第二十二章二次函数 数学活动教学设计

1教学目标
1、知识与技能
?会根据公式确定图像的顶点，开口方向和对称轴，利用极值解决简单的实际问题。
?通过对实际问题情景的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
2、过程与方法
在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神。经历利用二次函数解决实际问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受到数学的应用问题。21·cn·jy·com
3、情感态度与价值观
体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心。认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作风。www.21-cn-jy.com
2学情分析
二次函数的实际应用只设计了3个例题和一部分习题，它加强了方程等内容与函数的联系。在本章的学习中，教材已研究了二次函数及其图象和性质，让学生初步了解了求特殊二次函数最大（小）值的一些方法。本节课在巩固二次函数性质的同时，进一步让学生掌握利用二次函数知识求一些简单实际问题最大（小）值的方法，即如何获得最大利润问题，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。并通过实践体会到数学来源于生活又服务于生活。此部分内容具有承上启下的作用，既是前面所学知识的具体应用，又为学生在高中阶段进一步学习二次函数，以及用二次函数研究二次方程、二次不等式等知识奠定基础。www-2-1-cnjy-com
本节课在知识上由简单到复杂，学生经历质疑、猜想、验证的同时，在情感上，由好奇到疑惑，由解决单个问题的一点点快感，到解决整个问题的极大兴奋，产生了强烈的学习激情，教学从实际问题出发，激发学生的学习兴趣，让学生体会解决现实生活问题的快乐。掌握数学建模思想在实际问题中的应用；体现数学的实际应用价值。课堂上，教师稍加点拨，适可而止，把更多的思考空间留给了学生，学生利用学案同时也得到充分的展示，更好的完成本节的学习任务。【出处：21教育名师】
3重点难点
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数知识求出实际问题中的最值，发展解决问题的能力。【版权所有：21教育】
4教学过程
4.1 第一学时
教学活动
活动1【导入】实际问题与二次函数
一、基础扫描，知识回顾：
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是。当a>0时，抛物线开口向，顶点是它的最点，当自变量x=时，函数有最值，是；当a<0时，抛物线开口向，顶点是它的最点，当自变量x=时，函数有最值，是。21cnjy.com
2、二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是，顶点坐标是。当x=时，y的最值是。3、二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是，顶点坐标是。当x=时，y的最值是。　　21*cnjy*com
4、二次函数y=2x2-8x+9的的对称轴是，顶点坐标是。当x=时，y的最值是。
活动2【讲授】实际问题与二次函数
二、问题探究：
1、创设情境、提出问题：给你长8m的铝合金条，设问：①你能用它制成一矩形窗框吗？x②怎样设计，窗框的透光面积最大？4-x21教育名师原创作品
引导学生观察、思考、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之改变。深入探究如设矩形的一边长为x米，则另一边长为(4-x)米，再设面积为ym2,则它们的函数关系式为
（结合画图说明，让学生自主观察得出0<x<4结论；让学生体会数形结合的数学思想。）
由函数图像可知：当x=2时（属于 范围）二次函数y=-(x-2）2+4取得最大值，y最大值等于4即当设计为一边长等于2（此时矩形是正方形）时，面积最大=4(m2)
引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决，这类问题的一般解题步骤是：
?设自变量；?建立函数的解析式；
?确定自变量的取值范围；
④根据二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）。
温故知新：
（1）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少？2-1-c-n-j-y
利润=售价－进价（或=进价×利润率）；总利润=单个商品的利润×销售量。
（2）已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想每周获得6090元的利润，该商品定价应为多少元？【来源：21cnj*y.co*m】
分析：没调价之前商场一周的利润为,设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为，每周的销售量可表示为，一周的利润可表示为，要想获得6090元利润可列方程。
3、着手探究：已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；如何定价才能使利润最大？21·世纪*教育网
在学生动手探究、教师指导的基础上给出解决问题的方法。
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元。
y=(60-40+x)(300-10x)
=(20+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x2-10x)+6000
=-10［(x-5)2-25］+6000
=-10(x-5)2+6250
当x=5时，y的最大值是6250；此时定价:60+5=65（元）
强调解这类问题一般的步骤:
?列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围（0≤x≤30）；?在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
4、拓展提升（引导学生体会数形结合的思想）：市场调查反映：如调整价格时涨价不低于6元（6≤x≤30），那么如何定价才能使利润最大？又问：若调整价格时涨价不高于4元呢？（0≤x≤4）21世纪教育网版权所有
5、变式探究：已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？2·1·c·n·j·y
解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40-x)(300+20x)
=(20-x)(300+20x)
=-20x2+100x+6000
=-20［(x-2.5)2-6.25］+6000
=-20(x-2.5)2+6125（0≤x≤20）
所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元。
（学生作答，教师指导。）
活动3【活动】实际问题与二次函数
三、例练应用，解决问题（可作为学生课外练习）
（1）从地面竖直向上抛出一个小球．小球的上升高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）的关系式是h=20t-5t2。小球运动的时间是多少时，小球到达最高点？小球运动中的最大高度是多少？21教育网
（2）童装专卖店销售一种童装，已知这种童装每天所获的利润y（元）与童装的销售单价x（元）满足关系式y＝－x2＋50x－500，则要想获得每天的最大利润必须定销售单价为元。
活动4【作业】实际问题与二次函数
四、小结拓展：
本节课我们学习了二次函数的应用，在初中阶段的应用题中如果遇到求最大值问题，极有可能运用二次函数的最大值知识，而列函数式是解题的关键。【来源：21·世纪·教育·网】
这节课学习了用什么知识解决哪类问题？
2、解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？
3、学到了哪些思考问题的方法？