2024-2025学年数学人教A版必修一课时作业：基本不等式(3)（含答案）

2024-2025学年数学人教A版必修一课时作业： 基本不等式
一、选择题
1．若实数a，b满足，则下列不等式中恒成立的是( )
A. B. C. D.
2．设（m，n为互不相等的正数），，则A与B的大小关系是( )
A. B. C. D.
3．当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．正数a，b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．已知,,且,则xy( )
A.有最大值为1 B.有最小值为1 C.有最大值为 D.有最小值为
6．若实数x，y满足，，则n的最小值为( )
A.2 B.8 C.9 D.12
7．已知正数a，b，c满足，，则c的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．已知x，y为正实数，且，则的最小值是( )
A.2 B.4 C.8 D.16
二、多项选择题
9．已知,,且,则( )
A.的范围 B.的范围是
C. D.的最小值是
10．已知，，当时，不等式恒成立，则m的值可以是( )
A.1 B. C.2 D.
11．已知，，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．正数a,b满足,则的取值范围是___________.
13．若两个正实数x,y满足,且存在这样的x,y使不等式有解,则实数m的取值范围是___________.
14．若,,,则的最小值为____________.
四、解答题
15．（1）当且时,求函数的最小值.
（2）当时,求函数的最大值.
16．（1）若正数x，y满足，求的最小值；
（2）求的最小值.
17．设为正实数，且，求证
（1）设长为x米，矩形的面积为S平方米，试求S与x的关系式.
（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求最小面积.
18．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体形状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅栏，每米造价为40元，两侧墙砌砖，每米造价为45元，顶部每平方米造价为20元.
（1）仓库面积S的最大允许值是多少？
（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么铁栅栏应设计为多长？
参考答案
1．答案：A
解析：因为，所以，故A正确，B错误；，当且仅当，即时取等号，故C，D错误.
故选A.
2．答案：A
解析：因为m，n为互不相等的正数，所以，所以，，所以.故选A.
3．答案：D
解析：当时,,故,当且仅当,即时等号成立,
所以不等式恒成立,故,故,
故选：D.
4．答案：A
解析：正数a，b满足Error! Digit expected.，
，(当且仅当时取等号).
由不等式对任意实数x恒成立，可得对任意实数x恒成立，即对任意实数x恒成立，
即对任意实数x恒成立，的最大值为3，，故选：A.
5．答案：C
解析：,,且,
,
当且仅当,即,时,取等号,
故xy的最大值是:,
故选:C.
6．答案：C
解析：因为，若，则，又，显然不成立，即，同理可得，即且，
又，
当且仅当，即，时取等号，则n的最小值的和为9.
故选：C.
7．答案：A
解析：因为，所以，
又，所以，所以，
所以，
又，当且仅当时等号成立，
所以，解得.
故选：A.
8．答案：C
解析：因为，所以，而x，y为正实数，
所以，
当且仅当，时取等号，故的最小值为8.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A,由基本不等式,有,
当且仅当时取等号.解不等式,注意到,,
则,当时取最大值1.故A正确.
对于B,由基本不等式,可得,两不等式均当且仅当时取等号.
则,当且仅当时取等号,解不等式,注意到,,
得,此时.又,,故,
则.综上.故B错误.
对于C,因,,,
则,则.
又由,可得.
故,
当且仅当,即或时取等号.因,故取不到等号.
则.故C正确.
对于D,由C分析可知：
当且仅当,即时取等号.得的最小值是.故D正确.
故选：ACD.
10．答案：CD
解析：，
当且仅当时，等号成立.
因为不等式恒成立，所以，
整理得，又，所以，即.
所以实数m的取值范围是.故选CD.
11．答案：BCD
解析：由基本不等式可得，故，当且仅当时等号成立，故A错误；，当且仅当时等号成立，故B正确；，故，故C正确；，当且仅当时等号成立，故，故D正确.
12．答案：
解析：正数a、b满足,
,当且仅当时取等号,
,解得或（舍去）,
则,当且仅当时取等号,即的取值范围是.
故答案为：．
13．答案：
解析：因为两个正实数x,y满足,
两边同除以xy得,
故,
当且仅当,即,时,等号成立,
则的最小值为4.
若不等式有解,则,
解得或,
所以实数m的取值范围是．
故答案为：.
14．答案：4
解析：易知,
当且仅当,时,等号成立;
即的最小值为4;
故答案为：4.
15．答案：（1）;
（2）
解析：（1）,
当且仅当即即时取得等号.
所以的最小值为.
（2）,
因为,所以,
所以,
所以,
所以,
即,
当且仅当,解得时取得等号,
所以函数的最大值为.
16．答案：（1）5
（2）
解析：（1）因为，，，所以，
因此
，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
所以的最小值为5.
（2）令，则，，
因此，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
17．答案：由得
所以.
解析：
18、
（1）
（2）
当的长为8米时,矩形的面积最小,最小面积为96平方米
19．答案：（1）100
（2）15米
解析：（1）设铁栅栏长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积平方米.
由题意，知，
由基本不等式，得（当且仅当时取等号），
，即，
.由题意知，
故，从而.
故仓库面积S的最大允许值是100.
（2）S取得最大值100的条件是，且，
解得，即铁栅栏应设计为15米.