课件15张PPT。九年级 上册 数学活动二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模 型．同时二次函数在解决一些数学问题时，也是非常 有力的工具．另外在数学能力的培养上，无论是培养 学生严谨的数学思维还是培养学生的运算能力、分析 问题解决问题的能力上，二次函数都有着不可替代的 作用．数学活动说明学习目标： 能够从数学问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决具体数学问题．
学习重点： 利用二次函数的知识解决具体数学问题．教学说明 问题1
解决二次函数实际问题你用到了什么知识？所用知 识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？1．复习二次函数解决实际问题的方法 问题2
观察下列两个两位数的积
91×99，92×98，…，98×92，99×91．2．探究与二次函数有关的数学问题 通过观察：1、你发现每组两位数有什么特征？
2、你是怎么发现的？
3、你想知道什么？
4、你的猜想是什么？ 5、你打算怎么验证猜想是正确的？、 设第一个两位数的个位上的数为 x，则第二个两位 数的个位上的数为（10 - x）．两个两位数的乘积
即，当 x = 5 时， 95 与 95 的乘积是最大值，最大值为 9 025．2．探究与二次函数有关的数学问题 问题3
观察下列两个三位数的积
901×999，902×998，…，998×902，999×901．
通过观察：1、你发现每组三位数有什么特征？
2、你是怎么发现的？
3、你想知道什么？
4、你的猜想是什么？ 5、你打算怎么验证？、
2．探究与二次函数有关的数学问题 设第一个三位数的十位上的数与个位上的数组成的数为 x ，则第二个三位数的十位上的数与个位上的数组成的数为（100 - x）．两个三位数的乘积
即，当 x = 50 时，950 与 950 的乘积是最大值，最大值为 902 500．2．探究与二次函数有关的数学问题三、归纳总结
问题4 由上面的问题，你有什么收获？
反思：实际问题中，二次函数的最大值（或最小值）一定在抛物线的顶点取得吗？1．二次函数解决实际问题的方法 2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际 意义，确定自变量的取值范围；
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大 值或最小值. 归纳： 1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当
时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值三、拓展延伸如图，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE．要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？
如图，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE．要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？如图：设矩形的宽为aAE=x , DE=a－xy = x2＋(a－x)2y = x2＋a2－2ax＋x2=2x2－2ax＋a2三、知识拓展延伸 如图，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE．要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？y = x2＋(a－x)2y = x2＋a2－2ax＋x2=2x2－2ax＋a2分析解答 （1）这节课学习了用什么知识解决哪类问题？
（2）解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问 题？
（3）学到了哪些思考问题的方法？3．小结 教科书复习题 22 第 9 题．4．布置作业1教材分析
本节课是在学习了二次函数的概念、图像及性质后，对二次函数性质的应用课。主要内容包括：运用二次函数的最大值解决最大面积的问题，让学生体会抛物线的顶点就是二次函数图象的最高点（最低点），因此，可利用顶点坐标求实际问题中的最大值（或最小值）.在最大积这个问题中，应用二次函数求最大积，是较难的实际问题。本节课的设计是从与有经验入手，让学生体会在解决问题的过程中获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。
2学情分析
在解决函数的实际问题时，要善于从实际问题的情境中抽象出数学模型，使实际问题转化为数学问题。通过数学方法解决问题。学生刚刚学习了“二次函数的概念、图象及性质”，因此，只要教师能为学生搭建一个有梯次的研究型学习的平台，学生完全有可能由对具体事例的自主分析，建立数学模型，如再经教师巧妙引领，势必会激发学生对学习的兴趣，从而体会学习的快乐。
3教学目标
1、知识与技能
通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。
2、过程与方法
通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。渗透转化及分类的数学思想方法。
3、情感态度价值观
（1）通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。
（2）在知识教学中体会数学知识的应用价值。
4重点难点
教学重点：“探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法”
教学难点“如何将实际问题转化为二次函数的问题”。
5教学过程
5.1 第一学时
教学活动
活动1【导入】一、创设情境引入课题
问题与情境
一、创设情境引入课题
问题1：观察下列每组中的两个两位数，91x99,92x98,…,98x92,99x91
问题2：观察下列每组中的两个三位数，901x999,902x998,…,998x902,999x901
2、师生活动：
你发现了什么？
教师提出问题，教师引导学生先考虑：（1）观察这些数，你发现了什么？（2）你能提出什么数学问题？（3）你有什么猜想？（4）每组中的两个数的积有什么变化规律?
关注学生是否发现两个变量，是否发现每组数中两个因数的规律的取值范围。
学生积极思考，回答问题。
3、设计意图
通过每组数的积的探究，激发学生学习兴趣。
活动2【讲授】二、分析问题解决问题
1、问题3：你能找到问题（1）、（2）猜想那个积最大吗？
2、师生活动
教师引导学生分析与每组数积有关的量，参与学生讨论。
学生思考后回答。
解：设第一个两位数的个位上的数为x，则第二个两位数的个位上的数为（10-x）．两个两位数的乘积，那么变量y与x之间的函数关系式为y=90+x[90+10-x]
即，当x=5时，95与95的乘积是最大值，最大值为9025．
画出此函数的图象如图
答：当个位上的数是5米时，两个数的积最大是9025.
问题（2）设第一个三位数的十位上的数与个位上的数组成的数为x，则第二个三位数的十位上的数与个位上的数组成的数为（100-x）．两个三位数的乘积
y=900+x[900+100-x]
即，当x=50时，950与950的乘积是最大值，最大值为902500．
3、设计意图
通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值。二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变的取值范围的确定同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分。让学生在合作学习中共同解决问题，培养学生的合作精神。
活动3【活动】三、归纳总结
1、问题4由问题（1）、（2）两个数的积的问题，你有什么收获,你能得出什么规律？
反思：实际问题中，二次函数的最大值（或最小值）一定在抛物线的顶点取得吗？
2、师生活动
师生共同归纳：可利用顶点坐标求实际问题中的最大值（或最小值）。利用函数的极值，解决实际问题，本节课所用的方法是配方法、图象法.
所用的思想方法：从特殊到一般的思想方法.
3、设计意图
引导学生反思，得出答案：“不一定.要注意自变量的取值范围.”养成良好的学习习惯。
活动4【练习】四、运用新知拓展练习
问题5如图，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE．要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？
2、师生活动
教师展示问题，学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题。
师生板书解：如图：设矩形的宽为aAE=x,DE=a－x
y=x2＋(a－x)2
y=x2＋a2－2ax＋x2
3、设计意图
通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索。让学生感受到数学的应用价值。
=2x2－2ax＋a2
活动5【测试】五、课堂反馈
1、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是多少？
2、学生自主分析：先求出面积与直角边之间的函数关系，在利用二次函数的顶点坐标求出面积的最大值．
解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x；设其面积为s.∴s=1/2x·(8-x)(0<x<8).
配方得s=-1/2(x2-8x)
=-1/2(x-4)2+8
∴当x=4时，s最大=8.
及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.
3、设计意图
教师注意学生图象的画法，学生能结合图象找出最大值．
活动6【作业】六、课堂小结布置作业
1、归纳小结（谈谈本节课的收获）
2、作业;习题26.1第9、10题
（教师引导学生谈本节课的收获，学生积极思考，发表自己的见解）
设计意图:
3、总结归纳学习内容，培养全面分析问题的好习惯。培养学生归纳问题的能力。
