[学案+答案]人教版 必修二第六章 《万有引力与航天》全章综合

二、重点内容
1、计算重力加速度
（1）在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，可用万有引力定律来计算。
F引=G=6.67×× m/= 9.8m/= 9.8N/kg
即在地球表面附近，物体的重力加速度g＝9.8m/。这一结果表明，在重力作用下，物体加速度大小与物体质量无关。
（2）即算地球上空距地面h处的重力加速度g′。有万有引力定律可得：
g′＝又g＝，∴＝，∴g′＝g
（3）计算任意天体表面的重力加速度g′。有万有引力定律得：
g′＝（M′为星球质量，R′卫星球的半径），又g＝，∴＝。
注意：在地球表面物体受到地球施与的万有引 ( http: / / www.21cnjy.com )力与其重力是合力与分力的关系，万有引力的另一个分量给物体提供其与地球一起自转所需要的向心力。由于这个向心力很小，我们可以忽略，所以在地球表面的物体F引=G
2、天体运行的基本公式
在宇宙空间，行星和卫星运行所需的向心力，均 ( http: / / www.21cnjy.com )来自于中心天体的万有引力。因此万有引力即为行星或卫星作圆周运动的向心力。因此可的以下几个基本公式。
（1）向心力的六个基本公式，设中心天体的质量为M，行星（或卫星）的圆轨道半径为r，则向心力可以表示为：F引=F向，＝G＝ma＝m=mr=mr=mr=mv。
（2）五个比例关系：（r为行星的轨道半径）
向心力：＝G，F∝；
向心加速度：a=G, a∝；
① G＝m； 得v＝，v∝；
②G＝m r ；得＝，∝；
③G＝mr； 得T＝2，T∝；
（3）v与的关系。在r一定时，v=r,v∝;在r变化时，如卫星绕一螺旋轨道远离或靠近中心天体时，r不断变化，v、也随之变化。根据，v∝和∝，这时v与为非线性关系，而不是正比关系。
3、引力常量的意义
根据万有引力定律和牛顿第二定律可得：G＝mr∴.这实际上是开普勒第三定律。它表明是一个与行星无关的物理量，它仅仅取决于中心天体的质量。在实际做题时，它具有重要的物理意义和广泛的应用。它同样适用于人造卫星的运动，在处理人造卫星问题时，只要围绕同一星球运转的卫星，均可使用该公式。
4、估算中心天体的质量和密度
（1）中心天体的质量，根据万有引力定律和向心力表达式可得：
G＝mr， ∴M＝
（2）中心天体的密度
方法一：中心天体的密度表达式ρ＝，V＝（R为中心天体的半径），根据前面M的表达式可得：ρ＝。当r＝R即行星或卫星沿中心天体表面运行时，ρ＝。此时表面只要用一个计时工具，测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时间，周期T，就可简捷的估算出中心天体的平均密度。
方法二：由g=,M=进行估算，ρ＝，∴ρ＝
5、稳定运行与变轨运行
（1）稳定运行：
某天体m围绕某中心天体M稳定做圆周运动时，始终满足F引=F向，即：
所以v＝，故r越大时，v越小；r越小时，v越大；
（2）变轨运行：
某天体m最初沿某轨道1稳定做圆周运动满足，由于某原因其v变大，此时其所需要的向心力变大，万有引力不足以提供向心力时，m就做离心运动，运动到较高轨道2做稳定的圆周运动，此时v比原轨道1处的v小；反之，若在轨道1处v突然变小时，将会到较低轨道3稳定运行，此时v比原轨道1要大；
三、常考模型规律示例总结
1. 对万有引力定律的理解
（1）万有引力定律：自然界中任何两个物体都 ( http: / / www.21cnjy.com )是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。
（2）公式表示：F=。
（3）引力常量G：
①适用于任何两物体。
②意义：它在数值上等于两个质量都是1kg的物体（可看成质点）相距1m时的相互作用力。
③G的通常取值为G=6.67×10-11Nm2/kg2。是英国物理学家卡文迪许用实验测得。
（4）适用条件：
①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力定律计算。
②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的r是指两球心间的距离。
③当所研究物体不能看成质点 ( http: / / www.21cnjy.com )时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。（此方法仅提供一种思路）
（5）万有引力具有以下三个特性：
①普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一。
②相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。
③宏观性：通常情况下，万有引力非常小， ( http: / / www.21cnjy.com )只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计。
〖例1〗设地球的质量为M，地球的半径为R，物体的质量为m，关于物体与地球间的万有引力的说法，正确的是：
A、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。
物体距地面的高度为h时，物体与地球间的万有引力为F=。
物体放在地心处，因r=0，所受引力无穷大。
D、物体离地面的高度为R时，则引力为F=
〖答案〗D
〖点评〗（1）物体与地球之间的吸引是相互的，由牛顿第三定律，物体对地球与地球对物体的引力大小相等。
（2）F= 。中的r是两相互作用的物体质心间的距离，不能误认为是两物体表面间的距离。
（3）F= 适用于两个质点间的相互作用，如果把物体放在地心处，显然地球已不能看为质点，故选项C的推理是错误的。
〖拓展〗对于万有引力定律的数学表达式F=，下列说法正确的是：
A、公式中G为引力常数，是人为规定的。
B、r趋近于零时，万有引力趋于无穷大。
C、m1、m2之间的引力总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关。
D、m1、m2之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力。
〖答案〗C
2. 计算中心天体的质量
解决天体运动问题，通常把一个天体绕 ( http: / / www.21cnjy.com )另一个天体的运动看作匀速圆周运动，处在圆心的天体称作中心天体，绕中心天体运动的天体称作运动天体，运动天体做匀速圆周运动所需的向心力由中心天体对运动天体的万有引力来提供。
式中M为中心天体的质量,Sm为运动天体的质量,a为运动天体的向心加速度,ω为运动天体的角速度,T为运动天体的周期,r为运动天体的轨道半径.
(1)天体质量的估算
通过测量天体或卫星运行的周期T及轨道半径r,把天体或卫星的运动看作匀速圆周运动.根据万有引力提供向心力,有,得
注意:用万有引力定律计算求得的质量M是位于圆心的天体质量(一般是质量相对较大的天体),而不是绕它做圆周运动的行星或卫星的m,二者不能混淆.
用上述方法求得了天体的质量M后,如果知道天体的半径R,利用天体的体积,进而还可求得天体的密度.如果卫星在天体表面运行,则r=R,则上式可简化为
规律总结:
掌握测天体质量的原理,行星(或卫星)绕天体做匀速圆周运动的向心力是由万有引力来提供的.
物体在天体表面受到的重力也等于万有引力.
注意挖掘题中的隐含条件:飞船靠近星球表面运行,运行半径等于星球半径.
(2)行星运行的速度、周期随轨道半径的变化规律
研究行星（或卫星）运动的一般方法为：把行星（或卫星）运动当做匀速圆周运动，向心力来源于万有引力，即：
根据问题的实际情况选用恰当的公式进行计算，必要时还须考虑物体在天体表面所受的万有引力等于重力，即
（3）利用万有引力定律发现海王星和冥王星
〖例2〗已知月球绕地球运动周期T和轨道半径r，地球半径为R求（1）地球的质量？（2）地球的平均密度？
〖分析〗
设月球质量为m，月球绕地球做匀速圆周运动，
则： ，
（2）地球平均密度为
答案： ；
总结：①已知运动天体周期T和轨道半径r，利用万有引力定律求中心天体的质量。
②求中心天体的密度时，求体积应用中心天体的半径R来计算。
〖拓展〗人类发射的空间探测器进入某 ( http: / / www.21cnjy.com )行星的引力范围后，绕该行星做匀速圆周运动，已知该行星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高为h处，运行周期为T。
（1）该行星的质量和平均密度？（2）探测器靠近行星表面飞行时，测得运行周期为T1，则行星平均密度为多少？
答案：（1）； （2）
3. 地球的同步卫星（通讯卫星）
同步卫星：相对地球静止，跟地球自转同步的卫星叫做同步卫星，周期T=24h，同步卫星又叫做通讯卫星。
同步卫星必定点于赤道正上方，且离地高度h，运行速率v是唯一确定的。
设地球质量为，地球的半径为，卫星的质量为，根据牛顿第二定律
设地球表面的重力加速度，则
以上两式联立解得：
( http: / / www.21cnjy.com )
同步卫星距离地面的高度为
同步卫星的运行方向与地球自转方向相同
注意：赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球表面做圆周运动的卫星的区别
在有的问题中，涉及到地球表面赤道上的物体和地 ( http: / / www.21cnjy.com )球卫星的比较，地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆心都在地心，而且两者做匀速圆周运动的半径均可看作为地球的R，因此，有些同学就把两者混为一谈，实际上两者有着非常显著的区别。
地球上的物体随地球自转做匀 ( http: / / www.21cnjy.com )速圆周运动所需的向心力由万有引力提供，但由于地球自转角速度不大，万有引力并没有全部充当向心力，向心力只占万有引力的一小部分，万有引力的另一分力是我们通常所说的物体所受的重力（请同学们思考：若地球自转角速度逐渐变大，将会出现什么现象？）而围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星，万有引力全部充当向心力。
赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时由于与地球保持相对静止，因此它做圆周运动的周期应与地球自转的周期相同，即24小时，其向心加速度；而绕地球表面运行的近地卫星，其线速度即我们所说的第一宇宙速度，
它的周期可以由下式求出：
求得，代入地球的半径R与质量，可求出地球近地卫星绕地球的运行周期T约为84min，此值远小于地球自转周期，而向心加速度远大于自转时向心加速度。
[例3] 已知地球的半径为R=6400km，地球表面附近的重力加速度，若发射一颗地球的同步卫星，使它在赤道上空运转，其高度和速度应为多大？
[分析]：设同步卫星的质量为m，离地面的高度的高度为h，速度为v，周期为T，地球的质量为M。同步卫星的周期等于地球自转的周期。
①
②
由①②两式得
( http: / / www.21cnjy.com )
又因为 ③
由①③两式得
[答案]：
[点评]：此题利用在地面上和在轨道上两式联立解题。
[拓展]下面关于同步卫星的说法正确的是（ ）
A .同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率都被确定
B .同步卫星的角速度虽然已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度降低，速率减小
C .我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低
D .同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小
[答案]：ACD
4. 双星问题
解决双星模型的问题时，应注意以下几点：
其一，两星之间的万有引力 ( http: / / www.21cnjy.com )提供各自需要的向心力；其二，两星绕某一点做匀速圆周运动的绕向相同、周期相同；其三，两星的轨道半径之和等于两星间的距离。
【例4】神奇的黑洞是近代引力理论所预言 ( http: / / www.21cnjy.com )的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX—3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期。
（1）可见得A所受暗星B的引力可等效为位于O点处质量为的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为、。试求（用、表示）；
（2）求暗星B的质量与可见星A的速率v、运行周期T和质量之间的关系式；
( http: / / www.21cnjy.com )[拓展]两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必定以一定角速度绕二者连线上的某一点转动才不至于由于万有引力的作用而吸引在一起，已知两颗星的质量分别为，相距为L，试求；
（1）两颗星转动中心的位置；
（2）这两颗星转动的周期。
【解析】设两星球做圆周运动的轨道半径分别为，它们转动周期T相同，如图。
对： ①
对： ②
由①②得
又
∴＝ ③
由③代入①可得：。
5. 万有引力定律与抛体运动知识的综合应用
星球表面的重力加速度一方面与星球有关（），另一方面又可以从它与运动的关系（平抛运动、自由落体运动、竖直上抛运动）中求出．重力加速度是运动学和万有引力、天体运动联系的纽带。
【例5】宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为L，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M和密度。
【解析】在其他星球表面上做平抛运动，与地球上的平抛运动具有相同的运动规律，所以运用相同的分析方法，要注意两处的重力加速度不同。
此题的关键就是要根据在星球表面物体的运 ( http: / / www.21cnjy.com )动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度。
根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为
设初始平抛小球的初速度为v，则水平位移为x=vt。有
当以2v的速度平抛小球时，水平位移为。所以有
在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G
联立以上三个方程解得
而天体的体积为，由密度公式得天体的密度为。
【点评】本题属于万有引力与抛体运动 ( http: / / www.21cnjy.com )的题目，应抓住关键切入点即抛体运动的加速度就是天体表面的重力加速度，而后根据抛体运动规律运动的合成与分解，分两个方向分别研究，同时要注意结合万有引力定律求出该天体表面的重力加速度。
[拓展]在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为的均匀球体。
【解析】以表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有
① ②
设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为，水平分量仍为，有 ③ ④
由以上各式解得 。
二、重点内容
1、计算重力加速度
（1）在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，可用万有引力定律来计算。
F引=G=6.67×× m/= 9.8m/= 9.8N/kg
即在地球表面附近，物体的重力加速度g＝9.8m/。这一结果表明，在重力作用下，物体加速度大小与物体质量无关。
（2）即算地球上空距地面h处的重力加速度g′。有万有引力定律可得：
g′＝又g＝，∴＝，∴g′＝g
（3）计算任意天体表面的重力加速度g′。有万有引力定律得：
g′＝（M′为星球质量，R′卫星球的半径），又g＝，∴＝。
注意：在地球表面物体受到地球施与的万有引 ( http: / / www.21cnjy.com )力与其重力是合力与分力的关系，万有引力的另一个分量给物体提供其与地球一起自转所需要的向心力。由于这个向心力很小，我们可以忽略，所以在地球表面的物体F引=G
2、天体运行的基本公式
在宇宙空间，行星和卫星运行所需的向心 ( http: / / www.21cnjy.com )力，均来自于中心天体的万有引力。因此万有引力即为行星或卫星作圆周运动的向心力。因此可的以下几个基本公式。
（1）向心力的六个基本公式，设中心天体的质量为M，行星（或卫星）的圆轨道半径为r，则向心力可以表示为：F引=F向，＝G＝ma＝m=mr=mr=mr=mv。
（2）五个比例关系：（r为行星的轨道半径）
向心力：＝G，F∝；
向心加速度：a=G, a∝；
① G＝m； 得v＝，v∝；
②G＝m r ；得＝，∝；
③G＝mr； 得T＝2，T∝；
（3）v与的关系。在r一定时，v=r,v∝;在r变化时，如卫星绕一螺旋轨道远离或靠近中心天体时，r不断变化，v、也随之变化。根据，v∝和∝，这时v与为非线性关系，而不是正比关系。
3、引力常量的意义
根据万有引力定律和牛顿第二定律可得：G＝mr∴.这实际上是开普勒第三定律。它表明是一个与行星无关的物理量，它仅仅取决于中心天体的质量。在实际做题时，它具有重要的物理意义和广泛的应用。它同样适用于人造卫星的运动，在处理人造卫星问题时，只要围绕同一星球运转的卫星，均可使用该公式。
4、估算中心天体的质量和密度
（1）中心天体的质量，根据万有引力定律和向心力表达式可得：
G＝mr， ∴M＝
（2）中心天体的密度
方法一：中心天体的密度表达式ρ＝，V＝（R为中心天体的半径），根据前面M的表达式可得：ρ＝。当r＝R即行星或卫星沿中心天体表面运行时，ρ＝。此时表面只要用一个计时工具，测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时间，周期T，就可简捷的估算出中心天体的平均密度。
方法二：由g=,M=进行估算，ρ＝，∴ρ＝
5、稳定运行与变轨运行
（1）稳定运行：
某天体m围绕某中心天体M稳定做圆周运动时，始终满足F引=F向，即：
所以v＝，故r越大时，v越小；r越小时，v越大；
（2）变轨运行：
某天体m最初沿某轨道1稳定做圆周运动满足，由于某原因其v变大，此时其所需要的向心力变大，万有引力不足以提供向心力时，m就做离心运动，运动到较高轨道2做稳定的圆周运动，此时v比原轨道1处的v小；反之，若在轨道1处v突然变小时，将会到较低轨道3稳定运行，此时v比原轨道1要大；
三、常考模型规律示例总结
1. 对万有引力定律的理解
（1）万有引力定律：自然界中任何两个物 ( http: / / www.21cnjy.com )体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。
（2）公式表示：F=。
（3）引力常量G：
①适用于任何两物体。
②意义：它在数值上等于两个质量都是1kg的物体（可看成质点）相距1m时的相互作用力。
③G的通常取值为G=6.67×10-11Nm2/kg2。是英国物理学家卡文迪许用实验测得。
（4）适用条件：
①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力定律计算。
②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的r是指两球心间的距离。
③当所研究物体不能看成质点时， ( http: / / www.21cnjy.com )可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。（此方法仅提供一种思路）
（5）万有引力具有以下三个特性：
①普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一。
②相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。
③宏观性：通常情况下，万有引力非常小， ( http: / / www.21cnjy.com )只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计。
〖例1〗设地球的质量为M，地球的半径为R，物体的质量为m，关于物体与地球间的万有引力的说法，正确的是：
A、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。
物体距地面的高度为h时，物体与地球间的万有引力为F=。
物体放在地心处，因r=0，所受引力无穷大。
D、物体离地面的高度为R时，则引力为F=
〖答案〗D
〖点评〗（1）物体与地球之间的吸引是相互的，由牛顿第三定律，物体对地球与地球对物体的引力大小相等。
（2）F= 。中的r是两相互作用的物体质心间的距离，不能误认为是两物体表面间的距离。
（3）F= 适用于两个质点间的相互作用，如果把物体放在地心处，显然地球已不能看为质点，故选项C的推理是错误的。
〖拓展〗对于万有引力定律的数学表达式F=，下列说法正确的是：
A、公式中G为引力常数，是人为规定的。
B、r趋近于零时，万有引力趋于无穷大。
C、m1、m2之间的引力总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关。
D、m1、m2之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力。
〖答案〗C
2. 计算中心天体的质量
解决天体运动问题，通常把一个天体绕另一个天 ( http: / / www.21cnjy.com )体的运动看作匀速圆周运动，处在圆心的天体称作中心天体，绕中心天体运动的天体称作运动天体，运动天体做匀速圆周运动所需的向心力由中心天体对运动天体的万有引力来提供。
式中M为中心天体的质量,Sm为运动天体的质量,a为运动天体的向心加速度,ω为运动天体的角速度,T为运动天体的周期,r为运动天体的轨道半径.
(1)天体质量的估算
通过测量天体或卫星运行的周期T及轨道半径r,把天体或卫星的运动看作匀速圆周运动.根据万有引力提供向心力,有,得
注意:用万有引力定律计算求得的质量M是位于圆心的天体质量(一般是质量相对较大的天体),而不是绕它做圆周运动的行星或卫星的m,二者不能混淆.
用上述方法求得了天体的质量M后,如果知道天体的半径R,利用天体的体积,进而还可求得天体的密度.如果卫星在天体表面运行,则r=R,则上式可简化为
规律总结:
掌握测天体质量的原理,行星(或卫星)绕天体做匀速圆周运动的向心力是由万有引力来提供的.
物体在天体表面受到的重力也等于万有引力.
注意挖掘题中的隐含条件:飞船靠近星球表面运行,运行半径等于星球半径.
(2)行星运行的速度、周期随轨道半径的变化规律
研究行星（或卫星）运动的一般方法为：把行星（或卫星）运动当做匀速圆周运动，向心力来源于万有引力，即：
根据问题的实际情况选用恰当的公式进行计算，必要时还须考虑物体在天体表面所受的万有引力等于重力，即
（3）利用万有引力定律发现海王星和冥王星
〖例2〗已知月球绕地球运动周期T和轨道半径r，地球半径为R求（1）地球的质量？（2）地球的平均密度？
〖分析〗
设月球质量为m，月球绕地球做匀速圆周运动，
则： ，
（2）地球平均密度为
答案： ；
总结：①已知运动天体周期T和轨道半径r，利用万有引力定律求中心天体的质量。
②求中心天体的密度时，求体积应用中心天体的半径R来计算。
〖拓展〗人类发射的空间探测器 ( http: / / www.21cnjy.com )进入某行星的引力范围后，绕该行星做匀速圆周运动，已知该行星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高为h处，运行周期为T。
（1）该行星的质量和平均密度？（2）探测器靠近行星表面飞行时，测得运行周期为T1，则行星平均密度为多少？
答案：（1）； （2）
3. 地球的同步卫星（通讯卫星）
同步卫星：相对地球静止，跟地球自转同步的卫星叫做同步卫星，周期T=24h，同步卫星又叫做通讯卫星。
同步卫星必定点于赤道正上方，且离地高度h，运行速率v是唯一确定的。
设地球质量为，地球的半径为，卫星的质量为，根据牛顿第二定律
设地球表面的重力加速度，则
以上两式联立解得：
( http: / / www.21cnjy.com )
同步卫星距离地面的高度为
同步卫星的运行方向与地球自转方向相同
注意：赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球表面做圆周运动的卫星的区别
在有的问题中，涉及到地球表面赤道上的物 ( http: / / www.21cnjy.com )体和地球卫星的比较，地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆心都在地心，而且两者做匀速圆周运动的半径均可看作为地球的R，因此，有些同学就把两者混为一谈，实际上两者有着非常显著的区别。
地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所 ( http: / / www.21cnjy.com )需的向心力由万有引力提供，但由于地球自转角速度不大，万有引力并没有全部充当向心力，向心力只占万有引力的一小部分，万有引力的另一分力是我们通常所说的物体所受的重力（请同学们思考：若地球自转角速度逐渐变大，将会出现什么现象？）而围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星，万有引力全部充当向心力。
赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时由于与地球保持相对静止，因此它做圆周运动的周期应与地球自转的周期相同，即24小时，其向心加速度；而绕地球表面运行的近地卫星，其线速度即我们所说的第一宇宙速度，
它的周期可以由下式求出：
求得，代入地球的半径R与质量，可求出地球近地卫星绕地球的运行周期T约为84min，此值远小于地球自转周期，而向心加速度远大于自转时向心加速度。
[例3] 已知地球的半径为R=6400km，地球表面附近的重力加速度，若发射一颗地球的同步卫星，使它在赤道上空运转，其高度和速度应为多大？
[分析]：设同步卫星的质量为m，离地面的高度的高度为h，速度为v，周期为T，地球的质量为M。同步卫星的周期等于地球自转的周期。
①
②
由①②两式得
( http: / / www.21cnjy.com )
又因为 ③
由①③两式得
[答案]：
[点评]：此题利用在地面上和在轨道上两式联立解题。
[拓展]下面关于同步卫星的说法正确的是（ ）
A .同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率都被确定
B .同步卫星的角速度虽然已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度降低，速率减小
C .我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低
D .同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小
[答案]：ACD
4. 双星问题
解决双星模型的问题时，应注意以下几点：
其一，两星之间的万有引力提供各自需要的向 ( http: / / www.21cnjy.com )心力；其二，两星绕某一点做匀速圆周运动的绕向相同、周期相同；其三，两星的轨道半径之和等于两星间的距离。
【例4】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种 ( http: / / www.21cnjy.com )特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX—3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期。
（1）可见得A所受暗星B的引力可等效为位于O点处质量为的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为、。试求（用、表示）；
（2）求暗星B的质量与可见星A的速率v、运行周期T和质量之间的关系式；
( http: / / www.21cnjy.com )[拓展]两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必定以一定角速度绕二者连线上的某一点转动才不至于由于万有引力的作用而吸引在一起，已知两颗星的质量分别为，相距为L，试求；
（1）两颗星转动中心的位置；
（2）这两颗星转动的周期。
【解析】设两星球做圆周运动的轨道半径分别为，它们转动周期T相同，如图。
对： ①
对： ②
由①②得
又
∴＝ ③
由③代入①可得：。
5. 万有引力定律与抛体运动知识的综合应用
星球表面的重力加速度一方面与星球有关（），另一方面又可以从它与运动的关系（平抛运动、自由落体运动、竖直上抛运动）中求出．重力加速度是运动学和万有引力、天体运动联系的纽带。
【例5】宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为L，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M和密度。
【解析】在其他星球表面上做平抛运动，与地球上的平抛运动具有相同的运动规律，所以运用相同的分析方法，要注意两处的重力加速度不同。
此题的关键就是要根据在星球表面物体的 ( http: / / www.21cnjy.com )运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度。
根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为
设初始平抛小球的初速度为v，则水平位移为x=vt。有
当以2v的速度平抛小球时，水平位移为。所以有
在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G
联立以上三个方程解得
而天体的体积为，由密度公式得天体的密度为。
【点评】本题属于万有引力与抛体运动的题 ( http: / / www.21cnjy.com )目，应抓住关键切入点即抛体运动的加速度就是天体表面的重力加速度，而后根据抛体运动规律运动的合成与分解，分两个方向分别研究，同时要注意结合万有引力定律求出该天体表面的重力加速度。
[拓展]在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为的均匀球体。
【解析】以表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有
① ②
设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为，水平分量仍为，有 ③ ④
由以上各式解得 。
二、重点内容
1、计算重力加速度
（1）在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，可用万有引力定律来计算。
F引=G=6.67×× m/= 9.8m/= 9.8N/kg
即在地球表面附近，物体的重力加速度g＝9.8m/。这一结果表明，在重力作用下，物体加速度大小与物体质量无关。
（2）即算地球上空距地面h处的重力加速度g′。有万有引力定律可得：
g′＝又g＝，∴＝，∴g′＝g
（3）计算任意天体表面的重力加速度g′。有万有引力定律得：
g′＝（M′为星球质量，R′卫星球的半径），又g＝，∴＝。
注意：在地球表面物体受到地球施与的万有引 ( http: / / www.21cnjy.com )力与其重力是合力与分力的关系，万有引力的另一个分量给物体提供其与地球一起自转所需要的向心力。由于这个向心力很小，我们可以忽略，所以在地球表面的物体F引=G
2、天体运行的基本公式
在宇宙空间，行星和卫星运行所需的向 ( http: / / www.21cnjy.com )心力，均来自于中心天体的万有引力。因此万有引力即为行星或卫星作圆周运动的向心力。因此可的以下几个基本公式。
（1）向心力的六个基本公式，设中心天体的质量为M，行星（或卫星）的圆轨道半径为r，则向心力可以表示为：F引=F向，＝G＝ma＝m=mr=mr=mr=mv。
（2）五个比例关系：（r为行星的轨道半径）
向心力：＝G，F∝；
向心加速度：a=G, a∝；
① G＝m； 得v＝，v∝；
②G＝m r ；得＝，∝；
③G＝mr； 得T＝2，T∝；
（3）v与的关系。在r一定时，v=r,v∝;在r变化时，如卫星绕一螺旋轨道远离或靠近中心天体时，r不断变化，v、也随之变化。根据，v∝和∝，这时v与为非线性关系，而不是正比关系。
3、引力常量的意义
根据万有引力定律和牛顿第二定律可得：G＝mr∴.这实际上是开普勒第三定律。它表明是一个与行星无关的物理量，它仅仅取决于中心天体的质量。在实际做题时，它具有重要的物理意义和广泛的应用。它同样适用于人造卫星的运动，在处理人造卫星问题时，只要围绕同一星球运转的卫星，均可使用该公式。
4、估算中心天体的质量和密度
（1）中心天体的质量，根据万有引力定律和向心力表达式可得：
G＝mr， ∴M＝
（2）中心天体的密度
方法一：中心天体的密度表达式ρ＝，V＝（R为中心天体的半径），根据前面M的表达式可得：ρ＝。当r＝R即行星或卫星沿中心天体表面运行时，ρ＝。此时表面只要用一个计时工具，测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时间，周期T，就可简捷的估算出中心天体的平均密度。
方法二：由g=,M=进行估算，ρ＝，∴ρ＝
5、稳定运行与变轨运行
（1）稳定运行：
某天体m围绕某中心天体M稳定做圆周运动时，始终满足F引=F向，即：
所以v＝，故r越大时，v越小；r越小时，v越大；
（2）变轨运行：
某天体m最初沿某轨道1稳定做圆周运动满足，由于某原因其v变大，此时其所需要的向心力变大，万有引力不足以提供向心力时，m就做离心运动，运动到较高轨道2做稳定的圆周运动，此时v比原轨道1处的v小；反之，若在轨道1处v突然变小时，将会到较低轨道3稳定运行，此时v比原轨道1要大；
三、常考模型规律示例总结
1. 对万有引力定律的理解
（1）万有引力定律：自然界中任何两个 ( http: / / www.21cnjy.com )物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。
（2）公式表示：F=。
（3）引力常量G：
①适用于任何两物体。
②意义：它在数值上等于两个质量都是1kg的物体（可看成质点）相距1m时的相互作用力。
③G的通常取值为G=6.67×10-11Nm2/kg2。是英国物理学家卡文迪许用实验测得。
（4）适用条件：
①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力定律计算。
②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的r是指两球心间的距离。
③当所研究物体不能看成质点时，可以把物 ( http: / / www.21cnjy.com )体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。（此方法仅提供一种思路）
（5）万有引力具有以下三个特性：
①普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一。
②相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。
③宏观性：通常情况下，万有引 ( http: / / www.21cnjy.com )力非常小，只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计。
〖例1〗设地球的质量为M，地球的半径为R，物体的质量为m，关于物体与地球间的万有引力的说法，正确的是：
A、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。
物体距地面的高度为h时，物体与地球间的万有引力为F=。
物体放在地心处，因r=0，所受引力无穷大。
D、物体离地面的高度为R时，则引力为F=
〖答案〗D
〖点评〗（1）物体与地球之间的吸引是相互的，由牛顿第三定律，物体对地球与地球对物体的引力大小相等。
（2）F= 。中的r是两相互作用的物体质心间的距离，不能误认为是两物体表面间的距离。
（3）F= 适用于两个质点间的相互作用，如果把物体放在地心处，显然地球已不能看为质点，故选项C的推理是错误的。
〖拓展〗对于万有引力定律的数学表达式F=，下列说法正确的是：
A、公式中G为引力常数，是人为规定的。
B、r趋近于零时，万有引力趋于无穷大。
C、m1、m2之间的引力总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关。
D、m1、m2之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力。
〖答案〗C
2. 计算中心天体的质量
解决天体运动问题，通常把一 ( http: / / www.21cnjy.com )个天体绕另一个天体的运动看作匀速圆周运动，处在圆心的天体称作中心天体，绕中心天体运动的天体称作运动天体，运动天体做匀速圆周运动所需的向心力由中心天体对运动天体的万有引力来提供。
式中M为中心天体的质量,Sm为运动天体的质量,a为运动天体的向心加速度,ω为运动天体的角速度,T为运动天体的周期,r为运动天体的轨道半径.
(1)天体质量的估算
通过测量天体或卫星运行的周期T及轨道半径r,把天体或卫星的运动看作匀速圆周运动.根据万有引力提供向心力,有,得
注意:用万有引力定律计算求得的质量M是位于圆心的天体质量(一般是质量相对较大的天体),而不是绕它做圆周运动的行星或卫星的m,二者不能混淆.
用上述方法求得了天体的质量M后,如果知道天体的半径R,利用天体的体积,进而还可求得天体的密度.如果卫星在天体表面运行,则r=R,则上式可简化为
规律总结:
掌握测天体质量的原理,行星(或卫星)绕天体做匀速圆周运动的向心力是由万有引力来提供的.
物体在天体表面受到的重力也等于万有引力.
注意挖掘题中的隐含条件:飞船靠近星球表面运行,运行半径等于星球半径.
(2)行星运行的速度、周期随轨道半径的变化规律
研究行星（或卫星）运动的一般方法为：把行星（或卫星）运动当做匀速圆周运动，向心力来源于万有引力，即：
根据问题的实际情况选用恰当的公式进行计算，必要时还须考虑物体在天体表面所受的万有引力等于重力，即
（3）利用万有引力定律发现海王星和冥王星
〖例2〗已知月球绕地球运动周期T和轨道半径r，地球半径为R求（1）地球的质量？（2）地球的平均密度？
〖分析〗
设月球质量为m，月球绕地球做匀速圆周运动，
则： ，
（2）地球平均密度为
答案： ；
总结：①已知运动天体周期T和轨道半径r，利用万有引力定律求中心天体的质量。
②求中心天体的密度时，求体积应用中心天体的半径R来计算。
〖拓展〗人类发射的空间探测器进入某行星的引 ( http: / / www.21cnjy.com )力范围后，绕该行星做匀速圆周运动，已知该行星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高为h处，运行周期为T。
（1）该行星的质量和平均密度？（2）探测器靠近行星表面飞行时，测得运行周期为T1，则行星平均密度为多少？
答案：（1）； （2）
3. 地球的同步卫星（通讯卫星）
同步卫星：相对地球静止，跟地球自转同步的卫星叫做同步卫星，周期T=24h，同步卫星又叫做通讯卫星。
同步卫星必定点于赤道正上方，且离地高度h，运行速率v是唯一确定的。
设地球质量为，地球的半径为，卫星的质量为，根据牛顿第二定律
设地球表面的重力加速度，则
以上两式联立解得：
( http: / / www.21cnjy.com )
同步卫星距离地面的高度为
同步卫星的运行方向与地球自转方向相同
注意：赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球表面做圆周运动的卫星的区别
在有的问题中，涉及到地球表面赤道上的物体和地 ( http: / / www.21cnjy.com )球卫星的比较，地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆心都在地心，而且两者做匀速圆周运动的半径均可看作为地球的R，因此，有些同学就把两者混为一谈，实际上两者有着非常显著的区别。
地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向 ( http: / / www.21cnjy.com )心力由万有引力提供，但由于地球自转角速度不大，万有引力并没有全部充当向心力，向心力只占万有引力的一小部分，万有引力的另一分力是我们通常所说的物体所受的重力（请同学们思考：若地球自转角速度逐渐变大，将会出现什么现象？）而围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星，万有引力全部充当向心力。
赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时由于与地球保持相对静止，因此它做圆周运动的周期应与地球自转的周期相同，即24小时，其向心加速度；而绕地球表面运行的近地卫星，其线速度即我们所说的第一宇宙速度，
它的周期可以由下式求出：
求得，代入地球的半径R与质量，可求出地球近地卫星绕地球的运行周期T约为84min，此值远小于地球自转周期，而向心加速度远大于自转时向心加速度。
[例3] 已知地球的半径为R=6400km，地球表面附近的重力加速度，若发射一颗地球的同步卫星，使它在赤道上空运转，其高度和速度应为多大？
[分析]：设同步卫星的质量为m，离地面的高度的高度为h，速度为v，周期为T，地球的质量为M。同步卫星的周期等于地球自转的周期。
①
②
由①②两式得
( http: / / www.21cnjy.com )
又因为 ③
由①③两式得
[答案]：
[点评]：此题利用在地面上和在轨道上两式联立解题。
[拓展]下面关于同步卫星的说法正确的是（ ）
A .同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率都被确定
B .同步卫星的角速度虽然已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度降低，速率减小
C .我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低
D .同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小
[答案]：ACD
4. 双星问题
解决双星模型的问题时，应注意以下几点：
其一，两星之间的万有引力提供 ( http: / / www.21cnjy.com )各自需要的向心力；其二，两星绕某一点做匀速圆周运动的绕向相同、周期相同；其三，两星的轨道半径之和等于两星间的距离。
【例4】神奇的黑洞是近代引力理论 ( http: / / www.21cnjy.com )所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX—3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期。
（1）可见得A所受暗星B的引力可等效为位于O点处质量为的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为、。试求（用、表示）；
（2）求暗星B的质量与可见星A的速率v、运行周期T和质量之间的关系式；
( http: / / www.21cnjy.com )[拓展]两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必定以一定角速度绕二者连线上的某一点转动才不至于由于万有引力的作用而吸引在一起，已知两颗星的质量分别为，相距为L，试求；
（1）两颗星转动中心的位置；
（2）这两颗星转动的周期。
【解析】设两星球做圆周运动的轨道半径分别为，它们转动周期T相同，如图。
对： ①
对： ②
由①②得
又
∴＝ ③
由③代入①可得：。
5. 万有引力定律与抛体运动知识的综合应用
星球表面的重力加速度一方面与星球有关（），另一方面又可以从它与运动的关系（平抛运动、自由落体运动、竖直上抛运动）中求出．重力加速度是运动学和万有引力、天体运动联系的纽带。
【例5】宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为L，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M和密度。
【解析】在其他星球表面上做平抛运动，与地球上的平抛运动具有相同的运动规律，所以运用相同的分析方法，要注意两处的重力加速度不同。
此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情 ( http: / / www.21cnjy.com )况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度。
根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为
设初始平抛小球的初速度为v，则水平位移为x=vt。有
当以2v的速度平抛小球时，水平位移为。所以有
在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G
联立以上三个方程解得
而天体的体积为，由密度公式得天体的密度为。
【点评】本题属于万有引力与抛体运动的题 ( http: / / www.21cnjy.com )目，应抓住关键切入点即抛体运动的加速度就是天体表面的重力加速度，而后根据抛体运动规律运动的合成与分解，分两个方向分别研究，同时要注意结合万有引力定律求出该天体表面的重力加速度。
[拓展]在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为的均匀球体。
【解析】以表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有
① ②
设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为，水平分量仍为，有 ③ ④
由以上各式解得 。
万有引力
与航天
人类对行星运动规律的认识
托勒密：地心说
哥白尼：日心说
开普勒行星运动定律
第一定律（轨道定律）
第二定律（面积定律）
第三定律（周期定律）
万有引力定律
万有引力定律的发现
万有引力定律的内容F＝G
引力常数的测定
万有引力定律的理论成就
称量地球质量M＝
计算天体质量
M＝
r＝R,M=
M=
宇宙航行
人造地球
卫星G=
m
mr
ma
三个宇宙速度
第二宇宙速度11.2km/s
第一宇宙速度7.9km/s
第三宇宙速度16.7km/s
第六章 《万有引力与航天》全章综合
一、知识网络
万有引力
与航天
人类对行星运动规律的认识
托勒密：地心说
哥白尼：日心说
开普勒行星运动定律
第一定律（轨道定律）
第二定律（面积定律）
第三定律（周期定律）
万有引力定律
万有引力定律的发现
万有引力定律的内容F＝G
引力常数的测定
万有引力定律的理论成就
称量地球质量M＝
计算天体质量
M＝
r＝R,M=
M=
宇宙航行
人造地球
卫星G=
m
mr
ma
三个宇宙速度
第二宇宙速度11.2km/s
第一宇宙速度7.9km/s
第三宇宙速度16.7km/s
第六章 《万有引力与航天》全章综合
一、知识网络
万有引力
与航天
人类对行星运动规律的认识
托勒密：地心说
哥白尼：日心说
开普勒行星运动定律
第一定律（轨道定律）
第二定律（面积定律）
第三定律（周期定律）
万有引力定律
万有引力定律的发现
万有引力定律的内容F＝G
引力常数的测定
万有引力定律的理论成就
称量地球质量M＝
计算天体质量
M＝
r＝R,M=
M=
宇宙航行
人造地球
卫星G=
m
mr
ma
三个宇宙速度
第二宇宙速度11.2km/s
第一宇宙速度7.9km/s
第三宇宙速度16.7km/s
第六章 《万有引力与航天》全章综合
一、知识网络