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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第三章
课标要求 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。 2.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 3.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 4.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 5.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。 6.了解相似三角形判定定理的证明。 7.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 8.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 9.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章是湘教版九年级上册第三章《图形的相似》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“图形的变化”.本章内容主要围绕图形的相似性质、相似三角形的判定与性质、位似图形以及相似图形在现实生活中的应用等方面展开。本章注重知识的连贯性和系统性，将相似图形的概念与全等图形、比例线段等知识相联系，形成完整的知识体系。同时本章还强调数学与生活的联系，通过实际问题的引入和解决，让学生感受到数学的应用价值。
学情分析 学生在进入《图形的相似》这一章节之前，已经学习了图形的全等、全等三角形的性质、全等三角形的判定等相关知识，具备了一定的几何基础和逻辑思维能力。然而，相似图形与全等图形在概念上存在本质区别，学生需要克服思维定势，理解“形状相同但大小不一定相同”的图形即为相似图形。 一、学生基础： 1.学生对图形的全等、全等三角形的性质、全等三角形的判定等概念已有一定了解。 2.学生具备初步的几何直觉和逻辑推理能力。 二、学习难点： 1.理解相似图形的概念及其与全等图形的区别。 2.掌握相似三角形的判定与性质，并能灵活运用解决实际问题。 三、学习兴趣： 1.学生对与现实生活紧密相关的数学问题通常表现出较高的兴趣。 2.通过动手实验和探究活动，可以激发学生的学习兴趣和积极性。
单元目标 （一）教学目标 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。 2.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 3.通过具体实例认识图形的相似。 4.了解相似多边形和相似比。 5.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 6.学会判断两个图形是否相似。 7.掌握相似三角形的判定与性质。 8.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 9.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 10.能够运用相似图形的知识解决实际问题。通过观察、操作、猜想、验证等实践活动，培养学生的几何思维能力和图形变换能力。 11.引导学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的认知过程。 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.相似图形的定义和性质。 2.相似三角形的判定与性质。 3.相似图形在现实生活中的应用。 教学难点： 1.理解相似图形的概念及其与全等图形的区别。 2.掌握相似三角形的判定与性质，并能灵活运用解决实际问题。 3.培养学生的几何直觉和逻辑推理能力，使其能够自主探索和发现图形的相似性质。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1比例线段23.2平行线分线段成比例13.3相似图形13.4相似三角形的判定与性质63.5相似三角形的应用13.6位似2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1.1比例的基本性质1.回顾小学所学的比例的定义。 2.学生能够理解比例的基本定义。 3.掌握比例的基本性质。 4.并能运用这些性质解决简单的实际问题。能够运用比例的基本性质及推论解决问题。任务一：回顾小学所学的比例的定义。 任务二：探究并掌握比例的基本性质。 任务三：例题精讲，理解比例的基本性质的推论。 任务四：习题检测。3.1.2成比例线段1.了解线段比和成比例线段的概念，掌握比例的基本性质及其简单应用。 2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。1.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 2.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：动手测量，探究成比例线段。 任务三：求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 任务四：习题检测。3.2平行线分线段成比例1.理解并掌握平行线分线段成比例的定理及其推论。 2.能够运用定理解决实际问题，如计算线段长度、证明线段成比例等。能够运用定理解决实际问题，如计算线段长度、证明线段成比例等。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：观察图象，推论证明平行线分线段成比例的定理。 任务三：运用定理解决实际问题。 任务四：习题检测。3.3相似图形1.让学生掌握相似图形的定义和性质，理解相似比的概念，学会运用相似性质解决实际问题。 2.探究并理解相似三角形的概念和性质用相似性质解决实际问题。任务一：情境导入，利用几何直观 任务二：理解相似图形的性质 任务三：探究相似三角形的概念和性质 任务四：习题检测.3.4.1相似三角形的判定（1）1.经历相似三角形判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”的证明过程。 2.理解并掌握相似三角形的判定定理一。 3.能够利用平行线判定三角形相似，并能证明相关结论。能够利用平行线判定三角形相似，并能证明相关结论。任务一：回顾相似图形、相似三角形的定义和性质。 任务二：经历相似三角形的判定定理一的证明过程。 任务三：利用平行线判定三角形相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（2）1.理解并掌握利用两角相等判定三角形相似的定理。 2.能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣。能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（3）1.学生能够理解并掌握相似三角形的判定定理2：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。 2.学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣。学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（4）1.掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，并能熟练运用该定理判定两个三角形是否相似。 2.能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.2相似三角形的性质（1）1.使学生掌握相似三角形的性质定理及其证明方法，包括相似三角形对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 2.通过性质定理的推导和应用，培养学生的逻辑推理能力、动手实践能力和问题解决能力。学生能够熟练运用相似三角形的性质定理解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：经历相似三角形的性质定理的条件过程 任务三：运用相似三角形的性质定理解决与相似三角形相关的实际问题。 任务四：习题检测。3.4.2相似三角形的性质（2）1.学生能够理解相似三角形面积比与相似比之间的关系，即面积比等于相似比的平方。 2.学生能够掌握面积比的计算方法，并能够运用这一性质解决实际问题。能够掌握面积比的计算方法，并能够运用这一性质解决实际问题。任务一：回顾相似三角形的性质。 任务二：探究相似三角形面积比与相似比之间的关系。 任务三：运用这一性质解决实际问题。 任务四：习题检测。3.5相似三角形的应用1.进一步巩固相似三角形的性质和判定方法。 2.能够运用相似三角形的知识解决不能直接测量物体的长度和高度的实际问题。运用相似三角形的知识解决不能直接测量物体的长度和高度的实际问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：相似三角形的应用。 任务三：运用相似三角形的知识解决实际问题。 任务四：习题检测。3.6位似（1）1.学生能够理解和掌握位似图形的概念、性质和画法。 2.学生能够利用位似图形的性质解决实际问题。能够利用位似图形的性质解决实际问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解位似图形的概念、性质和画法。 任务三：利用位似图形的性质解决实际问题。 任务四：习题检测。3.6位似（2）1.理解平面直角坐标系中位似图形的定义和性质。 2.掌握位似图形在坐标系中对应点坐标的变化规律。 3.能够利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 4.引导学生经历位似图形性质的探索过程，培养他们的探究能力和问题解决能力。能够利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解平面直角坐标系中位似图形的定义和性质。 任务三：利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 任务四：习题检测。
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（湘教版）九年级
上
3.4.1相似三角形的判定（1）
图形的相似
第三章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.经历相似三角形判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”的证明过程。
2.理解并掌握相似三角形判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”。
3.能够利用平行线判定三角形相似，并能证明相关结论。
4.通过观察、测量、猜想、归纳等过程，体验数学发现的过程和方法。
5.培养学生分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力。
新知导入
全等三角形的判定方法有哪些？
SSS(边边边)
SAS(边角边)
AAS(角角边)
ASA(角边角)
HL(直角边、斜边)
新知导入
什么是相似三角形？怎么判定两个三角形相似？
三个角对应相等， 且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形．
按定义判定：
∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
==
∴△ABC∽△
新知讲解
如图， 在△ABC中， D为AB上任意一点. 过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
（1）△ADE 与△ABC的三个角分别相等吗？
（2）分别度量△ADE 与△ABC的边长， 它们的边长
是否对应成比例？
（3）△ADE 与△ABC之间有什么关系？
平行移动DE 的位置， 你的结论还成立吗？
动脑筋
新知讲解
如图， 在△ABC中， D为AB上任意一点. 过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
（1）△ADE 与△ABC的三个角分别相等吗？
解：在△ADE 与△ABC中， ∠A = ∠A.
∵ DE∥ BC，
∴ ∠ADE=∠B， ∠AED=∠C.
新知讲解
（2）分别度量△ADE 与△ABC的边长， 它们的边长是否对应成比例？
解：过点 D作DF∥ AC，交BC于点F.
∵DE∥ BC，DF∥ AC，
∴=，=.
∵四边形DFCE为平行四边形，
∴DE = FC.
∴ ==.
新知讲解
（3）△ADE 与△ABC之间有什么关系？ 平行移动DE 的位置， 你的结论还成立吗？
解：∵ ∠A = ∠A,∠ADE=∠B，∠AED=∠C, ==.
∴△ADE∽△ABC.
只要 DE∥ BC， 那么△ADE与△ABC是相似的．
新知讲解
平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的三角形与原三角形相似.
几何语言：
∵DE∥ BC
∴△ADE∽△ABC
典例精析
例1
如图，在△ABC中，已知点D，E分别是AB，AC边的中点.
求证：△ADE∽△ABC.
证明 :
∵ 点D,E分别是AB、AC边的中点，
∴ DE∥ BC，
∴△ADE∽△ABC.
典例精析
例2
如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥ BC，交边AC于点E.延长DE至点F，使DE=EF.
求证： △CFE ∽△ABC .
证明 :
∵DE∥ BC，点D为△ABC边的中点，
∴AE=CE.
又DE=FE,∠AED=∠CEF,
∴△ADE≌△CFE(SAS).
∵DE∥ BC,
∴△ADE∽△ABC.
∴△CFE ∽△ABC
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如图，在中，，则下列比例式不一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.如图，平行四边形ABCD中，，，EF＝4，则AD的长为（ ）
A．8
B．10
C．16
D．
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.如图，，、相交于点E，，则 ．
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
C
4.如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
5.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
D
6.如图，已知D、E分别是的边AB、AC上的点，，，求的值．
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
解:
∵DE∥ BC,
∴△ADE∽△ABC.
∴ =
∵ ，
∴ = =
∴ =
【综合拓展类作业】
课堂练习
如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE//CB， OF// CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由.
解：∵ OE//CB ，
∴△AEO∽△ABC
∴∠AEO=∠ABC, ∠AOE=∠ACB,
,
∵ OF//CD ，
∴△AFO∽△ADC
∴∠AFO=∠ADC, ∠AOF=∠ACD,
,
【综合拓展类作业】
课堂练习
如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE//CB， OF// CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由.
续：∵ ∠AOE+∠AOF=∠ACB+∠ACD,
∴∠EOF=∠BCD.
又∠AEO=∠ABC，∠AFO=∠ADC,
，
∴四边形AEOF∽四边形ABCD
课堂总结
三个角对应相等， 且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形．
按定义判定：
∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
==
∴△ABC∽△
课堂总结
平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的三角形与原三角形相似.
利用平行线判定：
∵DE∥ BC
∴△ADE∽△ABC
板书设计
按定义判定：
利用平行线：
3.4.1相似三角形的判定（1）
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图，，则的长为（ ）
A．
B．5
C．6
D．15
C
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.如图，点O是矩形的对角线AC的中点，交于点M，若，，则的长为（ ）
A．5
B．
C．
D．
D
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3. 如图，在△ABC中，DE//BC,且DE分别交AB,AC于点D,E,M为边BC上一点，连接AM交DE于点N,则图中相似三角形的组数是( )
A.2组
B. 3组
C.4组
D.5组
B
【综合拓展类作业】
作业布置
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD的三个顶点E,F,D分别在边AB,BC,AC上.已知AC=7.5，BC=5,求正方形的边长.
解：∵四边形EFCD为正方形，
∴DE∥BC,DC=CF,
∴△ADE∽△ABC.
设DC=CF=x，则AD=AC-x=7.5-x,
∴AD:AC=DE:BC,
∴(7.5-x):7.5=x:5,
∴x=4.5.
即正方形边长为4.5.
28
Thanks!
2
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分课时教学设计
第一课时《3.4.1相似三角形的判定》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《相似三角形的判定——利用平行线》是湘教版九年级上册数学第三章《图形的相似》中的重要内容。该部分内容主要围绕相似三角形的判定展开，特别是通过平行线这一工具来判定三角形相似。此节内容不仅是相似三角形判定的基础，也是后续学习其他相似三角形判定方法的重要铺垫。
学习者分析 学生已经学习了相似多边形及其性质，对相似图形的概念有了一定的认识。且学生具备一定的动手操作能力和直观感知能力，但学生的逻辑推理和证明能力尚待提高。学生可能难以将平行线分线段成比例的基本事实灵活应用到三角形相似性的判定中。在证明过程中，学生可能会遇到线段比例关系的推理障碍。教师在教学过程中需注重引导，做到面向全体学生。
教学目标 1.经历相似三角形判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”的证明过程。 2.理解并掌握相似三角形判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”。 3.能够利用平行线判定三角形相似，并能证明相关结论。 4.通过观察、测量、猜想、归纳等过程，体验数学发现的过程和方法。 5.培养学生分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力。
教学重点 掌握利用平行线判定三角形相似的方法。
教学难点 相似三角形判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”的证明过程。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾 教师提问：全等三角形的判定方法有哪些？ 教师讲授： SSS(边边边) SAS(边角边) AAS(角角边) ASA(角边角) HL(直角边、斜边) 教师提问：什么是相似三角形？怎么判定两个三角形相似？ 教师讲授：三个角对应相等， 且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形． 按定义判定： ∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， == ∴△ABC∽△学生活动1： 回顾旧知，举手回答问题 跟随教师的讲授回顾全等三角形的判定方法 回顾相似三角形的概念，理解如何用相似三角形的概念进行判定活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 动脑筋 如图， 在△ABC中， D为AB上任意一点. 过点D作BC的平行线DE，交AC于点E. （1）△ADE 与△ABC的三个角分别相等吗？ （2）分别度量△ADE 与△ABC的边长， 它们的边长是否对应成比例？ （3）△ADE 与△ABC之间有什么关系？ 平行移动DE 的位置， 你的结论还成立吗？ 教师讲授： (1)解：在△ADE 与△ABC中， ∠A = ∠A. ∵ DE∥ BC， ∴ ∠ADE=∠B， ∠AED=∠C. (2)解：过点 D作DF∥ AC，交BC于点F. ∵DE∥ BC，DF∥ AC， ∴=，=. ∵四边形DFCE为平行四边形， ∴DE = FC. ∴ ==. (3)解： ∵∠A = ∠A,∠ADE=∠B，∠AED=∠C,==. ∴△ADE∽△ABC. 只要 DE∥ BC， 那么△ADE与△ABC是相似的． 教师讲授：平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的三角形与原三角形相似. 几何语言： ∵DE∥ BC ∴△ADE∽△ABC学生活动2： 学生认真审题，进行推理证明 巩固配方法解方程 认真听讲 认真听讲 认真听讲 理解并掌握相似三角形判定定理活动意图说明：使学生经历相似三角形判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”的证明过程。使学生通过观察、测量、猜想、归纳等过程，体验数学发现的过程和方法。环节三：例题精析教师活动3： 例1如图，在△ABC中，已知点D，E分别是AB，AC边的中点. 求证：△ADE∽△ABC. 解：证明: ∵ 点D,E分别是AB、AC边的中点， ∴ DE∥ BC， ∴△ADE∽△ABC. 例2如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥ BC，交边AC于点E.延长DE至点F，使DE=EF. 求证： △CFE ∽△ABC . 证明 : ∵DE∥ BC，点D为△ABC边的中点， ∴AE=CE. 又DE=FE,∠AED=∠CEF, ∴△ADE≌△CFE(SAS). ∵DE∥ BC, ∴△ADE∽△ABC. ∴△CFE ∽△ABC学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 教师讲授： 三个角对应相等， 且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形． 按定义判定： ∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， == ∴△ABC∽△ 教师讲授：平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的三角形与原三角形相似. 利用平行线判定： ∵DE∥ BC ∴△ADE∽△ABC 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在中，，则下列比例式不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 2. 如图，平行四边形ABCD中，，，EF＝4，则AD的长为（ ） A．8 B．10 C．16 D． 3.如图，，、相交于点E，，则 ． 选做题： 4. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 5.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ） A． B． C． D． 6.如图，已知D、E分别是的边AB、AC上的点，，，求的值． 【综合拓展类作业】 如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE//CB， OF// CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 如图，，则的长为（ ） A． B．5 C．6 D．15 2.如图，点O是矩形的对角线AC的中点，交于点M，若，，则的长为（ ） A．5 B． C． D． 3.如图，在△ABC中，DE//BC,且DE分别交AB,AC于点D,E,M为边BC上一点，连接AM交DE于点N,则图中相似三角形的组数是( ) A.2组 B. 3组 C.4组 D.5组 【综合拓展类作业】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD的三个顶点E,F,D分别在边AB,BC,AC上.已知AC=7.5，BC=5,求正方形的边长.
教学反思 教学效果：通过本节课的教学，学生能够较好地掌握平行线分线段成比例的基本事实及其在三角形中的应用，并能够利用这一基本事实判定三角形相似。同时学生的动手操作能力、观察分析能力和逻辑推理能力得到了有效锻炼和提高。 存在问题：部分学生在证明过程中存在困难，尤其是在处理复杂的线段比例关系时容易出错。还有部分学生对平行线判定三角形相似的理解还停留在表面，缺乏深入的思考和探究。 改进措施：加强学生的基础知识训练，特别是线段比例关系的推理和证明能力。并设计更多层次的探究活动和练习题，帮助学生深入理解平行线判定三角形相似的本质。
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