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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第三章
课标要求 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。 2.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 3.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 4.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 5.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。 6.了解相似三角形判定定理的证明。 7.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 8.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 9.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章是湘教版九年级上册第三章《图形的相似》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“图形的变化”.本章内容主要围绕图形的相似性质、相似三角形的判定与性质、位似图形以及相似图形在现实生活中的应用等方面展开。本章注重知识的连贯性和系统性，将相似图形的概念与全等图形、比例线段等知识相联系，形成完整的知识体系。同时本章还强调数学与生活的联系，通过实际问题的引入和解决，让学生感受到数学的应用价值。
学情分析 学生在进入《图形的相似》这一章节之前，已经学习了图形的全等、全等三角形的性质、全等三角形的判定等相关知识，具备了一定的几何基础和逻辑思维能力。然而，相似图形与全等图形在概念上存在本质区别，学生需要克服思维定势，理解“形状相同但大小不一定相同”的图形即为相似图形。 一、学生基础： 1.学生对图形的全等、全等三角形的性质、全等三角形的判定等概念已有一定了解。 2.学生具备初步的几何直觉和逻辑推理能力。 二、学习难点： 1.理解相似图形的概念及其与全等图形的区别。 2.掌握相似三角形的判定与性质，并能灵活运用解决实际问题。 三、学习兴趣： 1.学生对与现实生活紧密相关的数学问题通常表现出较高的兴趣。 2.通过动手实验和探究活动，可以激发学生的学习兴趣和积极性。
单元目标 （一）教学目标 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。 2.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 3.通过具体实例认识图形的相似。 4.了解相似多边形和相似比。 5.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 6.学会判断两个图形是否相似。 7.掌握相似三角形的判定与性质。 8.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 9.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 10.能够运用相似图形的知识解决实际问题。通过观察、操作、猜想、验证等实践活动，培养学生的几何思维能力和图形变换能力。 11.引导学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的认知过程。 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.相似图形的定义和性质。 2.相似三角形的判定与性质。 3.相似图形在现实生活中的应用。 教学难点： 1.理解相似图形的概念及其与全等图形的区别。 2.掌握相似三角形的判定与性质，并能灵活运用解决实际问题。 3.培养学生的几何直觉和逻辑推理能力，使其能够自主探索和发现图形的相似性质。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1比例线段23.2平行线分线段成比例13.3相似图形13.4相似三角形的判定与性质63.5相似三角形的应用13.6位似2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1.1比例的基本性质1.回顾小学所学的比例的定义。 2.学生能够理解比例的基本定义。 3.掌握比例的基本性质。 4.并能运用这些性质解决简单的实际问题。能够运用比例的基本性质及推论解决问题。任务一：回顾小学所学的比例的定义。 任务二：探究并掌握比例的基本性质。 任务三：例题精讲，理解比例的基本性质的推论。 任务四：习题检测。3.1.2成比例线段1.了解线段比和成比例线段的概念，掌握比例的基本性质及其简单应用。 2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。1.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 2.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：动手测量，探究成比例线段。 任务三：求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 任务四：习题检测。3.2平行线分线段成比例1.理解并掌握平行线分线段成比例的定理及其推论。 2.能够运用定理解决实际问题，如计算线段长度、证明线段成比例等。能够运用定理解决实际问题，如计算线段长度、证明线段成比例等。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：观察图象，推论证明平行线分线段成比例的定理。 任务三：运用定理解决实际问题。 任务四：习题检测。3.3相似图形1.让学生掌握相似图形的定义和性质，理解相似比的概念，学会运用相似性质解决实际问题。 2.探究并理解相似三角形的概念和性质用相似性质解决实际问题。任务一：情境导入，利用几何直观 任务二：理解相似图形的性质 任务三：探究相似三角形的概念和性质 任务四：习题检测.3.4.1相似三角形的判定（1）1.经历相似三角形判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”的证明过程。 2.理解并掌握相似三角形的判定定理一。 3.能够利用平行线判定三角形相似，并能证明相关结论。能够利用平行线判定三角形相似，并能证明相关结论。任务一：回顾相似图形、相似三角形的定义和性质。 任务二：经历相似三角形的判定定理一的证明过程。 任务三：利用平行线判定三角形相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（2）1.理解并掌握利用两角相等判定三角形相似的定理。 2.能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣。能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（3）1.学生能够理解并掌握相似三角形的判定定理2：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。 2.学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣。学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（4）1.掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，并能熟练运用该定理判定两个三角形是否相似。 2.能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.2相似三角形的性质（1）1.使学生掌握相似三角形的性质定理及其证明方法，包括相似三角形对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 2.通过性质定理的推导和应用，培养学生的逻辑推理能力、动手实践能力和问题解决能力。学生能够熟练运用相似三角形的性质定理解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：经历相似三角形的性质定理的条件过程 任务三：运用相似三角形的性质定理解决与相似三角形相关的实际问题。 任务四：习题检测。3.4.2相似三角形的性质（2）1.学生能够理解相似三角形面积比与相似比之间的关系，即面积比等于相似比的平方。 2.学生能够掌握面积比的计算方法，并能够运用这一性质解决实际问题。能够掌握面积比的计算方法，并能够运用这一性质解决实际问题。任务一：回顾相似三角形的性质。 任务二：探究相似三角形面积比与相似比之间的关系。 任务三：运用这一性质解决实际问题。 任务四：习题检测。3.5相似三角形的应用1.进一步巩固相似三角形的性质和判定方法。 2.能够运用相似三角形的知识解决不能直接测量物体的长度和高度的实际问题。运用相似三角形的知识解决不能直接测量物体的长度和高度的实际问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：相似三角形的应用。 任务三：运用相似三角形的知识解决实际问题。 任务四：习题检测。3.6位似（1）1.学生能够理解和掌握位似图形的概念、性质和画法。 2.学生能够利用位似图形的性质解决实际问题。能够利用位似图形的性质解决实际问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解位似图形的概念、性质和画法。 任务三：利用位似图形的性质解决实际问题。 任务四：习题检测。3.6位似（2）1.理解平面直角坐标系中位似图形的定义和性质。 2.掌握位似图形在坐标系中对应点坐标的变化规律。 3.能够利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 4.引导学生经历位似图形性质的探索过程，培养他们的探究能力和问题解决能力。能够利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解平面直角坐标系中位似图形的定义和性质。 任务三：利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 任务四：习题检测。
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（湘教版）九年级
上
3.4.2相似三角形的性质（2）
图形的相似
第三章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.学生能够理解相似三角形面积比与相似比之间的关系，即面积比等于相似比的平方。
2.学生能够掌握面积比的计算方法，并能够运用这一性质解决实际问题。
3.通过观察、猜想、验证等过程，培养学生的探究能力和逻辑思维能力。
4.激发学生对数学学习的兴趣和热情，培养他们的数学素养。
5.培养学生严谨的科学态度和实事求是的精神。
新知导入
相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例.
相似三角形对应高的比等于相似比.
相似三角形对应的角平分线的比等于相似比.
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
新知讲解
如图，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，则 S△ABC:S△A′B′C′的值是
多少呢？
动脑筋
新知讲解
解：∵ △ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
∴ ===k.
分别作BC，B′C′边上的高AD，A′D′，则=k.
因此， S△ABC:S△A′B′C′==·=k·k=k2.
新知讲解
相似三角形的面积比等于相似比的平方．
解：∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC．
又= ， ∴=.
∴=()2= ，即= .
∵S四边形BCFE=8，
∴ =1.
∴ S△ABC=9.
典例精析
例11
如图，在△ABC中，EF∥BC， =，S四边形BCFE=8，求S△ABC．
解:∵ △ABC与△A′B′C′的相似比为，
∴=()2=，即S△ABC= S△A′B′C′.
又 S△ABC+S△A′B′C′=91，
∴ S△A′B′C′+S△A′B′C′= 91，
∴ S△A′B′C′=63.
典例精析
例12
已知△ABC与△A′B′C′的相似比为，且S△ABC+S△A′B′C′=91， 求△A′B′C′的面积.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如果两个相似三角形的周长之比为5：7，那么这两个三角形的面积之比为（ ）
A．5：7 B．7：5 C．25：49 D．49：25
2.如果一个三角形的三边长分别为5，12，13，与其相似的三角形的最长边为39，则较大的三角形的面积为 ．
C
270
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.证明： 相似三角形的周长比等于相似比.
解：设相似三角形的相似比为k,即===k,
则AB=k,BC=k,CA=k,
所以 = = =k.
故相似三角形的周长比等于相似比。
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4.如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（ ）
A．DE：BC＝1：2
B．ADE与ABC的面积比为1：3
C．ADE与ABC的周长比为1：2
D．DEBC
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
5.若与相似，且对应中线的比为，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
6.已知两个相似三角形的周长比为2:3，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为 ．
D
104
【综合拓展类作业】
课堂练习
已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B′C′=24cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
解：∵ △ABC∽△A′B′C′ ，
∴k==,
∴ ===k=，
∴ BC=20,AC=60-20-15=25, A′B′=18, A′C′=30.
课堂总结
相似三角形的面积比等于相似比的平方．
板书设计
证明过程：
相似三角形的面积比等于相似比的平方．
3.4.2相似三角形的性质（2）
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．若的面积为1，则平行四边形的面积为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
A
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD=2AD，CE=2AE，则下列结论：①△ABC∽△ADE；②DE∥BC；③DE：BC=1：2；④S△ABC=9S△ADE中成立的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3.如图，在中，，分别与、相交于点D、E，若，，则的值为 ．
【综合拓展类作业】
作业布置
有一个直角三角形的边长分别为 3， 4， 5， 另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7， 则另一个直角三角形的周长和面积分别是多少？
解：由题易知两直角三角形相似比为,则周长比为，面积比为，
故另一个三角形的周长为×(3+4+5)=28，
面积为××3×4=.
Thanks!
2
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分课时教学设计
第二课时《3.4.2相似三角形的性质》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《相似三角形的性质——面积比》是初中数学中的重要内容，这一部分内容是在学生已经学习了相似三角形的定义、判定以及基本性质的基础上，进一步探讨相似三角形的面积比与相似比之间的关系。面积比的学习不仅加深了学生对相似三角形性质的理解，还培养了学生的逻辑推理能力和问题解决能力。
学习者分析 九年级的学生已经具备了一定的数学基础和抽象思维能力，对相似三角形的定义和判定有了一定的了解。然而，在面积比的学习上，学生可能会遇到以下困难： 理解难度：面积比等于相似比的平方这一性质较为抽象，学生需要具备一定的逻辑推理能力才能理解。 应用困难：在实际问题中，学生需要灵活运用面积比的性质进行计算，这对学生的综合能力提出了较高要求。 因此，在教学中，教师需要注重以下几点： 通过直观演示和实例讲解，帮助学生理解面积比的性质。 引导学生多思考、多练习，培养他们的逻辑推理和问题解决能力。
教学目标 1.学生能够理解相似三角形面积比与相似比之间的关系，即面积比等于相似比的平方。 2.学生能够掌握面积比的计算方法，并能够运用这一性质解决实际问题。 3.通过观察、猜想、验证等过程，培养学生的探究能力和逻辑思维能力。 4.激发学生对数学学习的兴趣和热情，培养他们的数学素养。 5.培养学生严谨的科学态度和实事求是的精神。
教学重点 相似三角形面积比与相似比之间的关系及其证明过程。
教学难点 学生在实际问题中灵活运用面积比性质进行计算的能力培养。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾 相似三角形的性质： 相似三角形的对应角相等， 对应边成比例. 相似三角形对应高的比等于相似比. 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 动脑筋 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，则 S△ABC:S△A′B′C′的值是多少呢？ 解：∵ △ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ∴ ===k. 分别作BC，B′C′边上的高AD，A′D′，则=k. 因此， S△ABC:S△A′B′C′==·=k·k=k2. 教师讲授：相似三角形的面积比等于相似比的平方．学生活动2： 运用已学知识解决问题 认真思考 认真听讲，经历相似三角形的面积比等于相似比的平方的探究过程 认真听讲活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精析教师活动3： 例11如图，在△ABC 中，EF∥BC， =，S四边形BCFE=8，求S△ABC． 解：∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC． 又= ， ∴=. ∴=()2= ，即= . ∵S四边形BCFE=8， ∴ =1. ∴ S△ABC=9. 例12已知△ABC与△A′B′C′的相似比为，且S△ABC+S△A′B′C′=91， 求△A′B′C′的面积. 解:∵ △ABC与△A′B′C′的相似比为， ∴=()2=，即S△ABC= S△A′B′C′. 又 S△ABC+S△A′B′C′=91， ∴ S△A′B′C′+S△A′B′C′= 91， ∴ S△A′B′C′=63.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 教师讲授： 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如果两个相似三角形的周长之比为，那么这两个三角形的面积之比为（ ） A． B． C． D． 2.如果一个三角形的三边长分别为5，12，13，与其相似的三角形的最长边为39，则较大的三角形的面积为 ． 3.证明：相似三角形的周长比等于相似比. 选做题： 4.如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（ ） A．DE：BC＝1：2 B．ADE与ABC的面积比为1：3 C．ADE与ABC的周长比为1：2 D．DEBC 5.若与相似，且对应中线的比为，则与的面积比是（ ） A． B． C． D． 6.已知两个相似三角形的周长比为，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为 ． 【综合拓展类作业】 已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B′C′=24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．若的面积为1，则平行四边形的面积为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 2.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD=2AD，CE=2AE ，则下列结论：①△ABC∽△ADE；②DE∥BC；③DE：BC=1：2；④S△ABC=9S△ADE中成立的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，在中，，分别与、相交于点D、E，若，，则的值为 ． 【综合拓展类作业】 有一个直角三角形的边长分别为 3， 4， 5， 另一个与它相似的直角三角形的最小边长为 7， 则另一个直角三角形的周长和面积分别是多少？
教学反思 1.直观演示的重要性：通过直观的图形和实例展示，能够帮助学生更好地理解抽象的概念和性质。因此，在教学中应充分利用多媒体等教学工具进行直观演示。 2.探究学习的有效性：通过引导学生观察、猜想、验证等探究活动，能够激发学生的学习兴趣和主动性，培养他们的探究能力和逻辑思维能力。因此，在教学中应多设计一些探究活动让学生参与。 3.个别辅导的针对性：由于学生在理解能力和应用能力上存在差异，因此在教学中应注重个别辅导和差异化教学。对于理解困难的学生要给予更多地关注和帮助；对于能力较强的学生则要引导他们深入思考、拓展应用。
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