3.1.2用二分法求方程的近似解
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课前预习 · 预习案
【温馨寄语】
朝霞般美好的理想，在向你们召唤。你们是一滴一滴的水，全将活跃在祖国的大海里!
【学习目标】
1．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解.
2．让学生初步了解逼近思想，体会数学逼近过程，感受精度与近似的相对统一.
3．掌握用二分法求函数零点近似值的步骤.
【学习重点】
通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识
【学习难点】
恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解
【自主学习】
1．二分法的定义
(1)满足条件：
①在区间上的图象 .
②在区间端点的函数值 .
(2)操作过程：
把波函数的零点所在的区间不断地 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点的近似值.
2．二分法的步骤
(1)验证：确定区间，验证 ，给定精确度.
(2)求中点：求区间的中点.
(3)计算：①若，则 就是函数的零点；
②若，则令(此时零点 )；
③若，则令(此时零点 ).
(4)判断：若 ，则得到零点近似值(或)；否则重复(2)～(4).
【预习评价】
1．用二分法求如图所示函数的零点时，不可能求出的零点是
( http: / / www.21cnjy.com )
A. B. C. D.
2．已知，用二分法求方程的近似解时，在下列哪一个区间内至少有一个解
A.(-3，-2) B.(0，1) C.(2，3) D.(-1，0)
3．用二分法求方程在区间[0，1]上的近似解时，经计算，，，，即得到方程的一个近似解为 (精确度为0.1).
知识拓展 · 探究案
【合作探究】
1．二分法的定义 图中函数在区间上的零点是否可以用二分法求解？
( http: / / www.21cnjy.com )
2．二分法的定义 用二分法求函数的近似零点，采用什么方法能进一步缩小零点所在的区间？
3．二分法的定义 用二分法求函数的零点时，决定二分法步骤结束的条件是什么？
4．用二分法求方程的近似解
如图为函数，的图象，根据图象回答下列问题：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)方程的解与函数与的交点坐标有何关系？
(2)用二分法求方程在区间上的近似解的步骤是什么？
【教师点拨】
1．对二分法定义的两点说明
(1)二分法就是通过不断地将零点所在区间一 ( http: / / www.21cnjy.com )分为二，逐步逼近零点的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示函数的零点.
(2)二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用.
2．精确度与计算次数即等分区间次数的关系
精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定，若初始区间是，那么经过次取中点后，区间的长度是，只要这个区间的长度小于精确度，那么这个区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解，因此计算次数和精确度满足关系，即，其中只取正整数.
3．用二分法求方程近似解的四个关注点
(1)解的近似性：所得的解一般是近似解.
(2)局限性：只能解决一部分函数的零点问题.
(3)精确度问题：精确度决定二分法的步骤次数.
(4)解的不唯一性：在最终的满足精确度的区间内的任意一个值都是满足要求的近似解，一般取左右端点值.
【交流展示】
1．下列函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是
A. ( http: / / www.21cnjy.com )
B. ( http: / / www.21cnjy.com )
C. ( http: / / www.21cnjy.com )
D. ( http: / / www.21cnjy.com )
2．已知的图象是一条连续不断的曲线，且在区间内有唯一零点，用二分法求得一系列含零点的区间，这些区间满足：，若，则的符号为
A.正 B.负
C.非负 D.正、负、零均有可能
3．在用二分法求方程的近似解 ( http: / / www.21cnjy.com )时，若初始区间是(1，5)，精确度是0.1，则对区间(1，5)至多二等分的次数是 .
4．利用计算器或计算机用二分法求方程的一个正值近似解(精确度0.1).
【学习小结】
1．二分法的局限性
(1)二分法一次只能求一个零点.
(2)在内有零点时，未必成立，而这样的零点不能用二分法求解.
(3)二分法计算量较大，常要借助计算器完成.
2．利用二分法求函数零点必须满足的两个条件
(1)图象：函数图象在零点附近是连续不断的.
(2)函数值：函数在该点两侧的函数值符号相反.
3．二分法求方程近似解的三个关注点
(1)有根区间的判断原则：每一次取中点 ( http: / / www.21cnjy.com )后，若中点函数值为零，则这个中点就是方程的解；若中点函数值不等于零，则下一个有根区间是区间端点函数值异号的区间.
(2)知二求一：精确度与计算次数、区间长度之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个.
(3)列表法：二分法求解过程中，每次取中点求值可以采用列表的方式，使计算步数明确，当区间长度小于精确度时，即为计算的最后一步.
【当堂检测】
用二分法求方程在(1，2)内近似解的过程中得，，，则方程的根所在的区间为
A.(1.25，1.5) B.(1，1.25) C.(1.5，2) D.不能确定
3.1.2用二分法求方程的近似解
详细答案
课前预习 · 预习案
【自主学习】
1．(1)①连续不断 ②f(a)·f(b)＜0
(2)－分为二 零点
2．(1)f(a)·f(b)＜0 (3)①c ②(a，c) ③(c，b) (4)|a－b|＜ε
【预习评价】
1．C
2．D
3．0.532(答案不唯一)
知识拓展 · 探究案
【合作探究】
1．可以.因为该函数y＝f(x)满足二分法求函数零点的两个条件：①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)＜0.
2．可采用把区间一分为二即取中点的方法逐步缩小零点所在的区间.
3．根据二分法的步骤和题目精确度的要求 ( http: / / www.21cnjy.com )，若出现f(c)＝0，则步骤结束，否则需要零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度ε时，二分法的步骤结束.
4．(1)方程f(x)＝g(x)的解就是函数y＝f(x)与y＝g(x)图象交点的横坐标.
(2)①构造：令F(x)＝f(x)－g(x)；
②定区间：确定区间[a，b]，使F(a)·F(b)＜0；
③求解：用二分法求F(x)在区间[a，b]上的零点近似值.
【交流展示】
1．B
2．A
3．6
4．近似解可取为2.437 5.过程略
【当堂检测】A3.1.1方程的根与函数的零点
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课前预习 · 预习案
【温馨寄语】
高尚的理想是人生的指路明灯。有了它，生活就有了方向；有了它，内心就感到充实。迈开坚定的步伐，走向既定的目标吧!
【学习目标】
1．能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间.
2．掌握判断函数零点的方法.
3．了解函数零点的概念,领会函数零点与相应方程的根的关系.
【学习重点】
通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识
【学习难点】
恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解
【自主学习】
1．一元二次方程的根与二次函数的图象的关系(以为例)：
( http: / / www.21cnjy.com )
请观察所给的三个二次函数的图象,完成下表：
图(1) 图(2) 图(3)
二次函数图象与轴交点的个数 2 1 0
方程实数根的个数 ___________ ___________ 0
二次函数零点的个数 ___________ ___________ ___________
方程的判别式 ___________ ___________
方程的根 ,__________ ___________ 无实根
2．函数的零点
对于函数把使的实数 叫做函数的零点.
3．方程的根、函数的零点、函数图象之间的关系
方程有实根函数的图象与轴有 函数有 .
4．函数零点的判断
(1)条件：
函数在上,
①图象是 的一条曲线.
② 0.
(2)结论：
在区间内有 ,即存在使得 .
【预习评价】
1．函数的零点是
A.1 B.2 C.4 D.-2
2．函数的零点个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
3．函数的零点所在的区间是
A.(1,2) B.(-1,-2) C.(0,1) D.(-1,0)
4．函数的零点为 .
5．已知函数的图象与轴有三个不同的交点,则函数有 个零点.
6．已知函数在区间(2,5)上是减函数,且图象是一条连续不断的曲线,则函数在区间(2,5)上零点的个数是 .
知识拓展 · 探究案
【合作探究】
1．函数的零点 结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数),思考是否所有的函数都有零点？并说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com )
2．函数零点的判断
根据函数零点的判断依据,若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,且那么函数在区间内存在零点.探究以下问题：
(1)若那么函数在区间内一定没有零点吗？
(2)若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,那么函数在区间内有零点一定有吗？
(3)若函数在区间上的图象不是连续不断的一条曲线,满足.那么函数在区间内有唯一零点的条件是什么？
【教师点拨】
1．对函数零点的两点说明
(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.
(2)由于函数的零点就是方程的实根,因此判断函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程是否有实根,有几个实根.
2．对函数零点判断的两点说明
(1)当函数同时满足：
①函数的图象在闭区间上是连续曲线；
②则可以判断函数在区间内至少有一个零点.
(2)当函数的图象在闭区间上不是连续曲线或不满足时,函数在区间内可能存在零点,也可能不存在零点.
【交流展示】
1．函数的图象与轴的交点坐标及其零点分别是
A.2；2 B.(2，0)；2 C.-2；-2 D.(-2，0)；-2
2．函数的零点是
A.±3 B.(3，0)和(-3，0) C.3 D.-3
3．若函数在区间上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是
A.若，则不存在实数使得
B.若，则存在且只存在一个实数使得
C.若，则有可能存在实数使得
D.若，则有可能不存在实数使得
4．设函数的零点为，则所在区间是
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
5．函数的一个零点比1大，另一个零点比1小，则实数的限值范围是 .
6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(-1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求的取值范围.
【学习小结】
1．求函数零点的两种方法
(1)代数法：求相应方程的实数根.
(2)几何法：对于方程的根不易求解时,或者只探究函数零点的个数问题,可以通过将方程的根转化为函数的图象与轴交点的横坐标问题.
2．判断函数存在零点的三种方法
(1)方程法：若方程的解可求或能判断解的个数,可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数.
(2)图象法：由得在同一坐标系内作出
和的图象,根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数.
(3)定理法：函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线,由
即可判断函数在区间内至少有一个零点.若函数在区间上是单调函数,则函数在区间内只有一个零点.
【当堂检测】
1．若函数有一个零点为2，那么函数的零点是
A. B. C.0，2 D.
2．函数有零点的区间是
A.(-2，-1) B.(-1，0) C.(1，2) D.(2，3)
3．函数的零点的个数是 .
4．函数的两个零点是2和3，求函数的零点.
5．若函数没有零点，求实数取值范围.
3.1.1方程的根与函数的零点
详细答案
课前预习 · 预习案
【自主学习】
1．2个不等实根 2个等根 2 1 0,
Δ＝0 Δ＜0
2．x
3．交点 零点
4．(1)①连续不断 ②＜
(2)零点 f(c)＝0
【预习评价】
1．B
2．A
3．D
4．1,－2,3
5．3
6．1
知识拓展 · 探究案
【合作探究】
1．不一定.因为函数的零点就是方程的根, ( http: / / www.21cnjy.com )但不是所有的方程都有根,所以说不是所有的函数都有零点.如：指数函数,其图象都在x轴的上方,与x轴没有交点,故指数函数没有零点；对数函数有唯一一个零点.
2．(1)不一定.如y＝x2－1在区间(－2,2)上有两个零点,但f(2)·f(－2)＞0.
(2)不一定.可能有f(a)·f(b)≥0.
(3)函数y＝f(x)在区间(a,b)内单调.
【交流展示】
1．B
2．A
3．C
4．B
5．
6．m的取值范围为
【当堂检测】
1．A
2．C
3．2
【解析】由y＝1nx：与的图象如图，可知有两个交点.
( http: / / www.21cnjy.com )
4．由题意知方程x2－ax－b＝0的两根分别为2和3，所以a＝5，b＝－6，所以g(x)＝－6x2－5x－1.由－6x2－5x－1＝0，得，.
所以函数g(x)的零点是，.
5．由题意令，函数的图象如图.
( http: / / www.21cnjy.com )
函数f(x)没有零点，即直线y＝a与函数的图象没有交点，观察图象可知，此时a＜0.故a的取值范围为(－∞，0).3.1.1方程的根与函数的零点
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课后练习
【基础过关】
1．在区间上有零点的一个函数为
A. B.
C. D.
2．方程的解所在的区间为
A. B. C. D.
3．函数的零点所在的大致区间是
A. B. C. D.
4．函数有两个零点、,且,则
A., B.
C., D.,
5．若函数的零点为2,那么函数的零点是 .
6．根据下表，能够判断有实数解的区间是 .
-1 0 1 2 3
-0.677 3.011 5.432 5.980 7.651
-0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
(1)(-1,0) (2)(0,1)
(3)(1,2) (4)(2，3)
7．已知二次函数有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围.
8．已知函数恒有零点.
(1)求的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为-4，求的值.
【能力提升】
判断函数f(x)=x-3+ln x的零点的个数.
3.1.1方程的根与函数的零点
课后作业·详细答案
【基础过关】
1．C
【解析】本题考查二分法判断零点的基本方法.由题知对A有恒成立，故没有零点；对B，，故在上没有零点；对C，，故在上存在零点，故选C.
2．C
【解析】本题主要考查判断函数零点的方法，关键是构造函数，转化为确定函数的零点位于的区间.
3．C
【解析】∵，f(2)＝2＋lg2－3＝lg2－1＜0，
，f(3)＝3＋lg3－3＝lg3＞0，又f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，故选C.
4．C
【解析】数形结合，f(x)＝(x－ ( http: / / www.21cnjy.com )2)(x－5)－1的图象为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象向下平移1个单位，逆向思维为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象中坐标系的x轴上移1个单位，则在新坐标系中得到f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象.由图易得出结论.
( http: / / www.21cnjy.com )
5．0，
【解析】∵函数有一个零点是2，
∴，
∴，
∵，
∴函数的零点是0，.
6．(2)
【解析】令F(x)＝f(x)－g(x)， ( http: / / www.21cnjy.com )F(－1)＝－0.147＜0，F(0)＝－0.44＜0，F(1)＝0.542＞0，F(2)＝0.739＞0，F(3)＝0.759＞0，所以F(0) F(1)＜0，f(x)＝g(x)有实数解的区间是(2).
7．设，有两种情况.
第一种情况，如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
解得.
第二种情况，如图，此不等式组无解.
( http: / / www.21cnjy.com )
综上，m的取值范围是.
8．(1)当m＋6＝0时，函数为f(x)＝－14x－5，显然有零点，当m＋6≠0时，由，得，∴且m≠6时，二次函数有零点.
综上，.
(2)设，是函数的两个零点，
则有，，
∵，即，
∴，解得m＝－3，且当m＝－3时，m≠－6，△＞0符合题意，∴m＝－3.
【能力提升】
方法一 在同一平面直角坐标系中画出函数y=ln x,y=-x+3的图象,如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点.
方法二 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线,又f(3)=ln 3>0,f(2)=-1+ln 2=ln<0,所以f(3)·f(2)<0,故函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln x在(0,+∞)内是增函数,所以函数f(x)只有一个零点.3.1.2用二分法求方程的近似解
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课后练习
【基础过关】
1．函数的零点落在内，则的取值范围为
A. B. C. D.
2．若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
( http: / / www.21cnjy.com )
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度0.04)为 ( )
A.1.5 B.1.25 C.1.375 D.1.437 5
3．设f(x)=3x+3x-8,若 ( http: / / www.21cnjy.com )用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间为
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定
4．以下函数图象中,不能用二分法求函数零点的是
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
5．用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实数根时,取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是 .
6．在26枚崭新的金币中,有一枚外表 ( http: / / www.21cnjy.com )与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称 次就可以发现这枚假币.
7．利用二分法求的一个近似值(精确度0.01).
8．已知函数在上为增函数，求方程的正根.(精确度为0.01)
【能力提升】
利用计算器,求方程lg x=3-x的近似解(精确度0.1).
3.1.2用二分法求方程的近似解
课后作业·详细答案
【基础过关】
1．B
【解析】∵f(x)＝2x＋m，∴2x＋m＝0，即，
∴，解得0＜m＜2.
2．D
【解析】由参考数据知f(1.406 2 ( http: / / www.21cnjy.com )5)·f(1.437 5)<0,且1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.04,所以方程的一个近似解可取为1.437 5,故选D.
3．B
【解析】∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,∴f(1.5)·f(1.25)<0,因此方程的根所在的区间为(1.25,1.5).
4．D
【解析】本题考查二分法的定义.根据定义利用二分法无法求不变号的零点,故选D.
5．(2,2.5)
【解析】∵f(2)<0, f(2.5)>0,∴下一个有根区间是(2,2.5).
6．4
【解析】将26枚金币平均分 ( http: / / www.21cnjy.com )成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币,若不平衡,则质量小的那一枚是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.
7．令f(x)=x2-3,因为f(1)=-2<0,f(2)=1>0,所以函数在区间(1,2)内存在零点x0,即为,取区间(1,2)为二分法计算的初始区间,列表如下:
( http: / / www.21cnjy.com )
因为1.734 375-1.726 562 5=0.007 812 5<0.01,所以可取1.734 375为的一个近似值.
8．由于函数在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增，因此f(x)＝0的正根最多有一个.因为f(0)＝－1＜0，，所以方程的正根在(0，1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法逐步计算，列出下表：
区间 中点值 中点函数近似值
(0，1) 0.5 0.732
(0，0.5) 0.25 －0.084
(0.25，0.5) 0.375 0.328
(0.25，0.375) 0.3125 0.124
(0.25，0.3125) 0.28125 0.021
(0.25，0.28125) 0.265625 —0.032
(0.265625，0.28125) 0.2734375 —0.00543
(0.2734375，0.28125)
因为｜0.2734375－0.28125｜ ( http: / / www.21cnjy.com )＝0.0078125＜0.01，所以方程的根的近似值可取为0.2734375，即f(x)＝0的正根约为0.2734375.
【能力提升】
分别画出函数y=lg x和y=3-x的图象,如图
( http: / / www.21cnjy.com )
在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这 ( http: / / www.21cnjy.com )个点的横坐标就是方程lg x=3-x的解.由函数y=lg x与y=3-x的图象可以发现,方程lg x=3-x有唯一解,且这个解在区间(2,3)内.
设f(x)=lg x+x-3,则函数f(x)的零点即为方程lg x=3-x的解,记为x1,利用计算器计算得:
f(2)<0,f(3)>0 x1∈(2,3);
f(2.5)<0,f(3)>0 x1∈(2.5,3);
f(2.5)<0,f(2.75)>0 x1∈(2.5,2.75);
f(2.5)<0,f(2.625)>0 x1∈(2.5,2.625);
f(2.562 5)<0,f(2.625)>0 x1∈(2.562 5,2.625);
因为2.625-2.562 5=0.062 5<0.1,所以方程lg x=3-x的近似解可取为2.625.
