高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展30阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题(学案+练习)
文档属性
| 名称 | 高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展30阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题(学案+练习) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-08 18:08:49 | ||
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文档简介
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展90 阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题（精讲+精练）
一、阿波罗尼斯圆
1.阿波罗尼斯圆的定义
在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线）
2.阿波罗尼斯圆的证明
设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆．
证明：由及两点间距离公式，可得，
化简可得①，
（1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线；
（2）当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为：
，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆．
图① 图② 图③
【定理】为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为．
证明：以为例．如图②，设，，则，
．过作的垂线圆交于两点，由相交弦定理及勾股定理得，于是．
同时在到两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，
圆上任意一点到两点的距离之比恒为．同理可证的情形．
9.阿波罗尼斯圆的相关结论
【结论1】当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外．
【结论2】因，故是圆的一条切线．若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然．
【结论9】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为．
【结论4】过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线．
【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角．
证明：如图①，由已知可得（且），，又，
平分．由等角的余角相等可得，平分的外角．
【结论6】过点作圆不与重合的弦，则AB平分．
证明：如图③，连结，由已知（且），又，平分．
平分．
二、蒙日圆
1.蒙日圆的定义
在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．
证明：设椭圆的方程为，则椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，可设（且），过的椭圆的切线方程为，由得，
由其判别式值为，得，
是这个关于的一元二次方程的两个根，，
由已知点的坐标满足方程．
②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上．
综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．
2.蒙日圆的几何性质
【结论1】过圆上的动点作椭圆的两条切线，则．
证明：设点坐标，由，得
，由其判别式的值为0，
得，
，是这个关于的一元二次方程的两个根，，，，．
【结论2】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，交椭圆于点为原点，则的斜率乘积为定值．
【结论9】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值，且的斜率乘积为定值（垂径定理的推广）．
【结论4】过圆上的动点作椭圆的两条切线，O为原点，则平分椭圆的切点弦．
证明：点坐标，直线斜率，由切点弦公式得到方程，，，由点差法可知，平分，如图是中点．
【结论5】设为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则的斜率乘积为定值．
【结论6】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值：．
【结论7】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的最大值为，的最小值为．
【结论8】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为的最小值为．
【典例1】设，是平面上两点，则满足(其中为常数，且)的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知，，且.
（1）求点所在圆的方程.
（2）已知圆与轴交于，两点(点在点的左边)，斜率不为0的直线过点且与圆交于，两点，证明：.
【详解】（1）解：由题意可得，，即，
则，整理得，即圆的方程为.
（2）证明：对于圆，令，得或，所以，.
设直线的方程为，，.
由得，
则，.
则直线与关于轴对称，即.
【典例2】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．
【详解】（I）可知，又，故椭圆的标准方程为．
（II）设两切线为，
①当轴或//轴时，对应//轴或轴，可知或．
②当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则的斜率为，的方程为，联立，得，
∵直线与椭圆相切，∴，得
，整理得
（*），是方程（*）的一个根，同理是方程（*）的另一个根，其中，点的轨迹方程为，又或满足上式．综上知：点P的轨迹方程为．
【题型训练-刷模拟】
1.阿波罗尼斯圆
一、单选题
1．（2029·全国·高三专题练习）我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．10 B．20 C．90 D．40
2．（2029·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆为椭圆长轴的端点，为椭圆短轴的端点，，分别为椭圆的左右焦点，动点满足面积的最大值为面积的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2092秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2029·广西·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2029·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2029·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（ ）
A．的方程为
B．当三点不共线时，则
C．在C上存在点M，使得
D．若，则的最小值为
7．（2029·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2029秋·云南保山·高三统考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线与圆外切
C．曲线被直线截得的弦长为
D．曲线上恰有三个点到直线的距离为1
9．（2024·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．直线与曲线有公共点
C．曲线被轴截得的弦长为
D．面积的最大值为
10．（2029·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于，的两点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线
D．在上存在点，使得
11．（2029春·湖南长沙·高三湖南师大附中校联考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．的方程为
B．当，，三点不共线时，则
C．在上存在点，使得
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．（2029·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，，动点P满足，则点P的轨迹方程是 ．
19．（2029春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为9，动点满足，则的范围为 .
14．（2029·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为 .
15．（2029·河北衡水·校联考二模）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点是满足的阿氏圆上的任一点，若抛物线的焦点为，过点的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 .
16．（2029·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为9的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为 ．
四、解答题
17．（2029·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，动点满足.设点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)若曲线和无公共点，求的取值范围.
18．（2029·全国·高三专题练面上两点A、B，则所有满足且k不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆上的动点P满足：其中O为坐标原点，A点的坐标为.
(1)直线上任取一点Q，作圆的切线，切点分别为M，N，求四边形面积的最小值；
(2)在（1）的条件下，证明：直线MN恒过一定点并写出该定点坐标.
19．（2029秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分．
①求的取值范围；
②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程．
2.蒙日圆
一、单选题
1．（2029·全国·高三专题练习）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）
A．9 B．4 C．5 D．6
2．（2029·全国·高三专题练习）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴 短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2029秋·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2029·江西·统考模拟预测）定义：圆锥曲线的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆的方程为，是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于、两点，是坐标原点，连接，当为直角时，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．（2029·海南·统考模拟预测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
6．（2029·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，其蒙日圆方程为，M为蒙日圆上的一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为96，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2029·贵州毕节·校考模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为
C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18
8．（2029·全国·高三专题练习）研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．设椭圆的焦点为，，为椭圆上的任意一点，为椭圆的蒙日圆的半径．若的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2029秋·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：的蒙日圆为C：，过C上的动点M作的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B． 面积的最大值为
C．M到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在上，将直线DA，DB的斜率分别记为，，则
二、多选题
10．（2029·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18
11．（2029·全国·高三专题练习）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．面积的最大值为
C．到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
12．（2029秋·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考期末）在椭圆中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家最新发现.若椭圆，则下列说法中正确的有（ ）
A．椭圆外切矩形面积的最大值为
B．点为蒙日圆上任意一点，点，当最大值时
C．过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点，若存在，则为定值
D．若椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线与蒙日圆相交于，且，则
19．（2029·江苏盐城·校考三模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆.分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，分别与椭圆相切于两点，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的蒙日圆方程为
B．记点到直线的距离为，则的最小值为
C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为
D．的面积的最小值为，最大值为
三、填空题
14．（2029·全国·高三专题练习）法国数学家蒙日（Monge，）发现：椭圆的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：，这个圆被称为蒙日圆．若某椭圆对应的蒙日圆方程为，则 ．
15．（2029·全国·高三专题练习）若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的半径为，则椭圆的离心率为 .
16．（2029春·吉林长春·高三长春十一高校考开学考试）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为，则椭圆C的离心率为 ．
17．（2029·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为 .（用含的代数式表示）
四、解答题
18．（2029秋·浙江宁波·高三期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆中，离心率，左、右焦点分别是、，上顶点为Q，且，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为，求面积的最大值.
19．（2029·河南·校联考模拟预测）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值.
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展90 阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题（精讲+精练）
一、阿波罗尼斯圆
1.阿波罗尼斯圆的定义
在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线）
2.阿波罗尼斯圆的证明
设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆．
证明：由及两点间距离公式，可得，
化简可得①，
（1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线；
（2）当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为：
，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆．
图① 图② 图③
【定理】为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为．
证明：以为例．如图②，设，，则，
．过作的垂线圆交于两点，由相交弦定理及勾股定理得，于是．
同时在到两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，
圆上任意一点到两点的距离之比恒为．同理可证的情形．
9.阿波罗尼斯圆的相关结论
【结论1】当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外．
【结论2】因，故是圆的一条切线．若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然．
【结论9】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为．
【结论4】过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线．
【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角．
证明：如图①，由已知可得（且），，又，
平分．由等角的余角相等可得，平分的外角．
【结论6】过点作圆不与重合的弦，则AB平分．
证明：如图③，连结，由已知（且），又，平分．
平分．
二、蒙日圆
1.蒙日圆的定义
在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．
证明：设椭圆的方程为，则椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，可设（且），过的椭圆的切线方程为，由得，
由其判别式值为，得，
是这个关于的一元二次方程的两个根，，
由已知点的坐标满足方程．
②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上．
综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．
2.蒙日圆的几何性质
【结论1】过圆上的动点作椭圆的两条切线，则．
证明：设点坐标，由，得
，由其判别式的值为0，
得，
，是这个关于的一元二次方程的两个根，，，，．
【结论2】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，交椭圆于点为原点，则的斜率乘积为定值．
【结论9】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值，且的斜率乘积为定值（垂径定理的推广）．
【结论4】过圆上的动点作椭圆的两条切线，O为原点，则平分椭圆的切点弦．
证明：点坐标，直线斜率，由切点弦公式得到方程，，，由点差法可知，平分，如图是中点．
【结论5】设为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则的斜率乘积为定值．
【结论6】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值：．
【结论7】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的最大值为，的最小值为．
【结论8】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为的最小值为．
【典例1】设，是平面上两点，则满足(其中为常数，且)的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知，，且.
（1）求点所在圆的方程.
（2）已知圆与轴交于，两点(点在点的左边)，斜率不为0的直线过点且与圆交于，两点，证明：.
【详解】（1）解：由题意可得，，即，
则，整理得，即圆的方程为.
（2）证明：对于圆，令，得或，所以，.
设直线的方程为，，.
由得，
则，.
则直线与关于轴对称，即.
【典例2】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．
【详解】（I）可知，又，故椭圆的标准方程为．
（II）设两切线为，
①当轴或//轴时，对应//轴或轴，可知或．
②当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则的斜率为，的方程为，联立，得，
∵直线与椭圆相切，∴，得
，整理得
（*），是方程（*）的一个根，同理是方程（*）的另一个根，其中，点的轨迹方程为，又或满足上式．综上知：点P的轨迹方程为．
【题型训练-刷模拟】
1.阿波罗尼斯圆
一、单选题
1．（2029·全国·高三专题练习）我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．10 B．20 C．90 D．40
【答案】B
【分析】点的轨迹为圆，直线过圆心，得，利用基本不等式求的最小值.
【详解】设点的坐标为，因为，则，
即，
所以点的轨迹方程为，
因为点的轨迹关于直线对称，
所以圆心在此直线上，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：B.
2．（2029·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆为椭圆长轴的端点，为椭圆短轴的端点，，分别为椭圆的左右焦点，动点满足面积的最大值为面积的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得动点M的轨迹方程，可得，，即求.
【详解】设，，
由，可得=2，
化简得.
∵△MAB面积的最大值为面积的最小值为，
∴，，
∴，即，
∴．
故选：A．
9．（2029秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，即得.
【详解】设，，所以，
又，所以．
因为且，所以，
整理可得，
又动点M的轨迹是，
所以，解得，
所以，又，
所以，因为，
所以的最小值为．
故选：C．
4．（2029·广西·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由题意求出点的轨迹方程，再由直线和圆的位置关系求解即可.
【详解】由题意，设点，则，
∴，化简得点的轨迹方程为，
∴点的轨迹是以为圆心，半径的圆.
圆心到直线：的距离，
∴点到直线最大距离为.
故选：A.
5．（2029·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点，求出动点的轨迹圆的方程，再求出直线过定点坐标，依题意点在圆的内部，即可得到不等式，解得即可.
【详解】设点，，，
所以动点的轨迹为阿氏圆：，
又直线恒过点，
若对任意实数直线与圆恒有公共点，
在圆的内部或圆上，所以，所以，解得，
即的取值范围为.
故选：C
6．（2029·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（ ）
A．的方程为
B．当三点不共线时，则
C．在C上存在点M，使得
D．若，则的最小值为
【答案】C
【分析】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结合三点共线时线段取得最短即可求解.
【详解】设，由，得，化简得，故A正确；
当三点不共线时，，所以是的角平分线，所以，故B正确；
设,则，化简得，因为，所以C上不存在点M，使得，故C错
误；
因为，所以，所以，当且仅当在线段上时，等号成立，故D正确.
故选：C.
7．（2029·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据阿氏圆的定义分析得P点轨迹为球与侧面的交线，计算其弧长即可
【详解】在图1中，以B为原点建立平面直角坐标系，如图2所示，
设阿氏圆圆心为，半径为r.因为，所以，
所以.
设圆O与AB交于点M.由阿氏圆性质，知.
又，所以.又，
所以，解得，所以，
所以点P在空间内的轨迹为以O为球心，半径为4的球.
当点P在侧面内部时，如图2所示，截面圆与，分别交于点M，R，
所以点P在侧面内的轨迹为.
因为在中，，，所以，
所以，所以点P在侧面内部的轨迹长为.
故选：B.
二、多选题
8．（2029秋·云南保山·高三统考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线与圆外切
C．曲线被直线截得的弦长为
D．曲线上恰有三个点到直线的距离为1
【答案】ACD
【分析】对于A，设点，由两点间距离公式代入化简判断；对于B，根据圆心距与两半径和的关系进行判断；对于C，先求出点到直线的距离，再结合勾股定理求出弦长；对于D，结合点到直线的距离以及圆C的半径分析判断.
【详解】对于A，设，由定义，得，化简整理得，故A正确；
对于B，的圆心为，半径；的圆心为，半径；圆心距，故B错误；
对于C，圆心到直线的距离，
所以弦长为，故C正确；
对于D，圆心到直线的距离，半径，所以圆上恰有三个点到直线的距离为1,故D正确.
故选：ACD.
9．（2024·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．直线与曲线有公共点
C．曲线被轴截得的弦长为
D．面积的最大值为
【答案】ACD
【分析】通过阿氏圆的定义结合，设，从而可以得到曲线C的方程；
通过计算圆心到直线的距离是否小于等于半径，从而判断B的正确性；
计算圆心到轴的距离，结合，得到曲线被轴截得的弦长，从而判断C的正确性；
的长度确定，所以面积的最大值即为点到距离的最大值，从而判断C的正确性.
【详解】设，
对于选项A，因为，所以，化简得，故A正确；
对于选项B，因为曲线C为，所以圆心为，半径为，计算圆心到直线的距离为，
所以直线与曲线C没有公共点，故B错误；
对于选项C，曲线的圆心在轴上，所以被轴截得的弦即为直径，所以曲线被轴截得的弦长为，故C正确；
对于选项D，因为，，所以,故，
而曲线C为，所以，即的最大值为，故D正确.
故选：ACD
10．（2029·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于，的两点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线
D．在上存在点，使得
【答案】BC
【分析】利用求轨迹方程的方法确定轨迹的方程可判断A；设，，由两点间的距离公式结合轨迹的方程可判断B；由角平分线的定义可判断C；设，由求出点的轨迹方程与联立，可判断D.
【详解】对于A，在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，化简得，
即，所以A错误；
对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
化简得，
由轨迹的方程为，可得，，
解得，或，（舍去），所以B正确；
对于C，当，，三点不共线时，，
可得射线是的角平分线，所以C正确；
对于D，若在上存在点，使得，可设，
则，化简得，
与联立，方程组无解，故不存在点，所以D错误．
故选：BC．
11．（2029春·湖南长沙·高三湖南师大附中校联考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．的方程为
B．当，，三点不共线时，则
C．在上存在点，使得
D．若，则的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A，通过直接法求出点的轨迹方程即可判断；
对于B，由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可；
对于C，由“阿波罗尼斯圆”定义，求点轨迹方程，用圆与圆的位置关系进行判断即可；
对于D，将转化为进行判断即可.
【详解】设，（不与，重合）
∵，，∴，，
∴，得，化简得，
∴点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，
对于A，曲线的方程为，故选项A正确；
对于B，由已知，，，∴，
∴当，，三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，是内角的角平分线，
∴，故选项B正确；
对于C，若，则，由题意，点轨迹是圆，
设，由得，化简得点轨迹方程为，
即点的轨迹是圆心为，半径的圆，
圆与圆的圆心距，
∴圆与圆的位置关系为内含，圆与圆无公共点，
∴上不存在点，使得，故选项C错误；
对于D，∵，∴，
∴，
当且仅当在线段上时，等号成立，故选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2029·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，，动点P满足，则点P的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】直接设点P的坐标，利用两点间距离公式代入化简整理可求点P的轨迹方程．
【详解】设，即，整理得：即．
故答案为：．
19．（2029春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为9，动点满足，则的范围为 .
【答案】
【分析】以中点为原点，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则，.设，由题可得点P轨迹方程，后可得答案.
【详解】以中点为原点，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
因为，所以，.
设，因为，所以，
整理得，即.
.
又，
则，则.
故答案为：
14．（2029·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为 .
【答案】
【分析】利用正弦定理将角化边，即可求得点的轨迹方程，然后确定三角形面积的最大值和点的坐标，最后求解的长度即可．
【详解】解：因为，由正弦定理可得，即，因为，不妨令，，建立如图所示的平面直角坐标系，
设点的坐标为，点的轨迹方程满足：，
整理可得：，，
即点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆（除与轴两交点外），
当点的坐标或时三角形的面积最大，其最大值为，
由勾股定理可得．
故答案为：．
15．（2029·河北衡水·校联考二模）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点是满足的阿氏圆上的任一点，若抛物线的焦点为，过点的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 .
【答案】
【分析】由阿氏圆的定义得到点的轨迹方程，即阿氏圆的方程，然后由圆的性质即可求解.
【详解】设，由阿氏圆的定义可得，
即，化简得.
所以，所以点在圆心为，半径为的圆上，
因为抛物线的焦点为.所以，
因为.所以点在圆内，
因为点到与圆心的距离为，
所以过点的最短弦长为，过点的最长弦长为，
所以过点的最长弦与最短弦的和为.
故答案为：
16．（2029·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为9的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为 ．
【答案】
【分析】以为原点建立平面直角坐标系，结合题意可得点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球.再根据球的性质求解即可.
【详解】在图1中，以为原点建立平面直角坐标系如图2所示，
设阿氏圆圆心为，半径为，
因为，所以，所以，
设圆与交于点，由阿氏圆性质，知，
又，所以，
又，所以，解得，所以，
所以点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球，
当点在面内部时，如图2所示，截面圆与分别交于点，
所以点在面内的轨迹为，
因为在中，，所以，
所以，所以点在面内部的轨迹长为，
同理，点在面内部的轨迹长为，
当点在面内部时，如图9所示，因为平面，
所以平面截球所得小圆是以为圆心，以长为半径的圆，
截面圆与分别交于点，且，
所以点在面内的轨迹为，且，
综上，点的轨迹长度为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长.
四、解答题
17．（2029·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，动点满足.设点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)若曲线和无公共点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，然后根据列方程化简计算即可得曲线的方程，
（2）先求出两圆的圆心和半径，再由题意可得两圆外离或内含，从而可得或，从而可求出的取值范围
（1）
设，
因为，，动点满足，
所以，
化简得，即，
所以曲线的方程为，
（2）曲线的圆心为，半径为4，
的圆心为，半径为，
因为曲线和无公共点，所以两圆外离或内含，
所以或，
所以或，
所以或，
所以的取值范围为
18．（2029·全国·高三专题练面上两点A、B，则所有满足且k不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆上的动点P满足：其中O为坐标原点，A点的坐标为.
(1)直线上任取一点Q，作圆的切线，切点分别为M，N，求四边形面积的最小值；
(2)在（1）的条件下，证明：直线MN恒过一定点并写出该定点坐标.
【答案】(1)4；
(2)证明见解析，.
【分析】（1）设点P的坐标为，求出点P的轨迹方程为，求出，，求出最小值即得解；
（2）设，两圆方程相减可得MN的方程为，即得解.
【详解】（1）解：设点P的坐标为，根据题设条件有，
所以有，
化简得.
所以
，
由题知，当时，此时， |QM|最小，
即四边形面积取得最小值4.
（2）解；设，由几何性质，可知M，N两点在以为直径的圆上，
此圆的方程为，
而直线MN是此圆与圆的相交弦所在直线，
相减可得MN的方程为，
所以直线MN恒过定点.
19．（2029秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分．
①求的取值范围；
②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得，再根据条件列式求得椭圆方程；方法9，利用定义进行整理，由为常数，求得系数，得到椭圆方程；（2）①首先由面积比值求得，令，则，利用坐标表示向量，求得，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得，求得，再根据，求得，即可计算直线方程.
【详解】（1）方法（1）特殊值法，令，，且，解得
∴，，椭圆的方程为
方法（2）设，由题意（常数），
整理得：，
故，又，解得：，．
∴，椭圆的方程为．
方法（9）设，则．
由题意
∵为常数，∴，又，解得：，，故
∴椭圆的方程为
（2）①由，又，
∴（或由角平分线定理得）
令，则，设，则有，
又直线的斜率，则，代入得：
，即，
∵，∴．
②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知，
，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为，
则有，即，解得：．
又，故，∴
又，
∴，
解得：，，
∴，∴直线的方程为．
2.蒙日圆
一、单选题
1．（2029·全国·高三专题练习）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）
A．9 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.
【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 的两条切线的交点
在圆上，
所以，
故选：A
2．（2029·全国·高三专题练习）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴 短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得，然后利用离心率公式即得.
【详解】由题可得，
∴，即椭圆为，
∴.
故选：A.
9．（2029秋·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找过右顶点的切线和过上顶点的切线，得到这两条切线的交点在蒙日圆上，再建立关于的方程，即可求解.
【详解】
如图，分别与椭圆相切，显然.
所以点在蒙日圆上，
所以，所以，即，
所以椭圆的离心率.
故选：D
4．（2029·江西·统考模拟预测）定义：圆锥曲线的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆的方程为，是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于、两点，是坐标原点，连接，当为直角时，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】求出蒙日圆的方程，求出直线与蒙日圆的交点、的坐标，求出直线、的斜率，分析可知当点与点、重合时，为直角，即可得出的值.
【详解】根据蒙日圆定义，圆方程为，
因为直线与圆交于、两点，联立，可得或，
即点、，
当点与点或重合时，为直角，且，，
所以，直线的斜率为或.
故选：D.
5．（2029·海南·统考模拟预测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【分析】由特殊切线求得蒙日圆方程，求出点关于轴对称点坐标，求出过点的圆的切线长即可得．
【详解】由题意直线和是椭圆的两条相互垂直的切线，因此它们的交点在蒙日圆上，从而，即蒙日圆方程为，
设从点出发的光线在轴上反向点为，如图，反射光线是圆的切线（在蒙日圆上此时为切点）时，路程为最大，
关于轴的对称点为，由对称性知在直线上，因此是圆的切线，，
．
故选：B．
6．（2029·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，其蒙日圆方程为，M为蒙日圆上的一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为96，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由椭圆离心率，用半焦距c表示a，b，再利用椭圆蒙日圆的性质及面积最大值求出c即可求出结果.
【详解】令椭圆的半焦距为c，
由椭圆的离心率，得，，
因此椭圆的蒙日圆方程为，由蒙日圆的性质得，
于是线段PQ是圆的直径，即，
则面积的最大值为，即，，
所以椭圆的长轴长为.
故选：B
7．（2029·贵州毕节·校考模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为
C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18
【答案】D
【分析】由椭圆标准方程求得后再求得，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．
【详解】由椭圆方程知，，则，离心率为，A正确；
当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和4，其对角线长为，因此蒙日圆半径为，圆方程为，B正确；
设矩形的边长分别为，因此，即，当且仅当时取等号，所以长方形的面积的最大值是20，此时该长方形为正方形，边长为，C正确，D错误．
故选：D．
8．（2029·全国·高三专题练习）研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．设椭圆的焦点为，，为椭圆上的任意一点，为椭圆的蒙日圆的半径．若的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的性质分析可得蒙日圆的圆心为坐标原点，半径，设，根据平面向量的坐标运算可得，进而可得，代入运算即可得离心率.
【详解】设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为，
不妨设椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，显然均为椭圆的切线，
即均在蒙日圆上，
根据对称性分析可得：蒙日圆的圆心为坐标原点，半径，
设椭圆方程为，椭圆上任一点，
∵，则，
可得
，
注意到，
故，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为，故，
整理得，即，
整理得，即.
故选：D.
9．（2029秋·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：的蒙日圆为C：，过C上的动点M作的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B． 面积的最大值为
C．M到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在上，将直线DA，DB的斜率分别记为，，则
【答案】B
【分析】根据特殊位置的切线可得交点，代入可得，即可判断A，根据， PQ为圆C的直径，即可求解B，根据两点距离以及范围即可判断C，根据点差法即可判断D.
【详解】对于A，依题意，过椭圆的上顶点作y轴的垂线，过椭圆的右顶点作x轴的垂线，
则这两条垂线的交点在圆C上，
∴，得，∴椭圆的离心率，故A正确；
对于B，∵点M，P，Q都在圆C上，且，∴PQ为圆C的直径，∴，
当的高为半径时，此时高最大，面积最大，最大值为，故B错误；
对于C，解法一：设，的左焦点为，连接MF，∵，
∴，
又，∴当时取得最小值，
则M到的左焦点的距离的最小值为，故C正确；
解法二：M为圆上的动点，M到左焦点的距离的最小值就是M到圆心O的距离减去O到左焦点的距离，
即为，故C正确；
对于D，由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，
设，，则，，，
又，两式相减得，∴，
又，，∴，故D正确．故选：B
二、多选题
10．（2029·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18
【答案】CD
【分析】由结合离心率公式判断A；当长方体R的对称轴恰好就是的对称轴椭圆C时，求出蒙日圆的半径，进而判断BC；设长方体R的长为，宽为，由基本不等式判断D.
【详解】由题意可知，则椭圆C的离心率为，故A错误；
当长方体R的对称轴恰好就是椭圆C的对称轴时，其长为宽为，
所以椭圆C的蒙日圆的半径为，即椭圆C的蒙日圆方程为，故C正确，B错误；
设长方体R的长为，宽为，则，长方形R的面积为，
当且仅当时，取等号，即长方形R的面积最大值为18，故D正确；
故选：CD
11．（2029·全国·高三专题练习）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．面积的最大值为
C．到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
【答案】ABD
【分析】由条件可得，由此可求椭圆的离心率，由此判断A，由条件可得为圆的直径，确定面积的表达式求其最值，由此判断B，由条件确定的表达式求其范围，由此判断C，结合点差法判断D.
【详解】依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆上，
所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确；
因为点，，都在圆上，且，所以为圆的直径，所以，所以面积的最大值为，故B正确；
设，的左焦点为，连接，因为，所以，又，所以，
则到的左焦点的距离的最小值为，故C不正确；
由直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称，设，，则，，，又，所以，所以，所以，
故D正确
故选：ABD．
【点睛】椭圆的蒙日圆及其几何性质
过椭圆上任意不同两点，作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质：
性质1：．
性质2：平分切点弦．
性质9：的最大值为，的最小值为．
12．（2029秋·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考期末）在椭圆中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家最新发现.若椭圆，则下列说法中正确的有（ ）
A．椭圆外切矩形面积的最大值为
B．点为蒙日圆上任意一点，点，当最大值时
C．过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点，若存在，则为定值
D．若椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线与蒙日圆相交于，且，则
【答案】BCD
【分析】先求得椭圆的蒙日圆，然后根据外切矩形的面积、两角和的正切公式、根与系数关系、判别式、向量运算的指数对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】解：由题意可知，圆，
对于选项A，椭圆的一个外切矩形可设为，
则其面积，
所以矩形的面积最大值为，故选项A错误；
对于选项B，由题意可知当与圆相切时最大，
此时，在Rt中，，
则，
且，所以，故选项B正确；
对于选项C，当的斜率存在时，可设直线的方程为，
由联立，消去可得，
则，
则，
当直线与椭圆相切时，
由联立，消去可得，
化简得，
所以，
当的斜率不存在时，则或，
此时，故选项C正确；
对于选项D，
因为，
则，
所以，
由，
所以①，
②，
则①②，可得，解得，
所以，故选项D正确；
故选：BCD.
【点睛】本题解题的关键一方面结合题目要求求出蒙日圆方程，建立参数间的关系式来表示面积进而利用函数求最值问题，另一方面结合椭圆定义式，向量的运算推导的关系，体现了数形结合的思想.
19．（2029·江苏盐城·校考三模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆.分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，分别与椭圆相切于两点，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的蒙日圆方程为
B．记点到直线的距离为，则的最小值为
C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为
D．的面积的最小值为，最大值为
【答案】ACD
【分析】当斜率不存在时可得点坐标，斜率存在时，将切线方程与椭圆方程联立，利用和垂直关系可构造等式求得点轨迹；结合两种情况可知A正确；利用椭圆定义将转化为，由平面几何知识可知最小值为点到直线的距离，结合点到直线距离公式可求得B错误；根据矩形为蒙日圆的内接矩形，结合基本不等式可求得C正确；推导可得过椭圆外一点的椭圆的切点弦直线方程为，当时，可求得的值；当时，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，结合弦长公式和点到直线距离公式可化简得到，结合二次函数最值的求法可求得结果，知D正确.
【详解】
对于A，当直线一条斜率为，另一条斜率不存在时，则；
当直线斜率均存在时，设，切线方程为：，
由得：，
由整理可得：，，
又，，即，，
点轨迹为；
将检验，满足，
蒙日圆的方程为，A正确；
对于B，为椭圆上的点，，
；
的最小值为点到直线的距离，又，
，，B错误；
对于C，矩形四条边均与相切，该矩形为蒙日圆的内接矩形，
设矩形的长为，宽为，蒙日圆的半径，，
（当且仅当时取等号），
此矩形面积最大值为，C正确；
对于D，设位于椭圆上半部分，即，，
在处的切线斜率，切线方程为：，
即，在处的切线方程为；
同理可得：当位于椭圆下半部分，即时，切线方程为：；
在点处的切线方程为，同理可知：在点处的切线方程为；
设，则，可知坐标满足方程，
即切点弦所在直线方程为：；
当时，，此时所在直线方程为：，
，；
当时，由得：，
由A知：，，
设，则，，
，
又原点到直线的距离，
，
令，，，则，
为开口方向向下，对称轴为的抛物线，
，，
，，
综上所述：的面积的最小值为，最大值为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
14．（2029·全国·高三专题练习）法国数学家蒙日（Monge，）发现：椭圆的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：，这个圆被称为蒙日圆．若某椭圆对应的蒙日圆方程为，则 ．
【答案】
【分析】根据题意写出椭圆对应的蒙日圆方程，可得出关于的等式，即可求得正数的值.
【详解】由已知可得椭圆对应的蒙日圆方程为，
所以，，，.
故答案为：.
15．（2029·全国·高三专题练习）若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的半径为，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】由蒙日圆定义可知在蒙日圆上，由此可根据半径构造方程求得，由此可求得椭圆离心率.
【详解】过可作椭圆的两条互相垂直的切线和，在蒙日圆上，
，解得：，
椭圆的离心率.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：
（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；
（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.
16．（2029春·吉林长春·高三长春十一高校考开学考试）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】
【分析】取椭圆的右顶点和上顶点作椭圆的两条切线，求出交点坐标，又因为在，代入可求出，再由离心率的公式即可得出答案.
【详解】由椭圆C：知，椭圆的右顶点为，
上顶点为，过作椭圆的切线，
则交点坐标为，
因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，
所以在，
所以，解得：，
则椭圆C的离心率为.
故答案为：
17．（2029·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为 .（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】由椭圆的离心率可得出，根据已知条件推导出为圆的一条直径，利用勾股定理可得出，再利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得面积的最大值.
【详解】因为，所以，，
所以，蒙日圆的方程为，
由已知条件可得，则为圆的一条直径，
由勾股定理可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，面积的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
18．（2029秋·浙江宁波·高三期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆中，离心率，左、右焦点分别是、，上顶点为Q，且，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为，求面积的最大值.
【答案】(1)椭圆C的方程为，蒙日圆的方程为
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率结合题设求得，即得椭圆方程，进而写出蒙日圆的方程；
（2）设，设过点P的切线方程为，联立椭圆方程结合判别式确定点的轨迹方程，进而利用基本不等式求得，即可求得答案.
【详解】（1）设椭圆方程为，焦距为2c.
由题意可知，
所以，椭圆C的方程为，
且蒙日圆的方程为；
（2）设，设过点P的切线方程为，
由，消去y得①，
由于相切，所以方程①的，可得：，
整理成关于k的方程可得：，
由于P在椭圆外，故，
故，
设过点P的两切线斜率为，
据题意得，，，
又因为，所以可得，
即点的轨迹方程为：，
由不等式可知：，
即，当且仅当时取等号，此时，
所以，即的面积的最大值为.
【点睛】关键点点睛：求解面积的最大值时，设出过点P的切线方程并联立椭圆方程，利用判别式为0结合根与系数的关系求得点P的轨迹方程后，关键要利用基本不等式求出，即可求解.
19．（2029·河南·校联考模拟预测）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将坐标代入椭圆方程求出，即可得解；
（2）根据题意求出蒙日圆方程为：，当直线斜率不存在时，易求出；当直线斜率存在，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，根据判别式等于求出，联立直线方程与蒙日圆方程，得、，利用、、可求出为定值.
【详解】（1）将，代入到，
可得，解得，，
所以椭圆的方程为：.
（2）由题意可知，蒙日圆方程为：.
（ⅰ）若直线斜率不存在，则直线的方程为：或.
不妨取，易得，，，，
.
（ⅱ）若直线斜率存在，设直线的方程为：.
联立，化简整理得：，
据题意有，于是有：.
设（），（）.
化简整理得：，
，
，.
则
，
，所以.
综上可知，为定值.
【点睛】难点点睛：联立直线与圆锥曲线方程时，字母运算较难，容易出错，需仔细运算.
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素养拓展90 阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题（精讲+精练）
一、阿波罗尼斯圆
1.阿波罗尼斯圆的定义
在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线）
2.阿波罗尼斯圆的证明
设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆．
证明：由及两点间距离公式，可得，
化简可得①，
（1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线；
（2）当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为：
，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆．
图① 图② 图③
【定理】为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为．
证明：以为例．如图②，设，，则，
．过作的垂线圆交于两点，由相交弦定理及勾股定理得，于是．
同时在到两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，
圆上任意一点到两点的距离之比恒为．同理可证的情形．
9.阿波罗尼斯圆的相关结论
【结论1】当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外．
【结论2】因，故是圆的一条切线．若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然．
【结论9】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为．
【结论4】过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线．
【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角．
证明：如图①，由已知可得（且），，又，
平分．由等角的余角相等可得，平分的外角．
【结论6】过点作圆不与重合的弦，则AB平分．
证明：如图③，连结，由已知（且），又，平分．
平分．
二、蒙日圆
1.蒙日圆的定义
在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．
证明：设椭圆的方程为，则椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，可设（且），过的椭圆的切线方程为，由得，
由其判别式值为，得，
是这个关于的一元二次方程的两个根，，
由已知点的坐标满足方程．
②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上．
综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．
2.蒙日圆的几何性质
【结论1】过圆上的动点作椭圆的两条切线，则．
证明：设点坐标，由，得
，由其判别式的值为0，
得，
，是这个关于的一元二次方程的两个根，，，，．
【结论2】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，交椭圆于点为原点，则的斜率乘积为定值．
【结论9】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值，且的斜率乘积为定值（垂径定理的推广）．
【结论4】过圆上的动点作椭圆的两条切线，O为原点，则平分椭圆的切点弦．
证明：点坐标，直线斜率，由切点弦公式得到方程，，，由点差法可知，平分，如图是中点．
【结论5】设为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则的斜率乘积为定值．
【结论6】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值：．
【结论7】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的最大值为，的最小值为．
【结论8】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为的最小值为．
【典例1】设，是平面上两点，则满足(其中为常数，且)的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知，，且.
（1）求点所在圆的方程.
（2）已知圆与轴交于，两点(点在点的左边)，斜率不为0的直线过点且与圆交于，两点，证明：.
【详解】（1）解：由题意可得，，即，
则，整理得，即圆的方程为.
（2）证明：对于圆，令，得或，所以，.
设直线的方程为，，.
由得，
则，.
则直线与关于轴对称，即.
【典例2】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．
【详解】（I）可知，又，故椭圆的标准方程为．
（II）设两切线为，
①当轴或//轴时，对应//轴或轴，可知或．
②当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则的斜率为，的方程为，联立，得，
∵直线与椭圆相切，∴，得
，整理得
（*），是方程（*）的一个根，同理是方程（*）的另一个根，其中，点的轨迹方程为，又或满足上式．综上知：点P的轨迹方程为．
【题型训练-刷模拟】
1.阿波罗尼斯圆
一、单选题
1．（2029·全国·高三专题练习）我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．10 B．20 C．90 D．40
2．（2029·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆为椭圆长轴的端点，为椭圆短轴的端点，，分别为椭圆的左右焦点，动点满足面积的最大值为面积的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2092秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2029·广西·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2029·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2029·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（ ）
A．的方程为
B．当三点不共线时，则
C．在C上存在点M，使得
D．若，则的最小值为
7．（2029·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2029秋·云南保山·高三统考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线与圆外切
C．曲线被直线截得的弦长为
D．曲线上恰有三个点到直线的距离为1
9．（2024·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．直线与曲线有公共点
C．曲线被轴截得的弦长为
D．面积的最大值为
10．（2029·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于，的两点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线
D．在上存在点，使得
11．（2029春·湖南长沙·高三湖南师大附中校联考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．的方程为
B．当，，三点不共线时，则
C．在上存在点，使得
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．（2029·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，，动点P满足，则点P的轨迹方程是 ．
19．（2029春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为9，动点满足，则的范围为 .
14．（2029·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为 .
15．（2029·河北衡水·校联考二模）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点是满足的阿氏圆上的任一点，若抛物线的焦点为，过点的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 .
16．（2029·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为9的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为 ．
四、解答题
17．（2029·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，动点满足.设点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)若曲线和无公共点，求的取值范围.
18．（2029·全国·高三专题练面上两点A、B，则所有满足且k不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆上的动点P满足：其中O为坐标原点，A点的坐标为.
(1)直线上任取一点Q，作圆的切线，切点分别为M，N，求四边形面积的最小值；
(2)在（1）的条件下，证明：直线MN恒过一定点并写出该定点坐标.
19．（2029秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分．
①求的取值范围；
②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程．
2.蒙日圆
一、单选题
1．（2029·全国·高三专题练习）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）
A．9 B．4 C．5 D．6
2．（2029·全国·高三专题练习）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴 短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2029秋·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2029·江西·统考模拟预测）定义：圆锥曲线的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆的方程为，是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于、两点，是坐标原点，连接，当为直角时，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．（2029·海南·统考模拟预测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
6．（2029·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，其蒙日圆方程为，M为蒙日圆上的一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为96，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2029·贵州毕节·校考模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为
C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18
8．（2029·全国·高三专题练习）研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．设椭圆的焦点为，，为椭圆上的任意一点，为椭圆的蒙日圆的半径．若的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2029秋·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：的蒙日圆为C：，过C上的动点M作的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B． 面积的最大值为
C．M到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在上，将直线DA，DB的斜率分别记为，，则
二、多选题
10．（2029·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18
11．（2029·全国·高三专题练习）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．面积的最大值为
C．到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
12．（2029秋·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考期末）在椭圆中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家最新发现.若椭圆，则下列说法中正确的有（ ）
A．椭圆外切矩形面积的最大值为
B．点为蒙日圆上任意一点，点，当最大值时
C．过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点，若存在，则为定值
D．若椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线与蒙日圆相交于，且，则
19．（2029·江苏盐城·校考三模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆.分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，分别与椭圆相切于两点，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的蒙日圆方程为
B．记点到直线的距离为，则的最小值为
C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为
D．的面积的最小值为，最大值为
三、填空题
14．（2029·全国·高三专题练习）法国数学家蒙日（Monge，）发现：椭圆的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：，这个圆被称为蒙日圆．若某椭圆对应的蒙日圆方程为，则 ．
15．（2029·全国·高三专题练习）若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的半径为，则椭圆的离心率为 .
16．（2029春·吉林长春·高三长春十一高校考开学考试）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为，则椭圆C的离心率为 ．
17．（2029·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为 .（用含的代数式表示）
四、解答题
18．（2029秋·浙江宁波·高三期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆中，离心率，左、右焦点分别是、，上顶点为Q，且，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为，求面积的最大值.
19．（2029·河南·校联考模拟预测）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值.
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展90 阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题（精讲+精练）
一、阿波罗尼斯圆
1.阿波罗尼斯圆的定义
在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线）
2.阿波罗尼斯圆的证明
设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆．
证明：由及两点间距离公式，可得，
化简可得①，
（1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线；
（2）当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为：
，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆．
图① 图② 图③
【定理】为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为．
证明：以为例．如图②，设，，则，
．过作的垂线圆交于两点，由相交弦定理及勾股定理得，于是．
同时在到两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，
圆上任意一点到两点的距离之比恒为．同理可证的情形．
9.阿波罗尼斯圆的相关结论
【结论1】当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外．
【结论2】因，故是圆的一条切线．若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然．
【结论9】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为．
【结论4】过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线．
【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角．
证明：如图①，由已知可得（且），，又，
平分．由等角的余角相等可得，平分的外角．
【结论6】过点作圆不与重合的弦，则AB平分．
证明：如图③，连结，由已知（且），又，平分．
平分．
二、蒙日圆
1.蒙日圆的定义
在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．
证明：设椭圆的方程为，则椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，可设（且），过的椭圆的切线方程为，由得，
由其判别式值为，得，
是这个关于的一元二次方程的两个根，，
由已知点的坐标满足方程．
②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上．
综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．
2.蒙日圆的几何性质
【结论1】过圆上的动点作椭圆的两条切线，则．
证明：设点坐标，由，得
，由其判别式的值为0，
得，
，是这个关于的一元二次方程的两个根，，，，．
【结论2】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，交椭圆于点为原点，则的斜率乘积为定值．
【结论9】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值，且的斜率乘积为定值（垂径定理的推广）．
【结论4】过圆上的动点作椭圆的两条切线，O为原点，则平分椭圆的切点弦．
证明：点坐标，直线斜率，由切点弦公式得到方程，，，由点差法可知，平分，如图是中点．
【结论5】设为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则的斜率乘积为定值．
【结论6】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值：．
【结论7】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的最大值为，的最小值为．
【结论8】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为的最小值为．
【典例1】设，是平面上两点，则满足(其中为常数，且)的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知，，且.
（1）求点所在圆的方程.
（2）已知圆与轴交于，两点(点在点的左边)，斜率不为0的直线过点且与圆交于，两点，证明：.
【详解】（1）解：由题意可得，，即，
则，整理得，即圆的方程为.
（2）证明：对于圆，令，得或，所以，.
设直线的方程为，，.
由得，
则，.
则直线与关于轴对称，即.
【典例2】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．
【详解】（I）可知，又，故椭圆的标准方程为．
（II）设两切线为，
①当轴或//轴时，对应//轴或轴，可知或．
②当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则的斜率为，的方程为，联立，得，
∵直线与椭圆相切，∴，得
，整理得
（*），是方程（*）的一个根，同理是方程（*）的另一个根，其中，点的轨迹方程为，又或满足上式．综上知：点P的轨迹方程为．
【题型训练-刷模拟】
1.阿波罗尼斯圆
一、单选题
1．（2029·全国·高三专题练习）我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．10 B．20 C．90 D．40
【答案】B
【分析】点的轨迹为圆，直线过圆心，得，利用基本不等式求的最小值.
【详解】设点的坐标为，因为，则，
即，
所以点的轨迹方程为，
因为点的轨迹关于直线对称，
所以圆心在此直线上，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：B.
2．（2029·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆为椭圆长轴的端点，为椭圆短轴的端点，，分别为椭圆的左右焦点，动点满足面积的最大值为面积的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得动点M的轨迹方程，可得，，即求.
【详解】设，，
由，可得=2，
化简得.
∵△MAB面积的最大值为面积的最小值为，
∴，，
∴，即，
∴．
故选：A．
9．（2029秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，即得.
【详解】设，，所以，
又，所以．
因为且，所以，
整理可得，
又动点M的轨迹是，
所以，解得，
所以，又，
所以，因为，
所以的最小值为．
故选：C．
4．（2029·广西·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由题意求出点的轨迹方程，再由直线和圆的位置关系求解即可.
【详解】由题意，设点，则，
∴，化简得点的轨迹方程为，
∴点的轨迹是以为圆心，半径的圆.
圆心到直线：的距离，
∴点到直线最大距离为.
故选：A.
5．（2029·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点，求出动点的轨迹圆的方程，再求出直线过定点坐标，依题意点在圆的内部，即可得到不等式，解得即可.
【详解】设点，，，
所以动点的轨迹为阿氏圆：，
又直线恒过点，
若对任意实数直线与圆恒有公共点，
在圆的内部或圆上，所以，所以，解得，
即的取值范围为.
故选：C
6．（2029·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（ ）
A．的方程为
B．当三点不共线时，则
C．在C上存在点M，使得
D．若，则的最小值为
【答案】C
【分析】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结合三点共线时线段取得最短即可求解.
【详解】设，由，得，化简得，故A正确；
当三点不共线时，，所以是的角平分线，所以，故B正确；
设,则，化简得，因为，所以C上不存在点M，使得，故C错
误；
因为，所以，所以，当且仅当在线段上时，等号成立，故D正确.
故选：C.
7．（2029·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据阿氏圆的定义分析得P点轨迹为球与侧面的交线，计算其弧长即可
【详解】在图1中，以B为原点建立平面直角坐标系，如图2所示，
设阿氏圆圆心为，半径为r.因为，所以，
所以.
设圆O与AB交于点M.由阿氏圆性质，知.
又，所以.又，
所以，解得，所以，
所以点P在空间内的轨迹为以O为球心，半径为4的球.
当点P在侧面内部时，如图2所示，截面圆与，分别交于点M，R，
所以点P在侧面内的轨迹为.
因为在中，，，所以，
所以，所以点P在侧面内部的轨迹长为.
故选：B.
二、多选题
8．（2029秋·云南保山·高三统考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线与圆外切
C．曲线被直线截得的弦长为
D．曲线上恰有三个点到直线的距离为1
【答案】ACD
【分析】对于A，设点，由两点间距离公式代入化简判断；对于B，根据圆心距与两半径和的关系进行判断；对于C，先求出点到直线的距离，再结合勾股定理求出弦长；对于D，结合点到直线的距离以及圆C的半径分析判断.
【详解】对于A，设，由定义，得，化简整理得，故A正确；
对于B，的圆心为，半径；的圆心为，半径；圆心距，故B错误；
对于C，圆心到直线的距离，
所以弦长为，故C正确；
对于D，圆心到直线的距离，半径，所以圆上恰有三个点到直线的距离为1,故D正确.
故选：ACD.
9．（2024·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．直线与曲线有公共点
C．曲线被轴截得的弦长为
D．面积的最大值为
【答案】ACD
【分析】通过阿氏圆的定义结合，设，从而可以得到曲线C的方程；
通过计算圆心到直线的距离是否小于等于半径，从而判断B的正确性；
计算圆心到轴的距离，结合，得到曲线被轴截得的弦长，从而判断C的正确性；
的长度确定，所以面积的最大值即为点到距离的最大值，从而判断C的正确性.
【详解】设，
对于选项A，因为，所以，化简得，故A正确；
对于选项B，因为曲线C为，所以圆心为，半径为，计算圆心到直线的距离为，
所以直线与曲线C没有公共点，故B错误；
对于选项C，曲线的圆心在轴上，所以被轴截得的弦即为直径，所以曲线被轴截得的弦长为，故C正确；
对于选项D，因为，，所以,故，
而曲线C为，所以，即的最大值为，故D正确.
故选：ACD
10．（2029·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于，的两点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线
D．在上存在点，使得
【答案】BC
【分析】利用求轨迹方程的方法确定轨迹的方程可判断A；设，，由两点间的距离公式结合轨迹的方程可判断B；由角平分线的定义可判断C；设，由求出点的轨迹方程与联立，可判断D.
【详解】对于A，在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，化简得，
即，所以A错误；
对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
化简得，
由轨迹的方程为，可得，，
解得，或，（舍去），所以B正确；
对于C，当，，三点不共线时，，
可得射线是的角平分线，所以C正确；
对于D，若在上存在点，使得，可设，
则，化简得，
与联立，方程组无解，故不存在点，所以D错误．
故选：BC．
11．（2029春·湖南长沙·高三湖南师大附中校联考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．的方程为
B．当，，三点不共线时，则
C．在上存在点，使得
D．若，则的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A，通过直接法求出点的轨迹方程即可判断；
对于B，由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可；
对于C，由“阿波罗尼斯圆”定义，求点轨迹方程，用圆与圆的位置关系进行判断即可；
对于D，将转化为进行判断即可.
【详解】设，（不与，重合）
∵，，∴，，
∴，得，化简得，
∴点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，
对于A，曲线的方程为，故选项A正确；
对于B，由已知，，，∴，
∴当，，三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，是内角的角平分线，
∴，故选项B正确；
对于C，若，则，由题意，点轨迹是圆，
设，由得，化简得点轨迹方程为，
即点的轨迹是圆心为，半径的圆，
圆与圆的圆心距，
∴圆与圆的位置关系为内含，圆与圆无公共点，
∴上不存在点，使得，故选项C错误；
对于D，∵，∴，
∴，
当且仅当在线段上时，等号成立，故选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2029·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，，动点P满足，则点P的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】直接设点P的坐标，利用两点间距离公式代入化简整理可求点P的轨迹方程．
【详解】设，即，整理得：即．
故答案为：．
19．（2029春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为9，动点满足，则的范围为 .
【答案】
【分析】以中点为原点，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则，.设，由题可得点P轨迹方程，后可得答案.
【详解】以中点为原点，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
因为，所以，.
设，因为，所以，
整理得，即.
.
又，
则，则.
故答案为：
14．（2029·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为 .
【答案】
【分析】利用正弦定理将角化边，即可求得点的轨迹方程，然后确定三角形面积的最大值和点的坐标，最后求解的长度即可．
【详解】解：因为，由正弦定理可得，即，因为，不妨令，，建立如图所示的平面直角坐标系，
设点的坐标为，点的轨迹方程满足：，
整理可得：，，
即点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆（除与轴两交点外），
当点的坐标或时三角形的面积最大，其最大值为，
由勾股定理可得．
故答案为：．
15．（2029·河北衡水·校联考二模）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点是满足的阿氏圆上的任一点，若抛物线的焦点为，过点的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 .
【答案】
【分析】由阿氏圆的定义得到点的轨迹方程，即阿氏圆的方程，然后由圆的性质即可求解.
【详解】设，由阿氏圆的定义可得，
即，化简得.
所以，所以点在圆心为，半径为的圆上，
因为抛物线的焦点为.所以，
因为.所以点在圆内，
因为点到与圆心的距离为，
所以过点的最短弦长为，过点的最长弦长为，
所以过点的最长弦与最短弦的和为.
故答案为：
16．（2029·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为9的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为 ．
【答案】
【分析】以为原点建立平面直角坐标系，结合题意可得点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球.再根据球的性质求解即可.
【详解】在图1中，以为原点建立平面直角坐标系如图2所示，
设阿氏圆圆心为，半径为，
因为，所以，所以，
设圆与交于点，由阿氏圆性质，知，
又，所以，
又，所以，解得，所以，
所以点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球，
当点在面内部时，如图2所示，截面圆与分别交于点，
所以点在面内的轨迹为，
因为在中，，所以，
所以，所以点在面内部的轨迹长为，
同理，点在面内部的轨迹长为，
当点在面内部时，如图9所示，因为平面，
所以平面截球所得小圆是以为圆心，以长为半径的圆，
截面圆与分别交于点，且，
所以点在面内的轨迹为，且，
综上，点的轨迹长度为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长.
四、解答题
17．（2029·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，动点满足.设点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)若曲线和无公共点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，然后根据列方程化简计算即可得曲线的方程，
（2）先求出两圆的圆心和半径，再由题意可得两圆外离或内含，从而可得或，从而可求出的取值范围
（1）
设，
因为，，动点满足，
所以，
化简得，即，
所以曲线的方程为，
（2）曲线的圆心为，半径为4，
的圆心为，半径为，
因为曲线和无公共点，所以两圆外离或内含，
所以或，
所以或，
所以或，
所以的取值范围为
18．（2029·全国·高三专题练面上两点A、B，则所有满足且k不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆上的动点P满足：其中O为坐标原点，A点的坐标为.
(1)直线上任取一点Q，作圆的切线，切点分别为M，N，求四边形面积的最小值；
(2)在（1）的条件下，证明：直线MN恒过一定点并写出该定点坐标.
【答案】(1)4；
(2)证明见解析，.
【分析】（1）设点P的坐标为，求出点P的轨迹方程为，求出，，求出最小值即得解；
（2）设，两圆方程相减可得MN的方程为，即得解.
【详解】（1）解：设点P的坐标为，根据题设条件有，
所以有，
化简得.
所以
，
由题知，当时，此时， |QM|最小，
即四边形面积取得最小值4.
（2）解；设，由几何性质，可知M，N两点在以为直径的圆上，
此圆的方程为，
而直线MN是此圆与圆的相交弦所在直线，
相减可得MN的方程为，
所以直线MN恒过定点.
19．（2029秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分．
①求的取值范围；
②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得，再根据条件列式求得椭圆方程；方法9，利用定义进行整理，由为常数，求得系数，得到椭圆方程；（2）①首先由面积比值求得，令，则，利用坐标表示向量，求得，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得，求得，再根据，求得，即可计算直线方程.
【详解】（1）方法（1）特殊值法，令，，且，解得
∴，，椭圆的方程为
方法（2）设，由题意（常数），
整理得：，
故，又，解得：，．
∴，椭圆的方程为．
方法（9）设，则．
由题意
∵为常数，∴，又，解得：，，故
∴椭圆的方程为
（2）①由，又，
∴（或由角平分线定理得）
令，则，设，则有，
又直线的斜率，则，代入得：
，即，
∵，∴．
②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知，
，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为，
则有，即，解得：．
又，故，∴
又，
∴，
解得：，，
∴，∴直线的方程为．
2.蒙日圆
一、单选题
1．（2029·全国·高三专题练习）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）
A．9 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.
【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 的两条切线的交点
在圆上，
所以，
故选：A
2．（2029·全国·高三专题练习）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴 短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得，然后利用离心率公式即得.
【详解】由题可得，
∴，即椭圆为，
∴.
故选：A.
9．（2029秋·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找过右顶点的切线和过上顶点的切线，得到这两条切线的交点在蒙日圆上，再建立关于的方程，即可求解.
【详解】
如图，分别与椭圆相切，显然.
所以点在蒙日圆上，
所以，所以，即，
所以椭圆的离心率.
故选：D
4．（2029·江西·统考模拟预测）定义：圆锥曲线的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆的方程为，是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于、两点，是坐标原点，连接，当为直角时，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】求出蒙日圆的方程，求出直线与蒙日圆的交点、的坐标，求出直线、的斜率，分析可知当点与点、重合时，为直角，即可得出的值.
【详解】根据蒙日圆定义，圆方程为，
因为直线与圆交于、两点，联立，可得或，
即点、，
当点与点或重合时，为直角，且，，
所以，直线的斜率为或.
故选：D.
5．（2029·海南·统考模拟预测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【分析】由特殊切线求得蒙日圆方程，求出点关于轴对称点坐标，求出过点的圆的切线长即可得．
【详解】由题意直线和是椭圆的两条相互垂直的切线，因此它们的交点在蒙日圆上，从而，即蒙日圆方程为，
设从点出发的光线在轴上反向点为，如图，反射光线是圆的切线（在蒙日圆上此时为切点）时，路程为最大，
关于轴的对称点为，由对称性知在直线上，因此是圆的切线，，
．
故选：B．
6．（2029·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，其蒙日圆方程为，M为蒙日圆上的一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为96，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由椭圆离心率，用半焦距c表示a，b，再利用椭圆蒙日圆的性质及面积最大值求出c即可求出结果.
【详解】令椭圆的半焦距为c，
由椭圆的离心率，得，，
因此椭圆的蒙日圆方程为，由蒙日圆的性质得，
于是线段PQ是圆的直径，即，
则面积的最大值为，即，，
所以椭圆的长轴长为.
故选：B
7．（2029·贵州毕节·校考模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为
C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18
【答案】D
【分析】由椭圆标准方程求得后再求得，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．
【详解】由椭圆方程知，，则，离心率为，A正确；
当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和4，其对角线长为，因此蒙日圆半径为，圆方程为，B正确；
设矩形的边长分别为，因此，即，当且仅当时取等号，所以长方形的面积的最大值是20，此时该长方形为正方形，边长为，C正确，D错误．
故选：D．
8．（2029·全国·高三专题练习）研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．设椭圆的焦点为，，为椭圆上的任意一点，为椭圆的蒙日圆的半径．若的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的性质分析可得蒙日圆的圆心为坐标原点，半径，设，根据平面向量的坐标运算可得，进而可得，代入运算即可得离心率.
【详解】设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为，
不妨设椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，显然均为椭圆的切线，
即均在蒙日圆上，
根据对称性分析可得：蒙日圆的圆心为坐标原点，半径，
设椭圆方程为，椭圆上任一点，
∵，则，
可得
，
注意到，
故，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为，故，
整理得，即，
整理得，即.
故选：D.
9．（2029秋·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：的蒙日圆为C：，过C上的动点M作的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B． 面积的最大值为
C．M到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在上，将直线DA，DB的斜率分别记为，，则
【答案】B
【分析】根据特殊位置的切线可得交点，代入可得，即可判断A，根据， PQ为圆C的直径，即可求解B，根据两点距离以及范围即可判断C，根据点差法即可判断D.
【详解】对于A，依题意，过椭圆的上顶点作y轴的垂线，过椭圆的右顶点作x轴的垂线，
则这两条垂线的交点在圆C上，
∴，得，∴椭圆的离心率，故A正确；
对于B，∵点M，P，Q都在圆C上，且，∴PQ为圆C的直径，∴，
当的高为半径时，此时高最大，面积最大，最大值为，故B错误；
对于C，解法一：设，的左焦点为，连接MF，∵，
∴，
又，∴当时取得最小值，
则M到的左焦点的距离的最小值为，故C正确；
解法二：M为圆上的动点，M到左焦点的距离的最小值就是M到圆心O的距离减去O到左焦点的距离，
即为，故C正确；
对于D，由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，
设，，则，，，
又，两式相减得，∴，
又，，∴，故D正确．故选：B
二、多选题
10．（2029·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18
【答案】CD
【分析】由结合离心率公式判断A；当长方体R的对称轴恰好就是的对称轴椭圆C时，求出蒙日圆的半径，进而判断BC；设长方体R的长为，宽为，由基本不等式判断D.
【详解】由题意可知，则椭圆C的离心率为，故A错误；
当长方体R的对称轴恰好就是椭圆C的对称轴时，其长为宽为，
所以椭圆C的蒙日圆的半径为，即椭圆C的蒙日圆方程为，故C正确，B错误；
设长方体R的长为，宽为，则，长方形R的面积为，
当且仅当时，取等号，即长方形R的面积最大值为18，故D正确；
故选：CD
11．（2029·全国·高三专题练习）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．面积的最大值为
C．到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
【答案】ABD
【分析】由条件可得，由此可求椭圆的离心率，由此判断A，由条件可得为圆的直径，确定面积的表达式求其最值，由此判断B，由条件确定的表达式求其范围，由此判断C，结合点差法判断D.
【详解】依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆上，
所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确；
因为点，，都在圆上，且，所以为圆的直径，所以，所以面积的最大值为，故B正确；
设，的左焦点为，连接，因为，所以，又，所以，
则到的左焦点的距离的最小值为，故C不正确；
由直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称，设，，则，，，又，所以，所以，所以，
故D正确
故选：ABD．
【点睛】椭圆的蒙日圆及其几何性质
过椭圆上任意不同两点，作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质：
性质1：．
性质2：平分切点弦．
性质9：的最大值为，的最小值为．
12．（2029秋·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考期末）在椭圆中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家最新发现.若椭圆，则下列说法中正确的有（ ）
A．椭圆外切矩形面积的最大值为
B．点为蒙日圆上任意一点，点，当最大值时
C．过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点，若存在，则为定值
D．若椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线与蒙日圆相交于，且，则
【答案】BCD
【分析】先求得椭圆的蒙日圆，然后根据外切矩形的面积、两角和的正切公式、根与系数关系、判别式、向量运算的指数对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】解：由题意可知，圆，
对于选项A，椭圆的一个外切矩形可设为，
则其面积，
所以矩形的面积最大值为，故选项A错误；
对于选项B，由题意可知当与圆相切时最大，
此时，在Rt中，，
则，
且，所以，故选项B正确；
对于选项C，当的斜率存在时，可设直线的方程为，
由联立，消去可得，
则，
则，
当直线与椭圆相切时，
由联立，消去可得，
化简得，
所以，
当的斜率不存在时，则或，
此时，故选项C正确；
对于选项D，
因为，
则，
所以，
由，
所以①，
②，
则①②，可得，解得，
所以，故选项D正确；
故选：BCD.
【点睛】本题解题的关键一方面结合题目要求求出蒙日圆方程，建立参数间的关系式来表示面积进而利用函数求最值问题，另一方面结合椭圆定义式，向量的运算推导的关系，体现了数形结合的思想.
19．（2029·江苏盐城·校考三模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆.分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，分别与椭圆相切于两点，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的蒙日圆方程为
B．记点到直线的距离为，则的最小值为
C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为
D．的面积的最小值为，最大值为
【答案】ACD
【分析】当斜率不存在时可得点坐标，斜率存在时，将切线方程与椭圆方程联立，利用和垂直关系可构造等式求得点轨迹；结合两种情况可知A正确；利用椭圆定义将转化为，由平面几何知识可知最小值为点到直线的距离，结合点到直线距离公式可求得B错误；根据矩形为蒙日圆的内接矩形，结合基本不等式可求得C正确；推导可得过椭圆外一点的椭圆的切点弦直线方程为，当时，可求得的值；当时，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，结合弦长公式和点到直线距离公式可化简得到，结合二次函数最值的求法可求得结果，知D正确.
【详解】
对于A，当直线一条斜率为，另一条斜率不存在时，则；
当直线斜率均存在时，设，切线方程为：，
由得：，
由整理可得：，，
又，，即，，
点轨迹为；
将检验，满足，
蒙日圆的方程为，A正确；
对于B，为椭圆上的点，，
；
的最小值为点到直线的距离，又，
，，B错误；
对于C，矩形四条边均与相切，该矩形为蒙日圆的内接矩形，
设矩形的长为，宽为，蒙日圆的半径，，
（当且仅当时取等号），
此矩形面积最大值为，C正确；
对于D，设位于椭圆上半部分，即，，
在处的切线斜率，切线方程为：，
即，在处的切线方程为；
同理可得：当位于椭圆下半部分，即时，切线方程为：；
在点处的切线方程为，同理可知：在点处的切线方程为；
设，则，可知坐标满足方程，
即切点弦所在直线方程为：；
当时，，此时所在直线方程为：，
，；
当时，由得：，
由A知：，，
设，则，，
，
又原点到直线的距离，
，
令，，，则，
为开口方向向下，对称轴为的抛物线，
，，
，，
综上所述：的面积的最小值为，最大值为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
14．（2029·全国·高三专题练习）法国数学家蒙日（Monge，）发现：椭圆的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：，这个圆被称为蒙日圆．若某椭圆对应的蒙日圆方程为，则 ．
【答案】
【分析】根据题意写出椭圆对应的蒙日圆方程，可得出关于的等式，即可求得正数的值.
【详解】由已知可得椭圆对应的蒙日圆方程为，
所以，，，.
故答案为：.
15．（2029·全国·高三专题练习）若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的半径为，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】由蒙日圆定义可知在蒙日圆上，由此可根据半径构造方程求得，由此可求得椭圆离心率.
【详解】过可作椭圆的两条互相垂直的切线和，在蒙日圆上，
，解得：，
椭圆的离心率.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：
（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；
（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.
16．（2029春·吉林长春·高三长春十一高校考开学考试）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】
【分析】取椭圆的右顶点和上顶点作椭圆的两条切线，求出交点坐标，又因为在，代入可求出，再由离心率的公式即可得出答案.
【详解】由椭圆C：知，椭圆的右顶点为，
上顶点为，过作椭圆的切线，
则交点坐标为，
因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，
所以在，
所以，解得：，
则椭圆C的离心率为.
故答案为：
17．（2029·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为 .（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】由椭圆的离心率可得出，根据已知条件推导出为圆的一条直径，利用勾股定理可得出，再利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得面积的最大值.
【详解】因为，所以，，
所以，蒙日圆的方程为，
由已知条件可得，则为圆的一条直径，
由勾股定理可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，面积的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
18．（2029秋·浙江宁波·高三期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆中，离心率，左、右焦点分别是、，上顶点为Q，且，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为，求面积的最大值.
【答案】(1)椭圆C的方程为，蒙日圆的方程为
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率结合题设求得，即得椭圆方程，进而写出蒙日圆的方程；
（2）设，设过点P的切线方程为，联立椭圆方程结合判别式确定点的轨迹方程，进而利用基本不等式求得，即可求得答案.
【详解】（1）设椭圆方程为，焦距为2c.
由题意可知，
所以，椭圆C的方程为，
且蒙日圆的方程为；
（2）设，设过点P的切线方程为，
由，消去y得①，
由于相切，所以方程①的，可得：，
整理成关于k的方程可得：，
由于P在椭圆外，故，
故，
设过点P的两切线斜率为，
据题意得，，，
又因为，所以可得，
即点的轨迹方程为：，
由不等式可知：，
即，当且仅当时取等号，此时，
所以，即的面积的最大值为.
【点睛】关键点点睛：求解面积的最大值时，设出过点P的切线方程并联立椭圆方程，利用判别式为0结合根与系数的关系求得点P的轨迹方程后，关键要利用基本不等式求出，即可求解.
19．（2029·河南·校联考模拟预测）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将坐标代入椭圆方程求出，即可得解；
（2）根据题意求出蒙日圆方程为：，当直线斜率不存在时，易求出；当直线斜率存在，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，根据判别式等于求出，联立直线方程与蒙日圆方程，得、，利用、、可求出为定值.
【详解】（1）将，代入到，
可得，解得，，
所以椭圆的方程为：.
（2）由题意可知，蒙日圆方程为：.
（ⅰ）若直线斜率不存在，则直线的方程为：或.
不妨取，易得，，，，
.
（ⅱ）若直线斜率存在，设直线的方程为：.
联立，化简整理得：，
据题意有，于是有：.
设（），（）.
化简整理得：，
，
，.
则
，
，所以.
综上可知，为定值.
【点睛】难点点睛：联立直线与圆锥曲线方程时，字母运算较难，容易出错，需仔细运算.
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