设圆柱的底面半径为，则，解得或（舍去），
所以圆柱的体积.
故选：C
5．（2023·河南郑州·校联考二模）如图，在三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意说明为等腰直角三角形，根据面面垂直性质推出平面，进而结合球的几何性质，确定三棱锥外接球球心位置，求出外接球半径，即可求得答案.
【详解】由于，，故，
即为等腰直角三角形，
取AC的中点为M，连接，

因为，即为正三角形，故,
由于平面平面，平面平面，平面，
故平面，平面，故；
又M为的外心，
则三棱锥外接球的球心必在BM上，
设的中心为O，则O在BM上且，
而，
则，
即，
即O点即为三棱锥外接球的球心，
故外接球半径为，所以外接球表面积为，
故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要能根据条件，结合球的几何性质，确定出三棱锥外接球球心的位置，进而求得半径.
6．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知是边长为4的等边三角形，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得平面，将四面体转化为直三棱柱，四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，结合直三棱柱的性质求外接圆半径.
【详解】因为为等边三角形，且为中线，则，
即，且平面，
可得平面，
设的外接圆圆心为，半径为，
因为，由余弦定理可得，
且，则，所以，
将四面体转化为直三棱柱，四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，
设四面体的外接球的球心为，半径为，
则，则，
所以四面体的外接球表面积为.
故选：D.
7．（2023·山西吕梁·统考二模）在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设中点，中点，由直角三角形外接圆为斜边中点，且由题意可知，所以底面，则为三棱锥外接球的球心，可解.
【详解】设中点，中点，
由，，所以的外接圆直径，
且圆心为，
由于底面，，所以底面，
则为三棱锥外接球的球心，
所以外接球的直径，
所以外接球的体积．
故选：B

8．（2023·四川成都·校联考二模）在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】根据三棱锥中线面关系可先确定球心点在上，再利用勾股定理求解即可.
【详解】
取的中点为，连接，因为，，
所以，,
所以．
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，又，则球心在直线上，
连接，设球的半径为，则，
即有，得,
故选：B
9．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，侧棱平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用补体法，将三棱锥外接球问题转化为三棱柱外接球问题，找到球心，求解半径即可.
【详解】由底面是边长为3的等边三角形，平面，
可得此三棱雉的外接球即以为底面，为高的正三棱柱的外接球.
设正三棱柱的上、下底面的中心分别为，，
则外接球的球心为的中点，
外接圆的半径，
球心到下底面的距离，
所以球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积.
故选：A.

10．（2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作于E，则PE为四棱锥的高，据此求出正方形棱长.再根据几何关系找出外接球球心，根据勾股定理求出外接球半径即可.
【详解】
设正方形的边长为，在等边三角形中，过点作于E，
由于平面平面，∴平面．
由于是等边三角形，则，
∴，解得．
设四棱锥外接球的半径为，为正方形ABCD中心，为等边三角形PAB中心，
O为四棱锥P－ABCD外接球球心，则易知为矩形，
则，，
，
∴外接球表面积．
故选：C．
11．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥的底面是矩形，高为，，，，，则四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，求出平面外接圆半径，再利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出球的表面积.
【详解】如图，在矩形中，连接对角线，记，则点为矩形的外接圆圆心，
取的中点，连接，记的外接圆圆心为，易知，且共线.
因为，平面，所以平面，
所以平面，平面，，，平面，
所以平面，所以，所以，易得，
所以由正弦定理得的外接圆半径为，即.
过作平面，且，连接，由平面，
可知，则四边形为矩形，所以，则平面.
根据球的性质，可得点为四棱锥的外接球的球心，
因为，所以四棱锥的外接球的表面积为.

故选：C
12．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知在三棱锥中，，，平面，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过补形的方法，求得外接球半径的表达式，结合二次函数的性质求得半径的最小值，进而求得外接球表面积的最小值.
【详解】将三棱锥补成直三棱柱，如图所示，设点，为上下底面的外心，
则分别是的中点，
点为直棱柱的外接球的球心，则为的中点，
为底面外接圆的半径，设，，
所以，，
得外接球半径，
当时，有最小值为，此时球的表面积为：.
故选：C

【点睛】求解几何体外接球有关的问题，关键点在于找到球心的位置，然后计算出外接球的半径.方法有直接法和补形法，直接法是根据几何体的结构来找到球心；补形法是补形成直棱柱、长方体（正方体）等几何体，并根据这些几何体的结构找到球心并求得半径.
13．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球O内接三棱锥，平面，.若，球O表面积为.则三棱锥体积最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用线面垂直的性质有，，根据线面垂直的判定得面，进而易得都为直角三角形，找到外接球的球心为的中点，根据已知求球体半径，结合和基本不等式求体积最大值.
【详解】由平面，面，则，，
又，，面，所以面，
由面，故，
所以都为直角三角形，且为它们的斜边，
所以的中点为棱锥外接球球心，如下图示，即球体半径，
由，则，即，而，
又，，即，
故，仅当取等号，
所以.
故选：B
14．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知四面体ABCD满足，，，且该四面体ABCD的外接球的球半径为，四面体的内切球的球半径为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将四面体补全为长方体，根据它们外接球相同求出外接球半径，利用等体积法求内切球半径，即可得结果.
【详解】由题设，可将四面体补全为如下长方体，长宽高分别为，

所以，四面体外接球即为长方体外接球，则半径，
由题意，四面体的四个侧面均为全等三角形，，为三角形内角，
所以，则，
又，且，
所以，即，
综上，.
故选：A
15．（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将三棱锥可以补成长方体，从而得到为三棱锥的外接球的直径，要想体积最小，则最小即可，设，表达出，从而得到，进而求出外接球体积的最小值.
【详解】根据题意三棱锥可以补成分别以为长、宽、高的长方体，其中为长方体的对角线，
则三棱锥的外接球球心即为的中点，要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小．
设，则，，，
所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为，
所以．
故选：A
16．（2023·河南·统考三模）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为V1，它的内切球的体积为V2，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】轴截面四边形的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，求出半径，再根据球的体积公式和圆锥的体积公式即可得解.
【详解】如图，四边形为该几何体的轴截面，
则四边形的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，
设内切球的半径为，
由，得，
则，
，
所以.
故选：D.

17．（2023·福建宁德·校考模拟预测）将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设圆锥的底面半径为，则圆锥的高为，表示出圆锥的体积，换元后利用导数可求出体积的最大值，从而可求出圆锥的底面半径和高，再求出母线长，作出圆锥的截面，然后利用三角形相似可求出圆锥内切圆的半径.
【详解】设圆锥的底面半径为，则圆锥的高为，
所以圆锥的体积，
令（），则，
所以，
则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为，母线长为，
设圆锥的内切球半径为，圆锥的截面如图所示,
则，，，
因为∽，所以，，解得,
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查圆锥的内切球问题，解题的关键是表示出圆锥的体积，化简后利用导数求出其最大值，从而可确定出圆的大小，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出四棱锥的表面积和体积，利用等体积法即可求出内切圆半径，从而得解.
【详解】因为四棱锥的各棱长均为2，所以四棱锥是正四棱锥，
则，
过P作底面垂线，垂足为H，则，

所以，则，
故其内切圆表面积为，
故选：B．
19．（2023·全国·高三专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，由正三棱柱的结构特征确定正三棱柱的高，再计算出其外接球的半径，进而由体积公式求解即可.
【详解】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，则正三棱柱的内切球半径等于正三角形的内切圆半
径，则内切球的半径，正三棱柱的高．
设正三角形的外接圆半径为R，易得，
所以外接球的半径．
所以它的外接球与内切球体积之比为．
故选：C
20．（2023·湖北·统考二模）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出直三棱柱的高后可求其外接球的半径，从而可求外接球的表面积.
【详解】因为，故，
故的内切圆的半径为.
因为直三棱柱存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.
而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1，
故直三棱柱的高为2.
将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，
故外接球的半径为，
故外接球的的表面积为.
故选：D.
21．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知正三棱锥P—ABC的底面边长为3，高为，则三棱锥P—ABC的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用条件求出的长，从而得出正三棱锥为正四面体，进而求出三棱锥的表面积，再利用等体法求出内切球的半径，即可得出结果.
【详解】如图，取棱AB的中点D，连接CD，作平面，垂足为H，则．由正三棱锥的性质可知在上，且．
因为，所以，则．因为，所以，则三棱锥P—ABC的表面积，设三棱锥P—ABC的内切球的半径为r，则．解得，
从而三棱锥P—ABC的内切球的表面积为．
故选：A.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，其内切球的半径为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出圆台轴截面的平面图，根据上下底面圆半径的关系以及内切球的半径，可解得上底面半径，下底面圆半径为2，代入圆台体积公式即可得其体积为.
【详解】取圆台的轴截面如下图所示：
设上底面半径，则下底面半径，为轴截面的切点，
易知，，所以，圆台高，
作，垂足为，则，，
在中，，即，解得；
所以圆台上底面面积，下底面面积；
所以圆台体积为.
故选：B
23．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知正三棱锥中，，其内切球半径为r，外接球半径为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出边长，找到外接球的球心位置，利用勾股定理得到方程，求出，再找到内切球球心位置，利用三角形相似求出，得到答案.
【详解】因为正三棱锥中，，不妨设，
由勾股定理得，故，
取中点，连接，
过点作⊥平面于点，则点落在上，且，
故，由勾股定理得，
由对称性可知外接球的球心在上，连接，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
设内切球球心为，则在上，取的中点，连接，则切点在上，
且，由重心性质可得，
因为，故，
因为∽，所以，即，解得，
故.
故选：A
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
24．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当平面平面时，四面体的高最大，并利用导函数讨论体积的最大值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解.
【详解】不妨设菱形的边长为，，，
外接球半径为，内切球半径为，
取中点为，连接，
因为，所以，
当平面平面时，平面平面，
平面，所以平面，
此时四面体的高最大为，
因为，所以
所以，
，
令解得，
令解得，
所以在单调递增，单调递减，
所以当时最大，最大体积为，
此时，
以四面体的顶点构造长方体，长宽高为，
则有解得，所以，
所以外接球的表面积为，
又因为，
所以，
，
所以，
所以，
所以，所以内切球的表面积为，
所以内切球和外接球表面积之比为，
故选:C.
二、填空题
25．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，平面，，四棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】
【分析】利用补形法，结合长方体和球的几何性质、球的表面积公式进行求解即可.
【详解】四棱锥可以补形为长方体，
则四棱锥的外接球的直径为，
又，则四棱锥的外接球的半径为1，
则四棱锥的外接球的表面积为.

故答案为：
26．（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）已知正三棱柱的底面边长为6，三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，求出三棱柱底面正三角形外接圆半径，再求出球半径即可计算作答.
【详解】由正三棱柱的底面边长为6，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径，如图，

又由三棱柱的高为，则球心到圆O的圆心O的距离，
因此球半径R满足：，即有，
所以外接球的表面积
故答案为：
27．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）正三棱锥底面边长为为的中点，且，则正三棱锥外接球的体积为 .
【答案】
【分析】首先求得正三棱锥的侧棱长和高，然后求得正三棱锥外接球的半径，从而求得外接球的体积.
【详解】设是正三棱锥底面三角形的中心，则平面，
且三点共线，，
设，
依题意，，，是中点，，
所以三角形和三角形是直角三角形，
所以，即.
由于平面，所以，
所以，
设正三棱锥外接球球心为，则三点共线，
设正三棱锥外接球半径为，则，
即，解得，
所以外接球的体积为.
故答案为：

【点睛】求解正棱锥有关问题，要把握住正棱锥的性质，如底面是正多边形，定点在底面的射影是底面的中心等等.求解几何体外接球有关问题，关键点是判断出球心的位置以及计算出球的半径.另外要注意看清题目是求球的表面积还是求体积.
28．（2023·河南·统考模拟预测）在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且，，将沿MN折叠到，使，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】
【分析】设MN与BD的交点为H，连接，证明平面ABC，设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，过，分别作平面ABC，平面的垂线，设两垂线交于点O，则O是三棱锥外接球的球心，先求出两外接圆的半径，再求出三棱锥的外接球的半径即得解.
【详解】如图所示，因为，，
所以，设MN与BD的交点为H，连接，
因为，，所以，
则，，所以，
又，则，则，
又，，平面ABC，
所以平面ABC，
设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，
过，分别作平面ABC，平面的垂线，
设两垂线交于点O，则O是三棱锥外接球的球心，
且四边形为矩形，
设的外接圆半径为，在中，由，解得，
同理可得的外接圆半径，所以，
设三棱锥的外接球半径为R，
则，
则三棱锥的外接球的表面积.
故答案为：．

【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
29．（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）三棱锥中，在底面的射影为的内心，若，，则四面体的外接球表面积为 .
【答案】
【分析】根据三棱锥的几何特征可知内切圆半径为，所以可得四面体外接球球心为在平面射影为中点，根据勾股定理找出等量关系可解得外接球半径，即可求出结果.
【详解】三棱锥底面为直角三角形，为内心，

由，可得，
以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：

设内切圆半径，易知的周长为，面积为；
由等面积可得，解得；
设四面体外接球球心为，
所以易知在平面射影为中点，易知，则，
设，
则，
且，即，
解得，
则四面体的外接球表面积为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解几何体外接球半径问题时，一般是根据几何体特征找出外接球球心位置再利用等量关系解出半径即可求出结果.
30．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）在中，，，将绕着边BC逆时针旋转后得到，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据题意分析可得三棱锥的外接球的球心O在过点G且与平面ABC垂直的直线上，结合直角三角形求三棱锥的外接球的半径，进而可得结果.
【详解】如图所示，取BC的中点E，连接AE，DE，则有，
由于与的外心G与F分别在AE与DE上，
则三棱锥的外接球的球心O在过点G且与平面ABC垂直的直线上，
由对称性可知：，则，
设，则，
在中，则，
即，解得，则，，
又在中，由，可得，
设三棱锥的外接球的半径为，
在中，，
所以三棱锥的外接球的表面积.
故答案为：.

31．（2023春·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）四棱锥中，底面为菱形，底面，，若，，则三棱锥的外接球表面积为 .
【答案】
【分析】根据四棱锥的数据得到三棱锥的棱长数据和位置关系，然后利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半的性质确定球心，从而得出表面积.
【详解】∵平面，平面，∴，
又，，∴，
取中点分别为,连接,
由于,平面,所以平面,
因为底面为菱形，所以，，且，
所以,即是三角形外接圆的圆心，因此球心在直线上，
又,所以,因此可得为球心，
又，
∴.
故答案为：.
32．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在边长为2的正方形中，分别为线段，的中点，连接，将分别沿折起，使三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球的表面积为 .

【答案】
【分析】由题意可知两两垂直，所以将三棱锥补成一个长方体，则长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，求出体对角线的长，则可求出外接球的表面积.
【详解】由题意可知两两垂直，且，
将三棱锥补成一个长方体，如图所示，
则长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，设外接球的半径为，
，得，
所以三棱锥外接球的表面积为，
故答案为：

33．（2023秋·河南周口·高三校联考阶段练习）已知一个圆台内切球的半径为，圆台的表面积为，则这个圆台的体积为 .
【答案】
【分析】根据圆台与球的性质结合圆台的表面积、体积公式计算即可.
【详解】设内切球的半径为，圆台上、下底面圆半径分别为，，则圆台的高，
如图为圆台的轴截面图形，可得母线长，
故，
故.

故答案为：
34．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为 .
【答案】
【分析】作出内切球的轴截面，再根据几何关系求解即可.
【详解】如图，作出该圆锥与其内切球的轴截面图形，

设该内切球的球心为，内切球的半径为，为切点，
所以，，
由已知得，，
所以，在中，，即，解得，
所以，该圆锥的内切球表面积为
故答案为：.
35．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的体积为
【答案】
【详解】试题分析： 三棱锥展开后为一等边三角形，设此此三角形的边长为．则，得．所以三棱锥的棱长为，可得棱长的高 设内切球的半径为，，得，所以 .
考点：1.空间几何的性质；2.球的体积公式.
36．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，四边形为平行四边形，，，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球表面积为 ．

【答案】
【分析】根据题意利用余弦定理求得，由此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用等体积法求出内切球半径，运算求解即可.
【详解】中，，，，
由余弦定理得，
则折成的三棱锥中，，
即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，

设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为，
则，解得，
又因为三棱锥是长方体切掉四个角的余下部分，
故三棱维的体积为，
又三棱锥四个侧面是全等的，
故三棱锥的表面积为，
设内切球半径为，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，
故，故内切球表面积为.
故答案为：
37．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为 .
【答案】
【分析】求内切球的表面积，只需根据等体积法求出内切球的半径即可求解.
【详解】
因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直
三棱锥中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面与面最大即可，而且；
，当时，取得最大值.
过点向平面作垂线，设的中点为垂足为，

因为，，所以由余弦定理知，
所以，易得.
所以.
因为，
设内切球的半径为，则根据等体积法，有：
，
即，解之得，
所以其内切球的表面积为
故答案为：
38．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体积为，则该四棱锥体积的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据球的体积求出半径，再判断出体积最大时为正四棱锥，根据直角三角形中勾股定理求出正四棱锥底面边长和高的关系，表示出正四棱锥的体积，通过导数求得其最大值.
【详解】球的体积,球的半径
要使该四棱锥体积最大，如图四棱锥，对于底面所在的小圆中，顶点到该小圆面距离最大，也就是高最大，即点位于小圆圆心与球心所在直线与球面的交点（远离小圆圆心的那点）；同时要使四棱锥体积最大，底面四边形面积取最大，
（其中为与的夹角）
所以当、取最大即小圆的直径，取最大为1时，即时，底面四边形面积最大，也就是四边形为正方形时，其面积最大，因此当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大.

设，高，
则,在Rt中，,即，
所以正四棱锥的体积
，故当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以时，函数取得最大值
故答案为：.
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