2024-2025学年数学人教A版必修一课时作业：基本不等式(2)（含答案）

2024-2025学年数学人教A版必修一课时作业： 基本不等式
一、选择题
1．若实数a，b满足，则下列不等式中恒成立的是( )
A. B. C. D.
2．设（m，n为互不相等的正数），，则A与B的大小关系是( )
A. B. C. D.
3．记表示x,y,z中最大的数.已知x,y均为正实数,则的最小值为( )
A. B.1 C.2 D.4
4．正数a，b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．下列四个命题中，是假命题的是( )
A.，且，
B.，使得
C.若，，则
D.若，则的最小值为1
6．已知，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7．已知不等式对任意正实数x,y恒成立,则正实数的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.9
8．设且，则的最大值是( )
A.400 B.100 C.40 D.20
二、多项选择题
9．已知,,且,则( )
A.的范围 B.的范围是
C. D.的最小值是
10．若,,,则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
11．已知为正实数,,则( )
A.的最小值为4 B.的最小值为
C.的最小值为8 D.的最小值为2
三、填空题
12．正数a,b满足,则的取值范围是___________.
13．函数取得最小值时x的取值为__________．
14．如图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b的不等式表示为__________.
四、解答题
15．已知a，b，c均为正数，且.
（1）是否存在a，b，c，使得，说明理由；
（2）证明：.
16．（1）若正数x，y满足，求的最小值；
（2）求的最小值.
17．选用恰当的证明方法,证明下列不等式.
（1）已知实数x,y均为正数,求证:.
（2）已知a,b都是正数,并且,求证:.
18．(1)已知，求证：；
(2)已知，求证：.
19．(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短 最短篱笆的长度是多少
(2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大 最大面积是多少
参考答案
1．答案：A
解析：因为，所以，故A正确，B错误；，当且仅当，即时取等号，故C，D错误.
故选A.
2．答案：A
解析：因为m，n为互不相等的正数，所以，所以，，所以.故选A.
3．答案：C
解析：由题意可知：x,y均为正实数,
设,则,,,
则,
当且仅当,即时,等号成立,
又因为,
当且仅当,即时,等号成立,
可得,即,所以的最小值为2.
故选：C.
4．答案：A
解析：正数a，b满足Error! Digit expected.，
，(当且仅当时取等号).
由不等式对任意实数x恒成立，可得对任意实数x恒成立，即对任意实数x恒成立，
即对任意实数x恒成立，的最大值为3，，故选：A.
5．答案：A
解析：选A.对于A，，且,对时不成立；
对于B，当时，，，成立，正确；
对于C，若，，则，化为，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故y的最小值为1，D正确.
故选：A.
6．答案：B
解析：因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以.
因为，
令，则，，
所以，
由对勾函数在上单调递增，则当时函数取到最小值，
所以当时，，
所以.
故选：B.
7．答案：D
解析：因为,当且仅当且,时取等号,
所以,整理得,解得,故正实数的最小值为9.
故选:D.
8．答案：A
解析：因为
所以
即
所以
当且仅当且，即时等号成立.
故选：A
9．答案：ACD
解析：对于A,由基本不等式,有,
当且仅当时取等号.解不等式,注意到,,
则,当时取最大值1.故A正确.
对于B,由基本不等式,可得,两不等式均当且仅当时取等号.
则,当且仅当时取等号,解不等式,注意到,,
得,此时.又,,故,
则.综上.故B错误.
对于C,因,,,
则,则.
又由,可得.
故,
当且仅当,即或时取等号.因,故取不到等号.
则.故C正确.
对于D,由C分析可知：
当且仅当,即时取等号.得的最小值是.故D正确.
故选：ACD.
10．答案：BD
解析：因为,则,当且仅当时取等号,故A错误;
因为,当且仅当时取等号,故B正确;
令,则不成立,故C错误;
因为,当且仅当时取等号,故D正确.
故选：BD.
11．答案：BCD
解析：对A:因为a,b为正实数,且,所以,因为,所以,故A错误.
对B:因为a,b为正实数,且,所以（）.
所以（当且仅当,即,时取“”）,故B正确;
对C:因为（都是当且仅当时取“”）,故C正确;
对D:因为,,故,,所以（当且仅当时取“”）,故D正确.
故选:BCD
12．答案：
解析：正数a、b满足,
,当且仅当时取等号,
,解得或（舍去）,
则,当且仅当时取等号,即的取值范围是.
故答案为：．
13．答案：
解析：,,当且仅当时取“=”.
故答案为：.
14．答案：
解析：题图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，面积.题图(2)是一个矩形，面积，可得.
15．答案：（1）不存在，理由见解析
（2）证明见解析
解析：（1）不存在a，b，c，使得.理由如下：
因为a，b，c都是正数，且，所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
即的最小值为，
所以不存在a，b，c，使得.
（2）因为
，当且仅当时等号成立，
所以.
16．答案：（1）5
（2）
解析：（1）因为，，，所以，
因此
，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
所以的最小值为5.
（2）令，则，，
因此，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）证明见解析.
解析:（1）,
又因为,,所以,,
由基本不等式得,,当且仅当时,取等号,
即时取等号,所以.
（2）
因为a,b都是正数,所以,
又,所以,所以,
所以,即.
18．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)，，相加即得证.
(2)，，，相加即得证.
19．答案：(1)当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m
(2)
解析：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为.
(1)由已知得，由，可得，所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m；
(2)由已知得，则，矩形菜园的面积为.
由，可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.