北京二中2024-2025学年高三10月月考数学（无答案）

2024北京二中高三 10月月考
数 学
一、单选题：本题共 10小题，每小题 4分，共 40分。
2
1.已知集合 A = x x 1 ， B = x x 2x 3 0 ，则 A B =（ ）.
A. ( , 1) (1,+ ) B. (1,3) C. (3,+ ) D. ( , 1) (3,+ )
2.等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知 S5 =15， S7 = 35，则 a1 =（ ）.
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
3.已知边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 AB，BC 的中点，则 AF AE =（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1+ ai
4.在复平面上，复数 所对应的点在第二象限，则实数 a 的值可以为（ ）.
2 i
1
A. B. 1 C. 2 D. 3
2
π 3 2π
5.已知 sin( + ) = ，则 cos( 2 ) =（ ）.
6 3 3
2 1 2 1
A. B. C. D.
3 3 3 3
6.“ sin + tan 0 ”是“ 为第一或第三象限角”的（ ）.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 2b2 + c2 a2 = 0 ，则 sin B 的最大值为（ ）.
3 1 1 2
A. B. C. D.
3 3 2 3
A 1 A
8.分贝 (dB) 、奈培 (Np) 均可用来量化声音的响度，其定义式分别为1dB =10lg ，1Np = ln ，其中 A
A0 2 A0
为待测值， A 为基准值．如果1dB = tNp(t R) ，那么 t ( )(0 参考数据： lg e 0.4343)
A. 8.686 B. 4.343 C. 0.8686 D. 0.115
9.已知函数 f (x)的定义域为 R，存在常数 t(t 0)，使得对任意 x R ，都有 f (x + t) = f (x) ，当 x 0, t )
t
时， f (x) = x .若 f (x)在区间 (3,4)上单调递减，则 t 的最小值为（ ）.
2
8 8
A. 3 B. C. 2 D.
3 5
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10.设函数 y = f (x) 图象上不同两点 A(x1, y1 ) ， B ( x2 , y2 ) 处的切线的斜率分别是 KA ， KB ，规定
KA K ( ) BA, B = ( AB 为线段 AB 的长度 ) 叫做曲线 y = f (x)在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”，给出以下命
AB
题，其中错．误．的是（ ）.
A. 函数 y = sin x 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1 和 ，则 (A, B) = 0 ；
B. 存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；
2
C. 设 A，B 是抛物线 y = x 上不同的两点，则 (A, B) 2 ；
D. 设 A，B 是曲线 y = ex (是自然对数的底数 ) 上不同的两点 A(x , y ) , B (x , y )，则 (A, B) 1.1 1 2 2
二、填空题：本题共 5小题，每小题 5分，共 25分。
8
1
11. x 展开式中含 x
2 项的系数是__________.
2x
x2 y2
12.已知双曲线 =1(a 0,b 0) 的渐近线与圆 x2 + y2 4y + 3 = 0 相切，则双曲线的离心率为
a2 b2
__________.
13.已知函数 f (x) = 2sin ( x + )的部分图象如图所示．
① 函数 的最小正周期为__________；
② 将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g(x) 的图象．若函数 g(x) 为奇函数，则 t
的最小值是__________.
14. 已 知 函 数 f (x) = sin x 2cos x( 0) ， 且 f ( + x) = f ( x). 若 两 个 不 等 的 实 数 x1, x2 满 足
f (x x x = π1) f (x2 ) = 5且 1 2 min ，则 sin 4 = __________.
x 1
, x ( ,1] x + 2 2 π 3π
15.已知函数 f (x) = , g(x) = asin( x + ) 2a + 2(a 0),给出下列结论：
1 1 1 3 2 x + , x [0, ]
2 4 2
1
①函数 的值域为[0, ]；
3
②函数 g(x) 在 [0,1] 上是增函数；
③对任意 a 0 ，方程 f (x) = g(x) 在[0,1] 内恒有解；
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5 4
④若存在 x1 ， x2 [0,1]，使得 f (x1) = g(x2 ) 成立，则实数 a 的取值范围是 a .
9 5
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题：本题共 6小题，共 85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
π
16. ( 本小题满分 13 分 ) 已知函数 f (x) = cos xsin x + ,( 0).且满足_________.
6
（在下列三个条件中任选一个，并解答问题）
π
① 函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ；
2
② 函数 的图象相邻两个最大值之间的距离为 π；
1 π
③ 已知 x1 x2 ， f (x1 ) = f (x2 ) = ，且 x1 x2 的最小值为 .
4 2
（Ⅰ）求函数 的对称中心坐标；（Ⅱ）求函数 在 0,2π 上的单调递减区间.
17. ( 本小题满分 13 分 ) 某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了
12 名学生的竞赛成绩，数据如下表：
男生 81 84 86 86 88 91
女生 72 80 84 88 92 97
（Ⅰ）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
（Ⅱ）从该校的高一学生中，随机抽取 3 人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀 ( 90 分 ) 的学生人数为
X，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）表中男生和女生成绩的方差分别记为 s 2 21 ， s2 ，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为
分，组成新的男生样本，方差计为 s 2 ，试比较 s 2 、 s 2 、 s 286 3 1 2 3 的大小． ( 只需写出结论 )
18. ( 本小题满分 14 分 ) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAB ⊥ 平面 ABCD， AD // BC ，
ABC = 90 ， PA = PB = 3 ， BC =1， AB = 2 ， AD = 3，O 是 AB 中点．
（Ⅰ）证明：CD ⊥平面 POC.
（Ⅱ）求二面角C PD O 的平面角的余弦值．
CM
（Ⅲ）在侧棱 PC 上是否存在点 M，使得 BM // 平面 POD，若存在，试求出 的值；若不存在，请说明
CP
理由．
19. ( 本小题满分 15 分 )
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已知函数 f (x) = ax2 + x ln x(a R) 图象在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x + 3y = 0 垂直.
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）若存在 k Z ，使得 f (x) k 恒成立，求整数 k 的最大值.
20. ( 本小题满分 15 分 )
x2 y2 3
已知椭圆C : + =1(a b 0) 的离心率为 ，点 A( 2,0) 在 C 上.
a2 b2 2
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过点 B( 2,1) 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于 P ( x1, y1 )，Q (x2 , y2 )两点，试用含 k 的代数式表示
( x1 + 2)( x2 + 2)；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点 P作垂直于 x轴的直线与直线 AQ相交于点 M，证明：线段 PM的中点在定
直线上.
21. ( 本小题满分 15 分 ) 已知 n 为正整数，数列 X： x1 ， x2 ， ， x ，记 S(X ) = xn 1 + x2 + + xn ，对于数列
X，总有 xk {0,1}， k =1,2, ,n ，则称数列 X 为 n 项 0 1数列．
若数列A： a a1 ， a2 ， ， n ，B： b1， b2 ， ， bn ，均为n项 0 1数列，定义数列 A*B ： m1， m2 ， ，
m ，其中mk =1 | ak bk |， k =1,2, ,nn .
（Ⅰ）已知数列 A：1，0，1； B：0，1，1，直接写出 S (A* A) 和 S (A* B) 的值；
（Ⅱ）若数列 A，B 均为 n 项 0 1数列，证明： S((A* B) * A) = S(B) ；
（Ⅲ）对于任意给定的正整数 n，是否存在 n项 0 1数列A，B，C，使得 S(A* B) + S(A*C) + S(B *C) = 2n，
并说明理由．
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