2024-2025学年数学人教A版必修一课时作业：基本不等式(1)（含答案）

2024-2025学年数学人教A版必修一课时作业： 基本不等式
一、选择题
1．若不等式对任意正数a，b恒成立，则实数的取值范围是( ).
A. B. C. D.
2．若,则的最小值为( )
A.4 B.9 C.12 D.21
3．已知，，记，，则M与N的大小关系为( )
A. B. C. D.不确定
4．设,则的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5．已知，且，则的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
6．若正数x，y满足，则的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7．当时，的最大值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
8．函数的最大值为( )
A. B. C. D.1
二、多项选择题
9．下列说法正确的有( )
A.若，则的最大值是
B.若，则的最小值为2
C.若a，b，c均为正实数，且，则最小值是4
D.已知，，且，则最小值是
10．已知,,且,则( )
A.的范围 B.的范围是
C. D.的最小值是
11．已知，，且，则( )
A.的最大值为 B.的最小值为9
C.的最小值为 D.的最大值为2
三、填空题
12．正数a,b满足,则的取值范围是___________.
13．已知实数x、y满足,则的最小值为________.
14．若，，且，则的最大值为______.
四、解答题
15．(1)求函数的最大值;
(2)求函数的最小值;
(3)若,且,求的最小值.
16．某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为x米.
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.
17．为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸ABCD上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报纸上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
（1）当时，求海报纸的面积；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？
18．（1）若正数x，y满足，求的最小值；
（2）求的最小值.
19．已知a，b，c均为正实数，求证：
（1）；
（2）.
参考答案
1．答案：C
解析：不等式对任意正数a，b恒成立，.
，
当且仅当时取等号，.
2．答案：C
解析：,当且仅当,即时,.
故选C.
3．答案：A
解析：因为，，所以
，当且仅当取等号，
而，
故选：A．
4．答案：D
解析：因为,所以,,
故,
当且仅当,即时,等号成立.
故选：D.
5．答案：C
解析：因为，所以
因为，，
所以，
当且仅当即时，取等号，
故的最小值为6，
故选：C
6．答案：D
解析：方法一由条件得，
由，知，
从而
，
当且仅当，即，时取等号.
故的最小值为5.
方法二对原条件式转化得，
则
，
当且仅当，，即，时取等号.
故的最小值为5.
故选：D
7．答案：B
解析：，，又，
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为1.
故选：B.
8．答案：B
解析：由于,所以,
当且仅当,即时等号成立,故最大值为,
故选：B.
9．答案：AD
解析：对于A，由可得，由基本不等式可得，
当且仅当时，即时取等号，所以的最大值为，故A正确；
对于，，
当且仅当时等号成立，但此时x无解，等号无法取得，则最小值不为2，故B错误；
对于C，由可得
，
当且仅当且，即，，时，等号成立，由于a，b，c均为正实数，则等号取不到，故C错误；
对于D，由得，即，
设，则，解得，
又，，则，
所以，
当时，即时取等号.所以最小值是.故D正确；
故选：AD.
10．答案：ACD
解析：对于A,由基本不等式,有,
当且仅当时取等号.解不等式,注意到,,
则,当时取最大值1.故A正确.
对于B,由基本不等式,可得,两不等式均当且仅当时取等号.
则,当且仅当时取等号,解不等式,注意到,,
得,此时.又,,故,
则.综上.故B错误.
对于C,因,,,
则,则.
又由,可得.
故,
当且仅当,即或时取等号.因,故取不到等号.
则.故C正确.
对于D,由C分析可知：
当且仅当,即时取等号.得的最小值是.故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BC
解析：,，，当时，即，时，可取等号，A错；
，当时，即时，可取等号，B对；
，当，时，可取等号，C对；
，D错.
故选：BC
12．答案：
解析：正数a、b满足,
,当且仅当时取等号,
,解得或（舍去）,
则,当且仅当时取等号,即的取值范围是.
故答案为：．
13．答案：
解析：因为实数x,y满足,
化为,
令,,则.
联立可得,,
则
,
当且仅当,即,时取等号.
故答案为:.
14．答案：
解析：，，由基本不等式，，即，当且仅当时等号成立.
，
即，解得，当，即，时，有最大值.
故答案为：
15．答案：(1)-1;
(2)9;
(3)9
解析：(1)由,得,
因此,
当且仅当,即时取等号,所以原函数的最大值为-1.
(2)由,得,
因此,
当且仅当,即时取等号,所以原函数的最小值为9.
(3)因为,且,
所以,
当且仅当,即时取等号,此时,,所以的最小值为9.
16．答案：(1)当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
(2)当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
解析：（1）因为体育馆前墙长为x米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为y元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功.
17．答案：（1）
（2）当海报纸宽为，长为时，可使用纸量最少
解析：（1）如图所示，由题意可得直角梯形较长的底边，
海报纸上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
，，
故海报纸的面积为.
（2）直角梯形的高为，宣传栏的面积之和为，
，
海报纸上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
，，
故
，
当且仅当，即时等号成立，
故当海报纸宽为，长为时，可使用纸量最少.
18．答案：（1）5
（2）
解析：（1）因为，，，所以，
因此
，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
所以的最小值为5.
（2）令，则，，
因此，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：左边，
当且仅当时取“=”.
故.
（2）证明：因为，当且仅当时取“=”，
所以，
所以，所以，①
同理，当且仅当时取“=”，②
，当且仅当时取“=”.③
，得，
当且仅当时等号成立.