一元二次方程复习
临淄二中 赵亚
学情分析：
学生的知识技能基础：学生在七年级和八年级已经学习了一元一次方程、二元一次方程以及一次函数的相关知识及应用，在一元二次方程的学习中，又学习了一元二次方程的相关解法，初步体会了一元二次方程在解决实际问题中的具体应用，具备了利用数学知识解决实际问题的能力；但没有形成整章的知识框架，不能在综合性题目中熟练地应用。应对中考能力上还是有所欠缺。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了由具体问题抽象出数学模型的过程，初步积累了一定的数学建模方法；同时在以往的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的机会，具有一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力。
一元二次方程复习
临淄二中 赵亚
效果分析:
1、题型丰富，具有代表性。例题、练习题、反馈题等选择具有时代明显、思维训练有效、方法灵活、典型且有代表性的题目,学生从多种方法解决问题。
2、所选择的题目略多多，学生题展示用时估计不足，导致课堂后半部分略急促。
3、练习题设计有梯度。从班级学生实际出发，符合学生的认识规律设计不同层次、不同要求的习题，以中等学生为着眼点，面向全体学生配备好变式，好、中、差学生都有所获。
4、针对性练习。这节课有它既定的教学目标，教师应该围绕教学目标以及本章的知识框架，有针对性的设计课堂练习，精选精炼，有效的掌握重点，攻克难点。学生对解题过程中细节处有些地方模糊，教师抓住这样的误区，与学生强调解决。
5、判断性练习。这是为了检查学生的知识缺陷。查出学生认识过程中致错症结而设计练习，这种练习培养学生思维的批判性和分析综合能力。
6.有些时候学生练习出现的错误是由于自己粗心或上课不认真听讲造成的，教师了解后可以督促学生细心解题和认真听讲。同时也应该意识到：失败乃成功之母，许多时候学生都是在经历了许多错误之后才真正的理解题目的含义和正确的解法。
一 元 二 次 方 程 教 学 案
授课人：赵亚 课 题：一元二次方程复习 授课时间：2015.年4月22日? 学校：临淄二中 班级：九年十二班
一、教学内容解析
内容解析：
学生已经学完了所有初中的内容，在初四一元二次方程学习的过程中，对一元二次方程掌握的不是很系统，而一元二次方程是中学数学的主要内容，与函数有着密不可分的联系，也常出现在实际应用题中。一元二次方程的概念基本解法及应用都是重要的基础知识，在初四复习阶段综合题目中应用广泛。为此通过本节课的复习巩固对一元二次方程的概念解法及其根的判别式使学生更深入的掌握，从而让学生在充分感受和经历实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题中进行解释检验和应用，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
教学重点预设：熟悉一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会与函数的转化等数学思想。
教学难点预设：由具体问题抽象出一元二次方程的过程，能够利用一元二次方程解决有关实际问题，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
二、学习目标
1、了解一元二次方程的有关概念． 2、能灵活运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程． 3、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．
4、经历运用知识、技能解决问题的过程，发展学生的独立思考能力和创新精神．培养学生对数学的好奇心与求知欲，养成质疑和独立思考的学习习惯．
三、教学方法:学生合作探究，质疑展示，学会方法规律，教师适时引导，及时总结归纳，提出问题，让学生形成完整的一元二次方程知识框架。
四、教学过程
（一）?? 复习检测题：
1、一元二次方程的一般形式 ( )
2、 四种解法:
3、.根的判别：△=
4、判定一元二次方程根的情况.
△>0有 实数根;
△=0有 实数根;
△<0 实数根;
△≥0 实数根
5、将下列方程化成一般形式，在选择恰当的方法求解。
（1）
（2）
（3）
（二）本章中考考纲要求：
（1）了解一元二次方程的概念，会用直接开平方法解形如(b≥0)的方程，用配方法解数字系数的一元二次方程；掌握一元二次方程求根公式的推导，会用求根公式解一元二次方程；会用因式分解法解一元二次方程。?
（2）?理解一元二次方程的根的判别式，会根据根的判别式判断数字系数的一元二次方程的根的情况。??
*（3）掌握一元二次方程根与系数的关系式，会用它们由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方。
（4）能够列出一元二次方程解应用题。能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程。
（二）本章知识框架：
教 学 内 容
教师活动（呈现目标、设疑质疑、启发引领、适时点评、激励评价、总结反馈）
学生活动（主动参与、合作探究、展示提高、能力形成）
教师复备（二次备课）
一、学生明确学习目标（考纲要求）
二、展示知识框架，
三、复习回顾检测（在前面出示，课前完成）
四 合作探究 探究（一）一元二次方程的概念与它的根
1.(2014·聊城)用配方法解一元二次方程 ，此方程可变形为
2、 (2014淄博)一元二次方程 根是：
3.(2014菏泽)已知关于x的一元二次方程 有一个非零根-b，则a-b的值为 A 1 B -1 C 0 D -2
4 是一元二次方程 3(x-1)2 =15的两个解，且 ＜ ，下列说法正确的是
A. 小于-1， 大于3
B. 小于-2， 大于3
C. ， 在-1和3之间
D. ， 都小于3
5. 2013聊城）若 =-1是关于x的方程
的一个根，则另一个根是（ ）
探究（二） 一元二次方程根的判别式
1、(2013威海)已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是
A.m≥-0.75 B m ≥0
C.m ≥1 D m ≥2
2 、 (2013威海)已知关于x的一元二次方程
下列说法正确的是
A.当k=0时，方程无解
B.当k=1时，方程有一个实数解
C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解
D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解．
3.（2013淄博）关于x的一元二次方程 有实根(1)求a的最大整数值； (2)当a取最大整数值时， ①求出该方程的根； ②求 的值．
根据框架学生形成知识结构，明确知识点
各种类型解方程三个，要求学生课前预习解题，教师巡视组长的，组长批组员的
教师根据题型的难易给各组分题，并走入各组巡回指导，重点关注学生解方程方法的熟练运用及方程根的运用。
教师要求学生讲解要有根有据，书写工整，其他学生认真倾听，以待去矫正发表自己不同的见解。教师提出问题，抛给学生回答
老师在学生讲解质疑后总结提问，遇到此类题型如何让解决？有哪些需要注意的地方
方法不止一个，提问“有不同方法的吗？”通过小组加分提高学生回答的积极性，若没有，教师提示讲解，并要求熟悉方法。
基础题型，展示思路
根的判别式最常见的用法有三种：
不解方程判断根的情况
由方程根的情况确定某些字母的取值范围
进行有关的证明
其中第（2）类型是中考的必考内容，要让学生认识到这一点。
在学生全班展示质疑仍有问题时，教师向全体学生引导点拨对于结果如何整理得出结论。
及时小组评价
学生阅读学习目标，明确本节课的学习任务
学生自主学习，明确考点
学生独立完成，通过对重点知识及解方程方法的回顾为本节课的学习内容做好铺垫。找四号同学到黑板板演，同学质疑
学生在组长的组织下合作交流选到的题型，为展示做准备。
各组代表展示。同学积极质疑纠正，若提不出问题，教师辅助。
学生讲解解题思路，下面同学质疑并提出自己的不同意见
学生展示讲解，其他同学有不同方法的及时质疑回答，提出异议
学生展示，难度不大，中等学生口答思路即可
探究二的1、2题型难度不大找两位中等学生回答解题思路，学生评价纠错。
探究二的3题难度较大，找2号学生板演展示，其他学生评价纠错。提出自己见解
探究（三） 一元二次方程的实际应用
1增长率问题：
（2012年莱芜）为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元，已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该市要投入的教育经费为_________万元.
变式：
电动自行车已成为市民日常出行的首选工具.据某市品牌电动 自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月销售216辆. (1)求该品牌电动车销售量的月平均增长率； (2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元？
2面积问题：
（2012青岛）如图，在一块长为22米、宽为17米的长方形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与长方形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为 _________ ．
变式（2014宿迁）：有一块长30cm，宽20cm的纸板，要挖出一个面积为200cm2的长方形的孔，并且四周宽度相等，若设这个框的宽为xcm，则可得方程为_____．
3比赛问题：
（2012滨州）滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空． 解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打????????场比赛，比赛总场数用代数式表为???????????????． 根据题意，可列出方程?????????????????????． 整理，得?????????????????． 解这个方程，得??????????????????． 合乎实际意义的解为?????????． 答：应邀请?????支球队参赛．
4销售问题：
（2014泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是()
A. （3+x）(4-0.5x)=15
B. （3+x）(4+0.5x)=15
C. （4+x）(3-0.5x)=15
D. （1+x）(4-0.5x)=15
课堂小结
达标检测
请同学们把学案达标检测的写清过程，做于纸上。
注意引导学生此类问题解题方法
分类出示给学生，引导学生运用恰当的方法解方程应用题。
教师总结归纳此类问题的解决方法
教师巡视，在有问题的地方及时反馈解决，没有问题则最后对答案完成。
教师总结归纳面积问题的解决方法
教师巡视，在有问题的地方及时反馈解决，没有问题则最后对答案完成。
教师总结归纳比赛问题的解决方法
教师巡视，在有问题的地方及时反馈解决，没有问题则最后对答案完成。
教师总结归纳比赛问题的解决方法
教师巡视，在有问题的地方及时反馈解决，没有问题则最后对答案完成
引导学生总结本节课内容，不足的地方教师提示归纳补充，并在此回归知识框架，
学生有板演，有合作，从对比中归纳总结增长率应用题的解法。
学生在自主学习过的基础上展示思路
学生经过上一个题目的方法规律总结，及时进行变式训练，自主解题。
学生展示，从对比中归纳总结面积应用题恰当的解法。
学生在自主学习过的基础上展示思路
学生经过上一个题目的方法规律总结，及时进行变式训练，自主解题。
学生展示，从对比中归纳总结面积应用题恰当的解法。
学生在自主学习过的基础上展示思路
学生经过上一个题目的方法规律总结，及时进行变式训练，自主解题。
学生展示，从对比中归纳总结面积应用题恰当的解法。
学生在自主学习过的基础上展示思路
学生经过上一个题目的方法规律总结，及时进行变式训练，自主解题。
学生展示总结本节课内容
达标检测
1、关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2－7／4＝0有两个相等的实数根，则k的值是 。
2、已知a，b，c是△ABC的三条边，其中a=1 c=4,且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。
课件14张PPT。一元二次方程复习（1）了解一元二次方程的概念，会用直接开平方法解形如(b≥0)的方程，用配方法解数字系数的一元二次方程；掌握一元二次方程求根公式的推导，会用求根公式解一元二次方程；会用因式分解法解一元二次方程。?
（2）?理解一元二次方程的根的判别式，会根据根的判别式判断数字系数的一元二次方程的根的情况。??
*（3）掌握一元二次方程根与系数的关系式，会用它们由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方。
（4）能够列出一元二次方程解应用题。能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程。中考考纲具体要求一、学习目标
1、了解一元二次方程的有关概念．
2、能灵活运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．
3、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．考点一一元二次方程的解法和根的应用1.(2014·聊城)用配方法解一元二次方程 ，此方程可变形为( )
ABCD1.(2014·聊城)用配方法解一元二次方程 ，此方程可变形为( )
1.(2014·聊城)用配方法解一元二次方程 ，此方程可变形为( )
1.(2014·聊城)用配方法解一元二次方程 ，此方程可变形为( )
1.(2014·聊城)用配方法解一元二次方程 ，此方程可变形为( )
BD1.(2014·聊城)用配方法解一元二次方程 ，此方程可变形为( )
CBD1.(2014·聊城)用配方法解一元二次方程 ，此方程可变形为( )
A2.(2014淄博)一元二次方程 根是：
A B
C D2.(2014淄博)一元二次方程 根是：
A B
C D2.(2014淄博)一元二次方程 根是：
A B
C D3.(2014菏泽)已知关于x的一元二次方程 有一个非零根-b，则a-b 的值为 A 1 B -1 C 0 D -2
4. 是一元二次方程 的两个解，且 ＜ ，下列说法正确的是()
A. 小于-1， 大于3
B. 小于-2， 大于3
C. ， 在-1和3之间
D. ， 都小于3
4. 是一元二次方程 的两个解，且 ＜ ，下列说法正确的是()
A. 小于-1， 大于3
B. 小于-2， 大于3
C. ， 在-1和3之间
D. ， 都小于3
4. 是一元二次方程 的两个解，且 ＜ ，下列说法正确的是()
A. 小于-1， 大于3
B. 小于-2， 大于3
C. ， 在-1和3之间
D. ， 都小于3
4. 是一元二次方程 的两个解，且 ＜ ，下列说法正确的是
A. 小于-1， 大于3
B. 小于-2， 大于3
C. ， 在-1和3之间
D. ， 都小于3命题二一元二次方程根的判别式1、(2013威海)已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是
A.m≥-0.75 B m ≥0
C.m ≥1 D m ≥2
2 、 (2013威海)已知关于x的一元二次方程
下列说法正确的是
A.当k=0时，方程无解
B.当k=1时，方程有一个实数解
C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解
D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解．
3.（2013淄博）关于x的一元二次方程 有实根． (1)求a的最大整数值； (2)当a取最大整数值时， ①求出该方程的根； ②求 的值． 命题三 一元二次方程根的实际应用增长率问题：
（2012年莱芜）为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元，已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该市要投入的教育经费为_________万元.
变式：
电动自行车已成为市民日常出行的首选工具.据某市品牌电动 自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月销售216辆. (1)求该品牌电动车销售量的月平均增长率； (2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元？
命题三 一元二次方程的实际应用面积问题：
（2012青岛）如图，在一块长为22米、宽为17米的长方形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与长方形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为 _________ ．
变式（2014宿迁）：有一块长30cm，宽20cm的纸板，要挖出一个面积为200cm2的长方形的孔，并且四周宽度相等，若设这个框的宽为xcm，则可得方程为_____．
比赛问题：
（2012滨州）滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空． 解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打????????场比赛，比赛总场数用代数式表为???????????????． 根据题意，可列出方程?????????????????????． 整理，得?????????????????． 解这个方程，得??????????????????． 合乎实际意义的解为?????????． 答：应邀请?????支球队参赛．
销售问题：
（2014泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是()
A. （3+x）(4-0.5x)=15
B. （3+x）(4+0.5x)=15
C. （4+x）(3-0.5x)=15
D. （1+x）(4-0.5x)=15
达标检测。请同学们把课件上的最后测评题目写清过程，做于纸上。达标检测再见一元二次方程复习
临淄二中 赵亚
教材分析：
学生已经学完了所有初中的内容，在初四一元二次方程学习的过程中，对一元二次方程掌握的不是很系统，而一元二次方程是中学数学的主要内容，与函数有着密不可分的联系，也常出现在实际应用题中。一元二次方程的概念基本解法及应用都是重要的基础知识，在初四复习阶段综合题目中应用广泛。为此通过本节课的复习巩固对一元二次方程的概念解法及其根的判别式使学生更深入的掌握，从而让学生在充分感受和经历实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题中进行解释检验和应用，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
达标检测
1、关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2－7／4＝0有两个相等的实数根，则k的值是 。
2、已知a，b，c是△ABC的三条边，其中a=1 c=4,且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。
一元二次方程复习
临淄二中 赵亚
教学反思：
本节课的教学总体感觉调动了学生的积极性，充分发挥了学生的主体作用，重要知识点以提问，展示等形式大面积考察了学生的知识掌握程度，难点以变式训练的形式进行考察。而应用题以现实生活情境问题入手，激发了学生思维的火花，具体我以为有以下几个特点：? 一、课堂上多给学生展示的机会，比如我所设计练习题可用不同方法去求解，让学生走上讲台，向同学们展示自己的聪明才智。同时在这个过程中，更有利于发现学生分析问题与解决问题独到见解及思维误区，以便指导今后教学。总之，通过各种启发、激励的教学手段，帮助学生形成积极主动求知态度，课堂收效大。? 二、应用题第一个例题，是面积问题中的一个典型例题，我在引导学生解决此题之后，总结了解一元二次应用题的步骤。不仅关注结果更关注过程，让学生养成良好的解题习惯。? 三、?通过变式训练，让学生由浅入深，由易到难，也让学生解决问题的能力逐级上升，这是这节课中的一大亮点。在讲完例题的基础上，将更多教学时间留给学生，这样学生感到成功机会增加，从而有一种积极的学习态度，同时学生在学习中相互交流、相互学习，共同提高。? 四、在课堂中始终贯彻数学源于生活又用于生活的数学观念，同时用方程来解决问题，使学生树立一种数学建模的思想。?
五、需改进的方面：? 1.由于怕完不成任务，给学生独立思考时间安排有些不合理，这样容易让思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，老师的回答代替了有想法学生的回答，掩盖了学生的疑问。
2.时间估计不足，太看重细节，有时候学生已经会了，但还是耽误时间讲解，导致最后测评时间不足，没有完成预定任务。
3．下课后很多学生和老师沟通课上一生的错误问题,但他们上课并不敢提出,所以平时要培养学生敢想敢说敢于发表个人的不同见解的学风。
一元二次方程复习
临淄二中 赵亚
课标分析：
根据新课标的要求、本节教材的内容和学生的好奇心、求知欲及已有的知识经验，本节课的三维目标主要体现在：知识与能力目标： 要求学生会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，培养学生归纳、分析的能力。过程与方法目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织学生讨论，让学生自己抽象出一元二次方程的概念 。情感、态度与价值观：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识。
考纲要求：
1、了解一元二次方程及其相关概念，掌握一元二次方程的一般形式，在经历具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力，会用合并同类项法化简单的一元二次方程一般形式。
2、经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，体会一元二次方程是刻画现实生活中数量关系的一个有效数学模型。
3、通过解一元二次方程和列一元二次方程解应用题的过程中体会转化等数学思想方法的运用。
