(共27张PPT)
5.y=ax2+bx+c 的函数图像和性质
一般地，抛物线y=a(x-h) +k与y=ax 的 相同， 不同
2
2
形状
位置
y=ax
2
y=a(x-h) +k
2
上加下减
左加右减
平移
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口 ，
当a﹤0时，开口 ，
向上
向下
2.对称轴是 ；
3.顶点坐标是 。
直线X=h
(h,k)
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y = -3x(x-1)2 -2
y = 4(x-3)2 +7
y = -5(2-x)2 - 6
直线x= –3
直线x=1
直线x=2
直线x=3
向上
向上
向下
向下
（－3,5）
（1，－2）
（3，7 ）
（2，-6）
你能说出二次函数y=—x －6x＋21图像的特征吗？
2
1
2
那现在要怎么办呢？
画出函数的图象
如何画出 的图象呢
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数 也能化成这样的形式吗
配方
y= — (x―6) +3
2
1
2
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
( 2 )“配”：括号内配成完全平方；
(3) “化”：化成顶点式。
归纳
二次函数 y= —x －6x +21图象的
画法
(1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶
点坐标；
(3)“画”：列表、描点、连线。
2
1
2
5
10
5
10
O
x
y
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
… 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
直线x=6
（6，3）
(1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶
点坐标；
(3)“画”：列表、描点、连线。
其实就是求次函数y=ax +bx+c的对称轴和顶点坐标，所以要先将它化为顶点式
函数y=ax +bx+c的顶点是
配方:
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简:去掉中括号
这个结果通常称为求顶点坐标公式.
方法归纳
配方法
1
公式法
2
求二次函数y=ax +bx+c的对称轴和顶点坐标
y=a(x-h)2+k
函数y=ax +bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：
开口方向 对称轴 顶点坐标
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
直线x=-2/3
（-2/3,-7/3）
向下
直线x=1/4
（1/4,-25/8）
函数y=ax +bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？
4
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例1：指出抛物线:
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出图象。
开口方向向下
对称轴是直线x=2
顶点坐标 (2, 1)
与y轴的交点坐标(0,-3)
与x轴的交点坐标(1,0) (3,0)
y = - x2 + 4x -3
y = - (x-2)2 +1
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。
y=2x2-5x+3
y=(x-3)(x+2)
请画出下列二次函数图像的草图
3
－6
3/2
1
－2
3
y
x
0
y
x
0
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在 （ ）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上 D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是 （ ）
A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1
C
B
A
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是 （ ）
A.b2-4ac>0 B. <0
C.a+b+c=0 D. >0
1
x
y
o
-1
B
-
2a
b
4a
4ac-b2
5.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 ( )
6.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ ）
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
B
C
D
-3
-3
-3
-3
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
B
C
D
C
C
学习回顾
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=ax2(a>0)
y=ax2+k(a>0)
y=a(x-h)2(a>0)
y=a(x-h)2 +k(a>0)
y= ax2 +bx+c(a>0)
填写表格：
1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向、大小相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,
在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
驶向胜利的彼岸
小结 拓展
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax 的关系
撇增捺减
2.不同点: (1)位置不同
(2)顶点不同:分别是 和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 和y轴.
(4)最值不同:分别是 和0.
y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移| - h |个单位(当-h >0时,向右平移;当 - h <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移| k |个单位 (当 k >0时向上平移;当 k <0时,向下平移)得到的.
驶向胜利的彼岸
小结 拓展
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax 的关系
左加右减 上加下减
平移:
3.联系:
抛物线位置与系数a，b，c的关系：
⑴a决定抛物线的开口方向：
a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
⑵ a，b决定抛物线对称轴的位置:
(对称轴是直线x = －— )
① a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧；
② b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴；
③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧
2a
b
【左同右异】
⑶ c决定抛物线与y轴交点的位置：
① c＞0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴上方；
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。
⑷顶点坐标是（ ， ）。
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
当x=－ — 时,y有最大(最小)值 y=
b
2a
______________________
4a
4ac－b
2
-1
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，x= 为该图象的对称轴，根
据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？
y
1
.
.
x
1
3
