高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展25立体几何中的截面问题(学案+练习)
文档属性
| 名称 | 高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展25立体几何中的截面问题(学案+练习) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 6.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-08 18:06:40 | ||
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文档简介
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展25 立体几何中的截面问题（精讲+精练）
一、截面问题的理论依据
(1)确定平面的条件
①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行
二、截面问题的基本思路
1.定义相关要素
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.
④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面
3.作截面的具体步骤
（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点
（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面
三、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；
2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下图.
方法二：平行线法，做法如下图.
四、正方体中的基本截面类型
【典例1】用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ）
A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】ABC
【分析】
根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．
【详解】
当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；
截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；
当截面为五边形时，不可能出现正五边形；
截面为六边形时，可能出现正六边形，
故选：ABC．
【典例2】已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为______.
【答案】
【分析】在上取点，使得，连接，则四边形是平行四边形，
由勾股定理可得，再结合余弦定理与面积公式即可求解
【详解】由题意，正四棱柱中，，，
可得，在上取点，使得，连接，则有，
所以四边形是平行四边形，由勾股定理可得
，
所以,所以，所以四边形是平行四边形的面积为，故答案为：
【典例3】如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.
【答案】
【分析】首先根据面面平行的性质定理作出过点的正方体的截面，从而求截面的周长.
【详解】如图，取的中点，取上靠近点的三等分点，
连接，易证，则五边形为所求截面.
因为，所以，
则，故该截面的周长是.故答案为：.
【典例4】已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面截三棱锥所得三角形为正三角，即可求出三角形面积及外接圆面积，即可求解.
【详解】设平面截三棱锥所得正三角边长为a，截面圆的半径为r，则，
由正弦定理可得，，，故选：B
【题型训练-刷模拟】
1.截面形状问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
2．（2023·全国·高三专题练习）已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．（2023·全国·高三专题练习）已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
4．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
5．（2023·河南·模拟预测）在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
6．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的棱长为20的正方体中，点为的中点，点在侧面上，且到的距离为6，到的距离为5，则过点且与垂直的正方体截面的形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
7．（2023·上海·高三统考学业考试）如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（ ）
A．梯形 B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定
2.求截面的面积
一、单选题
1．（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·安徽蚌埠·统考一模）如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·全国·高一专题练习）已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（ ）．
A．1 B． C． D．或
5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若球是正三棱锥的外接球，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川成都·校联考模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·安徽合肥·统考一模）已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在三棱锥中，，平面平面，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，分别在线段上运动（端点除外），.当三棱锥的体积最大时，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·江苏·高一专题练习）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）已知正四棱锥的体积为，底面的面积为，点、分别为、的中点，点为的靠近点的三等分点，过点、、的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2023春·河北保定·高一定州一中校考阶段练习）在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为 ．
14．（2022·广西桂林·校联考二模）在三棱锥ABCD中，对棱，当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面α所截得的截面面积最大值为 .
15．（2019春·上海·高二上海市新中高级中学校考阶段练习）如图，在正方体中，AB＝1，中点为Q，过三点的截面面积为 ．
16．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是 .
17．（2023·江西吉安·吉安三中校考一模）如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 .（请写出所有正确命题的编号）
①当时，S为等腰梯形；
②当时，S与的交点满足；
③当时，S为六边形；
④当时，S的面积为.
3.求截面的周长
一、单选题
1．（2023·河南新乡·统考三模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）如图，直四棱柱的所有棱长均为，，是侧棱的中点，则平面截四棱柱所得的截面图形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知正方体的棱长为2，点为线段的中点，若点平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（ ）
A．2+2 B． C． D．
7．（2023春·广西南宁·高三南宁三中校考专题练习）已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（ ）
A．6 B．10 C． D．
二、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知长方体中，AB＝2，AD＝4，，E，F分别为，的中点，则过D，E，F三点截得长方体的截面周长为
9．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 ．
10．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）正三棱柱中，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面的周长为 .
11．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在棱长为的正方体中，点分别是、、的中点，则过线段且平行于平面的截面图形的周长为 .
12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为 ．
4.圆柱、圆锥、球的截面问题
一、单选题
1．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．
2．（2023·广西·统考模拟预测）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在球的球面上，且球心在圆锥体内部，若球的表面积为，到圆锥底面圆的距离为1，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·天津红桥·统考二模）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知球的一个截面的面积为，球心到该截面的距离比球的半径小1，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·陕西西安·高三西安市铁一中学校考期末）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
7．（2023·全国·高三专题练习）从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·海南海口·海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知正方体的棱长为，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形中，，将沿对角线翻折至的位置，使得平面平面，则在三棱锥的外接球中，以为直径的截面到球心的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则（ ）
A．当时，S的最大值为
B．当时，S的最大值为
C．当时，S的最大值为
D．当时，S的最大值为
二、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为 .
15．（2023·全国·高三专题练习）将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得圆锥的内切球的表面积为 ．
16．（2023·海南·校联考模拟预测）已知某球的体积为，该球的某截面圆的面积为，则球面上的点到该截面圆心的最大距离为 ．
17．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点，，是圆锥表面上的点，该圆锥的侧面展开图为以点为圆心，4为半径的半圆，点是弧的中点，点是弧的中点（如图），以圆锥底面圆心为球心，半径为2的球被平面所截，则截面面积为 .
18．（2023·陕西西安·校联考一模）某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则该正三棱柱体积的最大值为 ．
19．（2023·上海·高三专题练习）在圆柱中，底面圆半径为，高为，上底面圆的直径为,是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则的面积的范围 ．
20．（2023·重庆·统考模拟预测）已知三棱锥中，Q为BC中点，，侧面底面，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为 ．
21．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是线段AB上一点，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为，则＝ ．
22．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值是 .
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展25 立体几何中的截面问题（精讲+精练）
一、截面问题的理论依据
(1)确定平面的条件
①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行
二、截面问题的基本思路
1.定义相关要素
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.
④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面
3.作截面的具体步骤
（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点
（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面
三、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；
2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下图.
方法二：平行线法，做法如下图.
四、正方体中的基本截面类型
【典例1】用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ）
A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】ABC
【分析】
根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．
【详解】
当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；
截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；
当截面为五边形时，不可能出现正五边形；
截面为六边形时，可能出现正六边形，
故选：ABC．
【典例2】已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为______.
【答案】
【分析】在上取点，使得，连接，则四边形是平行四边形，
由勾股定理可得，再结合余弦定理与面积公式即可求解
【详解】由题意，正四棱柱中，，，
可得，在上取点，使得，连接，则有，
所以四边形是平行四边形，由勾股定理可得
，
所以,所以，所以四边形是平行四边形的面积为，故答案为：
【典例3】如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.
【答案】
【分析】首先根据面面平行的性质定理作出过点的正方体的截面，从而求截面的周长.
【详解】如图，取的中点，取上靠近点的三等分点，
连接，易证，则五边形为所求截面.
因为，所以，
则，故该截面的周长是.故答案为：.
【典例4】已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面截三棱锥所得三角形为正三角，即可求出三角形面积及外接圆面积，即可求解.
【详解】设平面截三棱锥所得正三角边长为a，截面圆的半径为r，则，
由正弦定理可得，，，故选：B
【题型训练-刷模拟】
1.截面形状问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】D
【分析】用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形.
【详解】
如图，用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形，
因此截面的形状可能有：三角形、四边形、五边形、六边形，
不可能为七边形，
故选:D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案.
【详解】分别取、、的中点、、，连接、、，
在正方体中，，，分别是，，的中点，
，，，
六边形是过，，这三点的截面图，
过这三点的截面图的形状是六边形．
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【分析】连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，
过点作交于点，连接，即可得到截面图形，从而得解.
【详解】如图连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，
过点作交于点，连接，
则五边形即为平面截该长方体所得的截面多边形.
其中因为，，，
所以，则，所以，
又，所以，所以，
则，
显然，则，所以.
故选：C
4．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】A
【分析】作出辅助线，证明出⊥平面，所以⊥，同理可证明⊥，得到⊥平面，故平面即为平面，得到截面的形状.
【详解】连接，
因为⊥平面，平面，
所以⊥，
又四边形为正方形，所以⊥，
又，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以⊥，
同理可证明⊥，
因为，平面，
故⊥平面，
故平面即为平面，
则截该正方体所得截面的形状为三角形.
故选：A
5．（2023·河南·模拟预测）在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
【答案】B
【分析】在上取点，且，取中点为，在上取点，且.通过，可得，进而得出，.通过证明，得出.同理得出，即可得出正方体的截面图形.
【详解】
在上取点，且，取中点为，连接.
在上取点，且，连结.
因为，，
所以，所以.
又，所以，所以，
所以，.
因为分别为的中点，所以，且.
根据正方体的性质，可知，且，
所以，，且，
所以，四边形是平行四边形，
所以，，所以.
同理可得，.
所以，五边形即为所求正方体的截面.
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的棱长为20的正方体中，点为的中点，点在侧面上，且到的距离为6，到的距离为5，则过点且与垂直的正方体截面的形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【分析】根据线面垂直的判定与性质，以及正方体的截面的性质、平面的基本性质，即可求解.
【详解】如图所示，过点作分别交于点 ，因为，可得，
在正方体中，平面，所以
又,所以平面,平面,所以
过作交于点，则,设
则,所以，即,则
所以
在正方形中，取 的中点，连接
则与,则
所以,即
取的中点，过作交于点，连接，则
又平面,所以,由
所以平面，所以
又，所以 平面
连接，过作,由，则，所以(且)
连接，则四边形为梯形，所以 平面
所以截面的形状为四边形边形.
故选：B.
7．（2023·上海·高三统考学业考试）如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（ ）
A．梯形 B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定
【答案】B
【分析】根据长方体的性质，结合面面平行的性质有，即知的形状.
【详解】由长方体的性质：各对面平行，易知，
∴为平行四边形.
故选：B
2.求截面的面积
一、单选题
1．（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意运用基本事实作出截面，根据截面的几何特征求其面积即可.
【详解】延长交于点，连接交于点，如图，
在正方体中，面面，
面面，面面
，又
四边形是梯形，且为平面截正方体的截面.
又，在等腰梯形中，过作，
.
故选：C.
2．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出图形，可得最大面积的截面四边形为等腰梯形，根据梯形的面积公式求解即可.
【详解】如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形，
其中，高为，
故面积为.
故选:D．
3．（2023·安徽蚌埠·统考一模）如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出截面，得到截面把正方体分为三棱台和另一几何体，根据棱台体积公式求出，进而求出的值.
【详解】设正方体棱长为1，，
如图所示，该截面把正方体分为几何体和另一几何体，
由面面平行的性质可知：，
延长，相交于点，则平面，且平面，
又平面平面，
所以在直线上，即三线共点，
所以几何体为三棱台，
其中三棱台上底面积是，下底面积为，高等于1，
所以，解得：，
所以.
故选：C
4．（2023春·全国·高一专题练习）已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（ ）．
A．1 B． C． D．或
【答案】B
【分析】过点P向底面ABC作垂线，垂足为，连接，由球O截平面ABC所得的截面面积为，得截面圆的半径为，设球O的半径为R，得，过O作PA的垂线，垂足为D，得∽，可得，进而求得．
【详解】过点P向底面ABC作垂线，垂足为，连接，则球心O在线段或其延长线上，
为正的中心，则，．
设球O的半径为R，因为球O截平面ABC所得的截面面积为，
所以截面圆的半径为，所以，．
过O作PA的垂线，垂足为D，则，
∽，所以．
①当点O在线段上时，，即，
则，且，解得；
②当点O在线段的延长线上时，，即，
则，且，解得或，
当时，点O，重合，此时点O不在线段的延长线上，故舍去；当时，切点D不在棱PA上，不符合题意．
综合①②可知，，
故选：B．
5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若球是正三棱锥的外接球，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设是球心，是等边三角形的中心，在三角形中，有，可求得，再利用可得过且垂直的截面圆最小即可.
【详解】
如图所示，其中是球心，是等边三角形的中心，
可得，，
设球的半径为，在三角形中，由，
即，解得，即，
所以，
因为在中，，，
所以，，，
由题知，截面中面积最小时，截面圆与垂直，
设过且垂直的截面圆的半径为，则，
所以，最小的截面面积为.
故选：A
6．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，是在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，当截面垂直于时截面面积最小，求出截面圆的半径即得解.
【详解】如图：
是在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径.
由勾股定理得棱锥的高设球的半径为，
则，解得，
所以，即与重合，
所以当过点E作球O的截面垂直于时，截面面积最小，
此时截面半径为，截面面积为.故选：A.
7．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】易得正方体外接球的球心在其中心点处，要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点求解.
【详解】解：如图，
正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径，
要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点，
连接，则，
所以，
此时截面圆的半径，
此时，截面面积的最小值.
故选：C.
8．（2023·四川成都·校联考模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过作平行线作出题中的截面，并结合线面平行以及线面垂直说明其为矩形，利用三角形相似表示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，结合二次函数性质确定截面面积取得最大值时参数的值，解直角三角形即可求得答案.
【详解】根据题意，在平面VAC内，过点F作，交VC于点E；
在平面VBC内，过点E作，交BC于点Q；
在平面VAB内，过点F作，交AB于点D，连接DQ，如图所示，
因为，则∽，设其相似比为k，即，
则；
又因为，，，
由余弦定理得，，则，即．
又平面，平面，所以，．
又，则，．
因为，则∽，则，
因为，所以，即,
同理可得，即，
因为，，则，
故四边形为平行四边形；而平面，平面，
故平面，同理平面，
即四边形为截面图形；
又平面，平面，则，
又，所以．
故平行四边形为矩形，则，
所以当时，有最大值，则，
在中，,
故选：B
9．（2023·安徽合肥·统考一模）已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面面积作答.
【详解】正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系，
侧面的中心，侧面的中心，而，有，
显然点M在平面与平面的交线上，设为这条交线上任意一点，
，而平面，则，
即，令，得点，令，得点，连，
平面与平面必相交，设为这条交线上任意一点，，
由，即，令，得点，连，
因为平面平面，则平面与平面的交线过点G，与直线FE平行，
过G作交于，，
由得，即，显然平面与平面都相交，
则平面与直线相交，令交点为，，由得，
连接得截面五边形，即截面为五边形，
，取中点，连接，则，
在中，，
的面积，
在中，，
边上的高，
梯形面积，
所以S的面积为.
故选：C
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
10．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在三棱锥中，，平面平面，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，分别在线段上运动（端点除外），.当三棱锥的体积最大时，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中点,证得为球心，利用二次函数求出三棱锥的体积最大时的取值，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，求得截面圆的半径.
【详解】如图，取的中点,连接,
因为，所以，即为球心，
则球的半径,又,所以,
又平面平面，平面平面平面.
所以平面，
设，则,所以，
所以三棱锥的体积.
当时,取得最大值，
由于，在中，由余弦定理得:
根据球的性质可知，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，
设此时截面圆的半径为，所以.
则截面面积的最小值为.
故选:C.
11．（2023·江苏·高一专题练习）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意垂直关系可得平面截正四棱锥所得的截面面为四边形，结合根据相似求长度，进而根据面积公式即可求解.
【详解】连接，
由题意可得：，即为等边三角形，
且E为SC的中点，可得，
故平面，
连接，设，连接，
可得平面，
且平面，则，
，平面，所以平面，
平面，则，
在直线取一点，连接，使得，
在中，，
因为，可得，
故，
同理在棱取一点，使得，连接，则，
故平面截正四棱锥所得的截面面为四边形，
因为，则//，
由，可得，
所以四边形的面积.
故选：A.
12．（2023春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）已知正四棱锥的体积为，底面的面积为，点、分别为、的中点，点为的靠近点的三等分点，过点、、的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接、，设，连接，连接并延长交于点，连接、、、，在中，过点作交于点，交于点，过点作交于点，证明出，计算出、的长，进而可求得截面四边形的面积.
【详解】连接、，设，连接，
易知为正四棱锥的高，连接交于点．
因为点、分别为、的中点，则，
因为，所以，为的中点．
连接并延长交于点，连接、、、，
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，则，
四边形为所求的截面四边形，如图1．
因为正四棱锥的体积为，底面的面积为，
所以底面是边长为的正方形，则，
由，可得，
在中，过点作交于点，交于点，
过点作交于点，如图2．
因为，则．
又为的中点，为的中点，所以，，
，，
所以，，
则，，所以，
故，所以，则，
得．
故四边形的面积为，
故选：C．
【点睛】方法点睛：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．
（1）平面的四个公理及推论；
（2）直线和平面平行的判定和性质；
（3）两个平面平行的性质；
（4）球的截面的性质．
二、填空题
13．（2023春·河北保定·高一定州一中校考阶段练习）在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为 ．
【答案】
【分析】作出截面截面，为的中点，则可得截面是边长为的菱形，求出其面积即可.
【详解】如图，在正方体中，
平面平面，
平面与平面的交线必过且平行于，
故平面经过的中点，连接，得截面，
易知截面是边长为的菱形，其对角线，
，截面面积．
故答案为：．
14．（2022·广西桂林·校联考二模）在三棱锥ABCD中，对棱，当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面α所截得的截面面积最大值为 .
【答案】3
【分析】每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，设长宽高分别为x，y，z，求出，由线面平行得线线平行，证明当是所在棱中点时面积最大，按截面与哪对棱平行分类讨论求得截面面积的最大值.
【详解】因为每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，设长宽高分别为x，y，z，则，则.
当平面α与三棱锥ABCD的对棱AB，CD均平行时，截而为四边形EFGH，，，
设，则，，同理，（或其补角）是异面直线所成的角，
，其中为定值，
，时，取得最大值，即截面面积最大，此时是所在棱中点，
由长方体性知最大面积为长方体上下底面面积的一半，
同样地，当平面a与三棱锥ABCD的对棱AC，BD均平行时，截面最大面积为；当平面α与三棱锥ABCD的对棱AD，BC均平行时，截面最大面积为.
故答案为：3.
15．（2019春·上海·高二上海市新中高级中学校考阶段练习）如图，在正方体中，AB＝1，中点为Q，过三点的截面面积为 ．
【答案】
【分析】先作出经过三点的截面，如图所示为梯形，然后求出截面的面积即可
【详解】解：如图所示，取的中点P，连接、AQ和，
∵分别是，的中点，
∴，且，
∵，∴，
所以四边形是过三点的截面，且四边形是梯形，
∵AB＝1，
∴，，，
且等腰梯形的高为，
∴截面面积为，
故答案为：
16．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是 .
【答案】
【分析】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作，该四棱台的高，可求得该四棱台的体积为，利用基本不等式可得该四棱台的体积的最大值，此时，，.取，的中点，，连接，，可得平面就是截面，求解即可.
【详解】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作，
该四棱台的高，
在上下底面由勾股定理可知，.
在梯形中，，
所以该四棱台的体积为，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，，.
取，的中点，，连接，，显然有，
由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面.
显然，
在直角梯形中，，
因此在等腰梯形中，，
同理在等腰梯形中，，
在等腰梯形中，设，，
则，
，
所以梯形的面积为.
故答案为:.
【点睛】总结点睛：
解决与几何体截面的问题，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）根据空间中的线面关系，找到线线平行或者垂直，进而确定线面以及面面关系，
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求长度下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于长度的方程，并求解.
17．（2023·江西吉安·吉安三中校考一模）如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 .（请写出所有正确命题的编号）
①当时，S为等腰梯形；
②当时，S与的交点满足；
③当时，S为六边形；
④当时，S的面积为.
【答案】①②④
【分析】①作出辅助线，找到S为四边形，证明出其为等腰梯形；②作出辅助线，找到S，利用各边长度与相似，求出；③在②的分析基础上，得到S为五边形；④作出辅助线，得到S为菱形，求出对角线，进而求出面积.
【详解】当时，S为等腰梯形，理由如下：
如图1，连接，，因为为的中点，为上的中点，
所以∥，
所以四边形为S，其中，
所以S为等腰梯形，①正确；
当时，S与的交点满足，理由如下：
如图2，延长至点E，使得，连接EA，EQ交于点R，
取AD中点N，DE中点M，连接MQ，MN，PN，
则，DN=CP，所以四边形CQMD与四边形PCDN均为平行四边形，
所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四边形MNPQ为平行四边形，
所以PQ∥MN，由中位线的性质可知：MN∥AE，所以PQ∥AE，
所以四边形AEQP即为S，其中，
所以，所以，②正确；
当时，S为五边形，理由如下：
如图3，根据②的分析，随着Q点在图2的基础上沿着向上移动，
则点E点沿着射线向上移动，此时AE与相交于点G，
EQ与相交于点R，连接GR，故所截得的S为五边形，故③错误；
当时，S的面积为，理由如下：
如图4，点Q与重合，此时G为的中点，可证得：∥，AP∥GQ，
其中，所以S为菱形APQG，
且，S的面积为，④正确.
故答案为：①②④
3.求截面的周长
一、单选题
1．（2023·河南新乡·统考三模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出截面图形，利用已知条件，转化求解截面周长即可．
【详解】如图，取BC的中点，连接EF，AF，,
、分别为棱、的中点，则，正方体中，则有，所以平面为所求截面，
因为正方体的棱长为2，所以，，，所以四边形的周长为.
故选：A.
2．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）如图，直四棱柱的所有棱长均为，，是侧棱的中点，则平面截四棱柱所得的截面图形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用作延长线找交点法，得出截面图形为梯形，求出梯形周长即为所求.
【详解】连接 与的延长线交于点, 连 接与交于点,
因为 , 所以为的中点, 则为的中点,
所以截面为梯形 ,
因为所有棱长均为2,，
所以,,
,
,
故梯形 的周长为 .
故选：D.
3．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知正方体的棱长为2，点为线段的中点，若点平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】记的中点分别为E，F，先证三角形即为平面截正方体所得截面，然后可得周长.
【详解】记的中点分别为E，F，连接，
由正方体性质可知，平面，
因为平面，所以
又为正方形，所以
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以
因为P，E分别为的中点，所以，所以，
同理可证，
又，平面
所以平面，
所以三角形即为平面截正方体所得截面，
易知三角形为正三角形，
所以截面周长为.
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，，根据已知求出即得解.
【详解】解：如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，，
则台体的体积，
解之得，
所以,,
所以截面的周长为.
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体的特征，作出过点，，的该正方体的截面，计算相关线段的长，即可求得答案.
【详解】设为的三等分点，靠近B点，连接,并延长交延长线于P，
设为的三等分点，靠近点，连接,并延长交延长线于Q，
则∽，由于，故,
同理求得,故两点重合，则,
故，而，故,
同理可得,即四边形为平行四边形，
连接,则五边形即为过点，，所作的正方体的截面，
由题意可知
故该截面的周长是 ，
故选：C
6．（2023·全国·高三专题练习）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（ ）
A．2+2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意先作出截面，进而算出截面各边的长度，最后得到答案.
【详解】如图，在正三棱柱中，延长AF与CC1的延长线交于M，连接EM交B1C1于P，连接FP，则四边形AEPF为所求截面.
过E作EN平行于BC交CC1于N，则N为线段CC1的中点，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，
在中，，则，
在中，，则，
在中，，则，
在中，，
由余弦定理：，则，
所以截面周长为：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查几何体的截面问题，其中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质作出几何体的截面是问题的关键，平常注意方法的总结和归纳.
7．（2023春·广西南宁·高三南宁三中校考专题练习）已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（ ）
A．6 B．10 C． D．
【答案】D
【分析】取的中点，连接,则,取的中点，连接，延长交于，连接交于点，连接，作出截面图形，然后再分别求出各边长，从而得出答案.
【详解】取的中点，连接,则,取的中点，连接，则
所以, 则直线平面
延长交于，连接交于点，连接,则为的中点.
则平面截该正方体所得的截面图形为
由条件可得,则, 则
,
取 的中点，连接，则，所以
所以,则
则
所以截面图形周长为
故选：D
二、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知长方体中，AB＝2，AD＝4，，E，F分别为，的中点，则过D，E，F三点截得长方体的截面周长为
【答案】
【分析】利用确定平面的公里，作延长以及平行，可得截面，根据中位线以及勾股定理，可得答案.
【详解】延长EF分别交，的延长线于点M，N，连接MD，ND，分别交，于点Q，P，
连接PF，EQ，则过D，E，F三点截得长方体的平面为五边形DQEFP．
过F点作，过E点作，所以是的中点，是的中点．
在中，，，所以．
在中，，所以，AQ＝2，
则，，．
同理在中，，在中，，CP＝2，
所以，，所以截面周长为．
故答案为：.
9．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 ．
【答案】
【分析】过点作的平行线即可延展平面，则可得到截面，再求周长即可.
【详解】取中点，连接，,
∵中点为，E是侧棱的中点，
∴,,
又在直角三角形中,
∴,
∵正方体中，
∴四边形为平行四边形,
∴
∴,
四点共面，即为正方体的截面.
在直角三角形中,
同理,则截面周长为.
故答案为:.
10．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）正三棱柱中，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面的周长为 .
【答案】
【分析】将正三棱柱扩大成正三棱柱，其中，再解三角形可得答案.
【详解】如下图所示，将正三棱柱扩大成正三棱柱，其中，
则点E为AH1的中点，点F为AC2的中点，设 ，则 ，所以过点A、E、F的截面为AEGF，
因为和均为两直角边分别为2， 1的直角三角形，所以，
在中，连接H1F交于，则为的重心，
所以，因为，所以，
又因为平面，所以三角形为直角三角形，且，所以，所以截面的周长为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查几何体的截面的相关计算，关键在于根据公理作出所求的截面，再运用解三角形的相关知识得以解决.
11．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在棱长为的正方体中，点分别是、、的中点，则过线段且平行于平面的截面图形的周长为 .
【答案】
【分析】结合面面平行性质定理画出截面图形，再求出截面图形的边长，即可得出答案.
【详解】取的中点为，连接，，
因为点分别是、、的中点，
由正方体性质可得，所以四点共面，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面平面，
四边形即为经过线段且平行于平面的截面图，
正方体棱长为，所以，，，，
所以截面图形周长为.
故答案为：.
12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为 ．
【答案】/
【分析】利用直三棱柱的侧面展开图求解即可.
【详解】由题意可知过三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即的周长，
因为直三棱柱，所以各侧面均为矩形，
所以，
直三棱柱的侧面部分展开图如图所示，
则在矩形中，
所以过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为，
故答案为：
4.圆柱、圆锥、球的截面问题
一、单选题
1．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆锥底面半径为，母线为，轴截面顶角为，则根据题意可得与的关系，从而可求出为钝角，由此可得当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，然后可求得结果.
【详解】设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为，则，得，
所以，
因为为锐角，所以，即，则θ为钝角，
所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为.
故选：A.
2．（2023·广西·统考模拟预测）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在球的球面上，且球心在圆锥体内部，若球的表面积为，到圆锥底面圆的距离为1，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求圆锥底面圆的半径和母线，进而求侧面积.
【详解】设球的半径为，则，解得.
设圆锥底面圆的半径为，则，
圆锥的高为3，圆锥的母线长为，
所以该圆锥的侧面积为.
故选：A.
【点睛】本题考查圆锥的外接球，考查直观想象的核心素养.
3．（2023·天津红桥·统考二模）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用圆的面积公式和球心到截面圆的距离、截面圆半径及球的半径的关系，结合球的体积公式即可求解.
【详解】设截面圆的半径为，球的半径为,
由题意可知，解得，，
所以球的体积为.
故选：D.
4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知球的一个截面的面积为，球心到该截面的距离比球的半径小1，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设截面圆的半径为，球的半径为，依题意得到且，即可求出，从而求出球的表面积.
【详解】依题意设截面圆的半径为，球的半径为，因为截面的面积为，所以，
又，即，解得，
所以球的表面积.
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据截面在圆柱底面所形成的截痕直接判断即可.
【详解】圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如下图所示，
则过棱锥的一条侧棱和高作截面，棱锥顶点为圆柱上底面的中心，可得截面图如下图，
故选：D.
6．（2023秋·陕西西安·高三西安市铁一中学校考期末）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
【答案】D
【分析】根据截面的位置，可判断截面图形的形状.
【详解】一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，
当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；
当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确；
故选:D
【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征，几何体截面形状的判断，属于中档题.
7．（2023·全国·高三专题练习）从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出截面截圆柱所得的圆面的面积，再求出截面截正四棱锥所得的正方形的面积，从而得出答案.
【详解】截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2，
则截面圆的面积为：
设正四棱锥的底面正方形边长为，则，所以
正四棱锥的底面正方形的面积为
由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似
设圆面中挖去一个正方形的面积为，正四棱锥的底面正方形为
则,从而
所以截面图形的面积为．
故选：C．
8．（2023·全国·高三专题练习）若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正方体棱长为，根据题意得，分析求解即可.
【详解】根据题意过顶点和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示：
所以，，所以，，
为矩形，设，所以，所以，
所以，即，即，解得.
故选：C.
9．（2023·海南海口·海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过作于，设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，由求解判断.
【详解】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，过作于，如图所示：
则由题可得，
设平面截得球的截面圆的半径为，
当EF在底面圆周上运动时，
到平面的距离
所以
所以平面截得球的截面面积最小值为，
故D正确；
故选：D.
10．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知正方体的棱长为，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意证得是的中点，由四面体的外接球的直径为，得到半径，设是外接球的球心，求得球心到平面的距离，根据球的截面圆的性质，求得截面圆的半径，进而求得截面圆的面积.
【详解】在正方体中，设平面平面，且平面，
由平面平面，可得，所以是的中点，
又四面体的外接球的直径为，可得半径，
设是的中点即球心，球心到平面的距离为，
又设与的交点为，则，则，
则，则截面圆的半径，
所以截面圆的面积为.
故选：A．
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形中，，将沿对角线翻折至的位置，使得平面平面，则在三棱锥的外接球中，以为直径的截面到球心的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，取的中点为，连接，过作，垂足为，连接，可证为三棱锥的外接球的球心，利用解直角三角形可求，据此可求球心到以为直径的截面的距离.
【详解】如图，取的中点为，连接，过作，垂足为，连接.
因为三角形为直角三角形，故，
同理，故，
所以为三棱锥的外接球的球心，而，
因为，平面，平面平面，
平面平面，故平面，
而平面，故.
在直角三角形中，，故，
故，
在直角三角形中，，
故，故.
设球心到以为直径的截面的距离为，
则，
故选：B.
【点睛】思路点睛：三棱锥外接球的球心，可根据球心的定义来判断（即球心到各顶点的距离相等），而球面截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径可构成直角三角形.
12．（2023·全国·高三专题练习）某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出圆锥的高，设过圆锥顶点的截面为，设，表示的面积，再运用基本不等式求最值即可．
【详解】设圆锥顶点为，底面直径为，圆心，另有一任意弦，为的中点，连接、、，
如图，设为过圆锥顶点的截面，
因为底面，，
因为，为的中点，所以，
由题意可知：，，
设，，则，，
所以，
，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为．
故选：A．
13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则（ ）
A．当时，S的最大值为
B．当时，S的最大值为
C．当时，S的最大值为
D．当时，S的最大值为
【答案】D
【分析】通过将圆台补成圆锥，利用图形分和讨论即可.
【详解】如图,将圆台补成圆锥.
设圆台的母线长为,则,等腰梯形为过两母线的截面.
设，由，得,
则，
当时，，当最大，即截面为轴截面时面积最大，
则的最大值为.
当时,，当时，截面面积最大，
则的最大值为.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题的关键的是通过补图，利用三角形相似和三角形面积公式得到，然后再分和讨论即可.
二、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为 .
【答案】
【分析】由题设正三角形的边长为，得到底面圆的半径为，圆锥的高为，结合圆锥的体积公式，即可求解.
【详解】由题意，过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，
设正三角形的边长为，可得，解得，
∴底面圆的半径为，圆锥的高为，
所以该圆锥的体积为.
故答案为：.
15．（2023·全国·高三专题练习）将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得圆锥的内切球的表面积为 ．
【答案】
【分析】作圆锥的轴截面，利用等面积法求出内切球的半径，即可求得内切球的表面积.
【详解】依题意，作圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
截得其内切球的大圆是此等腰直角三角形的内切圆，
圆锥的底面半径为2，则其母线长为，
设圆锥的内切球半径为r，
则，所以，
所以内切球的表面积为 故答案为：
16．（2023·海南·校联考模拟预测）已知某球的体积为，该球的某截面圆的面积为，则球面上的点到该截面圆心的最大距离为 ．
【答案】3
【分析】先求出球心到平面的距离为，再求点到该截面圆的最大距离.
【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，球心到平面的距离为，
则，
因为球的体积为所以
因为截面圆的面积为，所以，故，
所以，
所以球面上的点到该截面圆圆心的最大距离为，故最大距离为.
故答案为:.
17．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点，，是圆锥表面上的点，该圆锥的侧面展开图为以点为圆心，4为半径的半圆，点是弧的中点，点是弧的中点（如图），以圆锥底面圆心为球心，半径为2的球被平面所截，则截面面积为 .
【答案】
【分析】还原圆锥，作出示意图，求得底面圆半径，进而根据等体积法求得底面圆心到截面圆的距离，从而求得截面圆的半径，可得答案.
【详解】根据题意，还原圆锥如下所示：D点在如图示 的中点处，
不妨设该圆锥底面半径为，高为，底面圆圆心为，
根据题意，，圆锥底面圆周长为，
解得，
由勾股定理可得，
平面截以圆锥底面圆心为球心，半径为2的球的截面为一个圆，
不妨设截面圆半径为，设球心到面的距离为，
在中，，，
则，
由等体积法可得，，
即，
解得，
故可得，，
故截面圆面积为，
故答案为：
18．（2023·陕西西安·校联考一模）某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则该正三棱柱体积的最大值为 ．
【答案】
【分析】作出对应的图形，设正三棱柱上底面外接圆的半径为r，利用题意得出三棱柱的高，，进而求出体积的表达式，利用导数求出体积的最值即可.
【详解】如图，设正三棱柱上底面外接圆的半径为r，三棱柱的高为h,根据题意作出圆锥的轴截面，
由可得，则该三棱柱的高，，
则该三棱柱的体积，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
所以时，V取得最大值，且最大值为．
故答案为：.
19．（2023·上海·高三专题练习）在圆柱中，底面圆半径为，高为，上底面圆的直径为,是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则的面积的范围 ．
【答案】
【分析】根据题意，设上顶面圆心记为，下底面圆心记为，连接，过点作，垂足为点，由于为定值，则的大小随着的长短变化而变化，由图可知当点与点重合时以及当点与点重合，分别求解的最大值和最小值，即可得到的面积的范围．
【详解】解：如图1，设上底面圆心记为，下底面圆心记为，
连接，过点作，垂足为点，
则，
根据题意，为定值2，所以的大小随着的长短变化而变化，
如图2所示，当点与点重合时，，
此时取得最大值为；
如图3所示，当点与点重合，取最小值2，
此时取得最小值为，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
20．（2023·重庆·统考模拟预测）已知三棱锥中，Q为BC中点，，侧面底面，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为 ．
【答案】
【分析】连接，找到球心到平面和平面的射影为和的中心,，再通过面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理得到，再利用勾股定理求出相关长度，找到截面圆的最值情况，代入计算即可得到答案.
【详解】连接,由,
可知：和是等边三角形,
设三棱锥外接球的球心为,
所以球心到平面和平面的射影是和的中心,，
是等边三角形,为中点,所以,
又因为侧面底面,侧面底面，侧面，
所以底面,而底面,因此,
所以是矩形,应为和是边长为4的等边三角形,
所以两个等边三角形的高,
在矩形中,，
连接,所以,
设过点的平面为,当时,此时所得截面的面积最小,该截面为圆形,
可得,
因此圆的半径为,
所以此时面积为,当点在以为圆心的大圆上时,此时截面的面积最大,
面积为:,所以截面的面积范围为.
故答案为：.
21．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是线段AB上一点，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为，则＝ ．
【答案】或
【分析】根据给定的几何体，确定球心O的位置并求出球半径，再利用球的截面圆性质及余弦定理求解作答.
【详解】在等腰梯形中，连接，如图，
因为，，，则，，
于是，取中点，连接，则，得均为正三角形，
即有，即是梯形外接圆圆心，
而O为四棱锥的外接球球心，因此平面，又PA⊥平面ABCD，
则，而为球O的弦，则过点O垂直于的平面必过的中点E，连接，
于是，而，即有，四边形为矩形，，
因此球O的半径，过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于，
而此截面圆半径为，则，连接，在中，，
在中，，，
即有，解得或，
所以或.
故答案为：或
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.
22．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值是 .
【答案】
【分析】先根据条件可证明，，，故三棱锥放入正方体中，正方体的外接球即是三棱锥的外接球，从而即可求出球的半径，过点的平面截球所得截面面积的最小时，截面与垂直，求得截面圆半径即可．
【详解】设在底面上的射影为，如图，
因为，由全等得为的中心，
由题可知，，由，解得
在正中，可得.
从而直角三角形中解得.
同理，又是边长为的正三角形，
所以，则，同理，，
因此正三棱锥可看作正方体的一角，
正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心.
记外接球半径为，则，
过点的平面截球所得截面面积的最小时，截面与垂直，此时截面圆半径满足，
由得，所以，所以截面面积的最小值为.
故答案为：
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素养拓展25 立体几何中的截面问题（精讲+精练）
一、截面问题的理论依据
(1)确定平面的条件
①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行
二、截面问题的基本思路
1.定义相关要素
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.
④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面
3.作截面的具体步骤
（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点
（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面
三、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；
2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下图.
方法二：平行线法，做法如下图.
四、正方体中的基本截面类型
【典例1】用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ）
A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】ABC
【分析】
根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．
【详解】
当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；
截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；
当截面为五边形时，不可能出现正五边形；
截面为六边形时，可能出现正六边形，
故选：ABC．
【典例2】已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为______.
【答案】
【分析】在上取点，使得，连接，则四边形是平行四边形，
由勾股定理可得，再结合余弦定理与面积公式即可求解
【详解】由题意，正四棱柱中，，，
可得，在上取点，使得，连接，则有，
所以四边形是平行四边形，由勾股定理可得
，
所以,所以，所以四边形是平行四边形的面积为，故答案为：
【典例3】如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.
【答案】
【分析】首先根据面面平行的性质定理作出过点的正方体的截面，从而求截面的周长.
【详解】如图，取的中点，取上靠近点的三等分点，
连接，易证，则五边形为所求截面.
因为，所以，
则，故该截面的周长是.故答案为：.
【典例4】已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面截三棱锥所得三角形为正三角，即可求出三角形面积及外接圆面积，即可求解.
【详解】设平面截三棱锥所得正三角边长为a，截面圆的半径为r，则，
由正弦定理可得，，，故选：B
【题型训练-刷模拟】
1.截面形状问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
2．（2023·全国·高三专题练习）已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．（2023·全国·高三专题练习）已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
4．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
5．（2023·河南·模拟预测）在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
6．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的棱长为20的正方体中，点为的中点，点在侧面上，且到的距离为6，到的距离为5，则过点且与垂直的正方体截面的形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
7．（2023·上海·高三统考学业考试）如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（ ）
A．梯形 B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定
2.求截面的面积
一、单选题
1．（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·安徽蚌埠·统考一模）如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·全国·高一专题练习）已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（ ）．
A．1 B． C． D．或
5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若球是正三棱锥的外接球，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川成都·校联考模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·安徽合肥·统考一模）已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在三棱锥中，，平面平面，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，分别在线段上运动（端点除外），.当三棱锥的体积最大时，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·江苏·高一专题练习）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）已知正四棱锥的体积为，底面的面积为，点、分别为、的中点，点为的靠近点的三等分点，过点、、的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2023春·河北保定·高一定州一中校考阶段练习）在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为 ．
14．（2022·广西桂林·校联考二模）在三棱锥ABCD中，对棱，当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面α所截得的截面面积最大值为 .
15．（2019春·上海·高二上海市新中高级中学校考阶段练习）如图，在正方体中，AB＝1，中点为Q，过三点的截面面积为 ．
16．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是 .
17．（2023·江西吉安·吉安三中校考一模）如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 .（请写出所有正确命题的编号）
①当时，S为等腰梯形；
②当时，S与的交点满足；
③当时，S为六边形；
④当时，S的面积为.
3.求截面的周长
一、单选题
1．（2023·河南新乡·统考三模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）如图，直四棱柱的所有棱长均为，，是侧棱的中点，则平面截四棱柱所得的截面图形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知正方体的棱长为2，点为线段的中点，若点平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（ ）
A．2+2 B． C． D．
7．（2023春·广西南宁·高三南宁三中校考专题练习）已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（ ）
A．6 B．10 C． D．
二、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知长方体中，AB＝2，AD＝4，，E，F分别为，的中点，则过D，E，F三点截得长方体的截面周长为
9．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 ．
10．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）正三棱柱中，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面的周长为 .
11．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在棱长为的正方体中，点分别是、、的中点，则过线段且平行于平面的截面图形的周长为 .
12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为 ．
4.圆柱、圆锥、球的截面问题
一、单选题
1．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．
2．（2023·广西·统考模拟预测）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在球的球面上，且球心在圆锥体内部，若球的表面积为，到圆锥底面圆的距离为1，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·天津红桥·统考二模）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知球的一个截面的面积为，球心到该截面的距离比球的半径小1，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·陕西西安·高三西安市铁一中学校考期末）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
7．（2023·全国·高三专题练习）从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·海南海口·海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知正方体的棱长为，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形中，，将沿对角线翻折至的位置，使得平面平面，则在三棱锥的外接球中，以为直径的截面到球心的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则（ ）
A．当时，S的最大值为
B．当时，S的最大值为
C．当时，S的最大值为
D．当时，S的最大值为
二、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为 .
15．（2023·全国·高三专题练习）将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得圆锥的内切球的表面积为 ．
16．（2023·海南·校联考模拟预测）已知某球的体积为，该球的某截面圆的面积为，则球面上的点到该截面圆心的最大距离为 ．
17．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点，，是圆锥表面上的点，该圆锥的侧面展开图为以点为圆心，4为半径的半圆，点是弧的中点，点是弧的中点（如图），以圆锥底面圆心为球心，半径为2的球被平面所截，则截面面积为 .
18．（2023·陕西西安·校联考一模）某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则该正三棱柱体积的最大值为 ．
19．（2023·上海·高三专题练习）在圆柱中，底面圆半径为，高为，上底面圆的直径为,是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则的面积的范围 ．
20．（2023·重庆·统考模拟预测）已知三棱锥中，Q为BC中点，，侧面底面，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为 ．
21．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是线段AB上一点，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为，则＝ ．
22．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值是 .
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展25 立体几何中的截面问题（精讲+精练）
一、截面问题的理论依据
(1)确定平面的条件
①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行
二、截面问题的基本思路
1.定义相关要素
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.
④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面
3.作截面的具体步骤
（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点
（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面
三、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；
2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下图.
方法二：平行线法，做法如下图.
四、正方体中的基本截面类型
【典例1】用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ）
A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】ABC
【分析】
根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．
【详解】
当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；
截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；
当截面为五边形时，不可能出现正五边形；
截面为六边形时，可能出现正六边形，
故选：ABC．
【典例2】已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为______.
【答案】
【分析】在上取点，使得，连接，则四边形是平行四边形，
由勾股定理可得，再结合余弦定理与面积公式即可求解
【详解】由题意，正四棱柱中，，，
可得，在上取点，使得，连接，则有，
所以四边形是平行四边形，由勾股定理可得
，
所以,所以，所以四边形是平行四边形的面积为，故答案为：
【典例3】如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.
【答案】
【分析】首先根据面面平行的性质定理作出过点的正方体的截面，从而求截面的周长.
【详解】如图，取的中点，取上靠近点的三等分点，
连接，易证，则五边形为所求截面.
因为，所以，
则，故该截面的周长是.故答案为：.
【典例4】已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面截三棱锥所得三角形为正三角，即可求出三角形面积及外接圆面积，即可求解.
【详解】设平面截三棱锥所得正三角边长为a，截面圆的半径为r，则，
由正弦定理可得，，，故选：B
【题型训练-刷模拟】
1.截面形状问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】D
【分析】用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形.
【详解】
如图，用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形，
因此截面的形状可能有：三角形、四边形、五边形、六边形，
不可能为七边形，
故选:D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案.
【详解】分别取、、的中点、、，连接、、，
在正方体中，，，分别是，，的中点，
，，，
六边形是过，，这三点的截面图，
过这三点的截面图的形状是六边形．
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【分析】连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，
过点作交于点，连接，即可得到截面图形，从而得解.
【详解】如图连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，
过点作交于点，连接，
则五边形即为平面截该长方体所得的截面多边形.
其中因为，，，
所以，则，所以，
又，所以，所以，
则，
显然，则，所以.
故选：C
4．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】A
【分析】作出辅助线，证明出⊥平面，所以⊥，同理可证明⊥，得到⊥平面，故平面即为平面，得到截面的形状.
【详解】连接，
因为⊥平面，平面，
所以⊥，
又四边形为正方形，所以⊥，
又，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以⊥，
同理可证明⊥，
因为，平面，
故⊥平面，
故平面即为平面，
则截该正方体所得截面的形状为三角形.
故选：A
5．（2023·河南·模拟预测）在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
【答案】B
【分析】在上取点，且，取中点为，在上取点，且.通过，可得，进而得出，.通过证明，得出.同理得出，即可得出正方体的截面图形.
【详解】
在上取点，且，取中点为，连接.
在上取点，且，连结.
因为，，
所以，所以.
又，所以，所以，
所以，.
因为分别为的中点，所以，且.
根据正方体的性质，可知，且，
所以，，且，
所以，四边形是平行四边形，
所以，，所以.
同理可得，.
所以，五边形即为所求正方体的截面.
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的棱长为20的正方体中，点为的中点，点在侧面上，且到的距离为6，到的距离为5，则过点且与垂直的正方体截面的形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【分析】根据线面垂直的判定与性质，以及正方体的截面的性质、平面的基本性质，即可求解.
【详解】如图所示，过点作分别交于点 ，因为，可得，
在正方体中，平面，所以
又,所以平面,平面,所以
过作交于点，则,设
则,所以，即,则
所以
在正方形中，取 的中点，连接
则与,则
所以,即
取的中点，过作交于点，连接，则
又平面,所以,由
所以平面，所以
又，所以 平面
连接，过作,由，则，所以(且)
连接，则四边形为梯形，所以 平面
所以截面的形状为四边形边形.
故选：B.
7．（2023·上海·高三统考学业考试）如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（ ）
A．梯形 B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定
【答案】B
【分析】根据长方体的性质，结合面面平行的性质有，即知的形状.
【详解】由长方体的性质：各对面平行，易知，
∴为平行四边形.
故选：B
2.求截面的面积
一、单选题
1．（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意运用基本事实作出截面，根据截面的几何特征求其面积即可.
【详解】延长交于点，连接交于点，如图，
在正方体中，面面，
面面，面面
，又
四边形是梯形，且为平面截正方体的截面.
又，在等腰梯形中，过作，
.
故选：C.
2．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出图形，可得最大面积的截面四边形为等腰梯形，根据梯形的面积公式求解即可.
【详解】如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形，
其中，高为，
故面积为.
故选:D．
3．（2023·安徽蚌埠·统考一模）如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出截面，得到截面把正方体分为三棱台和另一几何体，根据棱台体积公式求出，进而求出的值.
【详解】设正方体棱长为1，，
如图所示，该截面把正方体分为几何体和另一几何体，
由面面平行的性质可知：，
延长，相交于点，则平面，且平面，
又平面平面，
所以在直线上，即三线共点，
所以几何体为三棱台，
其中三棱台上底面积是，下底面积为，高等于1，
所以，解得：，
所以.
故选：C
4．（2023春·全国·高一专题练习）已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（ ）．
A．1 B． C． D．或
【答案】B
【分析】过点P向底面ABC作垂线，垂足为，连接，由球O截平面ABC所得的截面面积为，得截面圆的半径为，设球O的半径为R，得，过O作PA的垂线，垂足为D，得∽，可得，进而求得．
【详解】过点P向底面ABC作垂线，垂足为，连接，则球心O在线段或其延长线上，
为正的中心，则，．
设球O的半径为R，因为球O截平面ABC所得的截面面积为，
所以截面圆的半径为，所以，．
过O作PA的垂线，垂足为D，则，
∽，所以．
①当点O在线段上时，，即，
则，且，解得；
②当点O在线段的延长线上时，，即，
则，且，解得或，
当时，点O，重合，此时点O不在线段的延长线上，故舍去；当时，切点D不在棱PA上，不符合题意．
综合①②可知，，
故选：B．
5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若球是正三棱锥的外接球，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设是球心，是等边三角形的中心，在三角形中，有，可求得，再利用可得过且垂直的截面圆最小即可.
【详解】
如图所示，其中是球心，是等边三角形的中心，
可得，，
设球的半径为，在三角形中，由，
即，解得，即，
所以，
因为在中，，，
所以，，，
由题知，截面中面积最小时，截面圆与垂直，
设过且垂直的截面圆的半径为，则，
所以，最小的截面面积为.
故选：A
6．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，是在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，当截面垂直于时截面面积最小，求出截面圆的半径即得解.
【详解】如图：
是在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径.
由勾股定理得棱锥的高设球的半径为，
则，解得，
所以，即与重合，
所以当过点E作球O的截面垂直于时，截面面积最小，
此时截面半径为，截面面积为.故选：A.
7．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】易得正方体外接球的球心在其中心点处，要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点求解.
【详解】解：如图，
正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径，
要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点，
连接，则，
所以，
此时截面圆的半径，
此时，截面面积的最小值.
故选：C.
8．（2023·四川成都·校联考模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过作平行线作出题中的截面，并结合线面平行以及线面垂直说明其为矩形，利用三角形相似表示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，结合二次函数性质确定截面面积取得最大值时参数的值，解直角三角形即可求得答案.
【详解】根据题意，在平面VAC内，过点F作，交VC于点E；
在平面VBC内，过点E作，交BC于点Q；
在平面VAB内，过点F作，交AB于点D，连接DQ，如图所示，
因为，则∽，设其相似比为k，即，
则；
又因为，，，
由余弦定理得，，则，即．
又平面，平面，所以，．
又，则，．
因为，则∽，则，
因为，所以，即,
同理可得，即，
因为，，则，
故四边形为平行四边形；而平面，平面，
故平面，同理平面，
即四边形为截面图形；
又平面，平面，则，
又，所以．
故平行四边形为矩形，则，
所以当时，有最大值，则，
在中，,
故选：B
9．（2023·安徽合肥·统考一模）已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面面积作答.
【详解】正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系，
侧面的中心，侧面的中心，而，有，
显然点M在平面与平面的交线上，设为这条交线上任意一点，
，而平面，则，
即，令，得点，令，得点，连，
平面与平面必相交，设为这条交线上任意一点，，
由，即，令，得点，连，
因为平面平面，则平面与平面的交线过点G，与直线FE平行，
过G作交于，，
由得，即，显然平面与平面都相交，
则平面与直线相交，令交点为，，由得，
连接得截面五边形，即截面为五边形，
，取中点，连接，则，
在中，，
的面积，
在中，，
边上的高，
梯形面积，
所以S的面积为.
故选：C
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
10．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在三棱锥中，，平面平面，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，分别在线段上运动（端点除外），.当三棱锥的体积最大时，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中点,证得为球心，利用二次函数求出三棱锥的体积最大时的取值，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，求得截面圆的半径.
【详解】如图，取的中点,连接,
因为，所以，即为球心，
则球的半径,又,所以,
又平面平面，平面平面平面.
所以平面，
设，则,所以，
所以三棱锥的体积.
当时,取得最大值，
由于，在中，由余弦定理得:
根据球的性质可知，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，
设此时截面圆的半径为，所以.
则截面面积的最小值为.
故选:C.
11．（2023·江苏·高一专题练习）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意垂直关系可得平面截正四棱锥所得的截面面为四边形，结合根据相似求长度，进而根据面积公式即可求解.
【详解】连接，
由题意可得：，即为等边三角形，
且E为SC的中点，可得，
故平面，
连接，设，连接，
可得平面，
且平面，则，
，平面，所以平面，
平面，则，
在直线取一点，连接，使得，
在中，，
因为，可得，
故，
同理在棱取一点，使得，连接，则，
故平面截正四棱锥所得的截面面为四边形，
因为，则//，
由，可得，
所以四边形的面积.
故选：A.
12．（2023春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）已知正四棱锥的体积为，底面的面积为，点、分别为、的中点，点为的靠近点的三等分点，过点、、的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接、，设，连接，连接并延长交于点，连接、、、，在中，过点作交于点，交于点，过点作交于点，证明出，计算出、的长，进而可求得截面四边形的面积.
【详解】连接、，设，连接，
易知为正四棱锥的高，连接交于点．
因为点、分别为、的中点，则，
因为，所以，为的中点．
连接并延长交于点，连接、、、，
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，则，
四边形为所求的截面四边形，如图1．
因为正四棱锥的体积为，底面的面积为，
所以底面是边长为的正方形，则，
由，可得，
在中，过点作交于点，交于点，
过点作交于点，如图2．
因为，则．
又为的中点，为的中点，所以，，
，，
所以，，
则，，所以，
故，所以，则，
得．
故四边形的面积为，
故选：C．
【点睛】方法点睛：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．
（1）平面的四个公理及推论；
（2）直线和平面平行的判定和性质；
（3）两个平面平行的性质；
（4）球的截面的性质．
二、填空题
13．（2023春·河北保定·高一定州一中校考阶段练习）在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为 ．
【答案】
【分析】作出截面截面，为的中点，则可得截面是边长为的菱形，求出其面积即可.
【详解】如图，在正方体中，
平面平面，
平面与平面的交线必过且平行于，
故平面经过的中点，连接，得截面，
易知截面是边长为的菱形，其对角线，
，截面面积．
故答案为：．
14．（2022·广西桂林·校联考二模）在三棱锥ABCD中，对棱，当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面α所截得的截面面积最大值为 .
【答案】3
【分析】每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，设长宽高分别为x，y，z，求出，由线面平行得线线平行，证明当是所在棱中点时面积最大，按截面与哪对棱平行分类讨论求得截面面积的最大值.
【详解】因为每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，设长宽高分别为x，y，z，则，则.
当平面α与三棱锥ABCD的对棱AB，CD均平行时，截而为四边形EFGH，，，
设，则，，同理，（或其补角）是异面直线所成的角，
，其中为定值，
，时，取得最大值，即截面面积最大，此时是所在棱中点，
由长方体性知最大面积为长方体上下底面面积的一半，
同样地，当平面a与三棱锥ABCD的对棱AC，BD均平行时，截面最大面积为；当平面α与三棱锥ABCD的对棱AD，BC均平行时，截面最大面积为.
故答案为：3.
15．（2019春·上海·高二上海市新中高级中学校考阶段练习）如图，在正方体中，AB＝1，中点为Q，过三点的截面面积为 ．
【答案】
【分析】先作出经过三点的截面，如图所示为梯形，然后求出截面的面积即可
【详解】解：如图所示，取的中点P，连接、AQ和，
∵分别是，的中点，
∴，且，
∵，∴，
所以四边形是过三点的截面，且四边形是梯形，
∵AB＝1，
∴，，，
且等腰梯形的高为，
∴截面面积为，
故答案为：
16．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是 .
【答案】
【分析】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作，该四棱台的高，可求得该四棱台的体积为，利用基本不等式可得该四棱台的体积的最大值，此时，，.取，的中点，，连接，，可得平面就是截面，求解即可.
【详解】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作，
该四棱台的高，
在上下底面由勾股定理可知，.
在梯形中，，
所以该四棱台的体积为，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，，.
取，的中点，，连接，，显然有，
由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面.
显然，
在直角梯形中，，
因此在等腰梯形中，，
同理在等腰梯形中，，
在等腰梯形中，设，，
则，
，
所以梯形的面积为.
故答案为:.
【点睛】总结点睛：
解决与几何体截面的问题，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）根据空间中的线面关系，找到线线平行或者垂直，进而确定线面以及面面关系，
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求长度下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于长度的方程，并求解.
17．（2023·江西吉安·吉安三中校考一模）如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 .（请写出所有正确命题的编号）
①当时，S为等腰梯形；
②当时，S与的交点满足；
③当时，S为六边形；
④当时，S的面积为.
【答案】①②④
【分析】①作出辅助线，找到S为四边形，证明出其为等腰梯形；②作出辅助线，找到S，利用各边长度与相似，求出；③在②的分析基础上，得到S为五边形；④作出辅助线，得到S为菱形，求出对角线，进而求出面积.
【详解】当时，S为等腰梯形，理由如下：
如图1，连接，，因为为的中点，为上的中点，
所以∥，
所以四边形为S，其中，
所以S为等腰梯形，①正确；
当时，S与的交点满足，理由如下：
如图2，延长至点E，使得，连接EA，EQ交于点R，
取AD中点N，DE中点M，连接MQ，MN，PN，
则，DN=CP，所以四边形CQMD与四边形PCDN均为平行四边形，
所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四边形MNPQ为平行四边形，
所以PQ∥MN，由中位线的性质可知：MN∥AE，所以PQ∥AE，
所以四边形AEQP即为S，其中，
所以，所以，②正确；
当时，S为五边形，理由如下：
如图3，根据②的分析，随着Q点在图2的基础上沿着向上移动，
则点E点沿着射线向上移动，此时AE与相交于点G，
EQ与相交于点R，连接GR，故所截得的S为五边形，故③错误；
当时，S的面积为，理由如下：
如图4，点Q与重合，此时G为的中点，可证得：∥，AP∥GQ，
其中，所以S为菱形APQG，
且，S的面积为，④正确.
故答案为：①②④
3.求截面的周长
一、单选题
1．（2023·河南新乡·统考三模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出截面图形，利用已知条件，转化求解截面周长即可．
【详解】如图，取BC的中点，连接EF，AF，,
、分别为棱、的中点，则，正方体中，则有，所以平面为所求截面，
因为正方体的棱长为2，所以，，，所以四边形的周长为.
故选：A.
2．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）如图，直四棱柱的所有棱长均为，，是侧棱的中点，则平面截四棱柱所得的截面图形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用作延长线找交点法，得出截面图形为梯形，求出梯形周长即为所求.
【详解】连接 与的延长线交于点, 连 接与交于点,
因为 , 所以为的中点, 则为的中点,
所以截面为梯形 ,
因为所有棱长均为2,，
所以,,
,
,
故梯形 的周长为 .
故选：D.
3．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知正方体的棱长为2，点为线段的中点，若点平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】记的中点分别为E，F，先证三角形即为平面截正方体所得截面，然后可得周长.
【详解】记的中点分别为E，F，连接，
由正方体性质可知，平面，
因为平面，所以
又为正方形，所以
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以
因为P，E分别为的中点，所以，所以，
同理可证，
又，平面
所以平面，
所以三角形即为平面截正方体所得截面，
易知三角形为正三角形，
所以截面周长为.
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，，根据已知求出即得解.
【详解】解：如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，，
则台体的体积，
解之得，
所以,,
所以截面的周长为.
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体的特征，作出过点，，的该正方体的截面，计算相关线段的长，即可求得答案.
【详解】设为的三等分点，靠近B点，连接,并延长交延长线于P，
设为的三等分点，靠近点，连接,并延长交延长线于Q，
则∽，由于，故,
同理求得,故两点重合，则,
故，而，故,
同理可得,即四边形为平行四边形，
连接,则五边形即为过点，，所作的正方体的截面，
由题意可知
故该截面的周长是 ，
故选：C
6．（2023·全国·高三专题练习）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（ ）
A．2+2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意先作出截面，进而算出截面各边的长度，最后得到答案.
【详解】如图，在正三棱柱中，延长AF与CC1的延长线交于M，连接EM交B1C1于P，连接FP，则四边形AEPF为所求截面.
过E作EN平行于BC交CC1于N，则N为线段CC1的中点，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，
在中，，则，
在中，，则，
在中，，则，
在中，，
由余弦定理：，则，
所以截面周长为：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查几何体的截面问题，其中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质作出几何体的截面是问题的关键，平常注意方法的总结和归纳.
7．（2023春·广西南宁·高三南宁三中校考专题练习）已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（ ）
A．6 B．10 C． D．
【答案】D
【分析】取的中点，连接,则,取的中点，连接，延长交于，连接交于点，连接，作出截面图形，然后再分别求出各边长，从而得出答案.
【详解】取的中点，连接,则,取的中点，连接，则
所以, 则直线平面
延长交于，连接交于点，连接,则为的中点.
则平面截该正方体所得的截面图形为
由条件可得,则, 则
,
取 的中点，连接，则，所以
所以,则
则
所以截面图形周长为
故选：D
二、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知长方体中，AB＝2，AD＝4，，E，F分别为，的中点，则过D，E，F三点截得长方体的截面周长为
【答案】
【分析】利用确定平面的公里，作延长以及平行，可得截面，根据中位线以及勾股定理，可得答案.
【详解】延长EF分别交，的延长线于点M，N，连接MD，ND，分别交，于点Q，P，
连接PF，EQ，则过D，E，F三点截得长方体的平面为五边形DQEFP．
过F点作，过E点作，所以是的中点，是的中点．
在中，，，所以．
在中，，所以，AQ＝2，
则，，．
同理在中，，在中，，CP＝2，
所以，，所以截面周长为．
故答案为：.
9．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 ．
【答案】
【分析】过点作的平行线即可延展平面，则可得到截面，再求周长即可.
【详解】取中点，连接，,
∵中点为，E是侧棱的中点，
∴,,
又在直角三角形中,
∴,
∵正方体中，
∴四边形为平行四边形,
∴
∴,
四点共面，即为正方体的截面.
在直角三角形中,
同理,则截面周长为.
故答案为:.
10．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）正三棱柱中，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面的周长为 .
【答案】
【分析】将正三棱柱扩大成正三棱柱，其中，再解三角形可得答案.
【详解】如下图所示，将正三棱柱扩大成正三棱柱，其中，
则点E为AH1的中点，点F为AC2的中点，设 ，则 ，所以过点A、E、F的截面为AEGF，
因为和均为两直角边分别为2， 1的直角三角形，所以，
在中，连接H1F交于，则为的重心，
所以，因为，所以，
又因为平面，所以三角形为直角三角形，且，所以，所以截面的周长为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查几何体的截面的相关计算，关键在于根据公理作出所求的截面，再运用解三角形的相关知识得以解决.
11．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在棱长为的正方体中，点分别是、、的中点，则过线段且平行于平面的截面图形的周长为 .
【答案】
【分析】结合面面平行性质定理画出截面图形，再求出截面图形的边长，即可得出答案.
【详解】取的中点为，连接，，
因为点分别是、、的中点，
由正方体性质可得，所以四点共面，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面平面，
四边形即为经过线段且平行于平面的截面图，
正方体棱长为，所以，，，，
所以截面图形周长为.
故答案为：.
12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为 ．
【答案】/
【分析】利用直三棱柱的侧面展开图求解即可.
【详解】由题意可知过三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即的周长，
因为直三棱柱，所以各侧面均为矩形，
所以，
直三棱柱的侧面部分展开图如图所示，
则在矩形中，
所以过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为，
故答案为：
4.圆柱、圆锥、球的截面问题
一、单选题
1．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆锥底面半径为，母线为，轴截面顶角为，则根据题意可得与的关系，从而可求出为钝角，由此可得当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，然后可求得结果.
【详解】设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为，则，得，
所以，
因为为锐角，所以，即，则θ为钝角，
所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为.
故选：A.
2．（2023·广西·统考模拟预测）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在球的球面上，且球心在圆锥体内部，若球的表面积为，到圆锥底面圆的距离为1，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求圆锥底面圆的半径和母线，进而求侧面积.
【详解】设球的半径为，则，解得.
设圆锥底面圆的半径为，则，
圆锥的高为3，圆锥的母线长为，
所以该圆锥的侧面积为.
故选：A.
【点睛】本题考查圆锥的外接球，考查直观想象的核心素养.
3．（2023·天津红桥·统考二模）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用圆的面积公式和球心到截面圆的距离、截面圆半径及球的半径的关系，结合球的体积公式即可求解.
【详解】设截面圆的半径为，球的半径为,
由题意可知，解得，，
所以球的体积为.
故选：D.
4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知球的一个截面的面积为，球心到该截面的距离比球的半径小1，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设截面圆的半径为，球的半径为，依题意得到且，即可求出，从而求出球的表面积.
【详解】依题意设截面圆的半径为，球的半径为，因为截面的面积为，所以，
又，即，解得，
所以球的表面积.
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据截面在圆柱底面所形成的截痕直接判断即可.
【详解】圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如下图所示，
则过棱锥的一条侧棱和高作截面，棱锥顶点为圆柱上底面的中心，可得截面图如下图，
故选：D.
6．（2023秋·陕西西安·高三西安市铁一中学校考期末）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
【答案】D
【分析】根据截面的位置，可判断截面图形的形状.
【详解】一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，
当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；
当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确；
故选:D
【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征，几何体截面形状的判断，属于中档题.
7．（2023·全国·高三专题练习）从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出截面截圆柱所得的圆面的面积，再求出截面截正四棱锥所得的正方形的面积，从而得出答案.
【详解】截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2，
则截面圆的面积为：
设正四棱锥的底面正方形边长为，则，所以
正四棱锥的底面正方形的面积为
由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似
设圆面中挖去一个正方形的面积为，正四棱锥的底面正方形为
则,从而
所以截面图形的面积为．
故选：C．
8．（2023·全国·高三专题练习）若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正方体棱长为，根据题意得，分析求解即可.
【详解】根据题意过顶点和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示：
所以，，所以，，
为矩形，设，所以，所以，
所以，即，即，解得.
故选：C.
9．（2023·海南海口·海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过作于，设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，由求解判断.
【详解】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，过作于，如图所示：
则由题可得，
设平面截得球的截面圆的半径为，
当EF在底面圆周上运动时，
到平面的距离
所以
所以平面截得球的截面面积最小值为，
故D正确；
故选：D.
10．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知正方体的棱长为，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意证得是的中点，由四面体的外接球的直径为，得到半径，设是外接球的球心，求得球心到平面的距离，根据球的截面圆的性质，求得截面圆的半径，进而求得截面圆的面积.
【详解】在正方体中，设平面平面，且平面，
由平面平面，可得，所以是的中点，
又四面体的外接球的直径为，可得半径，
设是的中点即球心，球心到平面的距离为，
又设与的交点为，则，则，
则，则截面圆的半径，
所以截面圆的面积为.
故选：A．
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形中，，将沿对角线翻折至的位置，使得平面平面，则在三棱锥的外接球中，以为直径的截面到球心的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，取的中点为，连接，过作，垂足为，连接，可证为三棱锥的外接球的球心，利用解直角三角形可求，据此可求球心到以为直径的截面的距离.
【详解】如图，取的中点为，连接，过作，垂足为，连接.
因为三角形为直角三角形，故，
同理，故，
所以为三棱锥的外接球的球心，而，
因为，平面，平面平面，
平面平面，故平面，
而平面，故.
在直角三角形中，，故，
故，
在直角三角形中，，
故，故.
设球心到以为直径的截面的距离为，
则，
故选：B.
【点睛】思路点睛：三棱锥外接球的球心，可根据球心的定义来判断（即球心到各顶点的距离相等），而球面截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径可构成直角三角形.
12．（2023·全国·高三专题练习）某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出圆锥的高，设过圆锥顶点的截面为，设，表示的面积，再运用基本不等式求最值即可．
【详解】设圆锥顶点为，底面直径为，圆心，另有一任意弦，为的中点，连接、、，
如图，设为过圆锥顶点的截面，
因为底面，，
因为，为的中点，所以，
由题意可知：，，
设，，则，，
所以，
，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为．
故选：A．
13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则（ ）
A．当时，S的最大值为
B．当时，S的最大值为
C．当时，S的最大值为
D．当时，S的最大值为
【答案】D
【分析】通过将圆台补成圆锥，利用图形分和讨论即可.
【详解】如图,将圆台补成圆锥.
设圆台的母线长为,则,等腰梯形为过两母线的截面.
设，由，得,
则，
当时，，当最大，即截面为轴截面时面积最大，
则的最大值为.
当时,，当时，截面面积最大，
则的最大值为.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题的关键的是通过补图，利用三角形相似和三角形面积公式得到，然后再分和讨论即可.
二、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为 .
【答案】
【分析】由题设正三角形的边长为，得到底面圆的半径为，圆锥的高为，结合圆锥的体积公式，即可求解.
【详解】由题意，过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，
设正三角形的边长为，可得，解得，
∴底面圆的半径为，圆锥的高为，
所以该圆锥的体积为.
故答案为：.
15．（2023·全国·高三专题练习）将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得圆锥的内切球的表面积为 ．
【答案】
【分析】作圆锥的轴截面，利用等面积法求出内切球的半径，即可求得内切球的表面积.
【详解】依题意，作圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
截得其内切球的大圆是此等腰直角三角形的内切圆，
圆锥的底面半径为2，则其母线长为，
设圆锥的内切球半径为r，
则，所以，
所以内切球的表面积为 故答案为：
16．（2023·海南·校联考模拟预测）已知某球的体积为，该球的某截面圆的面积为，则球面上的点到该截面圆心的最大距离为 ．
【答案】3
【分析】先求出球心到平面的距离为，再求点到该截面圆的最大距离.
【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，球心到平面的距离为，
则，
因为球的体积为所以
因为截面圆的面积为，所以，故，
所以，
所以球面上的点到该截面圆圆心的最大距离为，故最大距离为.
故答案为:.
17．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点，，是圆锥表面上的点，该圆锥的侧面展开图为以点为圆心，4为半径的半圆，点是弧的中点，点是弧的中点（如图），以圆锥底面圆心为球心，半径为2的球被平面所截，则截面面积为 .
【答案】
【分析】还原圆锥，作出示意图，求得底面圆半径，进而根据等体积法求得底面圆心到截面圆的距离，从而求得截面圆的半径，可得答案.
【详解】根据题意，还原圆锥如下所示：D点在如图示 的中点处，
不妨设该圆锥底面半径为，高为，底面圆圆心为，
根据题意，，圆锥底面圆周长为，
解得，
由勾股定理可得，
平面截以圆锥底面圆心为球心，半径为2的球的截面为一个圆，
不妨设截面圆半径为，设球心到面的距离为，
在中，，，
则，
由等体积法可得，，
即，
解得，
故可得，，
故截面圆面积为，
故答案为：
18．（2023·陕西西安·校联考一模）某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则该正三棱柱体积的最大值为 ．
【答案】
【分析】作出对应的图形，设正三棱柱上底面外接圆的半径为r，利用题意得出三棱柱的高，，进而求出体积的表达式，利用导数求出体积的最值即可.
【详解】如图，设正三棱柱上底面外接圆的半径为r，三棱柱的高为h,根据题意作出圆锥的轴截面，
由可得，则该三棱柱的高，，
则该三棱柱的体积，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
所以时，V取得最大值，且最大值为．
故答案为：.
19．（2023·上海·高三专题练习）在圆柱中，底面圆半径为，高为，上底面圆的直径为,是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则的面积的范围 ．
【答案】
【分析】根据题意，设上顶面圆心记为，下底面圆心记为，连接，过点作，垂足为点，由于为定值，则的大小随着的长短变化而变化，由图可知当点与点重合时以及当点与点重合，分别求解的最大值和最小值，即可得到的面积的范围．
【详解】解：如图1，设上底面圆心记为，下底面圆心记为，
连接，过点作，垂足为点，
则，
根据题意，为定值2，所以的大小随着的长短变化而变化，
如图2所示，当点与点重合时，，
此时取得最大值为；
如图3所示，当点与点重合，取最小值2，
此时取得最小值为，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
20．（2023·重庆·统考模拟预测）已知三棱锥中，Q为BC中点，，侧面底面，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为 ．
【答案】
【分析】连接，找到球心到平面和平面的射影为和的中心,，再通过面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理得到，再利用勾股定理求出相关长度，找到截面圆的最值情况，代入计算即可得到答案.
【详解】连接,由,
可知：和是等边三角形,
设三棱锥外接球的球心为,
所以球心到平面和平面的射影是和的中心,，
是等边三角形,为中点,所以,
又因为侧面底面,侧面底面，侧面，
所以底面,而底面,因此,
所以是矩形,应为和是边长为4的等边三角形,
所以两个等边三角形的高,
在矩形中,，
连接,所以,
设过点的平面为,当时,此时所得截面的面积最小,该截面为圆形,
可得,
因此圆的半径为,
所以此时面积为,当点在以为圆心的大圆上时,此时截面的面积最大,
面积为:,所以截面的面积范围为.
故答案为：.
21．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是线段AB上一点，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为，则＝ ．
【答案】或
【分析】根据给定的几何体，确定球心O的位置并求出球半径，再利用球的截面圆性质及余弦定理求解作答.
【详解】在等腰梯形中，连接，如图，
因为，，，则，，
于是，取中点，连接，则，得均为正三角形，
即有，即是梯形外接圆圆心，
而O为四棱锥的外接球球心，因此平面，又PA⊥平面ABCD，
则，而为球O的弦，则过点O垂直于的平面必过的中点E，连接，
于是，而，即有，四边形为矩形，，
因此球O的半径，过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于，
而此截面圆半径为，则，连接，在中，，
在中，，，
即有，解得或，
所以或.
故答案为：或
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.
22．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值是 .
【答案】
【分析】先根据条件可证明，，，故三棱锥放入正方体中，正方体的外接球即是三棱锥的外接球，从而即可求出球的半径，过点的平面截球所得截面面积的最小时，截面与垂直，求得截面圆半径即可．
【详解】设在底面上的射影为，如图，
因为，由全等得为的中心，
由题可知，，由，解得
在正中，可得.
从而直角三角形中解得.
同理，又是边长为的正三角形，
所以，则，同理，，
因此正三棱锥可看作正方体的一角，
正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心.
记外接球半径为，则，
过点的平面截球所得截面面积的最小时，截面与垂直，此时截面圆半径满足，
由得，所以，所以截面面积的最小值为.
故答案为：
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