（新课标）2015-2016学年高中数学 第3章 质量评估检测 新人教A版必修3

第三章　质量评估检测
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率(　　)
A.　B.
C. D．1
解析：P＝＝.
答案：C
2．将骰子向桌面上先后抛掷2次，其中向上的数之积为12的结果有(　　)
A．2种 B．4种
C．6种 D．8种
解析：有4种情况，即3×4,4×3,2×6,6×2，∴将骰子向桌面上先后抛掷2次，其中向上的数之积为12的结果有4种．
答案：B
3．在面积为S的△ABC的内部任取一点P，则△PBC的面积小于的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：
如图所示，EF为△ABC的中位线．当点P位于四边形BEFC内时，S△PBC的面积小于，
又∵S△AEF＝S，SBEFC＝S.
∴△PBC的面积小于的概率为P＝＝.
答案：C
4．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三 ( http: / / www.21cnjy.com )件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是(　　)
A．A与C互斥
B．B与C互斥
C．任何两个均互斥
D．任何两个均不互斥
解析：因为事件B是表示“三件产品全是次品”，事件C是表示“三件产品不全是次品”，显然这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥的，所以选B.
答案：B
5.
如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构 ( http: / / www.21cnjy.com )成的组合图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：P＝＝.
答案：A
6．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P＝＝.故选B.
答案：B
7．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为(　　)
A. B．1－
C. D.－1
解析：要使函数有零点，则Δ＝(2a)2－4 ( http: / / www.21cnjy.com )(－b2＋π2)≥0，a2＋b2≥π2，又－π≤a≤π，－π≤b≤π，所以基本事件的范围是2π·2π＝4π2，函数有零点所包含的基本事件的范围是4π2－π3.所以所求概率为＝1－.故选B.
答案：B
8．如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是
A. B.
C. D.
解析：设被污损的数字是x， ( http: / / www.21cnjy.com )则x∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．甲的平均成绩为甲＝(88＋89＋90＋91＋92)＝90，乙＝[83＋83＋87＋(90＋x)＋99]＝，设甲的平均成绩超过乙的平均成绩为事件A，则此时有90＞，解得x＜8，则事件A包含x＝0,1,2,3,4,5,6,7，共8个基本事件，则P(A)＝＝.
答案：C
9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两 ( http: / / www.21cnjy.com )串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：
由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且4 ( http: / / www.21cnjy.com )秒内任一时刻等可能发生，所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积，而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件，即如图所示的阴影部分的面积，根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是＝，故选C.
答案：C
10．一个数学兴趣小组有女同学2名 ( http: / / www.21cnjy.com )，男同学3名，现从这个数学兴趣小组中任选2名同学参加数学竞赛，则参加数学竞赛的2名同学中，女同学人数不少于男同学人数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：3名男同学，2名女同学，共5名同学，从 ( http: / / www.21cnjy.com )中选出2人，有10种情况，女同学人数不少于男同学人数，包括2名女同学和1名女同学1名男同学，共7种情况，故所求概率为.
答案：D
11．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”，则P(A∪B)等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：由古典概型的概率公式得P(A)＝，P(B)＝＝.
又事件A与B为互斥事件，
由互斥事件的概率和公式得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：B
12.
如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(　　)
A.－ B.
C．1－ D.
解析：
如图，不妨设扇形的半径为2a，记两块白色区域的面积分别为S1，S3，两块阴影部分的面积分别为S2，S4，
则S1＋S2＋S3＋S4＝S扇形OAB＝π(2a)2＝πa2，　①
而S1＋S2与S2＋S3的和恰好为一个半径为a的圆，即S1＋S2＋S2＋S3＝πa2.　②
①－②得S2＝S4，由图可知S2＝(S扇形EOD＋S扇形COD)－S正方形OEDC＝πa2－a2，所以S阴影＝πa2－2a2.
由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率P＝＝＝1－.
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率应为________．
解析：将3 m的绳子平均分成三段，每段1 m，则依题意要使剪得两段的长都不小于1 m，则应在中间一段剪开，故满足题意的概率为.
答案：
14.
如图所示，在正方形内有一扇形(见阴影部分)，点P随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外且在正方形内的概率为________．
解析：设正方形的边长为1， ( http: / / www.21cnjy.com )则正方形的面积S＝1，扇形的面积S1＝××12＝，根据几何概型公式得，点P落在扇形外且在正方形内的概率为＝1－.
答案：1－
15．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________．(结果用数值表示)
解析：从1,2,3,4, ( http: / / www.21cnjy.com )5中选取3个数构成的基本事件空间共有10个元素，要使剩下的两个数是奇数，则在选取过程中能取1个奇数，可构成三个基本事件：(2,4,1)，(2,4,3)，(2,4,5)．因此所求概率为P＝＝0.3.
答案：0.3
16．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是________，这两个数字之和是偶数的概率是________．
解析：从1,2,3,4四个数字中任取两 ( http: / / www.21cnjy.com )个共有6种取法．取的两个数字都是奇数只有1,3一种情况，故此时的概率为.若取出两个数字之和是偶数，必须同时取两个偶数或两个奇数，有1,3；2,4两种取法，所以所求的概率为＝.
答案：　
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
同时抛掷两个骰子(各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，计算：
(1)向上的数相同的概率．
(2)向上的数之积为偶数的概率．
解：每掷1个骰子都有6种情况，所以同时掷两个骰子总的结果数为6×6＝36.
(1)向上的数相同的结果有6种，故其概率为P(A)＝＝.
(2)向上的数之积为偶数的情况比较多， ( http: / / www.21cnjy.com )可以先考虑其对立事件，即向上的数之积为奇数．向上的数之积为奇数的基本事件有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共9个，故向上的数之积为奇数的概率为P(B)＝＝.
根据对立事件的性质知，向上的数之积为偶数的概率为P(C)＝1－P(B)＝1－＝.
18．(本小题满分12分)
袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是.
(1)求n的值．
(2)记从袋中随机取出一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分．现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率．
解：(1)由题意可得＝，解得n＝2.
(2)设红球为a，黑球为b，白球为 ( http: / / www.21cnjy.com )c1，c2，从袋子中取出2个小球的所有基本等可能事件为：(a，b)，(a，c1)，(a，c2)，(b，c1)，(b，c2)，(c1，c2)，共有6个，其中得2分的基本事件有(a，c1)，(a，c2)，
所以总得分为2分的概率为＝.
19．(本小题满分12分)
一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率．
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能 ( http: / / www.21cnjy.com )的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个．
因此所求事件的概率P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号 ( http: / / www.21cnjy.com )为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足m＋2≤n的事件的概率为P1＝，
故满足n20．(本小题满分12分)小王、小李两 ( http: / / www.21cnjy.com )位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.
(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？
(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．
解析：(1)由于x，y取值为1,2,3,4,5,6，
则以(x，y)为坐标的点有：
(1,1)，(1,2)，(1, ( http: / / www.21cnjy.com )3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36个，即以(x，y)为坐标的点共有36个．
(2)满足x＋y≥10的点有：(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6个，所以小王赢的概率是＝，
满足x＋y≤4的点有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个，所以小李赢的概率是＝，
则小王赢的概率等于小李赢的概率，
所以这个游戏规则公平．
21．(本小题满分12分)为了解社会对 ( http: / / www.21cnjy.com )学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人，18人，36人．
(1)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；
(2)若从抽到的6人中随机抽取2人进行调查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率．
解析：(1)家长委员会人员总数为54＋18 ( http: / / www.21cnjy.com )＋36＝108，样本容量与总体中的个体数的比为＝，故从三个年级的家长委员会中分别抽取的人数为3,1,2.
(2)得A1，A2，A3为从高一抽得的3个家长，B1为从高二抽得的1个家长，C1，C2为从高三抽得的2个家长．
则抽取的全部结果有：
(A1，A2)，(A1，A3 ( http: / / www.21cnjy.com ))，(A1，B1)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，C1)，(A2，C2)，(A3，B1)，(A3，C1)，(A3，C2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(C1，C2)，共15种．
令X＝“至少有一人是高三学生家长”，结果有：
(A1，C1)，(A1，C2)，(A2 ( http: / / www.21cnjy.com )，C1)，(A2，C2)，(A3，C1)，(A3，C2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(C1，C2)，共9种，所以这2人中至少有1人是高三学生家长的概率是P(X)＝＝.
22．(本小题满分12分)一个质地均匀 ( http: / / www.21cnjy.com )的正方体的六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5，一个质地均匀的正四面体的四个顶上分别标有数字1,2,3,4.将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b.
(1)求事件b＝3a的概率；
(2)求事件“点(a，b)满足a2＋(b－5)2≤9”的概率．
解析：(1)由题意可知a的取值为0,1,2,3,4,5.b的取值为6,7,8,9，基本事件空间：
Ω＝{(0,6)，(0,7)，(0,8) ( http: / / www.21cnjy.com )，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)}，共计24个基本事件．
因为满足b＝3a的有(2,6)，(3,9)，共2个基本事件．
所以事件b＝3a的概率为＝.
(2)设事件B＝“点(a，b)满足a2＋(b－5)2≤9”．
当b＝8时，a＝0满足a2＋(b－5)2≤9；
当b＝7时，a＝0,1,2，满足a2＋(b－5)2≤9；
当b＝6时，a＝0,1,2，满足a2＋(b－5)2≤9.
因此满足a2＋(b－5)2≤9的有(0,6)，(0,7)，(0,8)，(1,6)，(1,7)，(2,6)，(2,7)．
故所求概率为P(B)＝.