直线和圆的位置关系 学情分析
本章是在学习了直线图形的性质的以及小学学过圆的知识的基础上，进一步系统的研究这种特殊的曲线图形。在经历了探索点和圆位置关系之后，学生初步体会了数形结合的数学思想，初步形成了探索的方法、具备了独立探索的能力。所以，在探索直线和圆位置关系时学生会类比点和圆位置关系进行探索，但预计部分学生会照搬点和圆位置关系套用在直线和圆位置关系上，另一部分学生则会在独立探索和交流的过程中发现这种位置关系与点和圆位置关系的区别，从而类比点和圆的位置关系进一步探索直线和圆的位置关系，所以本节课的重点应是探索直线和圆的位置关系，而理解和灵活运用判定直线和圆的位置关系的方法则是本节课的难点。针对这种情况，教师应该在教学设计上重视知识之间的联系与综合，给学生充分的时间进行探索交流，暴露学生的思维过程，及时掌握学生的认知情况。
直线和圆的位置关系 效果分析
本节课是以学生的自主探究为主，就是在教师的引导下，学生从已有的学习经验出发，经历观察、猜想、操作、发现、总结的过程，获得结论，并应用获得结论解决问题。教师创设实际情境激发学生的学习兴趣，引导学生运用类比的方法研究问题，体会转化和数形结合的数学思想，利用问题的提出和积极的评价语言调动学生的积极性和参与程度，从而达到师生共同探索、归纳、解决问题的目的。通过本节课的学习，学生不仅能够理解直线和圆的三种位置关系，而且能够灵活运用判定直线和圆的位置关系的方法解决有关的几何问题，此外，学生在利用类比方法探索直线和圆位置关系的过程中，形成了探究同类问题的一般方法，为学习圆和圆的位置关系打下了思想方法的基础，并体会了转化和数形结合的思想。
通过这节课的教学，力图达到以下三个目标：一是知识目标，就是使学生理解概念，掌握性质和判定并能够利用它们分析问题和解决问题；二是能力目标，培养学生运用迁移、联想、类比、化归、数形结合等数学思想方法发现问题解决问题的能力和创新能力；三是情感目标，通过学生的主动参与，在学会数学的过程中向“会学”的方向发展，培养运动、变化、发展的辨证唯物主义观点。
《直线和圆的位置关系》教学设计
课题
24.2.2直线和圆的位置关系
课型
新授课
班级
临淄二中九年级（2）班
执教
单位
山东省淄博市临淄区第二中学
姓名
张文超
时间
2015.3
课堂
流程
环节
具 体 内 容
设计意图
一
学习
目标
及重
难点
1.
教学 任务
分析
1.知识目标：理解直线和圆相交、相切、相离的有关概念；直线和圆的位置关系的判定和性质；能根据公共点的个数、圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系来判断直线和圆的位置关系。
2.能力目标：体验数学活动中的探究与创造，运用直线和圆的位置关系分析问题，解决实际问题。通过对直线和园得位置关系的探究，向学生渗透类比、分类、数形结合转化的思想，培养学生观察、猜想、分析、抽象、概括及逻辑推理和视图的能力。
3.情感目标：注意学生勇于实践，勤于思考的心理体验。渗透数学源于生活实践，又应用于生活实践的相互统一，相互转化及运用运动变化的观点认识事物等辩论唯物主义观点。
教学重点：经历探索直线与圆位置关系的过程，理解直线与圆的三种位置关系；
教学难点：归纳总结及应用直线与圆的三种位置关系，解决问题．
教学方法：1.教师通过课件展示，组织学生自主观察分析，引导学生归纳，概括。
2.在教师的组织下，以学生为主体，合作探究教学。
二
教学
流程
安排
2.
创设 情境，
导出
课题
同学们：
你们都骑过自行车吧？即使有些同学没有骑过自行车，也都做过汽车吧？无论骑自行车还是坐汽车，我们都会有一个共同的感受：当车在平坦的路面上行驶时，我们会感到比较平稳，相反，当车在凹凸不平的路面上行驶时，我们会感到比较颠簸。这一现象，除物理因素外，还可以用我们平面几何中的某些知识加以解释。今天这节课我们就来学习与之相关的内容：直线和圆的位置关系。（板书课题）
由现实中的实际问题入手，设置情景问题，激发学生的兴趣，导出本课的主题。
3.
启发引导，
形成
概念
1.请观看山地车越野赛中运动员的比赛路径视频，请学生思考：自行车行驶的过程中，车轮和地面水平线间有哪些位置关系？
2.观察山地车的一个轮子与凹凸地面的静止画面：
回答问题：（1）车轮和地面水平线间有哪些位置关系？
（2）车轮在不同的位置关系上和水平线公共点的个数有几种情况？
3.由直线和圆公共点的个数定义出直线和圆的位置关系：
当直线和圆没有公共点时，直线和圆相离．
当直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交，两个公共点叫做交点，这条直线叫割线．
当直线和圆有唯一公共点时，直线和圆相切，这个唯一的公共点叫做切点，这条直线叫切线．（强化切线的定义，要让学生理解“唯一”即“有一个且只有一个”的意思。）
4.考虑回答：（1）相切和切线是不是同一个概念？
（2）当直线和圆有公共点时，这条直线和圆的位置关系是相切的，这种说法对么？
5.举例说明：你能举出生活中直线和圆相交、相切、相离的实例吗？
（日出动画演示）
1.通过视频，让学生寻求直线和圆的不同位置关系，为具体内容的讲解做好铺垫。
2.为学生提供参与活动的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发学生的好奇心与求知欲，引导学生找出直线和圆不同情况下公共点的个数。
3、通过学生思考直线和圆公共点的个数如何让定义出直线和圆的位置关系。先让学生猜想，进而给出定义；
4、通过学生的回答，加深对概念的理解。
5.举例说明，提升能力，培养情操。
4.
类比探究，
揭示
本质
1.类比点和圆的位置关系，请思考直线和圆的三种位置关系，如何用数量来描述?（借助几何画板）
2.得到另一种判定直线和圆位置关系的方法：（ d指圆心到直线的距离， r指圆的半径。）
3、从左到右的过程是直线和圆位置关系的性质，从右到左的过程是直线和圆位置关系的判定。也可以理解为“ 形 —— 数 ”。
1.运用类比的方法，通过学生做实验，合作探讨，得出判定直线和圆的位置关系的数量关系。老师再通过演示，更好地说明决定直线和圆的位置关系的关键所在；
2.让学生自己作出判断，并概括和叙述，有利于提高学生的语言表述能力。提出问题，让学生思考；
3、理解关系，提升能力。
5.
体会新知，
巩固
深化
1.现在回到我们引入的问题上来：车的行驶是否平稳与路面有关呢？
1.运用新知识，解决生活中的问题，提升应用能力。让学生感受实际生活中存在着许多直线和圆的位置关系。
三
精选
习题
设计
6.
知识应用，
尝试
练习
题组一：
1．圆的直径是11cm，如果直线与圆心的距离分别是：（1）4.5cm （2）5.5cm （3）8cm. 判断圆与直线的位置关系.
2．已知直线l与半径r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为7，求r的取值范围.
题组二：
1．已知⊙O的半径R＝ cm，点O到直线的距离为d，如果直线l与⊙O有公共点，那么 ( ) .
A.d = cm B.d ≤ cm
C.d ＞ cm D.d ＜ cm
2．已知⊙O半径是6cm，点P在直线l上，且OP＝6cm，判断直线l与⊙O的位置关系.
题组三：
已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm .
（1）以点C为圆心作圆，当半径的长是多少时，线段AB与⊙C 相切（2）以点C为圆心，分别以2cm和2.5cm作圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？
（3）若以点C为圆心，R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，求R的取值范围.
题组一：培养学生运用知识的能力，第1小题是进一步运用直线和圆位置关系的判定来解决问题；第2小题是运用直线和圆位置关系的性质来确定r的取值范围；
题组二：渗透分类讨论的思想；
题组三：第（3）问难度较大，借助几何画板，帮助学生独立分析问题，得出问题正确答案。
四
点拨
升华
提高
7.反思小结，
培养
能力
1.请多个同学回答：
2.运用到的数学思想：类比思想、数形结合、分类讨论.
3.观察相切的图形，你有什么新发现？如何画出一个圆的切线？
（切线的性质及判定）
1.让同学在同学间的回答过程中有一个检验自己达成度的机会；让老师有一个检验自己达成度的机会；
2.给一些有自己独特见解的同学发言的机会，学新知，用旧知，明类别，得其法；
3.为下节课的学习埋好伏笔。
五
课堂
作业
设置
8.
分层作业，
呼应
目标
必做题：
1．已知⊙O的直径为10cm，如果圆心到一条直线的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ）.
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
2．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，这个圆与线段AB的位置关系是 ．
选做题：
已知：在直角坐标系中，⊙A的半径为2，点A（a，0）在x轴上移动.
（1）当⊙A与y轴是相离时，a的取值范围是 ；
（2）当⊙A与y轴是相切时，a的取值范围是 ；
（3）当⊙A与y轴是相交时，a的取值范围是 。
学生独立运用所学知识解题，培养学生解决问题的能力。
9.
挑战 接招
探究题
如果车的轮子做成正方形，还要确保我们坐车时感到比较平稳，那么路面需要设计成什么形状？
数学来源于生活，运用于实践。
六
板书
设计
24.2.2 直线和圆的位置关系
学生习题
板演区
课件16张PPT。直线和圆的位置关系授课人：张文超单位： 临淄区第二中学山地车的一个轮子与凹凸地面的静止画面当直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交，两个公共点叫做交点，这条直线叫割线．
当直线和圆没有公共点时，直线和圆相离．
当直线和圆有唯一公共点时，直线和圆相切，这个唯一的公共点叫做切点，这条直线叫切线． 你能举出生活中直线和圆相交、相切、相离的实例吗？
类比点和圆的位置关系，请思考直线和圆的三种位置关系，如何用数量来描述?
直线和圆相离直线和圆相交直线和圆相切dddd ＞ rd = rd ＜ r设圆心O到直线l 的距离为d，圆的半径为r 为什么车的行驶是否平稳会和路面有关呢？回到我们刚才的问题上来： 1．圆的直径是11cm，如果直线与圆心的距离分别是：（1）4.5cm （2）5.5cm （3）8cm. 判断圆与直线的位置关系. 2．已知直线l与半径r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为7，求r的取值范围.题组一2．已知⊙O半径是6cm，点P在直线l上，且OP＝6cm，判断直线l与⊙O的位置关系.
1．已知⊙O的半径R＝ cm，点O到直线的 距离为d，如果直线l与⊙O有公共点，那么 ( ) .
A.d= cm B.d≤ cm
C.d＞ cm D.d＜ cm题组二 （2）以点C为圆心，分别以2cm和2.5cm作圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？ 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm , AB=5cm.
（1）以点C为圆心作圆，当半径的长是多少时，AB与⊙C 相切？ （3）若以点C为圆心，R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，求R的取值范围.题组三直线和圆的位置关系 你有哪些收获呢？直线和圆的位置关系 运用到的数学思想：类比思想数形结合分类讨论观察：直线和圆相切 你有什么发现？必做题：
1．已知⊙O的直径为10cm，如果圆心到一条直线的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ）.
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
2．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，这个圆与AB的位置关系是 .
选做题：
已知：在直角坐标系中，⊙A的半径为2，点A（a，0）在x轴上移动.
（1）当⊙A与y轴是相离时，a的取值范围是 ；
（2）当⊙A与y轴是相切时，a的取值范围是 ；
（3）当⊙A与y轴是相交时，a的取值范围是 .
直线和圆的位置关系 教材分析
本节课研究了直线和圆的位置关系其本质在于研究事物间的关系，并且教学过程从实际生活中抽出实例，用运动的观点观察解决问题，充分的培养了学生勇于实践，勤于思考的心理体验。渗透数学源于生活实践，又应用于生活实践的相互统一，相互转化及运用运动变化的观点认识事物等辩论唯物主义观点。
圆的学习是平面几何学习进一步的深入和发展，是在学习三角形、四边形等基本图形的基础上展开的。在这一章中，主要研究点和圆、直线和圆、圆和圆、正多边形和圆等内容，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，从知识的循序渐进角度可知，它既可以巩固点和圆的位置关系的知识，又是圆和圆、正多边形和圆这两阶段内容的基础，切线的判定与性质、切线长定理等这些重要的内容都与这节课接受的程度有着密切的关联。
本节的内容紧接点与圆的位置关系，体现了运动的观点，研究了有关性质及判定，揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，也为今后高中继续学习几何知识作铺垫。圆的有关性质，被广泛地应用于工农业生产、交通运输等方面，学好本章内容，能提高解决实际问题的综合能力。通过直线与圆的相对运动，揭示直线与圆的位置关系，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点，通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和化归思想的认识。因此，直线和圆的位置关系在圆一章中起着承上启下的作用。圆的教学在平面几何中乃至整个中学教学都占有重要的地位。
直线和圆的位置关系 观评记录
我讲的是《直线和圆的位置关系》一课，可以说非常成功。教学设计充分体现新的教学理念，重点突出、层次清楚、构思新颖，以“探究过程，探究方法，探究结果，运用结果”为主线安排教学进程，高度重视学生的主动参与、亲自操作，让学生从中去体验学习知识的过程，同时，也培养学生的自主学习能力和创新意识。
我们数学组认为有以下几个亮点：
亮点一：由由生活中的情景——切割钢管引入，学生比较感兴趣，充分感受生活中反映直线与圆位置关系的现象，让学生真正感受到生活之中处处有数学。
亮点二：多媒体的使用恰倒好处，动画设置，形象直观，有效地降低了抽象思维的难度。
亮点三：韩老师在学完新知以后安排了一道实际问题：“经过两村庄的笔直公路会不会穿越一个圆形的公园？”使本节课得到升华，进一步培养了学生解决实际问题的能力。使乏味的数学学习变得有滋有味。
亮点四： 在学习知识的同时，注意数学思想方法的渗透。在教学中，数学知识是一条明线，得到数学教师的重视，数学思想方法是一条暗线，容易被教师所忽视。但韩老师在学生学习的同时，教给学生思考方法、学习方法和解决问题的方法，为学生未来发展服务，让学生在脑海里留下数学意识，长期下去，学生将终身受用。
亮点五：板书条理分明，布局合理，文字与图形完美结合，这样设计不仅让学生对直线和圆三种位置关系图形的特征一目了然，而且也便于揭示它们之间的区别和联系。体现板书的形式美和简洁美，真正使板书起到了画龙点睛的作用。
同时，我组教师也感觉到本节课的设计还有值得探讨的问题：
一：学生观察得到直线和圆的三种位置关系后，是由老师讲解的三个概念，学生被动的接受，对概念的理解不是很深刻，可以改为让学生下定义，师生共同讨论的形式。
二：虽然本节课体现了让学生自主操作探究的原则，但在让学生探索直线和圆三种位置关系所对应的数量关系时，没有给予学生足够的探索、交流的时间，限制了学生的思维。此处应充分发挥小组的特点，让学生相互启发讨论，形成思维互补，集思广益，从而使概念更清楚，结论更准确。
当堂达标训练
班级： 姓名： 等级： 日期：
必做题：
1．已知⊙O的半径为3cm，如果圆心到一条直线的距离为3cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ）.
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
2．已知⊙O的直径为10cm，如果圆心到一条直线的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ）.
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
3．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8cm，AC=4cm．（1）以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，这个圆与AB的位置关系是 ；（2）以点C为圆心，以4cm的长为半径作圆，这个圆与AB的位置关系是 ．
选做题：
已知：如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，点A（a，0）在x轴上移动.
（1）当⊙A与y轴是相离时，a的取值范围是 ；
（2）当⊙A与y轴是相切时，a的取值范围是 ；
（3）当⊙A与y轴是相交时，a的取值范围是 ；
直线和圆的位置关系 课后反思
在《直线和圆的位置关系》这节课中，我由生活中的情景——自行车轮与凹凸地面水平线间的位置关系，让学生发现地平线和车轮位置关系的变化，从而分析归纳出直线和圆的位置关系。紧接着引导学生探索三种位置关系下圆心到直线的距离与圆半径的大小关系，并联系实际，让学生找出日常生活中存在的直线和圆相交、相切、相离的现象，又回到刚才的问题：为什么车的行驶是否平稳会和路面有关系？最后去解决实际问题。充分体现数学来源于生活，并运用于实践。下面我来具体说一说学习新知的过程中存在的困难：
1、重视定义的形成和概括过程：
“直线与圆的位置关系”是由公共点的个数来定义的。定义的教学是在教师引导下，通过学生观察、思考、交流、概括等探究活动亲身经历概念的形成过程，形成新知识的建构。首先通过观看山地车越野赛中运动员的比赛路径视频，请学生思考：自行车行驶的过程中，车轮和地面水平线间有哪些位置关系？从而引导学生揭示出直线与圆的位置关系与公共点的个数之间存在着对应关系的本质特征。这里，我并没有急于抛出定义，而是通过引导学生归纳概括下定义上下工夫，一问：直线与圆有三个或三个以上公共点吗？二问：通过刚才的研究，你认为直线和圆的位置关系可分为几种类型呢？分类的标准是什么？定义的教学不只是以直接感知教材为出发点，而是力图还原定义的形成过程，这样既加深了学生对定义本身的理解，又提高学生对定义形成过程中所涉及的思想、方法的认识。
2、重视直线和圆的位置关系判定——数形结合方法的发现和总结应用过程：
本课内容的第二个知识点是运用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判定直线与圆的位置关系，并反过来得到直线与圆的位置关系下所具有的数量特征。难点是如何引导学生去发现隐含在图形中的这两个数量并加以比较，为此，我设计了一个问题串，以问题为导向，以探究问题的方式引导学生自学自悟，为学生提供了自主思考合作探究的平台，碰撞出创新思维的火花。
引导1：通过刚才定义的研究我们知道，利用公共点的个数可以判定直线与圆的位置关系，请同学想一想，能否像判定点与圆的位置关系那样，通过数量关系来判定直线与圆的位置关系？
引导2：点与圆的位置关系的判定运用了哪两个数量之间的关系？直线与圆的位置关系呢？可以运用那两个数量之间的关系来判定？
引导3：如何用图形来反映半径和圆心到直线的距离这两个量呢？
并在得到位置和数量关系后，让学生考虑回答以下两个问题：
（1）相切和切线是不是同一个概念？
（2）当直线和圆有公共点时，这条直线和圆的位置关系是相切，这种说法对么？
（3）你能举出生活中直线和圆相交、相切、相离的实例吗？
通过以上问题，学生不仅加深了对判定直线与圆的位置关系的方法的理解，更重要的是使学生学会运用联想、化归、数形结合等思想方法去研究问题，这无疑促进学生在学会数学的过程中顺利地向“会学”的方向发展。而板演在这里的作用在于把“形”和“数” 的关系及其变化动态呈现在黑板上，成为学生探索验证的好帮手。
3、充分尊重学生的主体地位：
教学设计应为学生自主学习，实现知识的建构服务。这节课为学生提供了大量问题情境、活动方式，使学生通过“观看视频，探索新知”“类比探究，动手操作”“回归生活，感知用知”“拓展运用，知识内化”充分地实践与探索，不断地归纳与总结，引导学生发现规律、拓展思路。而多媒体、几何画板的介入，为学生实现“意义建构”创设了更为逼真的“情景”，改善了认知环境，有利于提高课堂效率，有利于学生思维和技能的训练。如题组三第（3）问若以点C为圆心，R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，求R的取值范围.较难突破。
此题重在强调判定方法中圆心到直线的距离，利用几何画板演示，更直观地说明：圆与直线交点的个数，并通过此题提高了学生思维的深刻性和批判性。
4、重视规律的揭示和提炼过程：
单一数学知识的教学可以在短期内完成，数学技能也可通过强化训练形成，而掌握学习的规律是一个循序渐进的过程，我认为教师在教学过程中应增强揭示规律的意识，引导学生从学习、研究的过程加以提炼，通过日积月累产生认识的飞跃。因此，在总结与提升中，我让学生谈收获和体会以及这节课所运用的数学思想方法，并让学生观察相切这一位置关系的图形，说说发现？提出更高要求：如何画一个圆的切线？这一设计的做法虽小，作用却大，它使学生的认识上升到一个新的高度。也确保了学生在学会数学的过程中顺利地向“会学”的方向发展。以引导学生得出切线的判定和性质，从而为下一节课的学习做好铺垫。
5、拓宽学习的时间和空间：
课后作业的设计不仅要达到巩固知识的目的，更重要的具是有研究性和探索性。本节的课后作业有一道探究价值的题目：如果车的轮子做成正方形，还要确保我们坐车时感到比较平稳，那么路面需要设计成什么形状？
学生需通过动手动脑来完成，使学生的探索精神由课内延伸到课外。多媒体课件的作用在于通过圆的半径的动态变化，为学生研究直线与圆的位置关系提供思路和分类方法。
直线和圆的位置关系 课标分析
新课程标准对这节课的要求是：理解直线和圆的位置关系的定义，掌握直线和圆的位置关系的性质和判定。
依据新课程标准和本节课的地位、作用，我对本节课标进行如下解析：
1、知识技能：先通过观看山地车越野赛中运动员的比赛路径视频，直观猜测直线和圆的位置关系，然后进行独立思考和探索，最后归纳为直线和圆的公共点的个数来判断直线和圆的位置关系。类比点和圆位置关系的探索过程，发现：也可以利用圆心到直线的距离和半径的大小来判断直线和圆的位置关系，探索过程中给学生充分的时间思考、交流、展示，让学生在思维展示的过程中发现并完善探索的结论。
2、数学思考：利用学生已有的学习点和圆的位置关系的经验，类比探索直线和圆的位置关系，把直线和圆的位置关系转化成与点和圆的位置关系相类似的等价式，即转化为圆心到直线的距离和半径的数量关系，在这一过程中，既利用了类比的学习方法，又渗透了分类讨论、转化以及数形结合的数学思想并提高了观察、比较、概括的逻辑思维能力以及用数学语言表述问题的能力。
3、解决问题：以变式练习为载体，分析已知条件和所求并明确每一个练习的解题依据，提高分析问题和灵活应用知识解决问题的能力。
4、情感态度：以几何画板为平台在运动变化的过程中体会由量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学的美。培养学生观察、分析和概括的能力。向学生渗透类比、分类、数形结合的思想，在数学探究学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，提高自信心。
