中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第三章
课标要求 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。 2.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 3.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 4.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 5.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。 6.了解相似三角形判定定理的证明。 7.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 8.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 9.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章是湘教版九年级上册第三章《图形的相似》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“图形的变化”.本章内容主要围绕图形的相似性质、相似三角形的判定与性质、位似图形以及相似图形在现实生活中的应用等方面展开。本章注重知识的连贯性和系统性，将相似图形的概念与全等图形、比例线段等知识相联系，形成完整的知识体系。同时本章还强调数学与生活的联系，通过实际问题的引入和解决，让学生感受到数学的应用价值。
学情分析 学生在进入《图形的相似》这一章节之前，已经学习了图形的全等、全等三角形的性质、全等三角形的判定等相关知识，具备了一定的几何基础和逻辑思维能力。然而，相似图形与全等图形在概念上存在本质区别，学生需要克服思维定势，理解“形状相同但大小不一定相同”的图形即为相似图形。 一、学生基础： 1.学生对图形的全等、全等三角形的性质、全等三角形的判定等概念已有一定了解。 2.学生具备初步的几何直觉和逻辑推理能力。 二、学习难点： 1.理解相似图形的概念及其与全等图形的区别。 2.掌握相似三角形的判定与性质，并能灵活运用解决实际问题。 三、学习兴趣： 1.学生对与现实生活紧密相关的数学问题通常表现出较高的兴趣。 2.通过动手实验和探究活动，可以激发学生的学习兴趣和积极性。
单元目标 （一）教学目标 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。 2.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 3.通过具体实例认识图形的相似。 4.了解相似多边形和相似比。 5.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 6.学会判断两个图形是否相似。 7.掌握相似三角形的判定与性质。 8.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 9.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 10.能够运用相似图形的知识解决实际问题。通过观察、操作、猜想、验证等实践活动，培养学生的几何思维能力和图形变换能力。 11.引导学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的认知过程。 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.相似图形的定义和性质。 2.相似三角形的判定与性质。 3.相似图形在现实生活中的应用。 教学难点： 1.理解相似图形的概念及其与全等图形的区别。 2.掌握相似三角形的判定与性质，并能灵活运用解决实际问题。 3.培养学生的几何直觉和逻辑推理能力，使其能够自主探索和发现图形的相似性质。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1比例线段23.2平行线分线段成比例13.3相似图形13.4相似三角形的判定与性质63.5相似三角形的应用13.6位似2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1.1比例的基本性质1.回顾小学所学的比例的定义。 2.学生能够理解比例的基本定义。 3.掌握比例的基本性质。 4.并能运用这些性质解决简单的实际问题。能够运用比例的基本性质及推论解决问题。任务一：回顾小学所学的比例的定义。 任务二：探究并掌握比例的基本性质。 任务三：例题精讲，理解比例的基本性质的推论。 任务四：习题检测。3.1.2成比例线段1.了解线段比和成比例线段的概念，掌握比例的基本性质及其简单应用。 2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。1.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 2.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：动手测量，探究成比例线段。 任务三：求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 任务四：习题检测。3.2平行线分线段成比例1.理解并掌握平行线分线段成比例的定理及其推论。 2.能够运用定理解决实际问题，如计算线段长度、证明线段成比例等。能够运用定理解决实际问题，如计算线段长度、证明线段成比例等。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：观察图象，推论证明平行线分线段成比例的定理。 任务三：运用定理解决实际问题。 任务四：习题检测。3.3相似图形1.让学生掌握相似图形的定义和性质，理解相似比的概念，学会运用相似性质解决实际问题。 2.探究并理解相似三角形的概念和性质用相似性质解决实际问题。任务一：情境导入，利用几何直观 任务二：理解相似图形的性质 任务三：探究相似三角形的概念和性质 任务四：习题检测.3.4.1相似三角形的判定（1）1.经历相似三角形判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”的证明过程。 2.理解并掌握相似三角形的判定定理一。 3.能够利用平行线判定三角形相似，并能证明相关结论。能够利用平行线判定三角形相似，并能证明相关结论。任务一：回顾相似图形、相似三角形的定义和性质。 任务二：经历相似三角形的判定定理一的证明过程。 任务三：利用平行线判定三角形相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（2）1.理解并掌握利用两角相等判定三角形相似的定理。 2.能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣。能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（3）1.学生能够理解并掌握相似三角形的判定定理2：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。 2.学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣。学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（4）1.掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，并能熟练运用该定理判定两个三角形是否相似。 2.能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.2相似三角形的性质（1）1.使学生掌握相似三角形的性质定理及其证明方法，包括相似三角形对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 2.通过性质定理的推导和应用，培养学生的逻辑推理能力、动手实践能力和问题解决能力。学生能够熟练运用相似三角形的性质定理解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：经历相似三角形的性质定理的条件过程 任务三：运用相似三角形的性质定理解决与相似三角形相关的实际问题。 任务四：习题检测。3.4.2相似三角形的性质（2）1.学生能够理解相似三角形面积比与相似比之间的关系，即面积比等于相似比的平方。 2.学生能够掌握面积比的计算方法，并能够运用这一性质解决实际问题。能够掌握面积比的计算方法，并能够运用这一性质解决实际问题。任务一：回顾相似三角形的性质。 任务二：探究相似三角形面积比与相似比之间的关系。 任务三：运用这一性质解决实际问题。 任务四：习题检测。3.5相似三角形的应用1.进一步巩固相似三角形的性质和判定方法。 2.能够运用相似三角形的知识解决不能直接测量物体的长度和高度的实际问题。运用相似三角形的知识解决不能直接测量物体的长度和高度的实际问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：相似三角形的应用。 任务三：运用相似三角形的知识解决实际问题。 任务四：习题检测。3.6位似（1）1.学生能够理解和掌握位似图形的概念、性质和画法。 2.学生能够利用位似图形的性质解决实际问题。能够利用位似图形的性质解决实际问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解位似图形的概念、性质和画法。 任务三：利用位似图形的性质解决实际问题。 任务四：习题检测。3.6位似（2）1.理解平面直角坐标系中位似图形的定义和性质。 2.掌握位似图形在坐标系中对应点坐标的变化规律。 3.能够利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 4.引导学生经历位似图形性质的探索过程，培养他们的探究能力和问题解决能力。能够利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解平面直角坐标系中位似图形的定义和性质。 任务三：利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 任务四：习题检测。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第三课时《3.4.1相似三角形的判定》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《相似三角形的判定定理2——利用两边和夹角》是湘教版九年级上册数学第三章《图形的相似》中的重要内容。相似三角形的判定定理2是对相似三角形性质的进一步探讨和深化，也是解决相关几何问题的重要工具。本节课通过具体的操作进行引入，让学生观察、分析并归纳出定理的内容。同时，教材还会注重定理的推导过程，帮助学生理解定理的本质和适用范围。此外，教材还会安排一些练习题，以巩固学生对定理的理解和掌握程度。
学习者分析 在学习《相似三角形的判定定理2——利用两边和夹角》之前，学生已经掌握了三角形的基本性质、相似三角形的概念以及相似三角形的其他判定方法。然而，对于这一新的判定定理，学生可能需要一定的时间去理解和适应。 学情上，学生可能存在以下差异： 1.部分学生能够较快地理解定理的内容，并能够熟练地运用定理解决问题。 2.部分学生可能对定理的推导过程感到困惑，需要教师的引导和帮助。 3.还有一些学生可能在解题过程中容易忽视定理的适用条件，导致错误。 因此，教师在教学过程中需要关注学生的个体差异，采用灵活多样的教学方法，以满足不同学生的学习需求。
教学目标 1.学生能够理解并掌握相似三角形的判定定理2：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。 2.学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 3.通过观察、分析、猜想和归纳等数学活动，培养学生的数学思维能力。 4.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣。 5.培养学生分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力。
教学重点 掌握相似三角形的判定定理2，并能够准确理解和运用该定理。
教学难点 定理的推导过程以及在实际问题中的灵活运用。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾 两角分别相等的两个三角形相似. 利用两角判定： ∵∠A=∠A′，∠B=∠B′ ∴ △ABC∽△ 学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 动脑筋 任意画△ABC 和△， 使∠A=∠A′， ==k. （1） 分别度量∠B和∠B′， ∠C 和∠C′的大小， 它们分别相等吗？ （2） 分别量出BC和B′C′的长， 它们的比等于k吗？ （3） 改变∠A或k的大小，你的结论相同吗？由此你有什么发现？ 已知：在△ABC和△， ∠A=∠A′， =. 求证： △ABC∽△ 教师讲授： 证明： 在△A′B′C′的边A′B′上取一点D，使 A′D=AB. 过点D作DE∥B′C′， 交A′C′于点E. ∵ DE∥B′C′ ∴△A′DE ∽△A′B′C′. ∴= 又A′D=AB, =, ∴ ==. ∴ A′E=AC. ∵∠A′=∠A ∴ △A′DE ≌△ABC(SAS). ∴ △ABC ∽△A′B′C′. 教师讲授：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 利用两边和夹角判定： ∵ ∠A=∠A′， = ∴ △ABC∽△ 学生活动2： 根据题目要求进行操作，合作交流，分享自己的发现 认真思考 经历相似三角形的判定定理2的证明过程 认真听讲 认真听讲，理解相似三角形的判定定理2活动意图说明：通过动手操作可以让学生的认知更直观，使学生亲自经历获取知识的过程，能提高对数学结论的认可程度。同时让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精析教师活动3： 例5如图， 在△ABC与△DEF中， 已知∠C=∠F=70°，AC=3.5cm， BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm. 求证： △ABC∽△DEF. 证明 : ∵ AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm ， ∴==，==， ∴=. 又∠C=∠F=70°， ∴ △ABC∽△DEF （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）. 例6如图，在△ABC中，CD 是边 AB 上的高， 且=. 求证：∠ACB=90°. 证明：∵CD是边AB上的高， ∴ ∠ADC=∠CDB=90°. 又=， ∴ △ACD ∽△CBD. ∴ ∠ACD=∠B. ∴ ∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 学生认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 学生认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 教师讲授： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 利用两边和夹角判定： ∵ ∠A=∠A′， = ∴ △ABC∽△ 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能证明的是（ ） A． B． C． D． 2.如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 3.如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件： ，使△AOB∽△COD． 选做题： 4. 如图，下列条件中不能判断和相似的是（ ） A． B． C． D． 5.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，求AD的长． 6.如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC=6，AB=5，EC=4，DB=7.求证：△ABC∽△AED． 【综合拓展类作业】 如图，在与中，，且．求证：．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( ) A． B． C． D． 2.如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE与△ACE相似，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长等于 ． 3.在中，，，，点是边上一个动点，当 时，与相似． 【综合拓展类作业】 如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF，BE. 求证：△ABE∽△DEF.
教学反思 在教学过程中，教师应注重定理的推导过程，通过引导学生经历从特殊到一般、从直观到抽象的思维过程，帮助学生深入理解定理的本质。同时教师需及时了解学生对定理的理解和掌握情况，通过课堂练习、课后作业等方式进行反馈和评估。并对学生在解题过程中出现的共性问题，进行集中讲解和个别辅导，确保每个学生都能掌握该知识点。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共25张PPT)
（湘教版）九年级
上
3.4.1相似三角形的判定（3）
图形的相似
第三章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.学生能够理解并掌握相似三角形的判定定理2：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
2.学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。
3.通过观察、分析、猜想和归纳等数学活动，培养学生的数学思维能力。
4.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣。
5.培养学生分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力。
新知导入
两角分别相等的两个三角形相似.
利用两角判定：
∵∠A=∠A′，∠B=∠B′
∴ △ABC∽△
新知讲解
任意画△ABC 和△， 使∠A=∠A′， ==k.
（1） 分别度量∠B和∠B′， ∠C 和∠C′的大小， 它们分别相等吗？
（2） 分别量出BC和B′C′的长， 它们的比等于k吗？
（3） 改变∠A或k的大小，你的结论相同吗？由此你有什么发现？
动脑筋
新知讲解
已知：在△ABC和△， ∠A=∠A′， =.
求证： △ABC∽△
证明：
在△A′B′C′的边A′B′上取一点D，使 A′D=AB. 过点D作DE∥B′C′， 交A′C′于点E.
∵ DE∥B′C′
∴△A′DE ∽△A′B′C′.
∴ =
新知讲解
续：
又A′D=AB, =,
∴ ==.
∴ A′E=AC.
∵∠A′=∠A
∴ △A′DE ≌△ABC(SAS).
∴ △ABC ∽△A′B′C′.
新知讲解
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
利用两边和夹角判定：
∵ ∠A=∠A′， =
∴ △ABC∽△
证明 :
∵ AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm ，
∴==，==，
∴=.
又∠C=∠F=70°，
∴ △ABC∽△DEF （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.
典例精析
例5
如图， 在△ABC与△DEF中， 已知∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，
BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.
求证： △ABC∽△DEF.
典例精析
例6
如图，在△ABC中，CD 是边 AB 上的高， 且=.
求证：∠ACB=90°.
证明： ∵CD是边AB上的高，
∴ ∠ADC=∠CDB=90°.
又=，
∴ △ACD ∽△CBD.
∴ ∠ACD=∠B.
∴ ∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能证明
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
C
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
C
B
A
C
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件：
，使△AOB∽△COD．
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4.如图，下列条件中不能判断和相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
C
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
5.如图， 在四边形 ABCD 中， ∠B=∠ACD， AB=6， BC=4， AC= 5， CD=7.5， 求 AD 的长．
解：∵ = = ,∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△DCA
∴ = = ,
∴AD=AC× = 。
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
6.如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC=6，AB=5，EC=4，DB=7.求证：△ABC∽△AED．
证明：∵AC=6，AB=5，EC=4，DB=7，
∴AE=10,AD=12,
∴ ==,
∵ =,∠DAE=∠CAB，
∴△ABC∽△AED.
【综合拓展类作业】
课堂练习
如图，在与中，，且．求证：．
证明：，
，
，
，
．
课堂总结
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
利用两边和夹角判定：
∵ ∠A=∠A′， =
∴ △ABC∽△
板书设计
利用两角判定：
利用两边和夹角判定：
3.4.1相似三角形的判定（3）
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( )
C
B
A
C
D
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE与△ACE相似，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长等于 ．
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3.在中，，，，点是边上一个动点，当 时，与相似．
6或
【综合拓展类作业】
作业布置
如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF，BE.
求证：△ABE∽△DEF.
证明：设AB=4k，在正方形ABCD中，AB=AD=CD=4k，∠A=∠D=90°，
∴DF=k，AE=ED=2k，
∴== ，
∴△ABE∽△DEF
24
Thanks!
2
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin
