22.1二次函数的图像和性质预习讲义（含解析）-数学九年级上册人教版

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22.1二次函数的图像和性质预习讲义-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．若二次函数有最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．将二次函数化为一般形式后，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的最大面积是（ ）
A．32 B．18 C．16 D．以上都不对
6．将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下移动1个单位长度，所得抛物线的是（　　）
A． B．
C． D．
7．函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点M是抛物线（m为常数）的顶点，直线与坐标轴分别交于两点，则的面积为（ ）
A． B．6 C．4 D．
二、填空题
9．当 时是二次函数
10．抛物线的开口 （填“向上”或“向下”）．
11．在平面直角坐标系中，二次函数的图象关于直线＝ 对称．
12．二次函数的最小值是 ．
13．已知一次函数与二次函数的图象交于轴上的点，则的值是 ．
14．已知抛物线中的x与y满足下表：
x … 0 1 2 …
y … 0 …
则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象的对称轴是y轴；④图象经过点．其中正确的是 ．
15．若抛物线经过点，，抛物线在E，F之间的部分为图象（包括E，F两点）图象上点的纵坐标的最大值与最小值的差t为1时，m的值为 ．
16．如图，以/的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球飞出 时，达到最大高度．
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线对应的函数解析式及顶点坐标．
18．直线与抛物线交于点．
(1)求a和n的值；
(2)对于二次函数，当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围．
19．把抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．
(1)写出平移后的抛物线的解析式；
(2)指出平移后的抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)当平移后y随x 的增大而减小时，x的取值范围是什么？
20．如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．
(1)判断方程是否是“邻近根方程”；
(2)若关于的方程，是常数）是“邻近根方程”，求的最大值．
21．平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由；
(3)如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
22．如图，已知二次函数的图像经过、两点．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图像的对称轴与轴交于点，连接、，求的面积和周长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D C B A A B
1．A
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可．
【详解】解：二次函数的顶点坐标，
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．把二次函数的一般式化为顶点式，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：
，
∵，即开口向上，
∴当时，二次函数有最小值，
∵二次函数有最小值为，
∴，解得：；
故选．
3．D
【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可．
【详解】，
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质等知识点，根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线，结合题意得出抛物线开口向上，再将点求得关于对称轴对称的点，利用增减性即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴图象的对称轴是直线，
∵当时，y随着x的增大而增大，
∴，
∴点关于直线的对称点是，
∵，
∴，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查二次函数和几何的综合应用．根据题意，正确的列出二次函数的解析式，是解题的关键．设，将四边形的面积转化为二次函数，求最值即可．
【详解】解： ∵，
∴四边形的面积；
设，
∵，
∴，
∴四边形的面积，
当时，四边形的面积最大：18，
∴四边形的最大面积是：18；
故选B．
6．A
【分析】本题考查了抛物线的平移问题，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．根据二次函数的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
【详解】解：抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，
则新的函数解析式为：．
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，即可得出答案，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线与y轴交于点，
A、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，符合题意；
B、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意；
C、由可得，则，故抛物线开口向下，即对称轴，不符合题意；
D、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意；
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了二次函数的性质、一次函数 图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式，通过解直角三角形求出点中边上的高是解题的关键.
将抛物线解析式变形为顶点式，即可找出点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标，过点作直线于点，延长交直线 于点，利用勾股定理及等腰直角三角形的性质可求出的长度，同理可求出的长度，进而可求出的长度，再利用三角形的面积公式即可求出的面积.
【详解】解：，
∴点的坐标为
∴点在直线 上.
∵直线与坐标轴分别交于点两点，
∴点的坐标为点的坐标.
过点作直线于点，延长交直线 于点，如图所示.
∵点的坐标为, 点B的坐标,
，
，
同理，可求出：
，
，
故选: B.
9．0
【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数定义求解即可．
【详解】∵是二次函数，
∴且，
解得，
故答案为：．
10．向下
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可解答；掌握，当，抛物线开口方向向下是解题的关键．
【详解】解：在抛物线中，，
则抛物线的开口向下，
故答案为：向下．
11．5
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．其顶点坐标是，对称轴为直线．据此求解即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线，
∴二次函数的图象关于直线对称．
故答案为：5．
12．
【分析】本题考查了二次函数的性质，将解析式配成顶点式，根据函数的性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：，
∵，，
∴当时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
13．1
【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的综合，掌握待定系数法解二次函数解析式是解题的关键．
一次函数的图像与轴的交点为，可求出点的坐标，再将点的坐标代入二次函数即可求解．
【详解】解：根据题意得，当时，，
∴点的坐标为，
∵二次函数的图象过点，得，
∴，
∴，
故答案为：1
14．①②③④
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式和函数值，根据表格中的数据可判断①；根据当和的函数值相同，可求出对称轴，即可判断②；根据当时的函数值小于的函数值，可得增减性，即可判断③；利用待定系数法求出函数解析式，进而求出时的函数值，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴该抛物线图象经过原点，故①正确；
∵当和的函数值相同，
∴对称轴为直线，即对称轴为y轴，故③正确，
∵当时的函数值小于的函数值，
∴在对称轴左边，y随x增大而增大，
∴图象开口向下，故②正确；
设抛物线解析式为，
把，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴当时，，
∴图象经过点，故④正确；
故答案为：①②③④．
15．或7
【分析】本题考查了二次函数的应用、二次函数的性质，根据题意得出，，进而根据的取值范围，分四种情况讨论，根据题意列出方程，解方程，即可求解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴，，抛物线对称轴为轴，顶点为，即最小值为，
∵图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，有以下四种情况：
如图，当，即时，的值随的值的增大而减小，
，，即，
解得：；
如图，当，即时，
，，即，
解得：（舍去）；
如图，当，即时，
，，即，
解得：（舍去）；
如图，当时，
，，即，
解得：；
综上所述，或，
故答案为：或．
16．
【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，把二次函数化为顶点式即可得解．
【详解】解：，
小球飞出时，达到最大高度．最大高度．
故答案为：．
17．解析式为，其顶点坐标为
【分析】本题考查的是二次函数的性质，由抛物线可配方为，结合题意可得，再进一步可得答案．
【详解】解：抛物线可配方为．
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴，
∴，
∴该抛物线的解析式为，其顶点坐标为．
18．(1)，
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）把代入可以求出的值，再把代入即可求出的值；
（2）根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入，得，
把代入，得，
解得：，
∴，；
（2）解：由（1）知：，
∴，
∴当y随x的增大而增大时，．
19．(1)
(2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的平移问题：
（1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）平移后的抛物线解析式开口向下，则在对称轴右侧，y随x 的增大而减小，据此可得答案．
【详解】（1）解：把抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为；
（2）解：∵平移后的抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线解析式开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；
（3）解：∵平移后的抛物线解析式开口向下，
∴在对称轴右侧，y随x 的增大而减小，
又∵对称轴为直线，
∴当y随x 的增大而减小时，．
20．(1)是“邻近根方程”
(2)当时，有最大值，最大值为48．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了配方法的应用．
（1）先利用求根公式得到，，再计算出，从而可判断方程是“邻近根方程”；
（2）设一元二次方程两个实数根，，则利用根与系数的关系得，，再利用得到，所以，从而得到，所以，然后根据配方法结合二次函数的性质解决问题即可．
【详解】（1），
，
，，
，
方程是“邻近根方程”；
（2）设一元二次方程两个实数根，，
根据根与系数的关系得，，
，
，
，
即，
，
，
当时，有最大值，最大值为48．
21．(1)，，；
(2)存在，，，，；
(3)存在点M使最小，
【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将代入函数解析式，求出解析式，即可求出点A，C的坐标；
（2）设，根据勾股定理分情况进行讨论，列出方程求解即可；
（3）作点关于的对称点，连接交于点，连接，求出直线的解析式，直线的解析式，联立方程即可．
【详解】（1）解：将代入，
即，
解得，
，
令，，
令，，
解得，
；
（2）解：存在点P，使是直角三角形，
，对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
①当时，，
，
解得；
②当，，
，
解得；
③当，，
，
解得或，
综上所述，或或或；
（3）解：存在
作点关于的对称点，连接交于点，连接，
由对称性可知，，
，
当三点共线时，有最小值，
，
，
，
由对称性可知，，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设直线解析式为，
，
解得，
故直线解析式为，
联立方程组，
解得．
故．
22．(1)；
(2)面积为，周长为．
【分析】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，熟练掌握点的坐标与线段长度之间的转换是解题的关键．
（1）将点及点的坐标代入即可得出、的值，从而可得出二次函数解析式；
（2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出的长度，根据可以求得的面积，再根据，，坐标，进而求得的周长．
【详解】（1）解：将点、代入得：，
解得：，
故这个二次函数的解析式为：；
（2）二次函数的解析式为：，
二次函数的对称轴为，
点，即，
，
，
点、、点，
，，，
在中，，
在中，，
的周长

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