反比例函数的图象与性质
教学目标（知识、能力、教育）
1.能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质．逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合的数学思想方法.
2.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
教学重点
反比例函数的图象和性质以及用反比例函数的知识解决实际问题.
教学难点
数形结合的数学思想方法的体验以及如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，用数学知识去解决实际问题.
教学媒体
学案
教学过程
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，k≠0）的形式（或y=kx-1，k≠0），那么称y是x的反比例函数．
2．反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k为常数，k≠0；（2）中分母x的指数为1；例如y= 就不是反比例函数；(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；（4）因变量y的取值范围是y≠0的一切实数．
3．反比例函数的图象和性质．
利用画函数图象的方法，可以画出
反比例函数的图象，它的图象是双曲线，
反比例函数y=具有如下的性质（见下
表）①当k＞0时，函数的图象在第一、
三象限，在每个象限内，曲线从左到右
下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小；②当k＜0时，函数的图象
在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大．
4．画反比例函数的图象时要注意的问题：
（1）画反比例函数图象的方法是描点法；
画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x≠0，因此，不能把两个分
支连接起来；
（2）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以，画出的双曲线的
两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势．
5. 反比例函数y= (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=(k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│。
6. 用待定系数法求反比例函数解析式时，可设解析式为
（二）：【课前练习】
1.下列函数中，是反比例函数的为（ ）
A. ；B. ；C. ；D.
2. 反比例函数中，当＞0时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）A. ＞；B. ＜2；C. ＜；D. ＞2
3. 函数y= 与y=kx+k在同一坐标系的
图象大致是图中的（ ）
4. 已知函数 y=（m2－1），当m=_____时，它的图象是双曲线．
5.如图是一次函数和反比例函数的图象，
观察图象写出＞时，的取值范围
二：【经典考题剖析】
1.设
（1）当为何值时，与是正比例函数，且图象经过一、三象限
（2）当为何值时，与是反比例函数，且在每个象限内随着的增大而增大
2.有的正比例函数、反比例函数、一次函数各一个，已知是一次函数和正比例函数的一组公共的对应值，而是一次函数和反比例函数的一组公共的对应值
（1）求这三个函数的解析式，并求时，各函数的函数值是多少？
（2）作出三个函数的图象，用图象法验证上述结果
3. 如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= (k≠0）的图象交于M、N两点．
⑴求反比例函数和一次函数的解析式；
⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
4. 如图，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线．
直线AB与双曲线的一个交点为点C，CD⊥x轴于D，OD=2OB=4OA=4．
求一次函数和反比例函数的解析式．
5. 某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具数据如下表：
⑴请你认真分析表中数据，从你所学习
过的一次函数、二次函数和反比例函数
中确定哪个函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；
⑵按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元．
①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？
②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3．2万元，则还需投人技改资金多少万元（结果精确到0．01万元）
三：【课后训练】
1.关于(k为常数)下列说法正确的是（）
A．一定是反比例函数； B．k≠0时，是反比例函数
C．k≠0时，自变量x可为一切实数； D．k≠0时, y的取值范围是一切实数
2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生
产x只（x取正整数）这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（ ）
A．；B．；C．；D．
3. 已知点（2，）是反比例函数y=图象上一点，则此函数图象必经过点（ ）
A．（3，－5）； B．（5，－3）； C．（－3，5）； D．（3，5）
4. 面积为3的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是图中的（ ）
5. 已知反比例函数y=的图象在第一、三象
限，则对于一次函数y=kx—k．y的值随x值的增大而__________________.
6. 已知反比例函数y=（m－l）的图象在二、四象限，则m的值为_________.
7. 已知：反比例函数y=和一次函数y=mx+n的图象一个交点为 A（－3，4）且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的解析式．
8. 某地上年度电价为0．8元，年用电量为 1亿度，本年度计划将电价调至
0.55—0.75元之间，经测得，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）
与(x－0.4）元成反比例，又当 x=0．65时，y=0．8．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每度电的成本价为0．3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20％【收益=用电量×（实际电价一成本价）】
9. 反比例函数y=的图象经过点 A（－2，3）⑴求出这个反比例函数的解析式；
⑵经过点A的正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y= 的图象，还有其他交点吗？若有，求出坐标；若没有，说明理由
10. 如图所示，点P是反比例函数y一上图象上的一点，过P作x
轴的垂线，垂足为E．当P在其图象上移动时，△POE的面积将
如何变化？为什么？对于其他反比例函数，是否也具有相同的
规律？
四：【课后小结】
布置作业
地纲
教后记
反比例函数
教学目标：
知识目标：1、从现实情境和已知经验出发，讨论两个变量之间的相互关系，加深对概念的理解。
2、经历抽象反比例函数概念的过程，了解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
3、会求简单实际问题中的反比例函数解析式。
能力目标：进一步提高探究问题、归纳问题的能力，能运用函数思想方法解决有关问题。
情感目标：增强用函数观点思考问题的意识和习惯。
教学重点：
反比例函数的概念。
教学难点：
1、理解反比例函数的概念；2、例题中涉及《科学》学科的知识，学生理解问题时有一定的难度，是本节课的难点。
课堂教与学互动设计：
一、创设情境，激发热情
世博会吉祥物“海宝”的动画，问：认识它吗？你能具体介绍一下吗？想要吗？我们一起去商场看看吧！
1、上海世博会吉祥物“海宝”的毛绒公仔，其中小号的市场单价为30元/个，买x个这样公仔需要y元，请写出y关于x的函数关系式。
学生回答：???? y=30x
2、上海世博会的中国馆就设计为一个正方形。
正方形的周长C与边长a的关系式可表求为——————
教师自我介绍：
3、老师驾车从太湖南岸的湖州，来到我们美丽的金华，汽车旅程表显示为240km，请你说出行驶速度v km/h与行使时间t h之间的关系式.
?
4、（填完下表）体积为500cm3的水正好倒满底面积为S cm2,高为h cm的圆柱体容器.
?
问：s 和h 之间有怎样的关系式呢？
?
?
?
二、合作交流，探究新知
?
?
问1：上面四个等式中，有你认识的函数吗？（学生思考后回答）
?????
问2：它们是什么函数？
????? 正比例函数
问3：你们还记得正比例函数的定义吗？一起来填空。
形如?????? ???????????的函数叫做正比例函数。其中x是??? 量，y是x的?????? ，k是????? 系数。自变量x的取值范围是?????? 。
?
?
它们也是同一类函数，小学时我们就已经学过，两个量的乘积是一个不为零的常数，这两个量就成什么比例呢？（反比例）
所以，我们叫这一类函数为反比例函数。[板书课题]
??? 认识一种新的知识，都要从定义开始，让我们类比正比例函数的定义方法，给反比例函数下个定义吧。
反比例函数的一般形式可以写成
形如y=k/x(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数，自变量x的取值范围是：x≠0的全体实数。[板书定义]
小结：在反比例函数的定义中，有两点要提醒大家注意：
①k≠0, ②x≠0 (两个不为零)[板书]
三、巩固练习，了解概念
1、下列函数中，哪些是y关于x的反比例函数？
?
?
学生练习，教师巡视。学生单独回答。
学生逐一讲解，如果是反比例函数，则说出k的值。
海宝小提示：1、反比例函数的不是总是以一般形式出现，有时还会以其他的形式出现，它可以转化为一般式。
海宝小提示：反比例函数有时也会以y=kx -1的形式出现.
?
3、学生练习：
若y是x的反比例函数，比例系数是-1/2，则y关于x的函数关系式为_____
已知y=-3xm-7正比例函数，则m=_______
已知y=-3xm-7反比例函数，则m=______
若函数是反比例函数，则m=______
（反馈练习结果，适当板书）
四、合作交流，深化概念
4、生活中处处有数学：
要围成面积为100平方米的长方形菜园，长为a米，宽为b米，a是b的反比例函数吗？
揭示反比例函数的实质：两个变量的乘积是一个不为零的常数。
你还能举出生活中反比例函数的例子吗?
（小组合作讨论，找出生活中的反比例函数的例子，并做好记录。）
以有奖抢答的方式与同学们分享小组的讨论结果。
五、运用新知，解决问题
背景知识讲解：杠杆原理
动力×动力臂=阻力×阻力臂
例2：如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动y（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略去不计。杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂）
(1)??? 求y关于x的函数解析式。这个函数是反比例函数吗?
如果是，请说出比例系数；[学生回答，教师板书]
(2)求当x=50时，函数y的值，并说明这个值的实际意义；
求当x=100时，函数y的值， 并说明这个值的实际意义；
当x =250呢？x =500呢？
?
[学生回答]
问：当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力将怎样变化？请大家猜想一下。
[学生思考后作答]根据第二小题的表格中数据的变化，有学生能得出自已的猜想。
教师带学生一起来验证猜想。
老师给出假设动力x=d 求出对应的动力，老师再给出扩大n倍后的动力x=nd，求出对应的动力，
?
板书：比较两个动力之间的关系
小结：当动力臂扩大到原来的n倍时，动力就缩小到原来的1/n，所以当动力臂无限地扩大，那动力就会无限地缩小，所以阿基米德会说：“给我一个支点，我能撬起地球。”
想一想：如果动力臂缩小到原来的1/n时，动力将怎样变化。
?????? （动力扩大到原来的n倍。）
问：为什么呢？（因为我们可以发现，动力和动力臂的乘积始终是一个常数5000，这也就是反比例函数的实质。）
六、反思总结，共同提高：
你说我说大家说
1、本节课我学了什么函数？
2、在新知识的学习和运用中有什么要注意的地方？
3、你还有什么问题？
七、分层作业，任务外延：
?? 1、作业本（1）《1.1反比例函数》
?? 2、留心生活的函数实例，及时记录下来。
六、板书设计：
反比例函数
1．如果反比例函数的图象经过鼎足之势（-2，3），那么k的值是 （ ）
A．-6 B． C． D．6
2．若点（3，4）是反比例函数图象上一点，则此图象可能经过点（ ）
A．（2，6） B．（2，-6） C．（4，-3） D．（3，-4）
3．已知y=y1+y2，其中y1与x成反比例，且比例系数为k1(k1≠0)，y2与x 成正比例，且比例系数为k2(k2≠0)，当x=-1时，y=0，则k1与k2的关系是 （ ）
A．k1+k2=0 B．k1-k2=0
C．k1 k2=1 D．k1 k2=-1
4．已知函数y=k1x和，若常数k1，k2异号，且k1＞k2，则它们在同一坐标系内的图象大致是（如图17-16所示） （ ）
5．已知面积为2的三角形ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（如图17-17所示） （ ）
6．在同一直角坐标系中，函数y=3x与y=-的图象大致是（如图17-18所示） （ ）
7．反比例函数在第一象限内的图象如图17-19所示，点M是图象上一点，MP⊥x轴，垂足为P.如果△MOP的面积为1，那么k的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
8．已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．m≥
9．已知y=(a-1)xa是反比例函数，则它的图象在 （ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
10．若直线和双曲线在同一坐标系内无交点，则k1和k2的关系是 （ ）
A．互为倒数 B．绝对值相等
C．符号相反 D．符号相同
11．已知直线y=kx+b与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2））两点，则x1x2的值 （ ）
A．与k有关，与b无关 B．与k无关，与b有关
C．与k，b都有关 D．与k，b都无关
12．已知y与x2成反比例，并且当x=-2时，y=2，那么当x=4时，y等于 （ ）
A．-2 B．2 C． D．-4
13．已知反比例函数上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，那么下列结论正确的 （ ）
A．y1＜y2
B．y1＞y2
C．y1=y2
D．y1与y2之间的大小关系不能确定
14．已知反比例函数的图象如图17-20所示，则y=kx-2的图象大致是（如图17-21所示） （ ）
15．已知反比例函数，则m= ，函数的表达式是 .
16．甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用时间t（小时）表示为汽车速度v（千米/时）的函数，其函数表达式为 .
17．已知函数的图象经过点（-1，3），若点（2，m）在这个函数图象上，则m= .
18．如果函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而 .
19．已知y1与x成正比例系数为k1，y2与x成反比例，比例系数为k2，若函数y=y1-y2的图象经过点（1，2），（2，），则8k1+5k2的值为 .
20．已知点P（1，a）在反比例函数的图象上，其中a=m2+2m+3（m不实数），则这个函数的图象在第 象限.
21．已知y=y1+y2，y1与x-1成正比例，y2与x+1成反比例，池x=0时，y=-5，当x=2时，y=1时.求：
（1）y与x的函数关系式；
（2）当x=-3时，y的值.
22．已知一次函数y=kx+k与反比例函数的图象在第一象限交于点B（4,n），求k，n的值.
23．如图17-22所示，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是.求：
（1）一次函数的表达式；
（2）△AOB的面积.
24．已知反比例函数的图象在其所在的象限内，y随x的增大而增大，求k的值.
25．已知正比例函数y=kx与比例函数的图象都过点A（m,1）.求：
（1）正比例函数的表达式；
（2）正比例函数图象与反比例数图象的另一个交点的坐标.
参考答案
1．A[提示：将点（-2，3）代入，可求得k=-6.]
2．A[提示：因为的图象经过点（3，4），所以的图象在第一、三象限，故选A.]
3．A[提示：，因为当x=-1时，y=0，所以0=-k1-k2，所以k1+k2=0，故选A.]
4．C[提示：因为k1，k2异号，且k1＞0，k2＜0，所以函数y=k1x的图象经过第一、三象限，函数的图象在第二、四象限，故选C.]
5．C[提示：，且x＞0.] 6．D
7．B[提示：设M（x0，y0），则PM= y0，OP= x0，所以S△OPM=··所以]
8．C[提示：1-2m＜0.]
9．B [提示：a=-1.]
10．C 11．D
12．C[提示：因为y与x2成反比例，所以当x=-2时，y=2，所以，所以k=8，所以.当x=4时，] 13．D
14．D[提示：的图象位于第二、四象限，所以k＜0，在y=kx-2中，k＜0，b=-2＜0，图象过第二、三、四象限，故选D.]
15．±1 或
16． 17． 18．减小
19．9[提示：由求的值.]
20．一、三[提示：因为而，所以k＞0.]
21．解：（1）设则y=y1+y2=k1(x-1)+,因为当x=0时，y=-5，当x=2时，y=1，所以解得所以y与x的函数关系式是（2）当x=-3时，
22．解：把x=4代入中，得，所以n=2.把（4，2）代入y=kx+k中，得2=4k+k，所以所以
23．解：（1）因为A点的横坐标与B点的纵坐标都是且两点都在的图象上，所以当x=-2时，=4.当y=-2时，-2=，所以x=4.所以A点坐标为（-2，4），B点坐标为（4，-2）.又因为A（-2，4），B（4，-2）在一次函数y=kx+b的图象上，所以把这两个点坐标代入y=kx+b中，得解得所以一次函数的表达式为y=-x+2.（2）由y=x+2可知当y=0时，x=2.所以y=-x+2与x轴的交点为C（2，0）.所以S△AOB= S△AOC+ S△BOC =OC·4+·OC·2=2OC+OC=3OC=3×2=6.
3k-9＜0，①
24．解：由题意可知 由①得k＜3，由②得k=±2.所以k=-2.
13-k2=1,②
25．解：（1）因为y=kx与都过点A（m,1）所以解得所以正正函数表达式为 （2）由得所以它们的另一个交点坐标为（-3，-1）.
反比例函数
1.填空：
（1）苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数关系式为 ；
（2）矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y与x的函数解析式为 ；
(3)若是反比例函数，则m的取值是 ；
（4）当m＝ 时，关于x的函数是反比例函数.
2. 下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
（1） （2） （3） （4）xy=1 (5)
3. 已知y=（m-2）x|m|-3是反比例函数，则m是什么？
4. 已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6.
⑴写出y与x的函数关系式；
⑵求当x=4时y的值.
5. 已知点P（x1，3）和点Q（-2，y1）满足反比例函数，则x1= ，y1= .
6. 已知点P（2，-3）满足反比例函数，则k= .
7. 已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5.
⑴求y与x的函数关系式；
⑵当x＝－2时，求函数y的值.
8.已知与成反比例，当时，；那么当时，的值为__________．
9..已知函数，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数关系式．
26.1.1 反比例函数
1.（1），（2），（3）由得：，（4）.
2. （1）是，；（2）是，，；（3）否；（4）是，（可化为）；（5）是，.
3. 由得：.
4.（1）设，则，，y与x的函数关系式为；
（2）当x=4时，.
5. x1=-3，y1=.
6. .
7. （1）设，，则，把x＝1，y＝4；x＝2，y＝5分别代入得：
，解得：，所以，；
（2）把x＝-2代入得：y＝-5.
中考链接
1. .
2. 设，则，， . 当时，= .
3. 设，，则，把x＝1，y＝-1；x＝3，y＝5分别代入得：
，解得：，所以，.
反比例函数的图象与性质
教 学 目 标
知识与技能：
会用描点的方法画反比例函数图象；理解反比例函数的性质。
过程与方法：
通过观察反比例函数图象，分析、探究反比例函数的性质，培养学生的探究、归纳及概括的能力。体会数形结合的思想和分类讨论的思想。
情感、态度和价值观：
在自主探究反比例函数性质的过程中，让学生初步感知反比例函数图象的对称性；培养学生勤于动手，乐于探索的习惯。
教学重点
理解并掌握反比例函数的图象和性质
教学难点
正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质
课 型
新授课
主要教学方法
启发、引导
教学模式
合作
探究
教学手段与教具
互动
三角尺
教 学 过 程 设 计
教 师 活 动
学 生 活 动
设 计 理 念
活动一
（1）：回忆一反比例函数的定义.联想正比例函数.
（2）：回忆画函数图象的方法与步骤
教师提出问题
学生思考、回答，教师根据学生活动情况进行补充和完善。
在活动中教师应重点关注：
学生对一次函数知识点的掌握情况；
学生对描点法画函数图象的基本步骤的掌握情况：列表，描点，连线。
通过创设问题情境，引导学生类比前面学习一次函数的图象和性质的方法，激发学生参与课堂的热情，开始本节课的探究，为学习画反比例函数的图象打好基础
活动二
（1）、画反比例函数y=6/x与y=-6/x的图象。
师生互动，鼓励学生类比一次函数的画法，探索画出反比例函数的图象。教师先引导学生思考，示范画出反比例函数 y=6/x的图象，再让学生尝试画y=-6/x的图象。
教师在引导学生画反比例函数的图象时，应重点关注：
1、学生在列表时，是否注意到了自变量的取值应使函数有意义（x≠0）；同时，既要使自变量的取值有一定的代
这是突破本节课重难点的第一个环节。让学生应用描点法画出反比例函数的图象，关注画图的基本步骤。以及每一个细节的处理，培养学生动手操作的能力
武威三中课堂教学设计续页
教 师 活 动
学 生 活 动
设 计 理 念
（2）、比较y=6/x与y=-6/x的图象他们有什么共同特征？他们之间有什么共同关系？
表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映映出图象的特征。
2、一般情况下，描出的点越多，图象越精细。
3、连线时，必须按自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接。
4、学生是否注意到反比例函数曲线的两个分支是断开的，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但永远不和坐标轴相交。
教师将两个图象置于同一直角坐标系中并提出问题。
学生观察思考，回答问题。
在活动中教师应关注：
（1）学生是否具有用数学语言描述图象特征的能力
（2）学生是否理解在同一直角坐标系内两个反比例函数图象的对称关系。
学生独立思考完成，安排两名学生展示。
和习惯。也为以后画其他函数图象奠定基础。
学生通过观察比较，总结出两个反比例函数图象的共同特征，以及在平面直角坐标系中的位置。在活动中，加强引导，放手让学生去观察，去类比发现，去感受，去总结，实现学生主动参与，探究新知的目的。
活动三：
对k的值进行分类讨论，自选k的值，画函数y=k/x的图象。
图象在第一、第三象限的函数与图像在第二、第四象限的函数的k值有何区别?画图进行观察、探究k>0和k<0两种情况。
教师提出问题
学生自选k值画函数图象（k=3、-3和4、-4）
在活动中教师应关注k值不要过大或过小，以便于描点画图。
教师统计分类情况，在黑板上画图加以汇总展示。
学生小组讨论，观察思考后进行分析、归纳、得出反比例函数的性质。
（1）反比例函数y=k/x(k为常数，k≠0)的图象是一种双曲线。
（2）当k>0时，双曲线的两个分支位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小。
（3）当k<0时，双曲线的两个分支位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。
进一步巩固画函数图象的基本步骤，增强学生动手操作能力。
通过对每个函数图象的位置与k值的符号关系的探讨，得出性质2。有利于学生加深对性质的理解和掌握，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识产生形成的过程。逐步达到培养学生抽象概括能力和激发学生的求知欲望。
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教 师 活 动
学 生 活 动
设 计 理 念
在活动中教师应关注：
（1）学生对反比例函数图象的认识和理解。
（2）学生能否通过观察、比较、分析和探讨判断出反比例函数的图象所在的象限由k值决定，能否由反比例函数图像的位置判断出k的符号，由k值说出反比例函数图象的位置。
（3）学生是否理解反比例函数的两个分支在相应的象限内，随x值的增大（或减小）y值得增减规律。
（4）学生运用数学语言描述问题的能力
学生借助函数图象，利用分类讨论的思想，正确理解反比例函数的增减性。并且强调反比例函数的增减性是在同一象限内讨论，而且由系数k的符号决定．同时对学生进行辩证唯物主义思想教育
活动四
（1）强化基础
（2）拓展训练
（3）实际应用
教师提出问题
学生思考回答1.下列图象中，是反比例函数的图象的是 （ ）
2.反比例函数y= -5/x的图象大致是（ ）
3.函数y=10/x的图象在第________象限,在每一象限内，y 随x 的增大而_________.
4.函数y=π/x,当x>0时,图象在第____象限, y随x 的增大而_________.
5.已知反比例函数y=(4-k)/x,若函数的图象位于第一、三象限，则k_____________;若在每一象限内，y随x增大而增大，则k_____________.
熟悉反比例函数的图象和性质，区别一次函数与反比例函数以及二次函数的图象，进一步体会数形结合的思想，从数和形两方面加深对反比例函数性质的认识。
通过变式练习，巩固所学知识，灵活运用反比例函数的图象和性质，提高解决问题的能力。
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教 师 活 动
学 生 活 动
设 计 理 念
活动五
归纳总结：
本节课学习了哪些知识？你有什么收获？在知识应用过程中需要注意什么？
教师提出问题。
学生自己整理与回顾。
师生共同概括总结。
使学生全面理解反比例函数的图象及其性质。让学生体验到学习数学的快乐，养成好的学习习惯。学生课后独立完成，及时复习巩固所学知识，进行学习效果的自我评价。
板书设计：
练习设计
图像展示
课题及总结归纳图像性质
复习回顾及学生板演
教学反思：
本节课首先由老师引导学生回顾描点法画函数图象的方法，激活学生原有的知识，然后引导学生画反比例函数的图象，并让学生通过观察图象，探究分析，得出反比例函数的性质，让学生经历知识的产生和形成过程，避免学生的知识由老师灌输得到，充分调动学生自己动手，主动探索，在观察、感受、讨论、发现，探究总结、合作与交流中体会到了参与的乐趣，成功的喜悦和感知数学的奇妙。把新课程改革的精神落实到教育教学中的每一个细节。
反比例函数的图象与性质
教 学 目 标
知识与技能：
会用描点的方法画反比例函数图象；理解反比例函数的性质。
过程与方法：
通过观察反比例函数图象，分析、探究反比例函数的性质，培养学生的探究、归纳及概括的能力。体会数形结合的思想和分类讨论的思想。
情感、态度和价值观：
在自主探究反比例函数性质的过程中，让学生初步感知反比例函数图象的对称性；培养学生勤于动手，乐于探索的习惯。
教学重点
理解并掌握反比例函数的图象和性质
教学难点
正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质
课 型
新授课
主要教学方法
启发、引导
教学模式
合作
探究
教学手段与教具
互动
三角尺
教 学 过 程 设 计
教 师 活 动
学 生 活 动
设 计 理 念
活动一
（1）：回忆一反比例函数的定义.联想正比例函数.
（2）：回忆画函数图象的方法与步骤
教师提出问题
学生思考、回答，教师根据学生活动情况进行补充和完善。
在活动中教师应重点关注：
学生对一次函数知识点的掌握情况；
学生对描点法画函数图象的基本步骤的掌握情况：列表，描点，连线。
通过创设问题情境，引导学生类比前面学习一次函数的图象和性质的方法，激发学生参与课堂的热情，开始本节课的探究，为学习画反比例函数的图象打好基础
活动二
（1）、画反比例函数y=6/x与y=-6/x的图象。
师生互动，鼓励学生类比一次函数的画法，探索画出反比例函数的图象。教师先引导学生思考，示范画出反比例函数 y=6/x的图象，再让学生尝试画y=-6/x的图象。
教师在引导学生画反比例函数的图象时，应重点关注：
1、学生在列表时，是否注意到了自变量的取值应使函数有意义（x≠0）；同时，既要使自变量的取值有一定的代
这是突破本节课重难点的第一个环节。让学生应用描点法画出反比例函数的图象，关注画图的基本步骤。以及每一个细节的处理，培养学生动手操作的能力
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教 师 活 动
学 生 活 动
设 计 理 念
（2）、比较y=6/x与y=-6/x的图象他们有什么共同特征？他们之间有什么共同关系？
表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映映出图象的特征。
2、一般情况下，描出的点越多，图象越精细。
3、连线时，必须按自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接。
4、学生是否注意到反比例函数曲线的两个分支是断开的，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但永远不和坐标轴相交。
教师将两个图象置于同一直角坐标系中并提出问题。
学生观察思考，回答问题。
在活动中教师应关注：
（1）学生是否具有用数学语言描述图象特征的能力
（2）学生是否理解在同一直角坐标系内两个反比例函数图象的对称关系。
学生独立思考完成，安排两名学生展示。
和习惯。也为以后画其他函数图象奠定基础。
学生通过观察比较，总结出两个反比例函数图象的共同特征，以及在平面直角坐标系中的位置。在活动中，加强引导，放手让学生去观察，去类比发现，去感受，去总结，实现学生主动参与，探究新知的目的。
活动三：
对k的值进行分类讨论，自选k的值，画函数y=k/x的图象。
图象在第一、第三象限的函数与图像在第二、第四象限的函数的k值有何区别?画图进行观察、探究k>0和k<0两种情况。
教师提出问题
学生自选k值画函数图象（k=3、-3和4、-4）
在活动中教师应关注k值不要过大或过小，以便于描点画图。
教师统计分类情况，在黑板上画图加以汇总展示。
学生小组讨论，观察思考后进行分析、归纳、得出反比例函数的性质。
（1）反比例函数y=k/x(k为常数，k≠0)的图象是一种双曲线。
（2）当k>0时，双曲线的两个分支位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小。
（3）当k<0时，双曲线的两个分支位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。
进一步巩固画函数图象的基本步骤，增强学生动手操作能力。
通过对每个函数图象的位置与k值的符号关系的探讨，得出性质2。有利于学生加深对性质的理解和掌握，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识产生形成的过程。逐步达到培养学生抽象概括能力和激发学生的求知欲望。
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教 师 活 动
学 生 活 动
设 计 理 念
在活动中教师应关注：
（1）学生对反比例函数图象的认识和理解。
（2）学生能否通过观察、比较、分析和探讨判断出反比例函数的图象所在的象限由k值决定，能否由反比例函数图像的位置判断出k的符号，由k值说出反比例函数图象的位置。
（3）学生是否理解反比例函数的两个分支在相应的象限内，随x值的增大（或减小）y值得增减规律。
（4）学生运用数学语言描述问题的能力
学生借助函数图象，利用分类讨论的思想，正确理解反比例函数的增减性。并且强调反比例函数的增减性是在同一象限内讨论，而且由系数k的符号决定．同时对学生进行辩证唯物主义思想教育
活动四
（1）强化基础
（2）拓展训练
（3）实际应用
教师提出问题
学生思考回答1.下列图象中，是反比例函数的图象的是 （ ）
2.反比例函数y= -5/x的图象大致是（ ）
3.函数y=10/x的图象在第________象限,在每一象限内，y 随x 的增大而_________.
4.函数y=π/x,当x>0时,图象在第____象限, y随x 的增大而_________.
5.已知反比例函数y=(4-k)/x,若函数的图象位于第一、三象限，则k_____________;若在每一象限内，y随x增大而增大，则k_____________.
熟悉反比例函数的图象和性质，区别一次函数与反比例函数以及二次函数的图象，进一步体会数形结合的思想，从数和形两方面加深对反比例函数性质的认识。
通过变式练习，巩固所学知识，灵活运用反比例函数的图象和性质，提高解决问题的能力。
武威三中课堂教学设计续页
教 师 活 动
学 生 活 动
设 计 理 念
活动五
归纳总结：
本节课学习了哪些知识？你有什么收获？在知识应用过程中需要注意什么？
教师提出问题。
学生自己整理与回顾。
师生共同概括总结。
使学生全面理解反比例函数的图象及其性质。让学生体验到学习数学的快乐，养成好的学习习惯。学生课后独立完成，及时复习巩固所学知识，进行学习效果的自我评价。
板书设计：
练习设计
图像展示
课题及总结归纳图像性质
复习回顾及学生板演
教学反思：
本节课首先由老师引导学生回顾描点法画函数图象的方法，激活学生原有的知识，然后引导学生画反比例函数的图象，并让学生通过观察图象，探究分析，得出反比例函数的性质，让学生经历知识的产生和形成过程，避免学生的知识由老师灌输得到，充分调动学生自己动手，主动探索，在观察、感受、讨论、发现，探究总结、合作与交流中体会到了参与的乐趣，成功的喜悦和感知数学的奇妙。把新课程改革的精神落实到教育教学中的每一个细节。
课件12张PPT。反比例函数的
图 象 和 性 质知识回顾1、什么是反比例函数？ 2、反比例函数的定义中还需要注意什么？◆自变量x的取值范围◆自变量x的次数为 3、请回忆：正比例函数的图象和性质-2 （k是常数，k≠0）-1x≠0◆若函数y=（m-2)xm2-5是反比例函数，则m= ， 研究反比例函数的图象和性质1、列表2、描点3、连线画函数图象的一般步骤:◆在以上作图中，你有那些收获，哪些值得注意的地方，甚至有哪些不足， 请说给我们听听。（几列？自变量怎样取值？自变量的取值范围）（光滑，适当延伸，从左至右连）◆反比例函数 的图象1、列表:2、描点:3、连线:········-0.5-1-2-44210.5◆请你另外取一个正整数k的值，作出其反比例函数图象图象会和坐标轴相交吗？◆通过对k取不同的正值，作出了反比例函数的图象，你发现了反比例函数的图象是什么?分别在哪个象限内？思考：-4 -2 -1 -0.5 0.5 1 2 4[注意哟]：图象不会与x轴、y轴相交◆图象不是直线，是两支曲线，分别在一、三象限内123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy16233241.551.2616-1-6-2-3-3-1.5-2-4-5-1.2-6-1…………◆图象由两条曲线组成，叫做双曲线，◆只要k取正值，图象都位于第一、三象限内◆K的值还可以取其他一些什么值？说说看①列表、描点、连线②对称性123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？·AB·如图xB< xA但yB< yAD·C·xAxB1、在每一个象限内2、在整个自变量的取值范围内在每个象限内在每个象限内yXOk>0K<0反比例函数的图象和性质双曲线的两支分别双曲线的两支分别双曲线k>0k<0位于第一、第三象限，位于第二、第四象限，y值随x值的增大而减小。y值随x值的增大而增大。1、反比例函数 （k为常数，k≠0)
的图象是双曲线2、当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个象限内y值随x值的增大而减小。3、当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个象限内y值随x值的增大而增大。m<23、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是( )二、四B2、 下列函数中，其图象位于第二、四象限的有 ,
在其图象所在的象限内，y随x的减小而增大的有 。(1),(4)(2),(3)解：不一定y1>y2则y1>y2则y10时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个象限内y值随x值的增大而减小。当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个象限内y值随x值的增大而增大。作业：课本53页第3、8题和课本68页第10题课件16张PPT。第二十六章 反比例函数26.1.2 反比例函数的图象和性质性质：当k>0时,两支曲线分别位于第一,三象限内;
当k<0时,两支曲线分别位于第二,四象限内.双曲线关于原点和直线y=±x对称.双曲线无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴.当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.位置：增减性：渐近性：对称性：回顾 已知反比例函数 的图象经过点A（1，4）（1 ）①求此反比例函数 的解析式；
②画出图像；
③判断点B（-4，-1）是否在此函数图像上。（2）根据图像得，
若y ﹥ 1, 则x的取值范围________;
若x ﹤ 1，则y的取值范围_________.（3）若点（x1，y1), （x2，y2), （x3，y3)均在此函数图像上，且x1 ﹤0﹤ x2 ﹤ x3请比较y1、y2、y3的大小（ 4 ）若过A点作AP⊥x轴于点P，求三角形AOP的面积。面积性质一面积性质二S△ABC=︱K︱SABCD=2︱K︱BDx面积性质三（5）若D、E、F是此反比例函数在第三象限图像上的三个点，过D、E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N、K，连接OD、OE、OF，设△ ODM、△OEN、 △OFK 的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论成立的是 ( ) A S1﹤S2 ﹤ S3
B S1﹥S2 ﹥ S3
C S1 ﹤ S3 ﹤ S3
D S1=S2=S3D（6）连OA、OB，设点C是直线AB与y轴的交点,
求三角形AOB的面积;（-4,-1）C1.如图,点P是反比例函数 图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 .12.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为1,则这个反比例函数的关系式是 . 3、在双曲线 上任一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴y轴围成矩形面积为12，求函数解析式__________。(x>0)yxO4Oyx∟ 5.如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点,过点
P、Q分别向x轴、y轴作垂线,则S1(黄色三角形）S2(绿色三角形）的面积大小关系是：S1 ____ S2.PQ∟∟∟=s1s2 （x>0)思考：1.你能求出S2和S3的值吗？2.S1呢？1……请谈谈你的收获
