17.1勾股定理
【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程
一、自学导航（课前预习）
1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）
（1）两锐角之间的关系：
（2）若D为斜边中点，则斜边中线
（3）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（2）你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？
由此我们可以得出什么结论？可猜想：
如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么__________________
___________________________________________________________________
二、合作交流（小组互助）思考：
2、勾股定理证明：
方法一；
如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。
S正方形＝_______________＝____________________
方法二；
已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=______________
右边S=_______________
左边和右边面积相等，
即 化简可得。
勾股定理;如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么__________________
（三）展示提升（质疑点拨）
1.在Rt△ABC中， ，
（1）如果a=3，b=4，则c=________；
（2）如果a=6，b=8，则c=________；
（3）如果a=5，b=12，则c=________；
(4) 如果a=15，b=20，则c=________.
2、下列说法正确的是（ ）
A.若、、是△ABC的三边，则
B.若、、是Rt△ABC的三边，则
C.若、、是Rt△ABC的三边，， 则
D.若、、是Rt△ABC的三边， ，则
3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
4、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为 。
2、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。
4、已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长；
课题：17.1勾股定理 （2）
学习目标：1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．勾股定理的实际应用，树立数形结合的思想、分类讨论思想。
学习重点：勾股定理的简单计算。
学习难点：勾股定理的灵活运用。
学习过程
一、自学导航（课前预习）
1、直角三角形性质有：如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
（1）三边之间的关系： 。
（2）已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
c= 。（已知a、b，求c）
a= 。（已知b、c，求a）
b= 。（已知a、c，求b）.
2（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 。
（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=6，c=8，则b= 。
（3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=12，c=13，则a= 。
二、合作交流（小组互助）例1：一个门框的尺寸如图所示．
若薄木板长3米，宽2.2米呢？
例2、如图，一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？（计算结果保留两位小数）
（三）展示提升（质疑点拨）1、一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用一条木条加固，则需木条长为 。
2、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面
钢缆A到电线杆底部B的距离为 。
3、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，
圆的直径至少为 （结果保留根号）
4、一旗杆离地面6m处折断，其顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前高 。
5 如下图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方
向成直角的AC方向上一点．测得CB＝60m，AC=20m，
你能求出A、B两点间的距离吗?
6、如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长100cm，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为60cm，当端点B向右移动20cm时，滑杆顶端A下滑多长？
7、若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16 cm，那么第三边上的高为 ( )
A、12 cm B、10 cm C、8 cm D、6 cm
8、在⊿ABC中，∠ACB=900，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB与D。
求：（1）AC的长； （2）⊿ABC的面积； （3）CD的长。
课题：17.1勾股定理（3）
学习目标：
1．能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想。
2．会用勾股定理解决简单的实际问题。
学习重点：运用勾股定理解决数学和实际问题
学习难点：勾股定理的综合应用。
学习过程
一、自学导航（课前预习）
1、（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 。
（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=5，c=13，则b= 。
2、如图，已知正方形ABCD的边长为1，则它的对角线AC= 。
二、合作交流
例：用圆规与尺子在数轴上作出表示的点，并补充完整作图方法。
步骤如下：1．在数轴上找到点A，使OA＝ ；
2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝ ；
3．以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点．
分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。如图，已知OA=OB，
(1)说出数轴上点A所表示的数
（2）在数轴上作出对应的点
三、展示提升（质疑点拨）1、你能在数轴上找出表示的点吗？请作图说明。
2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
3、已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。
（1）求等边△ABC的高。
（2）求S△ABC。
四、达标检测
1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。
2、已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。
3、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
4、在数轴上作出表示的点。
5、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°，CD=，
求线段AB的长。
17.1勾股定理
学习目标
知识：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
能力：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
情感：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
学习重点:
1. 勾股定理的内容及证明。
学习难点:
1. 勾股定理的证明。
教学流程
【导课】
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
【阅读质疑 自主探究】
例1已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a2＋b2=c2。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正
4×ab＋（b－a）2=c2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×ab＋c2
右边S=（a+b）2
左边和右边面积相等，即
4×ab＋c2=（a+b）2
化简可证。
【多元互动 合作探究】
1．勾股定理的具体内容是： 。
2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ；
⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；
⑷三边之间的关系： 。
3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2= a2＋c2，则 =90°； 若满足b2＞c2＋a2，则∠B是 角； 若满足b2＜c2＋a2，则∠B是 角。
4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理
【训练检测 目标探究】
1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
⑴c= 。（已知a、b，求c）
⑵a= 。（已知b、c，求a）
⑶b= 。（已知a、c，求b）
2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。
3、4、5
32+42=52
5、12、13
52+122=132
7、24、25
72+242=252
9、40、41
92+402=412
……
……
19，b、c
192+b2=c2
3．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。
4．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。
求证：⑴AD2－AB2=BD·CD
⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
第十七章 勾股定理
17.1勾股定理（2）
学习目标
知识：会用勾股定理进行简单的计算。
能力：树立数形结合的思想、分类讨论思想。
情感：
学习重点:
1. 勾股定理的简单计算。
学习难点:
1. 勾股定理的灵活运用。
教学流程
【导课】
复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。
【多元互动 合作探究】
例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。
⑵已知a=1,c=2, 求b。
⑶已知c=17,b=8, 求a。
⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。
分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例3（补充）已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。
⑴求等边△ABC的高。
⑵求S△ABC。
分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要
创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做
法。欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，
但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=AB=3cm，则此题可解。
【训练检测 目标探究】
1．填空题
⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。
⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。
2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。
3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
【迁移应用 拓展探究】
1．填空题
在Rt△ABC，∠C=90°，
⑴如果a=7，c=25，则b= 。
⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。
⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。
⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。
⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c= 。
⑹如果b=8，a：c=3：5，则c= 。
2．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，
AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
第十七章 勾股定理
17.1勾股定理（3）
学习目标
知识：会用勾股定理解决简单的实际问题。
能力：树立数形结合的思想
情感：树立数形结合的思想
学习重点:
1. 勾股定理的应用。
学习难点:
1. 实际问题向数学问题的转化。
【导课】
勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。
【多元互动 合作探究】
例1（教材P66页探究1）
分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。
例2（教材P67页探究2）
分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。 ⑵ 在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。
则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。
⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。
【训练检测 目标探究】
1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是
米，水平距离是 米。
2题图 3题图 4题图
3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
【迁移应用 拓展探究】
1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 。
2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。
3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米。
4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。（精确到1米）
布置作业
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教后反思
授课时间： 累计课时：
第十七章 勾股定理
第十七章 勾股定理（4）
学习目标
知识：1．会用勾股定理解决较综合的问题。
能力：树立数形结合的思想。
情感：
学习重点:
1．重点：勾股定理的综合应用。
学习难点:
1.勾股定理的综合应用。
【导课】
复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。
【多元互动 合作探究】
例1已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=，
求线段AB的长。
分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。或欲求AB，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。
例2已知：如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°。在学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC。让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？
小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作辅助线？
解略。
例3已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。
解：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。
∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=
小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。
例4（教材P68页探究3）
分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
变式训练：在数轴上画出表示的点。
六、课堂练习
1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S△ABC= 。
2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=cm，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S△ABC= 。
3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=，CD⊥AB于D，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S△ABC= 。
4．已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，
求S△ABC。
【训练检测 目标探究】
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=，AB= 。
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，S△ABC=30，c=13，且a＜b，则a= ，b= 。
3．已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=，
求（1）AB的长；（2）S△ABC。
4．在数轴上画出表示－的点。
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理（1）
学习目标
知识：1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
能力：探究勾股定理的逆定理的证明方法。
情感：理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
学习重点:
1.重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。
学习难点:
1.勾股定理的逆定理的证明。
【导课】
创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？
⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。
【多元互动 合作探究】
例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。
解略。
例2（P74探究）证明：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。
⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。
⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。
⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。
⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。
证明略。
例3（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）
求证：∠C=90°。
分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
⑶由于a2+b2= （n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2= n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。
【训练检测 目标探究】
1．判断题。
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。
⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。
⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
⑷△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形。
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=15，c=17
B．a=9，b=12，c=15
C．a=，b=，c=
D．a：b：c=2：3：4
4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a=，b=，c=； ⑵a=5，b=7，c=9；
⑶a=2，b=，c=； ⑷a=5，b=，c=1。
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理（2）
学习目标
知识：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
能力：进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
情感：
学习重点:
1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
学习难点:
1.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
【导课】
创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。
【多元互动 合作探究】
例1（P75例2）
分析：⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；
⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°；
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。
分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；
⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。
解略。
【训练检测 目标探究】
1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。
2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？
【迁移应用 拓展探究】
1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。
2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？
3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理（3）
学习目标
知识：应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。
能力：灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。
情感：进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
学习重点: 利用勾股定理及逆定理解综合题。
学习难点: 利用勾股定理及逆定理解综合题。
教学流程
【导课】
勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。
【多元互动 合作探究】
例1（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
试判断△ABC的形状。
分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。
例2（补充）已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：四边形ABCD的面积。
分析：⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；
⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。
例3（补充）已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。
求证：△ABC是直角三角形。
分析：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
=AD2+2AD·BD+BD2
=（AD+BD）2=AB2
【训练检测 目标探究】
1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形；
B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；
D．等腰直角三角形。
2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：，试判断△ABC的形状。
3．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC。
求：四边形ABCD的面积。
4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD·BD。
求证：△ABC中是直角三角形。
【迁移应用 拓展探究】
1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。
2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。
求证：△ABC是等腰三角形。
3．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。
求证：AB2=AE2+CE2。4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC的形状。
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
17.1 勾股定理
教学任务分析
教
学
目
标
知识技能
1．运用勾股定理进行简单的计算．
2．运用勾股定理解释生活中的实际问题．
数学思考
通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法．
解决问题
能运用勾股定理解决直角三角形相关的问题．
情感态度
通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
重点
勾股定理的应用．
难点
勾股定理在实际生活中的应用．
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动1 回顾勾股定理
活动2 运用勾股定理解释生活中的问题
活动3 巩固练习 探索新知
活动4 小结与作业
通过一组练习让学生回顾直角三角形三边关系，为本节课勾股定理的应用做好铺垫．
通过解决教材中的两个例题，进一步熟悉和掌握勾股定理，同时培养学生从事物中抽象出几何模型（直角三角形）的能力．
通过练习及时反馈教学效果，了解不同层次的学生对知识和方法的掌握情况．设计课本习题的变式题，拓展学生思维能力，深化勾股定理的应用．
通过讨论交流、自由发言等形式，归纳本节课所用的知识方法．通过课外作业，反馈教学效果，调整教学方法．
教学过程设计
问题与情景
师生行为
设计意图
[活动1]
问题
（1）求出下列直角三角形中未知的边．
回答：
①在解决问题时，每个直角三角形需知晓几个条件？
②直角三角形中哪条边最长？
（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，求AC长．
教师提出问题后让四位学生板演，剩下的学生在课堂作业本上完成．
问题（2）学生分组讨论，自己解决；
教师巡视指导答疑．
在活动1中教师应重点关注：
（1）学生能否正确应用勾股定理进行计算；
（2）在解决直角三角形的问题时，需知道直角三角形的两个条件且至少有一个条件是边；
（3）让学生了解在直角三角形中斜边最长；
（4）在解决问题2时，能否将一个长方形转化为两个全等的直角三角形．
教师利用学生已有的知识（勾股定理及直角三角形的相关知识）创设问题情境，有针对性地引导学生进行练习，为学习勾股定理在实际生活中的应用做好铺垫．
[活动2]
问题
（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？
（2）一个门框的尺寸如图1所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
问题（1）学生由活动1的结果可得出判断：
AB＜BC＜AC．
问题（2）学生分组讨论，易回答①、②．
在解决前两问的基础上，教师着重引导学生将③的实际问题转化为数学模型，计算并回答：
∵木板宽2.2米大于1米，∴横着不能从门框通过；
∵木板宽2.2米大于2米，∴竖着也不能从门框通过．
通过问题（1）让学生熟悉直角三角形斜边与直角边的大小关系，为解决问题（2）奠定基础．
问题（2）是本节课的重点和难点．
问题与情景
师生行为
设计意图
图1
（3）教材第26页练习1．
（4）如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①球梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们
猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？
算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．
图2
∴只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此，从中抽象出数学模型直角
△ABC，并求出斜边的长度，所以木板能从门框通过．
教师与学生一起完成问题（3）．
教师提出问题（4），引导学生将实际问题转化为数学模型；
学生合作交流，讨论回答：
（1）在Rt△AOB中，
．
（2）的①由学生分组讨论做出猜想． ②要求梯子的底端B是否也外移0.5米，就是求出BD的长，而BD=OD－OB，由（1）可知OB，只需在求出OD即可．
在Rt△COD中，
梯的顶端A沿墙下滑0.5米，梯子的底端B外移0.58米．
在活动2中教师应重点关注：
（1）结合问题2训练学生用文字语言表达数学过程的能力；
（2）学生能否准确将实际问题转化为数学问题，建立几何模型；
（3）正确运用勾股定理解释生活中的问题．
为了让学生能有效地突破难点，本环节分别为它们设计了一到两个简单的由已有的知识和生活经验易于解答的小问题作台阶，顺利解决如何将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培养学生的数学应用意识．
通过运用勾股定理对实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并能服务于生活．
问题与情景
师生行为
设计意图
[活动3]
（1）教材第26页练习第2题．
（2）变式：以教材第26页练习第2题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB．
（3）如图3，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式 ．
变式：教材第29页第13题，如图4．
问题（1）学生板演，其余学生在课堂练习本上独立完成．
问题（2）和问题（3）将全班学生分成四人小组，给足时间分别进行讨论、交流；
教师参与学生活动，适当地给与指导．
在活动3中，教师应重点关注：
（1）根据学生在练习中反映出的问题，有针对性地对不同层次的学生进行指导；
（2）学生对问题（2） 能否构造适当的几何模型测量池塘的长AB；
（3）对学有余力的学生，在问题（3）中能否进一步加以拓展．
设计教材第26页练习第2题的变式，满足不同层次学生的学习需求，拓展学生思维空间，让学生联想与直角三角形或全等三角形相关的知识（等腰直角三角形、有一个角为30°的直角三角形、等边三角形等），使所学的知识得到进一步深化．
设计教材第29页第13题的变式题问题3，有助于启迪学生进一步思考将直角三角形ABC外的正方形或半圆再变为等边三角形等结论还能否成立．
[活动4]
（1）小结
（2）作业：
①教材第28页习题第2、3、4、5题．
②教材第29页习题第12题．
让学生充分讨论交流，说出自己的体会，最后师生共同归纳．
教师布置作业，学生记录并按要求在课外完成．
在活动4中，教师应重点关注：
（1）培养学生对所学内容进行归纳、整理、总结的好习惯；
（2）对学生在作业中反映出的问题，应做好记载，找出解决教、学不足的措施．
通过讨论交流、自由发言等形式，使学生掌握归纳的方法．通过布置课外作业，及时获知学生对本节课知识的掌握情况，适当的调整教学进度和教学方法，并对学习有困难的学生给与指导．
教学设计说明
本节课主要内容是勾股定理的应用，安排在勾股定理的探索之后，它既是直角三角形性质的拓展，也是后续学习“解直角三角形”的基础．本节课的重点是勾股定理的应用，难点是勾股定理在实际生活中的应用．勾股定理是建立在一般三角形性质以及三角形全等的基础上，是三角形知识的深化，它在日常生活中有着广泛的应用．
在复习了直角三角形的相关知识的基础上，本节课进一步熟悉了勾股定理．教师通过运用勾股定理对一系列富有层次、探究性的实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质，数学来源于生活，并服务于生活．在活动3中，教师设计课本习题的变式题，给学生足够的时间讨论交流，使“不同的学生数学上得到不同的发展”． 整堂课，教师重点关注学生的探究精神以及交流、合作意识．
勾股定理的证明
一、教学目标：
1、知识与技能： （1）掌握勾股定理的一些基本证明方法；
（2）了解有关勾股定理的历史.
2、过程与方法： （1）在定理的证明中培养学生的拼图能力；
（2）经历理解勾股定理的证明过程，感悟并掌握勾股定理的证明猜想.
3、情感态度与价值观：（1）通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育；
（2）通过数学思维活动，发展学生探究意识和合作交流思想.
二、教学重点：理解并熟练勾股定理的证明过程
三、教学难点：对勾股定理证明思想的领会
四、 教学用具：直尺，四个全等的直角三角形纸片，赵爽弦图，2002年国际数学大会图片
五、教学方法：以学生为主体的讨论探索法
六、教学过程：
1、创设情境→激发兴趣
（1）复习勾股定理——直角三角形的三边关系
勾股定理：直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方。
数学表达式：a2?+b2 =c2
（2）欣赏图片——引出课题
通过欣赏2002年在我国北京召开的国际数学家大会的会徽图案，引出“赵爽弦图”，让学生了解我国古代辉煌的数学成就，激发学生民族自豪感.
2、分析探究→得出猜想
通过对赵爽弦图图形组成的提问：即由四个全等的直角三角形构成的，让同学们体验对数学图形的探究过程，学习这种研究方法。同时提问：为什么会把这个图案设为大会的会徽?它有什么意义呢？
继而教师总结：因为在1700多年前中国古代数学家赵爽用这个弦图证明了勾股定理（出示图片），我们称它为“赵爽弦图”，它反应了中国古代数学家的聪明才智，是我们中国古代数学的骄傲，现在让我们追忆一下古人的足迹，用赵爽弦图证明勾股定理：
3、拼图证明→得出定理
证明方法一：（中国赵爽证法）
证明： 大正方形的面积可以表示为 ：
也可以表示为∵ =
∴?
赵爽弦图好比将大正方形分“割”成几个部分→割的方法
从而说明了勾股定理是正确的
证明方法二：（西方毕达哥拉斯证法）
证明：大正方形的面积可以表示为：
也可以表示为：
∵=
∴
毕达哥拉斯图好比将小正方形“补”成一个大的图形→补的方法
从而也说明了勾股定理是正确的
4、迁移应用→拓展提高
如图14.1.4，将长为5米的梯子AC斜靠在 墙上，梯子底端到墙的距离BC长为3米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB.
解：如图14.1.4，在Rt△ABC中，
BC=3米，AC=5米，根据勾股定理得(米)
答：梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB为4米。
5、回顾小结→整体感知
（1）、本节课我们经历了怎样的学习过程？
经历了从复习勾股定理，再到利用多种方法证明定理，最后学会应用定理解决实际问题的过程。
（２）、本节课我们学到了什么？
通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还体现了利用割补法来证明数学结论的数形结合思想。
（３）、学了本节课后你有什么感想？
作为反映自然界基本规律的一条结论，伟大的发现—勾股定理在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。同时，勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值 。
6、布置作业→巩固加深
以上两种证明方法是比较古老的，到目前为止，勾股定理的证明方法已经有四百多种了，著名画家达芬奇，美国总统加菲尔德都证明过，请同学们课后收集有关勾股定理的证明方法，下节课展示、交流。
17.1 勾股定理
教学目标
知识与技能：
体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系.
过程与方法：
让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学过程，并体会数形结合和由特殊到一般的思想方法.。通过数学活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果．
情感态度与价值观：
（1）在探索勾股定理的过程中，让学生体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.
（2）使学生在定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣.
（3）在数学活动中使学生了解勾股定理的历史，感受数学文化，激发学习热情．
（4）通过介绍勾股定理在中国古代的历史，激发学生的民族自豪感.
教学重点：
（1）探索和验证勾股定理.； （2）通过数学活动体验获取数学知识的感受。
教学难点
在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理及用拼图的方法证明勾股定理．。
教学流程安排
创设情境
活动1：
章节引入
欣赏图片
引入课题
探索研讨
活动2、3、：
探索勾股定理
活动4：
证明勾股定理
定理应用
活动5：
练习1、2
小
结
教学过程设计
一、创设情境，引入课题
活动1:
欣赏图片：2002年国际数学家大会的会标
师生互动：教师提出问题，同学听说过勾股定理吗？
板书课题：17.1勾 股 定 理（1）
二、探索研讨
1、探索勾股定理
活动2：
问题（3）相传2500年前，古希腊数学家毕达
哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家
用砖铺成的地面中反映了直角三角形
三边之间的某种数值关系
（1）我们也来观察一下你有什么发现？
（2）是不是所有的等腰直角三形三边都有这样的关系呢？请同学们打开探究材料，观察图一、图二你得出什么结论？
（3）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点
师生互动：教师解说并提出问题，引导学生观察图案，学生观察、交流、回答问题，师生共同评价，归纳结论，总结发现方法。
活动3：
类比上述方法运用探究材料在图三、图四的网格上探索两条直角边不相等的直角三角形三边的数量关系。
若网格中每一个小方格面积为1个单位面积，
那么正方形A、B、C的面积为多少？你能从中发现什么结论呢？
师生互动：教师提出问题，引导学生类比上述方法探索，学生思考、动手探索、计算回答问题，师生共同评价，归纳结论。
1、同学们由以上探索，依据该图形，能否用一句话概括出以上结论呢？
命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a和b，
斜边为c，那么
师生互动：教师提问，学生概括回答，教师板写结论。
2、证明勾股定理
活动4：
看左边的图案，这个图案是公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄色）．
c2 = b2 -2ab+ a2+2ab
化简得： c2 =a2+ b2．
请同学们拿出探究材料中的四个全等的直角三角形图五，以小组为单位，类比以上方法用另一种拼图的方法验证这个命题。
师生互动：教师组织学生拼图验证结论，巡视参与并引导提示：①所拼图形面积能用直角三角形的边长来表示②所拼图形的面积要用两种不同方法表示，并用等号连结，化简验证；学生小组交流，动手拼图验证结论，小组代表展示实践结果；师生共同评价，概括归纳勾股定理。
播放视频，了解勾股定理的有关历史。
三、应用
活动5：
练习1、如图，在在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
若a=12,b=5,则c等于多少？
若a=6,c=10,则b等于多少？
若b=7，c=8则a等于多少
师生互动：学生动手操作；教师巡视引导，展示学生解答结果；师生共同评价，归纳定理应用注意事项。
练习2、去年10月份的一次强风把小明家门前的一棵8米高的大树从3米处折断了，折断的树枝会不会打到停在大树旁3.9米处的小轿车呢？为什么？
师生互动：教师引导学生分析题意，思考，帮助学生数学建型，并提问学生用什么办法来判断？学生思考、回答、动手操作解决问题；教师巡视引导，展示学生解答结果，师生共同评价。
四、课堂小结
请同学畅所欲言谈谈本节课的收获
师生互动：教师提出问题，学生回答，教师补充共同归纳。
五、布置作业
课本P28，习题17.1第1、2题
课件21张PPT。 17.1 勾股定理（1） 相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系． 我们也来观察右图中的地面图案，看看能发现些什么？重温伟大的发现（图中每一格代表一平方厘米）观察左图：
（1）正方形P的面积是 平方厘米。（2）正方形Q的面积是 平方厘米。（3）正方形R的面积是 平方厘米。121SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2重温伟大的发现上面三个正方形的面积之间有什么关系？上面三角形ABC三边之间有什么关系？把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。（图中每一格代表一平方厘米）重温伟大的发现把R看作是小正方形面积加上四个直角三角形的面积。（图中每一格代表一平方厘米）重温伟大的发现RQP（图中每一格代表一平方厘米）观察左图：
（1）正方形P的面积是
平方厘米。（2）正方形Q的面积是
平方厘米。（3）正方形R的面积是
平方厘米。9方法二1625（1）你能用直角三角形的边长表示上述正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
SQ=AC2, SP=BC2, SR=AB2方法一AC2+BC2=AB2SQ+SP=SR重温伟大的发现 在下图中用三角尺画出两条直角边分别为5cm、 12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立。52+122=132重温伟大的发现勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。在?ABC中，?C=90??AC2+BC2=AB2abc（a2+b2=c2）勾股弦……勾股定理abc注意：勾股定理的前提条件是直角三角形！！勾股定理背景资料勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。勾股定理的别称有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先发现的。中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话。周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。勾股定理的历史abc中国最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图” （左图），用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。这个图也被后人称为“赵爽弦图”。大正方形的面积可以表示为：所以：化简得：八年级下册勾股定理的证明2002年在北京召开的国际数学家大会（ICM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.aaabbbccc大正方形的面积可以表示为：你能通过下图证明勾股定理吗？abc所以：化简得：八年级下册勾股定理的证明加菲尔德证法
（总统证法）: s梯形= (a+b)(a+b)= (a2+2ab+b2)
= a2+ab+ b2
s梯形=2× ab+ c2=ab+ c2
∵s梯形=s梯形
∴ a2+ab+ b2=ab+ c2
∴a2+b2=c2詹姆斯·艾伯拉姆·加菲尔德?(1831～1881）?美国政治家、数学家，美国共和党人，美国第20任总统 .他在数学方面的贡献主要是在勾股定理的证明方面的新成就，他也是美国历史上唯一一位数学家出身的总统。 勾股定理的证明前面我们利用数格子的方法得到：即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方A的面积+B的面积=C的面积a2+b2=c2从而探索了直角三角形的三边关系，得到勾股定理：勾股定理的运用勾股定理的运用:
已知直角三角形的任意两条边长，求第三条边长.a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2例1 如图，在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB的长.B24AC7如果将题目变为：
在Rt△ABC中,AB=41, BC=40,求AC的长.24∵ Rt△ABC中, ∠C是直角∴AC2+BC2=AB2∴勾股定理的运用勾股定理的运用练习：
1.设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b.
(2)已知a=5，c=12，求c.
(3)已知c=25,b=15,求a.勾股定理的运用练习：
2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形。已知正方形A,B,C,D的边长分别是12，16，9，12.求最大的正方形E的面积。勾股定理的运用练习：
3.在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,
(1)已知∠C=90°,a=3,b=4,则c=______;
(2)已知∠B=90°,a=3,b=4,则c=_____;55或343454.已知Rt△ABC中，a=3,b=4,则c=_____________;勾股定理的运用例2.如图，在△ABC中，∠A=45°， AB= +1，求：边BC的长。D练习：如图，在△ABC中，∠ACB = 900，CD是高，若
AB=13cm，AC = 5cm，求CD的长；勾股定理的运用例3. △ABC中,周长是24,∠C=90°,且 b=6,则三角形的面积是多少?ABCabc解：∵周长是24，且b=6∴a+c=24-6=18设a=x,则c=18-x∵ ∠C=90°, ∴a2+b2=c2∴x2+62=(18-x)2解得：x=8勾股定理的运用拓展练习：
如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；……以此下去，则正方形A4B4C4D4的面积为__________.图（1）图（2）课件23张PPT。（第一课时） 勾股定理 1、通过观察方格图,能说出直角三角形的三边关系,掌握勾股定理.
2、能利用材料,通过剪、拼图验证勾股定理.
3、通过拼图活动，在自学探索中，体验解决问题方法的多样性以及数学思维的严谨性.
学习目标 相传2500年前,古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上找到了直角三角形三边的关系。观察——发现你知道他是通过什么途径找到怎样的三边关系的吗？SA+SB=SC 1.你能发现正方形A、B、C 面积之间的等量关系吗？SA=a2 SB=b2 SC=c2 2. 你能用等腰直角三角形的边长分别表示这三个正方形的面积吗？ 3. 你能发现等腰直角三角形三边之间的关系吗？ a2+b2=c2 4. 你能用语言表述等腰直角三角形三边之间的关系吗？ 两条直角边的平方和等于斜边的平方.1.观察左图并填写下表：（图中每个小方格代表一个单位面积） 对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？16 4 9 9 25 13 方法一: 把C“补” 成边长为 7 个单位长的正方形.（图中每个小方格代表一个单位面积）=25（单位面积）展示交流（图中每个小方格代表一个单位面积） 方法二：把C分割成4个直角边为整数的三角形和中间的一个小正方形.=25（单位面积）展示交流（图中每个小方格代表一个单位面积）3 .观察表中的数据，猜想直角三角形的三边有什么关系？获得猜想 命题：直角三角形两条直角边的
平方和等于斜边的平方.展示交流实践验证左图的面积为 右图的面积为
a2+b2 c2
可知 a2+b2=c2
试一试你能利用拼图的方法来验证它吗？1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c ）.2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看.=2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为c24? +(b- a)2
∵ c2= 4? +(b-a)2 ∵ (a+b)2 =a2+2ab+b2 = c2 +2ab∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为(a+b)2c2 +4?a2+b2=c2b股┏ac 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾弦 勾股定理勾2+股2=弦2(毕达哥拉斯定理) 两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955走 进 勾 股 世 界国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。3.在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4,则第三边的长为________1.在等腰Rt△ABC中, a=b=1,则c=＿＿＿2.在Rt△ABC中, ∠A=30°，AB=2，则BC= ＿ AC=＿＿＿第1题图第2题图1耐心填一填，一锤定音 解：在Rt△ACB中， AC=4米,CB=3米
根据勾股定理得 AB2=AC2+CB2
所以AB=5（米）
所以 AB+AC=9（米）
答:这颗树折断前高9米. 4、受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？老师相信你能行！DA⒌蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）GFE341256851310我收获 我快乐交流展示 1.如图，分别以Rt △ABC三边为边 向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式为 ． 百尺竿头，更进一步！2变式：你还能求出S1、S2、S3之间的关系式吗？ S1+S2=S3
